二次规划基本介绍
最小化约束的名词解释
最小化约束的名词解释在数学和工程领域中，最小化约束是一种优化问题的形式化描述，旨在寻找满足特定条件的最小值或最佳解的方法。
最小化约束常常出现在许多实际问题中，例如经济规划、机器学习、网络优化等领域。
一、最小化约束的基本概念最小化约束的核心思想是通过对变量的限制条件进行约束，找到满足约束条件下的最优解。
在数学上，常常使用约束条件来限制可行解空间，从而减少问题的搜索范围，提高求解效率。
最小化约束问题一般由两部分组成：目标函数和约束条件。
目标函数是需要优化的目标，可以是一个标量或者向量。
约束条件则是对变量的限制条件，可以是等式或者不等式形式。
最小化约束问题的数学描述可以表示为如下形式：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0, h(x) = 0其中，f(x)表示目标函数，x为变量向量；g(x) ≤ 0表示不等式约束条件，h(x) = 0表示等式约束条件。
求解最小化约束问题的目标是找到一个使得目标函数最小化的变量值，并满足约束条件的最优解。
二、最小化约束的求解方法为了解决最小化约束问题，可以采用多种求解方法。
下面介绍其中几种常用的方法。
1.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）拉格朗日乘子法是一种常用的最小化约束问题的求解方法。
该方法将约束问题转化为无约束问题，通过引入拉格朗日乘子，构建拉格朗日函数，并求解该函数的驻点来得到最优解。
2.线性规划法（Linear Programming）线性规划法是一种针对线性目标函数和线性约束条件的最小化约束问题的求解方法。
它通过对目标函数和约束条件进行线性化，将问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法来求解最优解。
3.非线性规划法（Nonlinear Programming）非线性规划法适用于目标函数和约束条件为非线性形式的最小化约束问题。
这种方法基于目标函数和约束条件的非线性性质，通过引入适当的优化算法来求解最优解。
二次规划
从一个准互补基本可行解到另一个准互补基本可 行解的转换，直至得到互补基本可行解。 初始解：人工变量为进基变量，选离基变量使之 成为准互补基本可行解。
z0 max{ qi | i 1,...., m n} qs z 0, w q ez0 q eqs 0
主元选择规则：
若wi(zi)离基，则zi(wi)进基。 离基变量按最小比值原则选取。
用Lemke方法求解：
2 min f ( x) x12 x1 x2 2 x2 x1 10 x2
3 x1 2 x2 x 0 s.t. 1 x2 0
w1 9 w2 0 w 3 16 z1 0 z 2 0 z3 0 z 10 0
x L ( x, ) 0 L ( x, ) 0
Q R H A : R S A 0
T T 1
H AT x c 0 b A
x Qc R T b
可行下降方向
若x点的某一方向 ， d 则称d为x的可行下降方向。
既是该点的可行方向， 又是该点的下降方向
§5.5.1 Zoutendijk（约坦狄克）可行 方向法
I. 线性约束情形 II. 不等式约束情形 III.一般约束情形
待解决的问题
搜索方向的确定
搜索步长的确定 初始点的确定
线性约束情形
6
0 0 26 / 5 0 9/5 0 14 / 5
0 0 0 13 / 14 33 / 14 0 3/ 2
凸优化问题的二次规划算法研究
凸优化问题的二次规划算法研究第一章引言1.1 研究背景凸优化问题是数学规划中的一个重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。
在实际问题中，许多优化问题可以转化为凸优化问题，而二次规划是一类重要的凸优化问题。
二次规划在实际应用中具有广泛的需求和重要性，因此研究二次规划算法具有重要的理论和应用意义。
1.2 研究目的本文旨在对凸优化问题中的二次规划算法进行深入研究和分析，探讨其数学原理和求解方法。
通过对不同算法进行比较和评估，为实际应用提供可行性和可靠性。
第二章二次规划基本概念2.1 二次规划定义对于一个凸函数f(x)和一组线性等式约束g(x)，满足约束条件下求解以下形式目标函数最小值：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 02.2 函数形式在实际应用中，目标函数f(x)通常是一个多项式，并且约束条件g(x)可以是一组线性等式或不等式。
第三章二次规划求解方法3.1 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解二次规划问题的方法。
通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为求解一个无约束优化问题。
3.2 内点法内点法是一种高效的求解二次规划问题的方法。
通过将约束转化为罚函数，将原问题转化为一个无约束优化问题。
第四章二次规划算法比较4.1 拉格朗日乘子法 vs 内点法比较拉格朗日乘子法和内点法两种常用的二次规划算法。
从理论和实际应用角度比较两种算法的优劣，分析其适用场景和效率。
4.2 其他相关算法介绍其他一些与二次规划相关的算法，如梯度下降、牛顿迭代等。
分析这些算法与传统方法之间的差异和优劣，并探讨其在实际应用中的适用性。
第五章二次规划在实际应用中的案例分析5.1 工程优化设计以工程设计中常见的最小成本、最大效益等目标函数为例，分析二次规划在工程优化设计中的应用。
5.2 金融投资组合优化以金融投资组合优化为例，分析二次规划在金融领域中的应用。
通过构建合适的目标函数和约束条件，实现最优的投资组合。
烟台市城市轨道交通项目建设规划二次公示简本
烟台市轨道交通建设规划（2016-2022年）及线网规划环境影响报告书（简本）评价单位：中海环境科技（上海）股份有限公司建设单位：烟台市轨道交通有限公司2016年1月1、规划方案概述根据《烟台市轨道交通线网规划》，烟台市城市轨道交通线网远景线网方案由4条线组成，总规模约为200公里。
分为两个功能层次，1、3号线为中心区骨干线，服务于芝罘、开发区、莱山和福山4大组团，属于大运量系统。
2、4号线为快线，分别服务于八角、牟平东西两翼与中心区之间的快速联系，属中运量系统。
《烟台市轨道交通建设规划（2016-2022年）》主要包括2条线路，分别为1号线、3号线。
项目总规模约为87km，共设车站69座。
2、环境影响评价主要结论2.1声环境影响分析与评价从声环境保护的角度，部分高架线周围分布着噪声敏感建筑物，须采取道床减振、设置声屏障等综合环境保护措施降低轨道交通对沿线声环境敏感区的影响。
只要在设计阶段合理选择设备的位置、型号，并辅以风道消声器及隔声措施，风亭、冷却塔噪声可控制到可接受水平。
车辆段与停车场内检修、洗车等作业噪声，只要合理布局，厂界噪声一般可满足2类区厂界标准。
2.2振动环境影响分析与评价（1）虽然地下线路的振动影响较突出，且沿线的既有或规划敏感建筑相对集中，但由于地铁振动的污染振动治理措施较为成熟，在规划实施中可根据沿线建设情况对待开发区域轨道交通线路两侧进行空间用地控制，必要时根据具体振动影响的程度选择相应的治理措施，轨道交通振动影响一般不会成为建设规划实施的制约因素。
（2）二次结构噪声源于轨道交通车辆与轨道的振动，降低轨道交通振动就可以相应减轻二次结构噪声影响，采取浮置板道床、弹性短轨枕等减振等措施也可以从根本上减轻二次结构噪声影响。
2.3地表水环境影响分析与评价（1）本规划实施期间，施工期污水主要来自轨道工程实施过程中产生的生产污水、生活污水及由地表径流导致的污染物入渗；轨道交通运营期污水主要来自于沿线车站、控制中心、停车场和车辆段排放生产废水和生活污水。
二次规划ppt课件
• 满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域
2
线性规划与非线性规划
• 非线性规划(Nonlinear Programming)
• 非线性规划的数学模型可以表示为
min f x
xRn
s.t. gi x 0 i hj x 0 j
• 在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的 • 当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题，
0
优化问题无界或者不可行
• output.a lgorithm
output.iterations
优化算法类型 算法的迭代次数
• lambda.ineqlin
不等式约束的乘子
lambda.eqlin
等式约束的乘子
14
lambda.lower / upper 变量下界和上界
案例分析
• 假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 ri 的预期收益均值为 i E ri ，
• 在满足收益率条件下最小化风险模型：
min f x 1 xTQx 2
2 s.t. uT x M
4
xi 1, x 0
1
16
案例分析
Q 社保债券 技术交易中心 管理咨询中心 游乐中心 预期收益
社保债券 2 0.4 0.1 0 7
技术交易中心 管理咨询中心
0.4
0.1
4
3
3
6
-1
1
8
10
游乐中心 0 -1 1 10 14
方差
2 iBiblioteka Erii2
表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度
• 令 xi 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 x x1, x2, x3, x4 T表示一个
规划数学最优性条件及二次规划
判别条件
D 若
是 X (0) 的任一可行方向，则有 g j (X ) (0) T D 0, j J (X (0) ) (1)
3 下降方向 定义:
X (0) R, 0, [0,0] 时有 f (X (0) D) f (X (0) ) 称 D 为X (0)处的下降方向
判别条件
若 D 是 X (0) 的任一下降方向，则有 f ( X (0) )T D 0 (2) 若 D 既满足（1）式又满足（2）式则称 D 为 X (0)的下 降可行方向
*) 2*g2 ( X 1*g1( X *) 0 2*g2 ( X *) 0
*
)
3*g3
(
X
*
)
0
3*g3 ( X *) 0
1*, 2*, 3* 0
1
0
1*
3(1 x1* 1
)2
2*
1 0
3*
0 1
0 0
1*[(1 x1*)3 x2*] 0 2* x1* 0
(2)
x2
3, 1
1 6
X (0, 3)T 是K-T点
(iii)
1
0, 2
0
( 3),( 4 )
x12
x1
x22 x2
9 1
T
X
1
2
17
1 17 2
, 或X
1 17 2
(1) (2) 21(x1 x2 ) 1 2x1 (6)
T
1 17 2
将求出的 1 17 1 17 T
p
处起作用（紧）约束的下标集
记 R=X g j (X ) 0 j 1,..., p 或 R=X g j (X ) 0 j 1,..., p;hi (X ) 0,i 1,..., m
解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法
解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题中。
在SVM的训练过程中，二次规划问题是关键步骤之一，它的解决方法对于SVM的性能和效率具有重要影响。
本文将解读支持向量机中的二次规划问题与求解方法。
一、SVM的基本原理SVM的目标是找到一个超平面，将不同类别的样本分开。
超平面的选择是基于最大间隔原则，即使得样本点到超平面的距离最大化。
为了实现这一目标，SVM将问题转化为一个二次规划问题。
二、二次规划问题的定义给定一组线性约束条件和一个二次目标函数，二次规划问题的目标是找到一组变量的取值，使得目标函数最小化或最大化，同时满足线性约束条件。
在SVM中，二次规划问题的目标是最小化一个二次函数，同时满足一组线性不等式约束。
三、二次规划问题的形式在SVM中，二次规划问题的形式如下：minimize 1/2 * x^T * Q * x + p^T * xsubject to G * x <= hA * x = b其中，x是待求解的变量，Q是一个正定矩阵，p是一个向量，G是一个矩阵，h是一个向量，A是一个矩阵，b是一个向量。
四、求解二次规划问题的方法针对SVM中的二次规划问题，有多种求解方法。
常用的方法包括序列最小最优化（Sequential Minimal Optimization，简称SMO）、内点法等。
1. 序列最小最优化（SMO）SMO是一种迭代的优化算法，通过每次选择两个变量进行优化，并固定其他变量，来求解二次规划问题。
SMO算法的核心思想是将原问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来逐步逼近原问题的最优解。
SMO算法具有较好的收敛性和高效性，因此在SVM中得到了广泛应用。
2. 内点法内点法是一种基于迭代的优化算法，通过在可行域内搜索最优解来求解二次规划问题。
内点法的核心思想是通过引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，从而将原问题转化为一个无约束的优化问题。
二次规划基本介绍
二次规划基本介绍二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是数学规划的一种特殊形式，它的目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。
在实际应用中，二次规划被广泛应用于经济学、运筹学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。
二次规划的一般形式可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\\text{s.t.} \quad & Ax \ge b \\&Cx=d\end{aligned}$$其中，$x$是优化变量，$Q$是一个对称正定的矩阵，$c$、$b$、$d$都是列向量，$A$、$C$是约束矩阵。
在约束条件中，$Ax \ge b$表示一组不等式约束，$Cx = d$表示一组等式约束。
二次规划的优化目标是寻找满足约束条件的$x$，使得目标函数最小。
目标函数由两部分组成，一部分是二次项，一部分是线性项，其中$Q$是二次项的系数矩阵，$c$是线性项的系数向量。
由于$Q$是一个对称正定矩阵，所以二次项是凸的，使得问题具有良好的性质。
二次规划的解法有多种方法，以下介绍其中两种常用的方法：内点法和激活集方法。
内点法是一种迭代求解二次规划问题的方法。
它通过将二次规划问题转化为一系列等价的线性规划问题来求解。
在每一次迭代中，内点法通过将问题的方向限制在可行域的内部，逐渐逼近最优解。
使用内点法求解二次规划问题的一个优点是，可以在多项式时间内找到最优解，尤其适用于大规模的问题。
激活集方法是一种基于约束的求解方法。
它通过不断修改约束条件，从而求解二次规划问题。
在每一次迭代中，激活集方法选取一个子集，称为“激活集”，包含满足等式约束、不等式约束等的约束条件。
然后通过解析方法或数值方法求解这个子问题，得到对应的最优解。
该方法的优点是，可以很好地处理不等式约束和等式约束，并且收敛性良好。
除了内点法和激活集方法，还有其他的求解方法，如：序列二次规划、信赖域算法、光滑方法等。
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BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
（10）基本可行解： 满足非负条件的基本解称为基本可行解。
x (xB ,0)
（xB 0 ）
（11）退化基本解：基本解中至少一个分量为0时这解称为退化基本解。
i xB 0 （i 0 ）
（12）非退化基本解：基本解中没有基本变量为0时，这解称为退化基本解。
i xB 0 （i 1 ， 2， , m）
二次规划：等式约束问题
二次规划：不等式约束问题的有效集法
1 k min( f (x ( k 1) ) f (x ( k ) )) min T f (x ( k ) )d k d T T f (x ( k ) )d k 2
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
k k im1,n
i
m 1 a1 m 1 a2
k a1 k a2
,m 1 am ,k am
0 n 0 b1 a1 n b2 a2 xk amn b m 0
k a1 ark x 0 k amk
xB ( x1 x2 ,, xr ,, xm ) B (p1p2 ,, pr ,, pm )
xB ( x1 x2 ,, xk ,, xm ) B (p1p2 ,, pk ,, pm )
4.非线性结构优化
j
x2
x*
处起作用的约束 g1 (x) 0, g 2 (x) 0
f (x) ci
g1 (x) 0
*
x
f (x(0) ) x ( k ) g 2 (x) 0 x (0)
f (x( k ) )
x1
搜索方向满足； f (x)
P 0 ，即； f (x)T P 0 f (x)T 与 P 夹角；
a1m1 a1m1
a1m 2 a1m 2
am,m1 am,m 2
B (p1p2 ,, pr ,, pm )
f f 0 (ck zk ) xk
1 0 0 1 0 0 0 x1 x 0 2 1 xm
（13）退化基本可行解：基本可行解中至少一个基本变量为0时这解称为 退化基本可行解。 基本可行解 可行域
可行解
退化基本解
非退化基本解
退化基本可行解
（三）线性规划问题的性质 性质1：
性质2：
性质3：
0
性质2
性质4
不等式
+
松弛变量
可行域
可行域边界
Ax b
等式
r ( 0)
BxB NxN b
f (x)
2
x
*
g1 (x)
P
2
g1 (x)
g1 (x) 0
g1 (x) 0
P
f (x)
最优点 x* ， f (x ) 一定在 g1 (x* )与 g 2 (x* ) 之间， * 所以 f (x ) 可以起作用的 g j (x* ) 非负线性组合表示。
线性优化问题
（目标函数—线性） （约 束—线性）
K-K-T条件的几何意义
（1）K-K-T条件
定义：
min f (x) s.t g j (x) 0 ( j 1,2,, m)
K-K-T条件
L(x, λ) f (x) j g j (x)
j 1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
T
2
g 2 (x)
f (x) ci
；
2
f (x)
P
g 2 (x)
P
g1 (x) 0
x*
f (x)
g1 (x)
夹角；
f (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
g 2 (x) 0
g 2 (x)
P
*
(1) f (x) j g j (x)
m
( j 1,2,, m)
(4) j 0
j 1
起作用的约束经过最优点 ， g j (x) 0 , j 0
(3) j g j (x) 0
最优点满足所有的约束条件，
g 2 (x) 0
g 2 (x)
(2) g j (x) 0
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 xm1 amn bm x XC n
(c z ) min
f (x) j g j (x) 0 （梯度条件）
j 1
m
g j ( x) 0
（约束条件） （松弛互补条件） （非负条件） （正则条件或约束规格）
j g j ( x) 0 j 0
g j (x) 线性无关
( j 1,2,, m)
x ( 0 ) 处没有起作用的约束（可行域内部 g (x) 0 没有约束限制） x ( k ) 处起作用的约束 g2 (x) 0
BxB b
基本可行解
Ax r b
Ax b
最优解
x* xB
xB (x1 , x2 ,, xm ,0,0,,0)
顶点
=
(1) 确定替换基本变量的非基本变量
a11 a12 a21 a22 am1 am 2
a1m a2 m amm
Ax b BxB NxN b （5）基本矩阵：若 Amn 的秩R(A) m , 则非奇异矩阵 Bmm 称为线性规划的
基本矩阵。 （6）非基本矩阵： N m( nm ) 称为线性规划的非基本矩阵。 （7）基本变量： x B 称为线性规划的基本变量。 （8）非基本变量： x N 称为线性规划的非基本变量。 （9）基本解：x (xB ,0) 称为线性规划的基本解。