高中必修第一册统编人教A版《1.5 全称量词与存在量词》优秀教学教案教学设计
第一章 集合与常用逻辑用语 1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
本课是高中数学第一章第5节，学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，理解起来可能不是很好理解。
否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。
以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。
1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；
2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。
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一、情景引入，温故知新
情景1：德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例．
情景2：我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件：
（1）所有学生都来自高二年级；
（2）至少有30名学生来自高二.一班；
（3）每一个学生都有固定表演路线.
结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词.
二、探索新知
本节课是在初中所讲命题的基础上讲解，学生对命题的了解较少。
学生对命题的否定的学习有较大的困难，学生会简单地认为，命题的否定就是否定结论。
应给学生强调全称量词命题、存在量词命题的否定，要先变量词，然后结论否定。
1.5.1全称量词与存在量词教学设计2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一
（高中数学）学科课时教学设计编号：课题名称全称量词与存在量词授课时间2023.10.10教师姓名梁志斌学生年级高一课时 1课程标准描述及分解《普通高中课程标准（2017年版2020年修订）》：“通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
”1.通过数学例题，掌握全称量词与存在量词的区别。
2.通过数学例题，能够判断一个命题是全称量词命题或存在量词命题。
3.通过数学例题，能够判断命题的真假。
教材内容分析本节内容选自《人民教育出版社A版数学必修第一册》第一章第五节第一课时，比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，然后看条件的特征得出全称量词命题及存在量词命题，从而判断命题的真假。
学情分析本章内容属于“预备知识”。
学生在初中阶段已经接触过命题，会判断命题的真假，上一节学习了充要条件的判断，对于逻辑用语有了一定的了解，所以学生学习本节内容还是比较感兴趣的，但是对于全称量词、存在量词是陌生的，因此会有较强的好奇心，可以抓住这一点，通过实例，让学生体会量词的含义。
学习目标1.能说出全称量词、全称量词命题的定义.2.能说出存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假重点会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题难点全称量词命题和存在量词命题真假的判定评价任务 1.学生能够判断命题是全称量词命题还是存在量词命题2.学生能够判断一个命题的真假导学过程师生活动设计设计意图及效果预设导（2分钟）情景导入：1 .“南使孤帆远，东风任意吹”多么美的诗情画意。
2 . 咱们会经常听到“全体起立”、“所有的同学都到了”、“有的同学没有交作业”、“存在不是有理数的实数”通过情景导入引入量词，进而引出含有量词的命题。
思(15分钟) 思考1：下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）有什么关系吗？（1）2x＋１是整数； (2)x＞３；(3)对所有的3,>∈xRx；(4)存在有一个,Rx∈使2x+1=3思考2：下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）有什么关系吗？（1）2x＋１=３； (2)x能被2和3整除；通过问题探究，使学生深入全称量词与全称量词命题的概念，培养数学抽象的核心素养。
151全称量词与存在量词(教学设计)-2021-2022学年高一数学(人教A版2019)
《全称量词与存在量词》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第五节《全称量词与存在量词》。
以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：第四节第五节课时内容充分条件与必要条件（共2课时）全称量词与存在量词（共2课时）所在位置教材第17页教材第26页新教材内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，教材主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。
全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。
核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，体现了数学抽象的核心素养；会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。
通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。
教学主线命题的真假判断本章内容属于“预备知识”。
学生在初中阶段已经接触过命题，会判断命题的真假，上一节学习了充要条件的判断，对于逻辑用语有了一定的了解，所以学生学习本节内容还是比较感兴趣的，但是对于全称量词、存在量词是陌生的，因此会有较强的好奇心，教师可以抓住这一点，通过实例，让学生体会量词的含义。
1.通过实例，理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词，培养学生的数学抽象核心素养；2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养；3.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。
重点：全称量词与存在量词的含义；难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假（一）新知导入1. 创设情境，生成问题在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢? 如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢? 他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.2. 探索交流，解决问题【问题1】（1） 文中理发师说:“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有的”这一词语,你还能用其他词语代替吗?（2）上述词语都有什么含义?[提示] （1）“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.（2） 表示某个范围内的整体或全部 【设计意图】通过问题的探究，引导学生思考“量词”在生活中的应用，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
新教材高中数学1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词教学案新人教A版必修第一册
1.5.1 全称量词与存在量词(教师独具内容)课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，并会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假．教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题的构成以及全称量词命题和存在量词命题真假的判定．教学难点：对全称量词命题与存在量词命题真假的判定．【知识导学】知识点一全称量词和全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做□01全称量词(universal02∀”表示．含有全称量词的命题，叫做□03全称量词命题(universal quantifier)，并用符号“□proposition)．04一切”“□05每一个”“□06任给”等．(2)常见的全称量词还有“□知识点二存在量词和存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做□01存在量词(existential02∃”表示．含有存在量词的命题，叫做□03存在量词命题quantifier)，并用符号“□(existential proposition)．04有些”“□05有一个”“□06对某些”“□07有的”等．(2)常见的存在量词还有“□【新知拓展】1．对全称量词和全称量词命题的理解(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．(2)有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．2．对存在量词和存在量词命题的理解存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个全称量词命题可以包含多个变量．( )(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )(3)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．( )(4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )(5)四边形的内角和是360°是全称量词命题．( )答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．(2)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)．(3)若命题“∀x∈{x|x>3}，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．答案(1)有些存在(2)全称量词(3)a≤3题型一全称量词命题与存在量词命题的判断例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)存在实数x，满足x2≥2；(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．[解](1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.(3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直．(4)是存在量词命题，∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．金版点睛判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．[跟踪训练1]判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形都是正方形；(3)有些素数的和仍是素数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．解(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)可以改写为：所有的矩形都是正方形，故为全称量词命题．(3)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x21<x22；(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.[解](1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题．(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．金版点睛全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题．[跟踪训练2] 判断下列命题的真假． (1)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (2)末位是零的整数，可以被5整除； (3)有些整数只有两个正因数； (4)某些平行四边形是菱形．解 (1)因为2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．(4)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．题型三 含有量词的命题的应用 例3 ∃a ∈Z ，使关于x 的分式方程2x －1＋a1－x＝4的解为正数，且∀y ＜－2，关于y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋23－y 2＞1，2(y －a )≤0成立．求符合条件的a 的值．[解] 分式方程2x －1＋a 1－x ＝4的解为x ＝6－a 4且a ≠2，∵关于x 的分式方程2x －1＋a1－x＝4的解为正数，∴6－a4＞0且a ≠2，∴a ＜6且a ≠2.⎩⎪⎨⎪⎧y ＋23－y 2＞1， ①2(y －a )≤0， ②解不等式①，得y ＜－2；解不等式②，得y ≤a .∵关于y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋23－y 2＞1，2(y －a )≤0的解集为y ＜－2，∴a ≥－2.∴－2≤a ＜6且a ≠2.∵a 为整数，∴a ＝－2，－1,0,1,3,4,5. 金版点睛应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型(1)全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[跟踪训练3] 已知∃a ∈Z ，使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －12＜1＋x 3，5x －2≥x ＋a有且只有四个整数解，且使关于y 的方程y ＋a y －1＋2a1－y＝2的解为非负数，求符合条件的a 的值． 解 根据题意，解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ≥a ＋24，∵不等式组有且只有四个整数解，∴0＜a ＋24≤1，解得－2＜a ≤2；解分式方程，得y ＝2－a ，∴2－a ≥0，解得a ≤2，∴a ＝－1或0或1或2，但当a ＝1时，分式方程的解y ＝1是增根，∴a ＝－1,0和2.1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析 D 选项是存在量词命题．2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3 答案 C解析 “∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． 4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤8解析 ∵对任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立； (3)每个二次函数的图象都与x 轴相交． 解 (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ， 使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题．(3)全称量词命题，假命题． 如存在y ＝x 2＋x ＋1与x 轴不相交．。
教学设计3：1.5 全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词教学目标1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.教学知识梳理知识点1全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.教学思考全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M 是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.知识点2存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.(2)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.教学思考(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.()(2)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略.()(3)存在量词命题“∃x0∈R，x20＜0”是真命题.()提示(1)命题中含有存在量词“有些”，所以是存在量词命题，故(1)正确.(2)在存在量词命题中，量词不能省略，有些全称量词命题的量词可以省略，即(2)错误.(3)因为∀x∈R，x2≥0，所以命题“∃x0∈R，x20＜0”是假命题，即(3)错误.【答案】(1)√(2)×(3)×课堂互动题型一 全称量词与全称量词命题【例1】 试判断下列全称量词命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋2>0；(2)∀x ∈N ，x 4≥1；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 4≥1”是假命题.(3)由于∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1”是真命题. 规律方法 判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真，则全称量词命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称量词命题为假.【训练1】 试判断下列全称量词命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解 (1)由于0∈R ，当x ＝0时，x 2＋1≥2不成立，所以“∀x ∈R ，x 2＋1≥2”是假命题.(2)当直线的倾斜角为π2时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. (3)无论底数a >1或是0<a <1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二 存在量词与存在量词命题【例2】 判断下列存在量词命题的真假：(1)∃x 0∈Z ，x 30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)∃x 0∈R ，cos x 0＝π2. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x 0∈Z ，x 30<1”是真命题.(2)真命题，如梯形.(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义. (4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1，1]，而π2>1， ∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2， ∴“∃x 0∈R ，cos x 0＝π2”是假命题. 规律方法 判定存在量词命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，则存在量词命题为真，否则命题为假.【训练2】 试判断下列存在量词命题的真假：(1)∃x 0∈Q ，x 20＝3；(2)∃x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；(3)∃x 0∈R ，tan x 0＝1；(4)∃x 0∈R ，lg x 0＝0.解 (1)由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x 0∈Q ，x 20＝3”为假命题.(2)因为x 0>0，y 0>0，所以x 20＋y 20>0，所以“∃x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0”为假命题.(3)当x 0＝π4时，tan π4＝1，所以“∃x 0∈R ，tan x 0＝1”为真命题. (4)当x 0＝1时，lg 1＝0，所以“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”为真命题.方向1 根据存在量词命题的真假求参数的取值范围【例3－1】 若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，求实数a 的取值范围.解 由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，∵x 20＋1>0， ∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x 0， 当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2， ∴0＞－2x 0＋1x 0≥－1，当x 0<0时，x 0＋1x 0≤－2， ∴0＜－2x 0＋1x 0≤1， ∴－2x 0＋1x 0的最大值为1. 又∵∃x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立，∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).方向2 根据全称量词命题的真假求参数取值范围【例3－2】 若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.解 ①当m ＋1＝0即m ＝－1时，原不等式为2x －6<0，不恒成立.②当m ＋1≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，Δ＝（m －1）2－4（m ＋1）·3（m －1）<0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311. 规律方法 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.【训练3】 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ：1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)由1－sin 2x ＝sin x －cos x ， 得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ， ∴（sin x －cos x ）2＝sin x －cos x ，即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，∴sin x ≥cos x .结合三角函数图象得，2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，此即为所求x 的取值范围. 课堂达标1.下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3【解析】①③是全称量词命题.【答案】C2.下列命题中，不是全称量词命题的是( )A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数【解析】D 选项是存在量词命题.【答案】D3.下列存在量词命题是假命题的是( )A.存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B.存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数【解析】对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立. 【答案】B4.下列命题中，既是真命题又是存在量词命题的是( )A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0B.存在实数x 0，使sin x 0＝π2C.对一切α，sin(180°－α)＝sin αD.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】含有存在量词的命题只有A ，B.当α0＝45°时，tan(90°－α0)＝tan 45°＝tan α0；而sin x 0≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故选A. 【答案】A5.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos x <1，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∨(q ) C.( p )∧q D.p ∧(q )【解析】当x 0<0时，2x 0<3x 0不成立，∴p 为假命题，p 为真命题，而x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，cos x <1成立，∴q 为真命题. 【答案】C课堂小结1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.3.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.。
1.5.1全称量词与存在量词教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修一
普通高中新课程新教材优秀课例教学资源教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题《1.5 全称量词与存在量词》教科书人教 A 版（2019年）数学必修第一册一、教学内容及其解析1.内容全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题；全称量词命题和存在量词命题的否定.本单元内容可分为 2 课时完成：第 1 课时，全称量词与存在量词；第 2 课时，全称量词命题与存在量词命题的否定.2.内容解析(1)内容的本质：常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言.量词就是对变量的取值范围进行限定的短语，全称量词和存在量词是数学中常用的两类量词，是表达数学命题的基本语言．含有全称量词的命题叫做全称量词命题，含有存在量词的命题叫做存在量词命题，全称量词命题和存在量词命题的符号表示具有形式化、抽象化特点；全称量词命题和存在量词命题之间相互关联.(2)蕴含的数学思想和方法：在用数学的语言表达和交流所研究的数学对象时，积累数学抽象的经验．全称量词与存在量词教学中蕴含着特殊与一般、转化与化归思想.(3)知识的上下位关系：“全称量词与存在量词——全称量词命题和存在量词命题——全称量词命题和存在量词命题的否定”，其中，全称量词与存在量词是原始概念，“全称量词和存在量词”确定全称量词命题与存在量词命题概念的外延，而“全称量词命题和存在量词命题的否定”是在全称量词命题与存在量词命题的基础上得到的与原命题真假相反的新的命题．(4)育人价值：中学数学是由概念、定义、公理、定理、法则及其应用等组成的逻辑体系.在理解数学概念、数学命题时，全称量词与存在量词和数学命题的形式化常伴其中，进行判断和推理时，必须理解清楚它们的含义，遵循逻辑规律，否则，就会犯逻辑错误.掌握全称量词与存在量词的知识，对于深刻领会中学数学教学内容、提升学生的数学抽象、逻辑推理核心素养，有着重要的意义和作用.二、教学目标及其解析1.教学目标(1)理解全称量词的意义.掌握全称量词命题的含义、表示及判定命题真假的方法；(2)理解存在量词的意义.掌握存在量词命题的含义、表示及判定命题真假的方法；(3)理解全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”；(4)理解存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”；(5)能使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升数学抽象、逻辑推理素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）对一些含有变量的陈述句，能够认识全称量词和全称量词命题，能够掌握对全称量词命题的真假性的判断方法，即判断全称量词命题为真命题，需要对每一个变量，语句 p(x)都成立；判断为假命题，只需要找到一个反例，使语句 p(x)不成立；（2）对一些含有变量的陈述句，能够认识存在量词和存在量词命题，能够掌握对存在量词命题的真假性判断的方法，即判断存在量词命题为真命题，只需要找到一个或证明存在使语句 p(x)成立的变量；判断为假命题，需要证明对每一个变量，语句 p(x)都不成立；（3）通过分析典型的全称量词命题，能够写出全称量词命题的否定，理解全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”，体会两种命题之间的关系；（4）通过分析典型的存在量词命题，能够写出存在量词命题的否定，理解存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”，体会两种命题之间的关系；（5）通过使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会并能说明常用逻辑用语在表达数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的逻辑性和准确性，逐步提升逻辑推理素养.三、教学重难点教学重点：1.理解全称量词命题和存在量词命题的意义．2.掌握全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律．教学难点：1.正确地判断全称量词命题和存在量词命题的真假．2.正确地对含有一个量词的命题进行否定．四、教学问题诊断分析学生在学习数学符号的过程中存在一定的困难，这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂性，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征，对学生比较困难.主观因素在于理解数学符号表述含义的困难，这个困难不仅是对量词概念的理解还包括命题中所含的其他数学符号的含义.教师引导学生辨析很有必要.教师引导学生获得对问题本质的认识是具有挑战性的教学活动.所以企图在一节中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们.教学中，教师要采取适当的方法启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把定义告诉学生.注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动，引导学生总结判断全称量词命题与存在量词命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上.要防止练习中知识的面太大产生负迁移而影响理解概念的本质.全称量词命题和存在量词命题的否定是本单元的重点，也是一个难点.学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，逻辑推理能力有待进一步提升.在教学中应以学生探究为主进行学习，注意全称量词与存在量词之间的相互转化，否定词是学生容易忽略的，教师要加强引导，从意义上理解命题的否定.五、教学支持条件分析1.知识支持：在初中，学生已经无意识地接触过全称量词命题和存在量词命题，比如常见的数学结论：如同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等；同弧所对的圆周角是圆心角的一半等等，这些都为我们今天系统地学习全称量词命题和存在量词命题的概念、符号表示和命题的否定提供了知识上的支持.2.技术支持：利用网络平台在课前检测、学生阅读课本后交流认识、课堂检测等环节中，由教师给出问题或者测试题，让学生回答或者解答，再由教师给出评价.六、教学过程第一课时 1.5.1 全称量词与存在量词（一）课时教学内容全称量词与存在量词（二）课时教学目标(1)通过具体实例，理解全称量词和存在量词的意义；(2)掌握常见的全称量词和存在量词及其符号语言，发展数学抽象核心素养；(3)通过类比全称量词及全称量词命题学习存在量词及存在量词命题，发展类比思想；(4)掌握判断命题真假的方法，可以用集合语言和逻辑用语表达，提升逻辑推理素养.（三）教学重点与难点(1)教学重点：全称量词命题的含义、表示以及判定全称量词命题真假的方法；存在量词命题的含义、表示以及判定存在量词命题真假的方法.(2)教学难点：提炼语句中的量词，把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题的形式；准确判断全称量词命题和存在量词命题的真假．（四）教学过程设计教学学习活动及评价环节情境导入:国庆期间，小明同学和爸爸妈妈爷爷奶奶一家人跟着旅行团来到了游乐场，成员信息如下表：姓名性别年龄（岁）身高（cm）体重（kg）小明男511219小明爸爸男3318885小明妈妈女3216360小明奶奶女6316258问小明爷爷男6518290题乐园中有很多有趣的项目，为了获得更好的游玩体验，要仔细研究游玩规则哦：引思考 1：细心的小明发现游乐场中的水上项目都要求年龄在60岁以内，你能说一说，入小明爷爷能玩的水上项目么?师生活动：学生通过之前研究空集时得到的结论容易发现，回答是没有！即所有的水上项目，小明爷爷都不能玩.教师引导学生转化意思，注意“所有”一词的使用.【设计意图】通过具体情境让学生感受全称量词在实际生活中的使用.基于此，小明通过寻找发现，儿童碰碰车项目没有限制.思考 2：我们是否可以说：有一个项目，小明爷爷可以玩?师生活动：容易发现，这句话是正确的。
高中数学人教版(新教材)必修1教学设计1：1.5 全称量词与存在量词
1.5 全称量词与存在量词教材分析本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，然后看条件的特征得出全称量词命题及存在量词命题，从而判断命题的真假；然后归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.教学目标与核心素养课程目标1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.数学学科素养1.数学抽象：全称量词命题、存在量词命题与全称量词命题的否定与存在量词命题的否定的理解；2.逻辑推理：通过实例得出全称量词命题、存在量词命题含义，并通过两者的联系与区别得出全称量词命题与存在量词命题的否定；3.数学运算：关于命题真假的判断；4.数据分析：含有一个量词的命题的否定；5.数学建模：通过对全称量词命题、存在量词命题概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。
教学重难点重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、问题导入：下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x ＋１是整数；（2）x ＞３；（3）对所有的3,∈>x x R ；（4）对任意一个21,∈+x x Z 是整数.（5）至少有一个,∈x x Z 能被2和3整除；（6）存在有一个,∈x R 使2x +1=3要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1.什么是全称量词？常见的全称量词有哪些？怎样表示全称量词命题？2.什么是存在量词？常见的存在量词有哪些？怎样表示存在量词命题？3.什么是命题的否定？4.怎样表示全称量词命题的否定？5.怎样表示存在量词命题的否定？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。
高中数学新课标人教A版必修第一二册教学方案〖全称量词与存在量词示范教学方案〗
《151 全称量词与存在量词》教学设计1．通过对一些语句与命题之间关系的分析，抽象出全称量词，全称量词命题，存在量词，存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过具体问题的分析解决，掌握判断全称量词命题、存在量词命题真假的方法，在这个过程提升逻辑推理、直观想象素养．教学重点：全称量词和存在量词的意义；教学难点：判断全称量词和存在量词命题的真假．3>x 12+x 3>x 12+x 3>x 12+x 3>x 12+x ∀x),(),(),(x r x q x p x M M x )(x p )(,x p M x ∈∀012>+x x 2x ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆课前准备 ◆教学过程)(,x p M x ∈∀”，“”指的是R ，“012>+x ”指的是“所有无理数”，“2x ”指的是“所有一元二次方程”，“0112>≥+x 012>+x 22)2(2=x 2x 012=++x x 中的每一个，)(,x p M x ∈∀中存在一个0，使得)(,x p M x ∈∀312=+x x312=+x x x x ∃M x )(x p )(,x p M x ∈∃x 012=+x x 2x 012>+x 012=+x x 012=+x 12+223)12(2+=+x 2x 中存在一个0，使得)(,x p M x ∈∃中每一个，)(,x p M x ∈∃研究思路体现了研究一个概念的基本路径：具体例子→形成概念→表示→判断．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生对全称量词、存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题有一个整体的认知，并进一步总结它们的研究思路．作业布置：教科书第28页练习第1，2题；习题15第1，2题．（五）目标检测设计1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．（1）对所有的实数a，b，关于的方程a＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）至少有一个偶数是素数；x+<．（4）存在∈R，使210设计意图：考查全称量词与存在量词的意义，全称量词命题和存在量词命题的概念、符号表示及真假判断．2．（1）将语句“∈Z（整数集）”修改成全称量词命题，并使得该命题为真命题．（2）将语句“a能被2整除”修改成存在量词命题，并使得该命题为假命题．设计意图：考查全称量词命题与存在量词命题的概念及其真假判断的方法．参考答案：1．（1）全称量词命题；∀a，b∈R，关于的方程a＋b＝0恰有唯一解；假命题；因为当0,0≠=b a 时，方程无解，所以其为假命题；（2）全称量词命题；∀的矩形都是平行四边形；真命题；根据矩形的定义可知其为真命题；（3）存在量词命题；x ∃是偶数，x 是素数；真命题；2是偶数，2也是素数，所以“至少有一个偶数是素数”是真命题；（4）存在量词命题；x ∃∈R ，使012<+x ；假命题；因为“∀∈R ，012>+x ”，所以为假命题．2．（1）对于x ∀，∈Z ，∈Z ；（2）∃奇数a ，a 能被2整除．。
1.5全称量词与存在量词教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
现在，我想请大家思考一下，全称量词的意义是什么？它有什么特点？同学们可以举手回答。好的，我来听听你们的答案。
4.讲解存在量词
接下来，我们来讲解存在量词。存在量词表示在某一集合内至少存在一个元素满足某个条件。例如，存在量词可以表示为“存在一个x属于实数集，使得x^2小于0”。这意味着在实数集中，至少存在一个数的平方小于0。同学们，你们能理解这个概念吗？
2.辅助材料：准备与全称量词与存在量词相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以便于学生更直观地理解和掌握全称量词与存在量词的概念和运用。
3.实验器材：如果课程中涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性，如计算器、纸张、笔等，以便学生能够进行实验操作和观察实验结果。
4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如在教室中设置分组讨论区，以便学生能够进行小组讨论和合作学习；同时，如果需要进行实验操作，设置实验操作台，以便学生能够安全地进行实验。
-视频资源：观看数学讲座或教学视频，如网易公开课、腾讯课堂等平台上的相关课程，以便学生更直观地理解全称量词与存在量词的概念和运用。
2.拓展要求：
-学生自主学习：鼓励学生在课后时间进行自主学习和拓展，通过阅读材料、观看视频资源等方式，进一步巩固和拓展所学的知识。
-提出疑问：学生在自主学习和拓展过程中，如有疑问，可以随时向教师请教，教师将提供必要的指导和帮助。
-全称量词与存在量词的运用：学生需要学会如何运用全称量词和存在量词进行命题的表述和证明，并能解决实际问题。
2.教学难点：
-全称量词与存在量词的直观理解：学生可能对于全称量词和存在量词的概念感到抽象，难以理解其含义和运用。
-全称量词与存在量词的逻辑推理：学生可能对于如何运用全称量词和存在量词进行逻辑推理感到困惑，难以掌握推理的方法和技巧。
人教A版高一上-1.5 全称量词与存在量词教案讲义
命题为存在量词命题
5、全称量词命题和存在量词命题的不同表述方法
命题
全称量词命题“ ”
存在量词命题“ ”
表述方法
（1）所有的 成立
（2）对一切 成立
（3）对每一个 成立
（4）任意一个 成立
（5）凡 ，都有 成立
（1）存在 ，使 成立
（2）至少有一个 ，使 成立
一、知识点讲解
1、全称量词命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑短语中通常叫做全称量词，并用
符号 表示。含有全称量词的命题叫做全称量词命题。如：任意一个实数除以1，仍等于这个实数；所有的公民都应该遵守法律。
将含有变量x的语句用 表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个 成立”可用符号记为：
（3）所有的正方形都是矩形
（4）四边形的内角和等于360°
2、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”
表述出来
（1）任何一个实数除以1，仍等于这个实数
（2）有一个奇数不能被3整除
（3）每个三角形至少有两个锐角
（4）存在负数x，使得
3、判断下列命题的真假
（1）
（2）
（3）
（4）
一个x，使 成立；要判断它为假，需要判断“ 不成立”。
7、全称量词命题和存在量词命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称量词命题
对M中任意一个x，有 成立
存在量词命题
存在M中的一个x，使 成立
二、例题精讲
1、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题
（1）梯形的对角线相等
全称量词和存在量词教案
全称量词和存在量词教案以下是一份关于全称量词和存在量词的教学教案：一、教学目标1. 让学生理解全称量词和存在量词的概念。
2. 能够正确使用全称量词和存在量词表述命题。
3. 通过实例培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重难点1. 重点：全称量词和存在量词的含义与运用。
2. 难点：理解含有全称量词和存在量词的命题的真假判断。
三、教学准备多媒体课件。
四、教学过程师：同学们，今天我们来学习一个新的内容，全称量词和存在量词。
那什么是全称量词呢？大家来看这个例子，“所有的正方形都是矩形”，这里的“所有的”就是一个全称量词。
谁能再举个例子呀？生：“所有的三角形内角和都是 180 度。
”师：非常好！那存在量词又是什么呢？比如“存在一个实数 x，使得x^2=1”，这里的“存在一个”就是存在量词。
谁再来举个例子？生：“存在一个质数是偶数。
”师：不错。
那我们来练习一下，用全称量词或存在量词改写这些命题。
比如“平行四边形的对角线互相平分”。
生：“所有平行四边形的对角线互相平分。
”师：很好。
那“方程 x^2-5x+6=0 有实数根”呢？生：“存在实数 x，使得方程 x^2-5x+6=0 有实数根。
”师：下面我们来探讨一下怎么判断含有这些量词的命题的真假。
大家思考一下这个命题“所有的实数 x，都有x^2≥0”是真还是假呀？生：真。
师：对啦。
那“存在一个整数 x，使得x^2+1=0”呢？生：假。
师：非常棒！大家理解得很不错。
五、教学反思通过这节课的教学，学生对于全称量词和存在量词的概念有了较好的理解，能够正确运用它们表述命题，在判断命题真假方面也掌握得较好。
但在一些复杂情境中，学生可能还需要更多练习来巩固。
在今后的教学中，可以增加更多实例，帮助学生深入理解和应用。