2019-2020年人教统编《金版新学案》高三数学一轮复习5-3平面向量的数量积课件(文)全国.重庆专版课件
第5章 §5.3 平面向量的数量积--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第五章§5.3 平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识1.向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作 则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a 与b 的数量积，记作_____.∠AOB |a ||b |cos θa ·b投影投影向量|a|cos θe4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).a·c＋b·c (3)(a＋b)·c＝_________.几何表示坐标表示数量积a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝__________模|a |＝_______|a |＝__________夹角cos θ＝______cos θ＝______________a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0_____________5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.x 1x 2＋y 1y 2x 1x 2＋y 1y 2＝0a∥b的充要条件a＝λb(λ∈R)_____________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)x1y2－x2y1＝1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是 .( )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )(4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( )×××√1.(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是A.0·a ＝0B.a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC.a ·b ＝0⇒a ⊥bD.(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2√√设a ，b 的夹角为θ，依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，2.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.3.已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_____；a ·b ＝_____.题型一平面向量数量积的基本运算0 3∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.－2如图所示，∴四边形ABCD为平行四边形，教师备选√解得t＝3，1①∵M是BC的中点，∵D是AM的中点，②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos<a，b>.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，－1∴P为BC的中点.∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，题型二平面向量数量积的应用命题点1 向量的模例2 已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝_______，|a－3b|＝________.因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于√∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.方法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，方法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，教师备选1.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为√设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，1 2.已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1－e2|＝________.所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|＝1.(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).√方法一 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则√√由题意可知，＝cos(α＋2β)，例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示).假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是题型三平面向量的实际应用√√√由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误.教师备选若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝，F1与F2的夹角为45°，求：(1)F3的大小；∵三个力平衡，∴F1＋F2＋F3＝0，(2)F3与F1夹角的大小.。
【新】2019-2020学年度高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案
想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能
力和解决实际问题的能力。
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的
数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，
分值 5~9 分。
命
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三
页码 / 总页数
想象和联 想总是 与汉语 学习联 系在一 起的， 听、说 、读、 写都离 不开想 象和联 想。例 如，在 阅读文 本的过 程中， 人们可 以想到 以前学 过的关 于春天 的古诗 ，并再 现文本 的内容 和场景 。在阅 读过程 中，语 言和文 字的内 容有意 识地与 自己的 生活体 验和感 知相结 合。这 种练习 将大大 提 高学生的 阅读能 力和理 解能力 。将其 应用于 写作， 可以有 效地提 高学生 的写作 水平。
|a| 的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘 积。
（4）向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系： a a a2 | a |2 。 ②乘法公式成立
在课堂上 老师的 对文本 的理解 老师的 理解,老 师的知 识和生 活经验 ,学生 可能有 自己的 理解,站 在一个 小角度 理解文 本,也许 会更好 的理解 学生,所 以学生 敢在教 室里的 意见。 这些课 堂活动 可以刺 激学生 的思维 ,锻炼 他们的 能力。 所以,学 生应该 更多,提 问,讨论 ,使各 种课堂 活动,精 彩纷呈 。
2020版高考数学一轮总复习 第五单元平面向量与复数 教案全集 含解析
平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的大小(叫做向量的模) ，有向线段的箭头所指的方向表示向量的方向.(2)两个特殊向量长度为0 的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(3)平行向量(或共线向量)①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．②规定0与任一向量平行．③长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有三角形法则和平行四边形法则．③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) .(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量 . ②法则：向量的减法符合三角形法则． ③几何意义如下图所示．(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa |＝ |λ||a | ；(ⅱ)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 相同 ； 当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa ＝ 0 . ②运算律a ，b 为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa )＝ (λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝ λa ＋λb . 3．向量共线定理向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 b ＝λa .1．在平行四边形中，如图：(1)若a ，b 为不共线的两个向量，则a ＋b ，a －b 为以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量．(2)AO →＝12(a ＋b )． (3)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC 中：(1)PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)(向量式) ⇔G 是△ABC 的重心．(2)G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0.(3)λ(AB→|AB →|＋AC→|AC →|)(λ≠0)所在直线(即∠BAC 的平分线所在直线)过△ABC 的内心．3．共线的有关结论：①A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．②OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．热身练习 1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ②重力有大小和方向，所以重力是向量； ③若|a|>|b|，则a>b ； ④若|a|＝|b|，则a ＝b. 其中真命题的个数是(A) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假；②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假； ④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假． 由以上分析知，真命题的个数是1. 2．下列命题中： ①零向量的长度为0； ②零向量的方向任意； ③单位向量都相等；④与非零向量a 共线的单位向量为±a |a|. 其中真命题的个数是(C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题．3．下列命题中：①平行向量方向一定相同； ②共线向量一定相等；③向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④若a∥b 且b∥c ，则a∥c . 其中真命题的个数是(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①假，平行向量方向不一定相同．②假，共线向量即平行向量，不一定相等．③假，AB →与CD →是共线向量，AB 与CD 所在的直线不一定共线，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线．④假，当b ＝0时，a 与c 可以是任意向量．4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝(A) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →(方法一：向量的加法)CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.(方法二：向量的减法)CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ 12 .因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.向量的线性运算(经典真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则 A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →因为D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →， 所以B ，C ，D 三点共线，且D 在BC 的延长线上，如图：(方法一)在△ABD 中利用向量的加法： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法二)在△ACD 中利用向量的加法：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法三)在△ABD 中利用向量的减法：AD →＝BD →－BA →＝43BC →－BA →＝43(AC →－AB →)＋AB →＝－13AB →＋43AC →.A(1)本题综合考查了向量的共线、向量的加法、减法、数乘等基础知识，难度不是很大．(2)未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质．1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝(A) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →作出示意图如图所示，(方法一：在△EBD 中运用向量的加法) EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. (方法二：在△ABE 中运用向量的减法)EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k －λ)a ＝(λk －1)b ， 又a ，b 是不共线的两个非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k ＝±1.(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点．A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b ＝λa (a 为非零向量)，则a 与b 共线．(3)三点共线等价关系：A ，B ，P 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0) ⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，t ∈R ) ⇔OP →＝x ·OA →＋y ·OB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．2．(2018·吉林期中)在△ABC 中，N 是AC 上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为 13.因为B ，P ，N 三点在同一直线上， 所以AP →＝λAB →＋μAN →，λ＋μ＝1. 又AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，所以m ＋23＝1, 所以m ＝13.向量的线性运算的综合问题平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d表示AB →和AD →.设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点， 则有DM →＝12a ，BN →＝12b ，在△ABN 和△ADM 中可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ，b ＋12a ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c ，b ＝232c －d ，所以AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝(B)A ．2B ．3C ．4D ．5因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以M 是△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．所以AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，比较得m ＝3.1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特殊性；②向量平行与直线平行的区别和联系．零向量0是长度为0的向量，其方向不确定，它与任一向量平行，要注意零向量0与数0不同，0只是一个实数．2．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推导出来的．向量共线也称为向量平行，它与直线平行有区别：直线平行不包括共线(重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情况，故用向量法证明AB 与CD 平行，可先证明AB →∥CD →，再证明AB 与CD 不共线．3．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．平面向量的基本定理与坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义，了解基底的概念，会进行向量的正交分解及其坐标表示．2．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线．知识梳理1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ λ1e 1＋λ2e 2 ，我们把 不共线 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内的所有向量的一组 基底 .2．正交分解把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解． 3．向量的直角坐标在平面直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴 方向相同 的两个 单位 向量i ，j 作为基底，对于平面内的向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ， (x ，y ) 就叫做在基底i ，j 下的坐标．4．向量的直角坐标运算 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ＋b ＝ (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ； (2)a －b ＝ (x 1－x 2，y 1－y 2) ；(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝ (λx ，λy ) ； (4)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) . 5．平面向量共线的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0 .1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2，y 2≠0，则a∥b x 1x 2＝y 1y 2. 3．中点与重心的坐标公式(1)若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )为P 1P 2的中点，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)； (2)设三角形的三个顶点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．热身练习1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是(B) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)由题意知，A 选项中e 1＝0.C ，D 项中的两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2.2．设i ，j 分别为与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，若a ＝2i ＋3j ，则向量a的坐标为(A)A ．(2,3)B ．(3,2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)由向量坐标的定义可知a 的坐标为(2,3)．3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝(B) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a ＋12b D.32a ＋12b由平面向量的基本定理可知，可设c ＝x a ＋y b.即(－1,2)＝x (1,1)＋y (1，－1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋y ，2＝x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32.所以c ＝12a －32b .4．(2018·长春二模)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋2b|＝(A) A ．3 2 B ．3 C ．2 2 D ．5由题意a ＋2b ＝(－3，－3)，所以|a ＋2b|＝－32＋－32＝32.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝ －6 .因为a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，所以－2m －4×3＝0，所以m ＝－6.平面向量基本定理的应用向量a ，b ，c 在正方形网中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.以向量a ，b 的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)， 因为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.4(1)平面内的任何向量都可由基底唯一表示出来，因此，若有c ＝λa ＋μb ，则可转化为确定待定参数λ，μ的问题，从而可通过建立方程组利用解方程的方法进行解决．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2018·洛阳三模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝(D)A ．2 B.83C.65D.85因为AC →＝λAM →＋μBN → ＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →) ＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(AD →－12AB →)＝(λ－12μ)AB →＋(12λ＋μ)AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.向量的坐标运算(1)已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0)，(0,2)，(－1，－2)，则顶点D 的坐标为__________．(2)向量a ＝(2，－9)，向量b ＝(－3，3)，则与a －b 同向的单位向量为( ) A ．(513，－1213) B ．(－513，1213)C ．(1213，－513)D ．(－1213，513)(1)设D 的坐标为(x ，y )，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →， 所以(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )， 所以(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4，所以D 的坐标为(0，－4)．(2)由已知得a －b ＝(2，－9)－(－3,3)＝(5，－12)． 所以|a －b|＝52＋－2＝13，所以与a －b 同向的单位向量为113(a －b )＝(513，－1213)．(1)(0，－4) (2)A(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等．(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化． (3)注意如下结论的运用：①当向量的起点在原点时，P 点的坐标就是向量OP →的坐标； ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； ③与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|.2．(1)(经典真题)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝(A) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ 12.(1)设C (x ，y )，则AC →＝(x －0，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－4，y －1＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，得C (－4，－2)，所以BC →＝(－4－3，－2－2)＝(－7，－4)． (2)由题易得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.向量共线、平面向量的基本定理的应用如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，试用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标．(方法一)由O ，P ，B 三点共线， 可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，因为AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)， 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝λOB →＝34(4,4)＝(3,3)．(方法二)设P (x ，y )， 则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)，因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0，① 又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)， 且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)－2(y －6)＝0，② 解①和②组成的方程组得x ＝3，y ＝3， 所以P 的坐标为(3,3)．(1)本题运用向量共线的充要条件，求得了直线OB 和BC 方程，是向量在解析几何中的应用的体现．(2)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．3．(2018·三元区月考)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为(A)A.29B.27C.25D.23因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，因为AC →＝AB →＋AD →， AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ(52AE →＋2AF →)＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线可得，52λ＋2λ＝1，解得λ＝29.1．平面向量的基本定理就是可以用一组基底表示平面内的任意一个向量，这种表示是唯一的，但基底的选择却不唯一．用向量解决几何问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．2．向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，它使向量的运算完全化为代数运算，实现了形与数的紧密结合，为进一步用代数的方法研究向量及几何问题创造了条件．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b ⇔ x 1y 2－x 2y 1＝0.对共线的充要条件要注意：①a∥b 的充要条件不能表示成x 1y 1＝x 2y 2，因为y 1，y 2可能为0；②a∥b 的充分条件不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，也不能与a⊥b 的充要条件x 1x 2＋y 1y 2＝0混淆．平面向量的数量积1．理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义． 2．掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．知识梳理1．两向量的夹角与垂直已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量a ，b 的夹角，特别地，当a 与b 夹角为90°时，我们说a 与b 垂直，记作 a ⊥b .2．向量数量积的定义已知两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量 |a |·|b |cos θ 叫做a 与b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝ |a |·|b |cos θ .规定0与任一向量的数量积为 0 . 3．a·b 的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影．设θ是向量a 与b 的夹角，则 |a|cos θ 叫做a 在b 方向上的投影， |b|cos θ 叫做b 在a 方向上的投影．(2)a·b 的几何意义：a·b 等于a 的长度 |a | 与b 在a 方向上的投影 |b|cos θ 的乘积．4．向量数量积的性质a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ.(1)当a 与b 同向时，a·b ＝ |a||b| ；当a 与b 反向时，a·b ＝ －|a||b| ；特别地，a·a ＝ a 2＝|a|2或|a|＝a·a .(2)a·b ＝ a⊥b .(3)cos θ＝a·b|a||b|.(4)|a·b | ≤ |a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝ b·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝ λ(a·b ) ＝ a ·(λb ) (λ∈R )． (3)(a ＋b )·c ＝ a·c ＋b·c . 6．向量数量积的坐标表示(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝ x 1x 2＋y 1y 2 . (2)若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝ x 2＋y 2，|a |＝x 2＋y 2 .(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12，此时为两点间的距离公式．(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a⊥bx 1x 2＋y 1y 2＝0 .(5)a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b>0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b<0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积的常用公式 (1)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (2)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2. (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.热身练习1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于(A)A ．－32 B ．0C.32 D ．3因为a ，b＝120°，所以a·b ＝1×1×cos 120°＝－12，同理，b·c ＝c·a ＝－12，所以a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32. 2．若a ＝(4,2)，b ＝(－4,3)，则a 在b 方向上的投影是(D) A ．－5 B. 5 C.52D ．－2设a ，b 的夹角为θ，因为a·b ＝|a||b|cos θ，所以a 在b 上的投影为 |a |cos θ＝a·b|b|＝－＋2×3－2＋32＝－105＝－2. 3．已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝(C)A ．－1B ．0C ．1D ．2由题意可得a 2＝2，a·b ＝－3，所以(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1.4．(2018·北京卷)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝ －1 .因为a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 又a ⊥(m a －b )， 所以a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，解得m ＝－1.5．(2016·北京卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为 π6.由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a ·b ＝1×3＋3×1＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.向量的数量积、模已知|a|＝2，|b|＝3，a 与b 的夹角为120°，则： (1)(2a －b )·(a ＋3b )＝____________； (2)|a ＋b|＝__________.因为|a|＝2，|b|＝3，a 与b 的夹角为120°， 所以a·b ＝|a||b|cos 120°＝2×3×(－12)＝－3.(1)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2＝2|a|2＋5a·b －3|b|2＝8－15－27＝－34. (2)|a ＋b|＝a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝4－6＋9＝7.(1)－34 (2)7(1)求平面向量的数量积的基本方法： ①利用定义；②利用坐标运算；③利用运算律．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： ①a 2＝a·a ＝|a|2或|a|＝a·a ； ②|a±b |＝a±b2＝a 2±2a·b ＋b 2；③若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2.1．(1)(经典真题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝ 2 . (2)(经典真题)设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝(A) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5(1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，所以AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， 所以AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2.(2)因为|a ＋b|＝10，所以a 2＋2a·b ＋b 2＝10，① 又|a －b|＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6.②①－②得4a·b ＝4，所以a·b ＝1.向量的夹角(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．(方法一)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝3e 1－e 22＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝3e 1－e 2e 1＋λe 2|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋3λ－e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. (方法二)因为e 1，e 2是互相垂直的单位向量，故可将e 1，e 2作为两个单位正交基底，建立直角坐标系，所以a ＝3e 1－e 2＝(3，－1)，b ＝e 1＋λe 2＝(1，λ)， 所以|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b ＝3－λ， 因为a 与b 的夹角为60°，所以cos 60°＝3－λ21＋λ2＝12，所以λ＝33.33(1)本题考查向量的模、数量积的计算以及两个向量的夹角公式的应用，考查运算求解能力．(2)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角公式，尤其对|a|＝a·a 要引起足够重视，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法．2．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|，则向量a ＋b 与a 的夹角为(A)A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6(方法一)因为|a ＋b|＝|a －b|， 所以|a ＋b|2＝|a －b|2， 所以a·b ＝0，又|a ＋b|＝2|b|，所以|a ＋b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2， 所以|a|＝3|b|， 所以a ＋b ，a ＝a ＋b ·a |a ＋b||a|＝a 2＋a·b 2|b||a|＝|a|2|b|＝32，所以a ＋b 与a 的夹角为π6.(方法二)设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝a ＋b ，由|a ＋b|＝|a －b|，知平行四边形OACB 为矩形，|a ＋b|＝|a －b|＝2|b|知，所以a ＋b ，a ＝|b|2|b|＝12，所以a ＋b 与a 的夹角为π6.向量数量积的综合运用(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.118先把BC →，AF →分别用基底AB →，AC →表示出来，再计算其数量积．(方法一)如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以AF →·BC →＝(12AB →＋34AC →)·(AC →－AB →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以AF →·BC →＝34－18－12＝18.(方法二)以BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (0，32)，B (－12，0)，D (－14，34)，C (12，0)， 由DE →＝2EF →，得(14，－34)＝2(x F ，y F )，则F (18，－38)，所以AF →·BC →＝(18，－538)·(1,0)＝18.B(1)本题考查平面向量的基本定理、向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力．(2)与几何背景相关的数量积计算问题，其基本思路有：①基向量法；②坐标法． (3)当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般采用坐标法，即通过建立直角坐标系的方法，将其转化为向量的坐标运算．3．(2018·安徽模拟)在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝2EC →，DF →＝FC →，则AE →·BF →＝(C)A ．－83 B ．－1C ．2 D.103以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，F (72，332)，E (5，3)，所以AE →＝(5，3)，BF →＝(－12，332)，所以AE →·BF →＝(5，3)·(－12，332)＝5×(－12)＋3×332＝2.1．平面向量a 与b 的数量积为a·b ＝|a||b|cos θ，它是一个实数，而不是向量，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0°≤θ≤180°.2．计算数量积一般有三种方法：定义、坐标运算及利用运算律计算． 3．由向量的数量积的性质有|a|＝a·a ，cos θ＝a·b|a||b|，a·b ＝0⇔a⊥b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4．由于向量有几何法和坐标法两种形式，它的运算也因为这两种表示方法而有两种：基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于根据问题的特点，灵活选择方法．平面向量的应用1．会用向量方法解决简单的力、速度的分解与合成问题． 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．3．会用向量方法解决某些简单与平面解析几何有关的问题．知识梳理1．用向量法处理垂直问题(1)对非零向量a 与b ，a⊥b ⇔a·b ＝0 .(2)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 . 2．用向量法处理平行问题(1)向量a 与非零向量b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使得 a ＝λb .(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)是平面向量，则向量a 与非零向量b 共线的充要条件是x 2y 1－x 1y 2＝0 .3．用向量法求角(1)设a ，b 是两个非零向量，夹角记为α，则cos α＝ a·b|a||b|.(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)是平面向量，则cos α＝ x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 4．用向量法处理距离(长度)问题(1)设a ＝(x ，y )，则a 2＝|a|2＝ x 2＋y 2，即|a|＝ x 2＋y 2 .(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且a ＝AB →，则|AB |＝|AB →|＝ x 1－x 22＋y 1－y 22.5．向量在物理中的应用(1)向量在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用．热身练习1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则这个三角形是(B)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形因为AC →＝(－4，－8)，AB →＝(2，－2)，BC →＝(－6，－6)，而AB →·BC →＝2×(－6)＋(－2)×(－6)＝0， 所以AB ⊥BC ，故△ABC 为直角三角形．2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有(A)A ．F 1，F 3成90°角B ．F 1，F 3成150°角C ．F 2，F 3成90°角D ．F 2，F 3成60°角如图，因为∠AOB ＝120°，所以∠OAC ＝60°，在△OAC 中，由余弦定理得OC ＝3， 所以OA 2＋OC 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，故F 1与F 3成90°角.3.平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y2)，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为 y 2＝8x (x ≠0) .因为AB →＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y 2)，又AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，所以(2，－y 2)·(x ，y 2)＝0，即2x －y 24＝0，所以y 2＝8x (x ≠0)．4．已知平面向量a ＝(1，cos θ)，b ＝(1,3sin θ)，若a 与b 共线，则tan 2θ的值为 34.由条件得3sin θ－cos θ＝0，所以tan θ＝13，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝231－19＝34. 5．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，CD ＝BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为 5 .以D 为原点，DA ，DC 所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (1,1)．设点P (0，y )，0≤y ≤1， 则PA →＋3PB →＝(5,3－4y )， 所以|PA →＋3PB →|＝25＋－4y2，即当y ＝34时，所求模长取得最小值5.向量在物理中的应用一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为A ．6B ．2C ．2 5D ．27结合向量的平行四边形法则(如图)，易知F 3的大小，即平行四边形对角线OD 的长度， 根据余弦定理，可得OD 2＝22＋42－2×2×4cos 120°＝28，故OD ＝27.D用向量法解决物理问题的步骤： ①将相关物理量用几何图形表示出来；②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题； ③最后将数学问题还原为物理问题．1．一条河宽为400 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为 1.5 min.船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度．如图，|v 1|＝20，|v 2|＝12.根据勾股定理 |v|＝16(km/h)＝8003(m/min)， 故t ＝400÷8003＝1.5(min)．向量在平面几何中的应用在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是线段AB 上的点，且AE ＝2BE ，求证：AD ⊥CE .(方法一：基向量法)设CA →＝a ，CB →＝b ，则|a|＝|b|，且a·b ＝0， 则CE →＝CB →＋BE →＝CB →＋13BA →＝CB →＋13(CA →－CB →)＝13a ＋23b . AD →＝CD →－CA →＝12CB →－CA →＝12b －a .AD →·CE →＝(12b －a )·(13a ＋23b )＝－13a 2＋13b 2＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE . (方法二：坐标法)以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设CA ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，D (0,1)，E (23，43)，所以AD →＝(－2,1)，CE →＝(23，43)，所以AD →·CE →＝－43＋43＝0.所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .用向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系．2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PECF 是矩形．证明：(1)PA ＝EF ； (2)PA ⊥EF .以D 为坐标原点，以DC ，DA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的坐标系．设正方形的边长为1，设P (t ，t )(0≤t ≤1)，则F (t,0)，E (1，t )，A (0,1)， 所以PA →＝(－t,1－t )，EF →＝(t －1，－t )， (1)|PA →|＝－t2＋－t2＝2t 2－2t ＋1，|EF →|＝t －2＋－t 2＝2t 2－2t ＋1，所以|PA →|＝|EF →|，即PA ＝EF . (2)PA →·EF →＝－t (t －1)＋(1－t )(－t ) ＝－t 2＋t －t ＋t 2＝0. 所以PA →⊥EF →，即PA ⊥EF .向量的综合应用已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，动点M 的轨迹方程为____________．设M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)， 则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )，因为AM →＝－32MQ →，所以(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，所以a ＝13x ，b ＝－y 2，即A (0，－y 2)，Q (x3，0)，PA →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，32y )，因为PA →·AM →＝0，所以3x －34y 2＝0，即所求轨迹的方程为y 2＝4x (x >0)．y 2＝4x (x >0)在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程．3．(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为 6 .(方法一)根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0).AO →·AP→＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝x ＋2＋y 2，cos θ＝AQ AP＝x ＋2x ＋2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.又点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6. (方法二)因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时，上式取到“＝”．1．向量的平行、垂直关系是向量最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是数形结合的重要工具，这些知识是高考重点考查内容之一，因此，对这些基本知识必须在理解的基础上熟练掌握．2．向量法解决几何问题的“三步曲”，即：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题化为向量问题．(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．3．证明直线平行、垂直、线段相等等问题的常用方法： (1)要证AB ＝CD ，可转化为证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.(2)要证两线段AB ∥CD ，只要证存在一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可． (3)要证明两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.4．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型进行研究，解释相关物理现象．复数的概念与运算1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．了解两个具体复数相加、相减的几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．知识梳理 1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋b i 的数叫做复数，其中 a 为实部， b 为虚部，i 是 虚数 单位，且满足i 2＝ －1 ，全体复数组成的集合C 叫做 复数集 .(2)复数的分类：(3)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a＋bi ＝0⇔a ＝b ＝0 (a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 实 轴，y 轴叫做虚 轴．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点 Z (a ，b ) 及平面向量OZ →＝ (a ，b ) 是一一对应关系．(3)复数的模：对应复数z 的向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|. |z |＝|a ＋b i|＝ a 2＋b 2 .3．共轭复数(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为 共轭复数 ，用 z 表示．(2)代数形式：a ＋b i 与a －b i 互为共轭复数(a ，b ∈R )，即z ＝a ＋b i ⇔z ＝ a －b i .(3)几何意义：非零复数z 1，z 2互为共轭复数⇔它们的对应点Z 1，Z 2(或向量OZ 1→，OZ 2→)关于 实轴 对称．4．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．(2)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的 对角线OZ →所对应的复数．②复数减法的几何意义复数z 1－z 2是以连接OZ 1→，OZ 2→的 终点 所对应的向量，并指向 被减数z 1所对应的点Z 1 所对应的复数．③复平面内的两点间的距离公式d ＝ |z 1－z 2| .其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为点Z 1与Z 2的距离．热身练习1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(B) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限实部为－2，虚部为1的复数在复平面上对应点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．2．(2018·长春二模) 已知复数z ＝m 2－3m ＋m i(m ∈R )为纯虚数，则m ＝(B)。
高考数学一轮复习 5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用学案(文,含解析)新人教A版
学习资料5。
3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识预案自诊知识梳理1.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ，则数量｜a|｜b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b续表投影｜a｜cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b｜cos θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积2.向量数量积的运算律3.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2),a与b的夹角为θ。
4.向量在平面几何中的应用（1）要证AB=CD ,可转化为证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2或|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜. (2）要证两线段AB ,CD 平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立即可. （3）要证两线段AB ，CD 垂直，只需证AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (4）求夹角问题,利用夹角公式cos θ=a ·b|a ||b |。
1.平面向量数量积运算的常用公式: (1)(a+b )·（a-b ）=a 2—b2. (2)(a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2.2.当a 与b 同向时，a ·b=|a ｜｜b ｜;当a 与b 反向时，a ·b=-｜a ｜｜b ｜。
3.a 与b 的夹角θ为锐角,则有a ·b >0,反之不成立(θ为0时不成立);a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(θ为π时不成立).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。
(1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量，且有正有负。
（ )(2）若a ·b 〉0,则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角. （ ） (3)若a ·b=0,则必有a ⊥b 。
《金版新学案》高三数学一轮复习 第四章 第1课时 平面向量的概念及其线性运算课件 理 新人教A版
2．在△ABC 中，A→B＝c，A→C＝b.若点 D 满足B→D
＝2D→C，则A→D＝( )
A.23b＋13c
B.53c－23b
C.23b－13c
D.13b＋23c
解析： 如图所示，可
知
→ AD
＝
→ AB
＋
2 3
(
→ AC
－
→ AB )
＝
c＋
2 3
(b －
c) ＝ 23
b
＋13c. 答案： A
3．λ∈R，则下列命题正确的是( )
(2010·全国卷Ⅱ)△ABC 中，点 D 在边 AB 上，
CD 平分∠ACB.若C→B＝a，C→A ＝b，|a|＝1，|b|
＝2，则C→D＝( )
A.13a＋23b
B.23a＋13b
C.35a＋45b
D.45a＋35b
【全解全析】 如图所示，∠1＝∠2， ∴||CCBA||＝||BDDA||＝12， ∴B→D＝13B→A ＝13(C→A－C→B)＝13(b－a)， ∴C→D＝C→B＋B→D＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
知识点
平面向量 的基本定 理及坐标 运算
考纲下载
1.了解平面向量的基本定理及其 意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、 减法与数乘运算． 4.会用坐标表示平面向量共线的 条件．
知识点
考纲下载
1.理解平面向量数量积的含义及其物理
意义．
平面向 量的数 量积及 平面向 量应用 举例
2．向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两
加法
个向 量和
三角形法则
《金版新学案》高三数学一轮复习 第四章 第1课时 平面向量的概念及其线性运算课件 理 新人教A版
)
A 中 λ＜0 时不成立．B 中|λa|是实
数，而|λ|a 是向量，故 B 错．D 中，若 λ＝0 或 a＝0 时，|λa|＝0，故 D 错． 答案： C
4．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________.
解析：
由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)，
→ |AB| → → ∴AB＝2BC，∴ ＝2. → |BC| 答案： 2
平面向量的有关概念
1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也 具有传递性． 2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无 关．
3． 向量可以平移， 平移后的向量与原向量是 相等向量．解题时，不要把它与函数图象移 动混为一谈． a a 4． 非零向量 a 与 的关系是 是 a 方向上的 |a| |a| 单位向量．
λ＝－1 λ＝－k 3 ∴ ，解得 1 3k＝1 k＝ 3
.
答案：
1 － 3
5．已知平面上不共线的四点 O、 A、 B、 C. → |AB| → → → 若OA－3OB＋2OC＝0， 则 等于________． → |BC| → → → → 解析： 由已知得， OA－OB＝2(OB－OC)，
平面向 量的数 量积及 平面向 量应用 举例
知识点
考纲下载
1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 数系的 3.了解复数的代数表示法及其几何意义 扩充与 ． 复数的 4.会进行复数代数形式的四则运算． 引入 5.了解复数代数形式的加、减运算的几 何意义.
第1课时
平面向量的概念及其线性运算
平面向 量的概 念及其 线性运 算
知识点
考纲下载 1.了解平面向量的基本定理及其 意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法 、减法与数乘运算． 4.会用坐标表示平面向量共线的 条件．
《金版新学案》高三数学一轮复习 第四章 第3课时 平面向量的数量积及平面向量应用举例课件 理 新人教
【思考探究】 1.b 在 a 上的投影是向量吗？
提示： 不是，b 在 a 上的投影是一个数 量|b|cos θ，它可以为正，可以为负，也可 以为 0.
2．向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a＝_|a_|c_o_s_〈__a_，__e_〉． (2)a⊥b⇒__a_·_b_＝__0__且 a·b＝0⇒_a_⊥__b__. (3)a·a＝_|_a_|2_，|a|＝ a·a.
解①②得 x＝－79，y＝－73. 答案： D
4．(2010·江西卷)已知向量 a，b 满足|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60°，则 b 在 a 上的投影是 ________．
解析： b 在 a 上的投影是|b|·cos 60°＝2×12＝1. 答案： 1
5．a＝(－1,1)，b＝(3,4)，则 a＋b 的模为
【思考探究】 2.数量积的运算满足结合律吗？ 提示： 数量积的运算不满足结合律，即(a·b)c ＝a(b·c)不成立．这是由于(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向 量，因此(a·b)c 与 a(b·c)一般是不相等的．
4．数量积的坐标运算 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 (1)a·b＝___a_1_b_1＋___a_2b_2___. (2)a⊥b⇔__a_1b_1_＋__a_2_b_2＝__0__.
x2＋y2＝20 ，∴y＝4 或y＝－4 ，
∴c＝(2,4)或 c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即 2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0， ∴2×5＋3a·b－2×54＝0，∴a·b＝－52，
2020版高考数学一轮复习第5章平面向量4阅读与欣赏(四)教案理
4 阅读与欣赏（四）求解平面向量问题的五大策略平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算，在解题中既可以按照几何的思路处理，也可以通过运算解决问题，解平面向量的题目有一些策略，用好这些策略可以顺利地解决问题．用好共线向量定理及其推论在△ABC 中，AB →＝2a ，AC →＝3b ，设P 为△ABC 内部及其边界上任意一点，若AP →＝λa ＋μb ，则λμ的最大值为__________．【解析】 过点P 作BC 平行线，交AB ，AC 于点M ，N ，设NP →＝tNM →，则有AP →＝t AM →＋(1－t )AN →(0≤t ≤1)，设AM →＝m AB →，则有AN →＝m AC →(0≤m ≤1)，所以AP →＝tmAB →＋(1－t )mAC →，所以AP →＝2tm a ＋3(1－t )m b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2tm ，μ＝3（1－t ）m ，所以λ≥0，μ≥0，3λ＋2μ＝6m ≤6，由3λ＋2μ≥26λμ得26λμ≤6，所以λμ≤32，λμ的最大值为32.【答案】 32(1)A ，B ，C 三点共线时，一定存在实数λ，使得AB →＝λBC →或AB →＝λAC →等；(2)A ，B ，C 三点共线的充要条件是对不在直线AB 上的任意一点O ，存在实数t 使得OC →＝tOA →＋(1－t )·OB →或OC →＝λOA →＋μOB →，λ＋μ＝1.用好平面向量基本定理在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 【解析】 如图，E 为OD 中点， 则BE ＝3DE .因为AB ∥CD ， 则AB →＝3DF →，OB →－OA →＝3AF →－3AD →，－12BD →＋12AC →＝3AF →－3(OD →－OA →)， 3AF →＝－12BD →＋12AC →＋3×12BD →＋3×12AC →，3AF →＝2AC →＋BD →，则AF →＝23AC →＋13BD →，即AF →＝23a ＋13b .故选B.【答案】 B平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e 1和e 2，平面内的任何一向量a 都可以用向量e 1，e 2表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，并且这种表示是唯一的，即若λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则必有λ1＝μ1，λ2＝μ2.这样，平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．用好向量的坐标表示(1)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ACD ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为__________．(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为CD 的中点，若N 为该菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为______________．【解析】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (2，0)． 设B (0，b )，b >0，则C (1，b )． 因为∠ACD ＝90°，所以AC →·DC →＝0，即(1，b )·(－1，b )＝0，解得b ＝1，所以B (0，1)，C (1，1)．设P (x ，y )，DP →＝λDC →(0≤λ≤1)， 则(x －2，y )＝λ(－1，1)， 得x ＝2－λ，y ＝λ， 即P (2－λ，λ)．|PA →＋3PB →|＝|(λ－2，－λ)＋3(λ－2，1－λ)| ＝|(4λ－8，3－4λ)| ＝（4λ－8）2＋（3－4λ）2＝32λ2－88λ＋73，0≤λ≤1，根据二次函数性质，上式当λ＝1时取最小值，故其最小值为32－88＋73＝17. (2)建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2，0)，C (3，3)，D (1，3)，M (2，3)，设N (x ，y )，则AM →·AN →＝2x ＋3y ，其中(x ，y )所在的区域即为菱形及其内部的区域．设z ＝2x ＋3y ，则z3的几何意义是直线系z ＝2x ＋3y 在y 轴上的截距，结合图形可知，在点C 处目标函数取得最大值，最大值为2×3＋3×3＝9. 【答案】 (1)17 (2)9向量坐标化后，所有的问题均可以通过计算求解，这种方法对难度较大的平面向量试题非常有用．用好两向量垂直的条件设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ·(AB →－AC →)＝ |AB →|2|AB →|cos B －|AC →|2|AC →|cos C ＋AC →·AB →|AC →|cos C －AB →·AC→|AB →|cos B.在△ABC 中，记角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则上式即为ccos B －b cos C ＋c cos A cos C －b cos A cos B＝c cos C －b cos B ＋c cos A cos B －b cos A cos Ccos B cos C.根据正弦定理，上式的分子为2R (sin C cos C －sin B cos B ＋sin C cos A cos B －sin B cos A cosC )＝2R ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin 2C －12sin 2B ＋cos A sin （C －B ） ＝2R ⎩⎨⎧12sin[（B ＋C ）－（B －C ）]－12sin [（B ＋C ）＋（B －C ）]}＋cos A sin （C －B ）＝2R [－cos (B ＋C )sin (B －C )＋cos A sin(C －B )] ＝2R [－cos A sin(C －B )＋cos A sin (C －B )]＝0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ·(AB →－AC →)＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ⊥CB →. 又向量AB→|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C经过点A ，所以向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C 与△ABC 的BC 边上的高线所在的向量共线． 因为OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以点P 在△ABC 的BC 边上的高线上， 所以点P 的轨迹经过△ABC 的垂心，故选D. 【答案】 D两非零向量垂直的充要条件是其数量积为零，利用该结论可以证明平面图形中的直线与直线垂直、也可以根据两向量垂直求未知的参数值等．用好向量运算的几何意义已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0，则|b －c |的最大值是______．【解析】 设a ，b 夹角为θ，a·b ＝2×3cos θ＝3， 得cos θ＝22， 因为0≤θ≤π，所以θ＝π4.建立如图所示的平面直角坐标系，a＝(1，1)，b＝(3，0)，设c＝(x，y)，则c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)．因为(c－2a)·(2b－3c)＝0，所以(x－2)(6－3x)＋(y－2)·(－3y)＝0，整理得x2＋y2－4x－2y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝1，即向量c的终点在以(2，1)为圆心、1为半径的圆上，根据向量减法的几何意义，可知|b－c|的最大值为（3－2）2＋（0－1）2＋1＝2＋1.【答案】2＋1。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积课件文
(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10， |a－b|＝ 6，则 a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解：(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得 4a·b ＝4，a·b＝1.故选 A.
第十九页，共38页。
类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系
第七页，共38页。
在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，若 AB＝3，BD＝1， 则A→B·A→D＝________.
解：如图所示，
A→B·A→D＝A→B·(A→B＋B→D)＝9＋3×cos120°＝125，故填125.
第八页，共38页。
(2015·天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC ＝1，∠ABC＝60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且B→E＝23B→C，D→F ＝16D→C，则A→E·A→F的值为________．
第五章
平面向量(xiàngliàng)与复数
• 5.3 平面向量 (xiàngliàng)的数量积
第一页，共38页。
1．数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量________________叫做 a 与 b 的数量 积(或内积)，记作____________，即 a·b＝________，其中 θ 是 a 与 b 的夹角， |a|cosθ(|b|cosθ)叫向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的____________． a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于__________________________________． 2．数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律 ①交换律：___________________； ②数乘结合律：____________________； ③分配律：_____________________． (2)常用结论 ①(a±b)2＝________________________； ②(a＋b)·(a－b)＝_________________； ③ a2＋b2＝0⇔______________________；
人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第4章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例含答案
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积3.(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．[1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为() A．12B．8C．－8D．2A[∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|b||a|cos〈a，b〉＝3×4＝12.]3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8 B．－6 C．6 D．8D[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]4．已知a，b是平面向量，如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝() A.46 B．7 C．5 D.21A[∵|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，∴a2＋b2＋2a·b＝4，即2a·b＝－21.∴|a－b|＝a2＋b2－2a·b＝9＋16＋21＝46.]5．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．π6[由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2，a·b＝1×3＋3×1＝23.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6.]平面向量数量积的运算1．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D(3,4)，则向量C D →在BA →方向上的投影是( ) A ．－35 B ．－322 C ．35 D .322A [依题意得，BA →＝(－2，－1)，C D →＝(5,5)，BA →·C D →＝－15，|BA →|＝5，因此向量C D →在BA →方向上的投影是BA →·C D →|BA →|＝－155＝－35，故选A .]2．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥B D ，则AE →·BC→＝( )A ．16B ．12C ．8D ．－4A [建立如图所示的平面直角坐标系，则A (4,0)，B (0,0)，C (0,6)，D(2,3)．设E (0，b )，因为AE ⊥BD ，所以AE →·B D →＝0，即(－4，b )·(2,3)＝0，所以b ＝83，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，83，所以AE →·BC →＝16，故选A .]3．已知菱形ABC D 的边长为6，∠AB D ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，D C 上，BC ＝2BE ，C D ＝λC F .若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B [依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B .]平面向量的夹角与模►考法1 平面向量的模【例1】 (1)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝|a ＋b |＝3，则|a ＋2b |＝________. (2)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(－3，1)，则|2a －b |的最大值为________． (1)42 (2)4 [(1)因为|a |＝2，|b |＝|a ＋b |＝3， 所以(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝4＋9＋2a·b ＝9，所以a·b ＝－2，所以|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4－8＋36＝42.(2)由题意得|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝sin θ－3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝4×12＋22－8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝8－8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以|2a －b |2的最大值为8－8×(－1)＝16，故|2a －b |的最大值为4(此时θ＝2k π－π6，k ∈Z)．]►考法2 平面向量的夹角【例2】 (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A .π4 B .π2 C .3π4D ．π(2)(2018·辽南一模)设向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，3)，且a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是________．(1)A (2)(－3,1)∪(1，＋∞) [(1)∵(a －b )⊥(3a ＋2b )，∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0，∴a·b ＝3a 2－2b 2，又|a |＝223|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝3a 2－2b 2|a||b |＝23b 2223b 2＝22，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4，故选A .(2)由a ，b 的夹角是锐角得a·b ＞0且a ，b 不共线，则⎩⎨⎧m ＋3＞0，3－3m ≠0，解得m ＞－3且m ≠1，即实数m 的取值范围为(－3,1)∪(1，＋∞)．]________.(2)(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． (1)2 (2)33[(1)|a ＋b |＝|a |＋|b |两边平方，得2a·b ＝2|a||b |，即m ＋2＝m 2＋4×2，解得m ＝2. (2)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.]平面向量的应用【例3】 (1)在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2 D ．3(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1(1)C (2)B [(1)∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22， 又A ∈(0，π)，∴sin A ＝22， ∴S△ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝2，故选C .(2)建立坐标系如图所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B .](1)(2019·厦门模拟)平行四边形ABC D 中，AB ＝4，A D ＝2，AB ·A D ＝4，点P 在边C D上，则PA →·PB →的取值范围是( ) A ．[－1,8] B ．[－1，＋∞) C ．[0,8] D ．[－1,0](2)(2019·沈阳模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝a·b ＝2且(a －c )·(b －c )＝0，则|2b －c |的最大值为________．(1)A (2)7＋1 [(1)由题意得AB →·A D →＝|AB →|·|A D →|·cos ∠BA D ＝4，解得∠BA D ＝π3.以A 为原点，AB所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (4,0)，C (5，3)，D(1，3)，因为点P 在边C D 上，所以不妨设点P 的坐标为(a ，3)(1≤a ≤5)，则PA →·PB →＝(－a ，－3)·(4－a ，－3)＝a 2－4a ＋3＝(a －2)2－1，则当a ＝2时，PA →·PB →取得最小值－1；当a ＝5时，PA →·PB →取得最大值8，故选A .(2)∵|a |＝|b |＝a·b ＝2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°.设OA →＝a ＝(2,0)，OB →＝b ＝(1，3)，OC →＝c ， ∵(a －c )·(b －c )＝0，∴CA →⊥CB →，∴点C 在以AB 为直径的圆M 上，其中M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，半径r ＝1.延长OB 到D ，使得O D →＝2b (图略)，则D(2,23)． ∵2b －c ＝O D →－OC →＝C D →，∴|2b －c |的最大值为C D 的最大值． ∵D M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－322 ＝7，∴C D 的最大值为D M ＋r ＝7＋1.]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0B [a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3，故选B .]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC→|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A .]3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5A [|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② ①－②，得4a·b ＝4，∴a·b ＝1.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 23 [|a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝23.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.－2[∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝
13 ＝ 65
65 5.
【答案】 C
4．三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线，|A→B|＝3， A→P·B→C＝－2，则|AC→| ＝________.
5．在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝1，点 P 在 AM 上且满足A→P＝2P→M，则P→A·(P→B＋P→C)等于________．
• 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
• 即2|a||b|cos<a，b>＝－|b|2.
• ∴cos<a，b>＝－ ，∴<a，b>＝120°.
• 2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)， 则a·(b·c)等于
•( )
• A．(26，－78)
B．(－28，－42)
• C．－52
• 5．数量积的坐标表示
• (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1xa2＋·by＝1y2 .
• 6．平面向量应用举例
• (1)平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹 角问题，而平面向量的运算，特别是数量 积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角， 因此可以用向量方法解决部分几何问题．
• (2)物理学中的力、速度、位移都是矢量， 它们的分解、合成与向量的加减法相似， 故可以用向量的知识来解决某些物理问 题．
• (3)平面向量作为一种重要的数学工具，经 常与函数、不等式、三角函数、解三角形、 解析几何等知识相结合进行考查．
• 1．(2009年全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则<a，b>＝
()
• A．150°
B．120°
• C．60°
ห้องสมุดไป่ตู้
D．30°
• 【解析】 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2 ＋2a·b＋b2.
•
1．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－
3b)·(2a＋b)＝61.
• (1)求a与b的夹角θ；
• (2)求|a＋b|；
【解析】 (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 得 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式，求得 a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝23π.
• 已知等边三角形ABC的边长为1，求：
• 【思路点拨】 利用向量数量积的定义、 运算律及模的求法求解，注意两向量夹角 的定义．
【解析】 (1)A→B·A→C＋A→B·B→C＋A→C·B→C
＝|A→B||A→C|·cos A＋|A→B ||B→C |·cos(180°－B)＋|A→C ||B→C
• 3．平面向量数量积的性质
• 设a，b是两个非零向量，e是单位向量，
则有： a·e＝|a|cos θ
• (1)e·a＝ a·b＝0 角)．
(θ为a，e的夹
|a||b|
• (2)a⊥b⇔
.－|a||b|
• (3)当a与b同向时，a·b＝ ；
• 当a与b反向|a||b时| ，a·b＝ ， • 特别地，a·a＝a2＝|a|2.
•
常见的向量夹角θ的三种形式：
• 2．平面向量的数量积
• (1)数量积的定义
• 已知两个 非零 向量a与b，我们把|a数||b量|cos θ
叫做a与b的数量积(a或·b 内积a)·，b＝记|a||作b|cos θ，
即
.
|a|cos θ
• 其中θ是a与b的夹角，
叫做向量a在
b方向上的投影．
0
• 规定：零向量与任何向量的数量积为 .
∴|a＋b|＝ 210，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 α，
1
则
cos
α＝(a|a－－bb)|·|(aa＋＋bb|)＝
2 22×
＝ 10
5 5.
2
由夹角公式 cos θ＝|aa·|(·a|a＋＋bb)|知，只要用同一个量|a| 表示出 a·b 和|a＋b|即可．本题也可用坐标法表示向量， 或利用加法的几何意义解答．
• (4)|a·b|≤ .
• 4．平面向量数量积的运算律 • (1)a·b＝ b·a . • (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (λ∈R)． • (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
• 向量的数量积不满足结合律：一般地， (a·b)c≠a(b·c)．
• 同样，由a·b＝b·c不能得出a＝c，由a·b＝ 0不能推出a＝0，或b＝0.
第三节 平面向量的数量积
1．向量的夹角 (1)已知两个 非零 向量 a 和 b，作O→A＝a， O→B＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
(2)向量夹角 θ 的范围是 [0，π] ，a 与 b 同向时，夹 角 θ＝ 0 ；a 与 b 反向时，夹角 θ＝π .
(3)如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直， 记作 a⊥b .
• (2)数量积的几何意义
• 数量投影积|ba|c·obs等θ 于a的长度|a|与b在a的方向上 的
(1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、也可 以为零．
(2)向量 a 在 b 方向上的投影是一个实数， 当 0≤θ＜2π时，非零向量 a 在 b 方向上的投影是一个 正数； 当π2＜θ≤π 时，非零向量 a 在 b 方向上的投影是一个 负数； 当 θ＝2π时，非零向量 a 在 b 方向上的投影为零．
|·cos C ＝cos 60°＋cos 120°＋cos 60° ＝12－12＋12＝12.
已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12， 求：(1)a 与 b 的夹角； (2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值．
【解析】 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，∴|a|2－|b|2＝12，
又∵|a|＝1，∴|b|＝
|a|2－12＝
2 2.
1
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
2
＝ 2
22，
1·2
∴θ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，
∴|a－b|＝
2 2.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，
D．－78
• 【解析】 a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3) ＝(26，－78)．
• 【答案】 A
3．已知 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 上的投影 为
A. 13
13 B. 5
()
65 C. 5
D. 65
【解析】
|a|cos
θ＝
|a||aa|·|bb|＝
2×(－4)＋3×7 (－4)2＋72