等比数列的判定与证明
2.4等比数列(基础)
2.4等比数列（基础）要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠. 要点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列；不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据*1(0)n na q n N q a +=∈≠，.利用这种形式来判定. 要点二、等比中项如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项.其中G =。
要点诠释：①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项。
②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一。
③当0ab >时，a 、G 、b 成等比数列⇔G ba G=2 ④2G ab =是a 、G 、b 成等比数列的必要不充分条件。
要点三、等比数列的通项公式首相为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=⋅（*1N 0n a q ∈⋅≠，）推导过程：（1）归纳法： 根据等比数列的定义1nn a q a -=可得1(2)n n a a q n -=≥： ∴21211a a q a q -==；23132111()a a q a q q a q a q -====； 234143111()a a q a q q a q a q -====；……111(2)n n n a a q a q n --===≥L当n=1时，上式也成立∴归纳得出：111(*n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，（2）累乘法： 根据等比数列的定义1nn a q a -=可得： 21a q a =，32a q a =，43aq a =，…，1n n a q a -=， 把以上1n -个等式的左边与右边分别相乘（累乘），并化简得：11n na q a -=，即11(2)n n a a q n -=≥又1a 也符合上式∴111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，.要点诠释：①通项公式由首项1a 和公比q 完全确定，首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案
第3讲 等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编 等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编 由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编 在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， 所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题． 高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一 求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二 求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法 一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0， 所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________． 【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)， 所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)． 由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14， 所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ， 所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， 所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1， 公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。
数列：第3讲等比数列
等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一个 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 ，且G 2＝ 或G ＝ . 3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝ 或a n ＝ .=-mn q_________．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝ ；点(n ，a n )是曲线 上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，q ＝1，＝ ，q ≠1. 求和公式的推导方法是： ，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B ＝ 且q ≠0，q ≠1. 5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝Aq n (A ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n －B ⎝⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1 ⇔{a n }是等比数列． 6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比为 ， ， ， . (3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m …仍为等比数列，公比为 ．(4)等比数列前n 项和为S m (≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等比数列，且公比为 ．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数a n ＝a 1q ·u 和指数函数u ＝q n (n ∈N *)复合而成．①当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递减数列； ③当 时，它是一个常数列；④当 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．等比数列及其性质1.在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A.16 B.27 C.36 D.812.已知a ，b ，c ∈R ，如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A.b ＝3，ac ＝9B.b ＝－3，ac ＝9C.b ＝3，ac ＝－9D.b ＝－3，ac ＝－9 3.在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.124.在等比数列{a n }中，a 2015＝8a 2012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.85.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.166.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000 D.－10 0007.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.328.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 29.等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于()A.2nB.2n 2C.n 2D.n10.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 12.在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.13.若{a n }为公比大于1的等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为______________.14.已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求{a n }的通项公式.15.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设n n a b 2log ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；等比数列的前n 项和1.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84 D.1892.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A.11B.5C.－8D.－113.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B.－13 C.19 D.－194.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A.－2 B.－1 C.12 D.235.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A.－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C.3(1－3－10) D.3(1＋3－10)6.在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.(2n－1)2B.(2n －1)23C.4n－1 D.4n －137.等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A.2 B.12 C.4 D.148.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A.－2B.2C.－3D.39.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.17210.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A.－3B.5C.－31D.3311.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________. 13.求和：S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *.14.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和.15.已知数列n n n a 3)12(•-=，求数列a n 的前n 项和S n等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一个 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 ，且G 2＝ 或G ＝ . 3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝ 或a n ＝ .=-mn q_________．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝ ；点(n ，a n )是曲线 上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，q ＝1，＝ ，q ≠1. 求和公式的推导方法是： ，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B ＝ 且q ≠0，q ≠1. 5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝Aq n (A ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n －B ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1⇔{a n }是等比数列． 6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比为 ， ， ， . (3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m …仍为等比数列，公比为 ．(4)等比数列前n 项和为S m (≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等比数列，且公比为 ．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数a n ＝a 1q ·u 和指数函数u ＝q n (n ∈N *)复合而成．①当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递减数列； ③当 时，它是一个常数列；④当 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【答案】1．比 常数 公比2．等比中项 ab ±ab 3．(1)a 1qn －1a m qn －mm n a a(2)a 1qy ＝⎝⎛⎭⎫a 1q q x 4．na 1 a 1（1－q n ）1－q a 1－a n q 1－q乘公比，错位相减a 1q －16．(2)1q 1 q 1 q 1q 2 q 1q 2(3)q m (4)q m (5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1 q ＞1 ③q ＝1 ④q ＜0等比数列及其性质1.在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A.16 B.27 C.36 D.81答案 B 解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2.已知a ，b ，c ∈R ，如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A.b ＝3，ac ＝9B.b ＝－3，ac ＝9C.b ＝3，ac ＝－9D.b ＝－3，ac ＝－9 答案 B 解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号.∴ac ＝b 2＝9.3.在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12答案 C 解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.4.在等比数列{a n }中，a 2015＝8a 2012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 A解析 ∵a 2 015＝8a 2 012＝a 2 012·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( )A.7B.8C.9D.16答案 B 解析 点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8. 6.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000 D.－10 000答案 C 解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10000.7.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32答案 D 解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且 a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6. ∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5. 解得q ＝26或q ＝36(舍去)，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.8.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. ∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 9.等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于()A.2nB.2n 2C.n 2D.n 答案 C解析 log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1)2222222121252522log ()log ()log (2)log 2.nn n n n n n a a a a n --===== 10.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.12.在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.13.若{a n }为公比大于1的等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为______________.答案 a n ＝2×3n －3解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q >1.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13(舍)，q 2＝3.由q ＝3知，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.14已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求{a n }的通项公式.解 由S n ＋1＝qS n ＋1①可知当n ≥2时，S n ＝qS n －1＋1②，两式相减可得a n ＋1＝qa n ，又n ＝1时，S 2＝qS 1＋1，即a 1＋a 2＝qa 1＋1，解得a 2＝q ≠0，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n＝q (n ≥2).又a 2a 1＝q ，∴{a n }是公比为q 的等比数列. 根据2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，由等差数列性质可得2a 2＋a 2＋2＝2a 3，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12，由q >0可知，q ＝2，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.15.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设n n a b 2log =，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；(1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2 a n ＋1a n＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎨⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎨⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *).等比数列的前n 项和1.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A.33B.72C.84D.189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22·21＝84.2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A.11 B.5 C.－8 D.－11答案 D 解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B.－13 C.19 D.－19答案 C 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A.－2B.－1C.12D.23答案 B 解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.5.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A.－6(1－3－10)B.19(1－3－10)C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)答案 C 解析 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列.又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10). 6.在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.(2n －1)2B.(2n －1)23C.4n －1D.4n －13 答案 D 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a 1＝21－1＝1.∵a 1＋a 2＝1＋a 2＝22－1＝3，∴a 2＝2，∴{a n }的公比为2.∴{a 2n }的公比为4，首项为a 21＝1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－4n )1－4＝4n －13. 7.等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( )A.2B.12C.4D.14答案 C 解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4，故选C. 8.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A.－2B.2C.－3D.3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m＝2， 与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2m S m＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8.∴a 2m a m＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.9.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314. 10.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A.－3 B.5 C.－31 D.33答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 11.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3，∴q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 12.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1， 即⎩⎨⎧ a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________.答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3).∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13. 14.求和：S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1 ＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.15.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和.解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 15.已知数列n n n a 3)12(•-=，求数列a n 的前n 项和S n。
4.3.1等比数列的判定及性质
102.6
5
107.2
12
100.6
6
107.2
13
98.1
7
106.9
14
95.0
观察发现，数列{ }先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 ≥ 时，
{ }递减，且 < 即可.
新知探究
由 + +
=
.+ ×[−(+)]
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；
3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数
学运算素养
01
复习导入
复习回顾
1.等比数列的定义是什么？
. ×(−)
< ，
得 > .
所以，当 ≥ 时，{ }递减.
又 ≈ < ，所以，当 ≤ ≤ 时， ≤ < .
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
新知探究
方法总结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息
等比数列的判定与证明-定义法ppt课件
解得， a1 5 ， q 2
因此
a4 a1q3 40
答：它的第一项是5，第4项是40.
5
等比数列的例题
例2 已知 an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1 ,公比为 q1;bn 首项为b1 ,公比为q2
那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
项的比等同一个常数
项的差等同一个常数
公比(q)
常数
公差(d)
q可正可负,但不可为零
性质
an a1 • q n1
通项
an am q nm
通项 变形
(n, m N * )
d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
an
am
(n m)d
(n, m N * )
8
4
课堂互动
(1)一个等解比：数设列它的的第第5一项项是是9 4,a公，1 比则是由题13意，得求它的第1项；
a1
(
1 )51 3
4 9
解得， a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.
解：设它的第一项是 a，1 公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20
当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列
(5) 1，0，1，0，…
又是等比数列;
(6) 0，0，0，0，…等比数列. 2
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
高中数学同步教学课件 等比数列的判定与性质
知识梳理
1.等比数列通项公式的推广和变形an＝ amqn－m . 2.设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an . (2)若m，p，n成等差数列，则 am，ap，an 成等比数列.
知识梳理
注意点： (1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝ a2·an－1＝….
例2 (1)在等比数列{an}中：
①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝
1 2
，求n；
设等比数列{an}的公比为q. 由aa43＋ ＋aa76＝ ＝q36a，3＋a6＝18， 得 q＝12. 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则 an＝a3·qn－3＝32×12n－3＝12n－8＝12， 所以n－8＝1，所以n＝9.
an ＝q an－1
(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数
列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若 a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
n＋2 跟踪训练 1 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n Sn (n＝1,2,3，…).证明：数列Snn是等比数列.
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)， 得aan－n 1＝－12. 又 a1＝－12， 所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。
换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。
1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。
数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。
等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。
在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。
通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。
1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。
我们来看等比数列的负项。
如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。
这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。
等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。
等比数列的任意项也具有一定的性质。
假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。
等比数列的等比中项也有着特殊的性质。
等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。
这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。
等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。
等比数列
2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 . 3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比 数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
G= ab . 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 5.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 k a , a , a 也成等 =1 k k=n+1 k k=2n+1 k 比数列, 且公比为 qn. an 6.若数列 {an}, {bn} 是等比数列, 则数列 {anbn}, { } 也是等 bn 比数列.
课后练习题
1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成 等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数. 解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d>0. ∵后三数成等比数列, 其最后一个数是 25,
∴a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.
+2 S (n=1, 2, 7.数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= nn n S 3,…), 证明: (1)数列 { n } 是等比数列; (2) Sn+1=4an. n Sn n-1 (2)证法2: 由(1)知 n =2 . ∴Sn=n2n-1 . ∴Sn+1=(n+1)2n. ∵an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2 (n≥2). 而 a1=1 也适合上式,
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等比数列的判定与证明
1、 已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{a n }是等比数列.
2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13
(a n －1)(n ∈N *). (1)求a 1，a 2；
(2)证明：数列{a n }是等比数列.
3、已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.
(1)求a 2，a 3；
(2)求{a n }的通项公式.
4、已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求{a n }的通项公式.
5、设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14
，且a n ＋1＝⎩⎨⎧ 12a n ，n 为偶数，a n ＋14，n 为奇数.
记b n ＝a 2n －1－14
，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3；
(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论.
解 (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14
， a 3＝12a 2＝12a ＋18
. (2)因为a 4＝a 3＋14＝12a ＋38
， 所以a 5＝12a 4＝14a ＋316
， 所以b 1＝a 1－14＝a －14
， b 2＝a 3－14＝12⎝⎛⎭
⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝⎛⎭
⎫a －14. 猜想：数列{b n }是公比为12
的等比数列. 证明如下：
因为b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14
＝12⎝
⎛⎭⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝
⎛⎭⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)， 又b 1＝a 1－14＝a －14
≠0，所以b n ≠0， 所以b n ＋1b n ＝12
，n ∈N * 所以数列{b n }是首项为a －14，公比为12
的等比数列.
{}.
b 21的等差数列，令b 1-，公差为2是首项首{an}若数列6n n 项公式是等比数列，并求其通求证数列，、n
a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=
{}{}.,27是等比数列求证：数列项和的前、已知数列n n n n a a S n a -=
{}()
(){}(){}的通项公式
求数列是等比数列；
并证明数列求且满足、数列n n n n n a n a a a n n n a a a a 2,,12,323,183211-≥N ∈+-=-=*-
{}()()()n n n n n n n a S n S n S n n a a S n a 421,,3,2,12,19111=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=+==++是等比数列；
数列证明：，已知项和记为的前、数列。