由前n项和Sn,求通项公式an
数列的通项公式与部分和公式
数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。
本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。
一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。
二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。
1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。
求数列通项公式、前n项和sn常用方法F
求数列通项公式常用方法1.归纳法：由给出已知项寻找规律 ，求同存异，猜想通项公式2.公式法：等差数列与等比数列.3.作差法：利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n , 求n a特别的：已知前n 项积，求n a 使用（作商法）.4、累加法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =-+型时，且{)(n f }中n 项和可求。
5、累乘法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =+型时，且{)(n f } 中n 项积可求。
6、构造法：形如q a p a n n+∙=-1（q p 、为常数）的形式，往往变为)(1λλ-=--n n a p a ，构成等比数列，求}{λ-na 的通项公式，再求n a .7、倒数法：形如)()()(n h a n g a n f n n++，可取倒数后换元，变为q a p a n n +∙=-18.周期法：计算出前n 项，寻找周期精题自测(1)已知数列}{n a 满足)1(23-=n n a S ，则n a =_____________(2)已知数列}{n a 满足11=a ，n n n a a 21+=+，则n a =_____________(3)已知数列}{n a 满足11=a ，)11ln(1na a n n ++=+，则n a =_____________(4)已知数列}{n a 满足11=a ，n nn a a 21=+，则n a =_____________(5)已知数列}{n a 满足11=a ，0>n a ，0)1(1221=∙+-+++n n n n a a na a n ，则n a =____________(6)已知数列}{n a 满足11=a ，121+=+n nn a a a ，则n a =_____________(7)已知数列}{n a 满足31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，则2013a =_____________(8)已知数列}{n a 满足333313221na a a a n n =∙++∙+∙+- ，则n a =_____________（9）已知数列的前n 项积为2n ，则当≥n 2时，则n a =_____________求前n 项和nS 常用方法1、公式法：等差数列的前n 项和公式： 等比数列的前n 项和公式：①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ②⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na S n n nn )1(211+=∑=n n k nk∑=nk k 12=)12)(1(613212222++=++++n n n n 213)]1(21[+=∑=n n k nk 例1：已知3log 1log 23-=x ，求 +++++n x x x x 32的前n 项和.2、分组求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例2：求数列211，413，815，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 2112）（的前n 项和。
新版数列公式总结-新版
数列公式总结一、数列的概念与简单的表示法数列前 n 项和：对于任何一个数列，它的前 n 项和Sn 与通项 an 都有这样的关系：二、等差数列1.等差数列的概念台(1)等差中项：若三数 a 、A 、b 成等差数列(2)通项公式：an =a +(n-1)d=am+(n-m)d(3).前n 项和公式：2等差数列的.常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,P,q ∈N+), 则am+an=ag+ag自n}的公差为d,则：(2)单调性：i) d >0 ⇔白，}为递增数列；ii) d <0 ⇔A,} 为递减数列；ii) d =0 台白，}为常数列；(3)若等差数列(白，)的前n项和S,,则S、Sa-S、Sm-S…是等差数列。
三、等比数列1.等比数列的概念(3).前n 项和公式：2.等比数列的常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N+), 则am an=ap 码(2)单调性：a₁>0,q>1 或a<0,0<q<1={an} 为递增数列；a₁>0,0<q<1 或a<0,q>1={a}为递减数列；q =1={an}为常数列；q<0={an}为摆动数列；(3)若等比数列(a,)的前n项和S₁,则S、S₂-S₁、S-S…是等比数列.四、非等差、等比数列前n项和公式的求法(1)错位相减法(2)裂项相消法常见的拆项公式有：①②(3){分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组(4)倒序相加法一、等差数列公式及其变形题型分析：1. 设S 是等差数列{an}的前n 项和，若,则A. B C. D.2. 在等差数列{an}中，若a10o3+a1004+a1os+a106=18, 则该数列的前2008项的和为( ).A. 18072B.3012C. 9036D.120483. 已知等差数列{an}中，az+ag=16,a4=1, 则a12的值是( ).A.15B. 30C. 31D. 644. 在等差数列{an}中，3(a₂+a₆)+2(a₅+ao+as)=24, 则此数列前 13项之和为()A. 26B.13C.52D. 1565. 等差数列{an}中，ai+az+ag=-24,a18+ ag+a2o=78,则此数列前20项和等于( ).A. 160B.180C.200D.220二、等比数列公式及其变形题型分析：1. 已知{an}是等比数列，a2=2, , 则a ia₂+aza₃+ …+ anan+1=( ).A.16(1-4"B. 16( 1 — 2C. D.2. 已知等比数列{an}的前10项和为32,前20项和为56,则它的前30项和为3.在等比数列{an}中，若a₁+a₂+a₃=8,a₄+as+a₆=-4, 则a₁3+a₁4+a₁5=该数列的前15项的和S15=4.等比数列a,中，a₂=9,as=243,则(a,}的前4项和为()A.81B.120C.168D.1925. √②+1与√②-1,两数的等比中项是( )A.1B.-1C.±1D.6. 已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么是此数列的第( ) 项A.2B. 4C. 6D. 87.在等比数列{a,}中，若a₃=3,ag=75,则a₁三、数列求和及正负项的解题思路1. 两个等差数列则2求和：(a-1)+(a²-2)+ …+(a”-n),(a≠0)3.求和：1+2x+3x²+…+nx′14.已知数列{an}的通项公式an=-2n+11,如果b₁=an(n∈N)求数列6,}的前n项和。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
求数列的通项及绝对值的前n项和
求数列的通项及绝对值的前n 项和
例1、已知数列{}n a 的前n 项和是.322n n S n -=
（1）求数列的通项公式n a ．
（2）求数列{} n a 的前n 项和.n
S ' 分析：（1）利用n 项和公式和通项公式的关系求出n a 即可．
解：（1）当1=n 时，3111==S a ，当1>n 时 , .2331n S S a n n n -=-=- 1=n 时也满足.233n a n -=故.233n a n -=
分析：（2）由（1）n a 是首项为31的递减的等差数列，故数列的前16项大于0，从第17项开始，以后各项均小于0．当数列的各项加上绝对值之后，整个数列不再是等差数列．而变为两个不同的等差数列的组合．从原数列的第一项到第16项仍然是首项为31，公差为2的等差数列．从数列的第17项开始变为以1为首项，2为公差的等差数列．
解（2）当16≤n 时，;3322121n n a a a a a a S n n n
-=+++=+++=' 当16>n 时，216161817162132544)(n n S S S a a a a a a S n n n
+-=--=----+++=' ． 小结：本题需注意的是，当数列可以看做是几个数列组合而成时，在求数列的通项公式或前n 项和公式时注意数列一部分的项数与整个数列项数的关系．本题易误解为：当16≤n 时，;3322121n n a a a a a a S n n n -=+++=+++=' 当16>n 时，
2,1,2721716-=-==d a S 所以.22)1(271⨯-++='n n n S n
忽略了数列中的部分和数列整体的关系．。
等差数列1
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2, 5, n=1, 故 an= 6n-2, n≥2. (3)当 n=1 时, a1=S1=4; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=23n-1, 故 an= 4, n=1, 2∙3n-1, n≥2.
9n(n＋1) 例 3 已知 an＝ (n∈N*)，试问数列{an}中有没有最 n 10 大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
设数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，…
数列前n项和的意义:
我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列｛ an ｝ 的前n项和，记作Sn. 数列的前n项和Sn与an有何关系?
Sn=a1+a2+…+an= k a; =1 k S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1
n
注意能否合并
2.已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项 公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n+1.
解: (1) ①当 n=1 时, a1=S1=-1; ②当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, ③故 an=4n-5(nN*).
注：1、等差数列的通项变形公式： an=am+（n-m）· d (m,n∈ N*)
d an an 1
2、知三求一
an a1 d n 1
an am d nm
例3.已知数列的通项公式为an＝pn＋q 其中p，q 是常数，且p≠0，那么这个数列是否是等差数列？ 如果是，其首项与公差19, 12.5, 6, …, （-20）.
习题课精品：求通项公式
√A.2n＋1
B.2n
C.2n－1
D.2n－2
解析 因为Sn＝2an－4，所以Sn－1＝2an－1－4，
两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，
整理得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2，
因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，
所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列， 则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.
（Ⅱ）求数列an 的通项公式
第三种类型 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
练习：已知数列an 满足：
1 2
a1
1 22
a2
1 2n
an
2n 5，
则 an ____________
第三种类型 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
练得习对所：有设自正然数数数列n，{a有n}前tsnn项和t S2na，n ,存求在an正和数Snt.，使
求数列的通项方法
1、 由等差，等比定义，写出通项公式 2、 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n) 3、一阶递推,我们通常将 an1 pan q 其
化为 an1 A pan A 看成{bn}的等比数列
4、利用换元思想 5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出 通
项，用归纳法证明(不作要求） 6、已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退
相加得 an＝a1＋1－1n， 故 an＝4－1n.
1234
解析 答案
2.设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ __1_，S5＝_1_2_1_. 解析 a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3， 再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)，
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(3)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n －5； 又 n＝1 时，an＝4×1－5＝－1≠a1，
0，n＝1， ∴an＝4n－5，n≥2.
【变式训练】 2.由下列数列{an}的关系求数列{an}的通项公式， (1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)； (2)已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn＝2·5n－2.
解析： (1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…， a3－a2＝3，a2－a1＝2. 将上述各式累加得，an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，即 an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝nn2＋1， 故 an＝nn2＋1.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×5－2＝8. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·5n－2－2·5n－1＋2 ＝8·51.
由前n项和Sn，求通项公式an
1．已知数列的递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特点进行适当处理，有时 借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列，转化为等差数列或等比数列的通项问题．
2．由 an 与 Sn 的关系求 an
由 Sn 求 an 时，要分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论，然后验证两种情况
可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为 an＝
S1
n＝1
Sn－Sn－1 n≥2 .
根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)已知数列{an}满足 an＋1＝an＋3n＋2，且 a1＝2，求 an. (2)a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2)； (3)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－3n＋1.
解析： (1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2 ＝2＋32n－1×n＝n3n2＋1(n≥2)．
当 n＝1 时，a1＝12×(3×1＋1)＝2 符合公式， ∴an＝32n2＋n2. (2)∵an＝n－n 1an－1(n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2， … a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23…n－n 1＝an1＝1n.