人教版A版高中数学选修4-1配套全册完整课件
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最新高中数学人教版选修4-1精品课件全册课件
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
平行线等分线段定理的两个推论的证明 剖析:(1)推论1,如图①,在△ABC中,B'为AB的中点,过点B'作 B'C'∥BC交AC于点C',求证:点C'是AC的中点.
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题型一 题型二 题型三
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题型一
任意等分已知线段
【例1】 如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明.
分析:利用平行线等分线段定理来作图. 作法:如图,(1)作射线AC; (2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取 AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5; (3)连接D5B; (4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别 交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
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D典例透析
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证明:过点A作MN∥D5B. 则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B. ∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5. ∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B. ∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点. 反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下: (1)作射线AC(与AB不共线); (2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取 AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn; (3)连接DnB; (4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点 A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.
人教A版高中数学选修4-1 本讲整合1 (共20张PPT)
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专题归纳
高考体验
【例1】 如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的 ������������2 平行线,与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则 ������������· ������������ = .
解析:延长CK,BA,设它们交于点H,
因为 KO∥HB,
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专题归纳
高考体验
专题二:相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的定义 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似 三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 2.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似. (2)两角对应相等的两个三角形相似. (3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)三边对应成比例的两个三角形相似.
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专题归纳
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1 变式训练1如图,已知AE∥BF∥CG∥DH,AB= BC=CD ,AE=12, 2
DH=16,AH交BF于M,求BM和CG的长.
������������ 1 ������������ ������������ = , = . ������������ 4 ������������ ������������ ������������ 1 所以 = ,即 BM=4.取 BC 16 4
������������ ������������ 同理可得������������ = ������������, ������������ ������������ ������������2 2 所以������������ = ������������,即 KO =KE· KF,故������������· =1. ������������
高中数学人教A版选修4-1配套课件1章 本讲归纳整合
等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．
5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念
从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正
射影，简称射影． 一般地，一个点集(如线段或其他几何图形 )中所有的点在某 条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影．如一条 线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射 影间的线段．
(1)证明 ∵∠BDE＝60° ，∴∠ADB＝60° ＋∠DBC，∠DEC＝60° ＋∠DBC， ∴∠ADB＝∠DEC， 又∵∠A＝∠C＝60° ，∴△DEC∽△BDA. DC EC (2)解 ∵△DEC∽△BDA，∴ BA ＝DA. x 6－y 1 2 ∴ ＝ ，即 y＝ x －x＋6 (0<x<6)． 6 6－x 6
和另一个三角形的三条边对应成比例 ，那么这两个三角形相
似．即：三边对应成比例，两三角形相似．
利用本定理可以证明相似三角形的判定定理．
(4)直角三角形相似的判定定理
定理 1 ：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相
似． 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么 它们相似． 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直
(3)相似三角形判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角
与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即：
两角对应相等，两个三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么，这两个 三角形相似．即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边
1 9 2 配方得 y＝ (x－3) ＋ ， 6 2 9 ∴当 x＝3 时，y 最小＝ ， 2 9 即 D 为 AC 的中点时，BE 最短，其长度为2. 3 3 在△BDE 中，BE 边上的高为 4 ×6＝2 3. 1 9 3 27 3 ∴S△BDE＝2×2×2 3＝ 8 .
高中数学 1.1平分线等分线段定理课件 新人教A版选修4-1
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栏 目 链 接
10
点评：在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在
三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰 栏
的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
目 链
接
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11
►变式训练
2．如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求 证：BF＝CF.
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5
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行 线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、 F，那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点．
如下图所示．
栏 目 链 接
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6
点评：求作已知线段AB的n等分点的一般作法：过线
段AB的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次 栏
栏 目 链 接
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16
分析：由于 OE∥AB，OA＝OC，根据平行线等分线段定理的推论 1，
得出 E 是 BC 的中点，所以 BE＝EC＝12BC＝12AD.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
栏
目
∴OA＝OC，BC＝AD，
链 接
又∵OE∥AB，∴BE＝CE＝12BC，
又∵AD＝6，∴BE＝12BC＝12AD＝3.
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC， 所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE， 即AE＝ME.
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9
证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点． 又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF.
栏 目 链 接
10
点评：在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在
三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰 栏
的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
目 链
接
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11
►变式训练
2．如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求 证：BF＝CF.
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5
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行 线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、 F，那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点．
如下图所示．
栏 目 链 接
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6
点评：求作已知线段AB的n等分点的一般作法：过线
段AB的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次 栏
栏 目 链 接
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16
分析：由于 OE∥AB，OA＝OC，根据平行线等分线段定理的推论 1，
得出 E 是 BC 的中点，所以 BE＝EC＝12BC＝12AD.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
栏
目
∴OA＝OC，BC＝AD，
链 接
又∵OE∥AB，∴BE＝CE＝12BC，
又∵AD＝6，∴BE＝12BC＝12AD＝3.
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC， 所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE， 即AE＝ME.
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9
证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点． 又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF.
人教A版高中数学选修4-1课件 平行线平分线段定理课件
请同学们独立完成证明过程
A
E
B
达标检测
1、已知梯形ABCD中，AB//DC，E为AD中点，EF//BC，求证：BC＝2EF.
2、已知梯形ABCD 中，AD//BC，∠ ABC＝90°，M是 CD的中点，求证：A M＝BM.
3、已知AC⊥ AB，DB⊥ AB，O是CD的中点，求证：OA＝OB.
4、在ABC中，D为AB的中点， DE//BC.求证：DE＝BC.
11
11
11
A
l1
l2
B
l3
C
l4
D
A1 ？ B1 ？ C1
？
D1
小组讨论，完成证明
分析：
∵ 如图 ,l ∥l ∥l 且 AB =BC
1
2
3
∴ A B =B C
11
11
∵ 如图，直线l ∥l ∥l 且 BC = CD
2
3
4
∴B C =C D
11
11
A
定理辨析
D
E
1、如图ΔABC中点 D、E三等分AB，D F//EG//BC， DF、EG分别交AC 于点F、G，
从特殊到一般
1、已知：直线l //l //l ,AC//A C 且AB =BC 求证 : A B =B C
1
2
3
11
11
11
A
l1
B
l2
l3
C
A1 B1 C1
问题：从图形中我们能够找到哪些平行四边形吗？
预设：
四边形ABA B 为平行四边形 11
四边形BCC B 为平行四边形 11
问题：我们能否利用平行四边形性质得到 A B B C ?
人教A版高中数学选修4-1全册课件
● 在三角形ABF中， ● ∵AF∥ME，且M为AB的中点， ● ∴E为BF的中点，故BE＝EF. ● 同理，在三角形CDE中， ● ∵CE∥NF，且N为CD的中点， ● ∴F为DE的中点，故DF＝EF. ● ∴BE＝EF＝FD．
●
平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有
线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其推论证题．
● A．AE＝CE ● B．BE＝DE ● C．CE＝DE ● D．CE >DE ● 【答案】C
● 4．如图所示，AB∥CD∥EF且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于( )
● A．9
B．10
● C．11
D．12
● 【答案】A
•平行线等分线段定理
● 【例1】 如图所示，已知M，N分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，CM 交BD于点E，AN交BD于点F，请你探讨三条线段BE，EF，FD之间的关系， 并给出证明．
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●第2课时 平行线分线段成比例定理
● 1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
________．
成比例
● 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对
应线段________．
成比例
3．比例的性质：
(1)比例的基本性质：若 bd≠0，则ab＝dc⇔_a_d_＝__bc___.特殊
1．如图所示，a∥b∥c，那么下列结论中错误的是( ) A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC D．由 GH＝12FH 可得 CD＝DE 【答案】B
•经过三角形一边的中点与另一 边平行的直线必平分第三边
高三总复习人教A版数学(理)配套课件：选修4-1 第2讲
7
• 1. 圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理 • (1)圆周角定理
• 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 ________的一半．
• (2)圆心角定理 • 圆心角的度数等于它所对弧的________． • 推论1：同圆或等圆中同弧或等弧所对的
________相等，相等的________所对的弧也 相等．
15
• 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦BC与小圆相切于点A，若BC＝6，则由这 两个同心圆所构成的圆环的面积为 ________．
16
• 4．直线与圆位置关系的有关定理
定理
内容
切割线 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到 定理 割线与圆交点的两条线段长的______
相交弦 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 定理 ________相等
• (2)如图，PE是⊙O的切线，PAB与PCD是 ⊙O的割线，PA＝AB＝1，则PE＝________， PC·PD＝________.
18
• 1. 圆心角 度数 圆周角 圆周角 直角 直径 圆周角 一半
• 想一想：提示：只有同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧才相等．
• 填一填：(1)100° (2)70°
21
• 例1 [2011·辽宁高考]如图，A，B，C，D四 点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交 于E点，且EC＝ED.
• (1)证明：CD∥AB； • (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG， • 证明：A，B，G，F四点共圆．
22
• [审题视点] (1)结合圆内接四边形对角互补 可证CD∥AB.(2)证出四边形ABGF对角互补， 即可证出四点共圆．
割线定 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线 理 与圆的交点的两条线段长的________相等
• 1. 圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理 • (1)圆周角定理
• 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 ________的一半．
• (2)圆心角定理 • 圆心角的度数等于它所对弧的________． • 推论1：同圆或等圆中同弧或等弧所对的
________相等，相等的________所对的弧也 相等．
15
• 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦BC与小圆相切于点A，若BC＝6，则由这 两个同心圆所构成的圆环的面积为 ________．
16
• 4．直线与圆位置关系的有关定理
定理
内容
切割线 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到 定理 割线与圆交点的两条线段长的______
相交弦 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 定理 ________相等
• (2)如图，PE是⊙O的切线，PAB与PCD是 ⊙O的割线，PA＝AB＝1，则PE＝________， PC·PD＝________.
18
• 1. 圆心角 度数 圆周角 圆周角 直角 直径 圆周角 一半
• 想一想：提示：只有同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧才相等．
• 填一填：(1)100° (2)70°
21
• 例1 [2011·辽宁高考]如图，A，B，C，D四 点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交 于E点，且EC＝ED.
• (1)证明：CD∥AB； • (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG， • 证明：A，B，G，F四点共圆．
22
• [审题视点] (1)结合圆内接四边形对角互补 可证CD∥AB.(2)证出四边形ABGF对角互补， 即可证出四点共圆．
割线定 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线 理 与圆的交点的两条线段长的________相等
数学人教A版选修4-1课件：本讲整合1
-9-
本讲整合
专题一 专题二 专题三
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专题归纳
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证明 :∵PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE. ∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠ CAE,
∴△CPQ∽△CEA.∴ ������������ = ������������.
同理可得
������������
������������
专题归纳
高考体验
专题三 平行线分线段的性质应用 平行线分线段的相关定理即平行线等分线段定理、平行线分线 段成比例定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得 的线段所呈现的规律;主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计 算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法, 其中,平行线等分线段定理是线段的比为1的平行线分线段成比例 定理的特例.
-6-
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专题一 专题二 专题三
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专题归纳
高考体验
应用2如图,AD,CF是△ABC的两条高线,在AB上取一点P,使 AP=AD,再从点P引BC的平行线与AC交于点Q.
求证:PQ=CF. 提示:利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.
-7-
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专题一 专题二 专题三
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专题归纳
∴
������������ ������������
=
������������ .∴ ������������
������������2 = ������������· EM.
-5-
本讲整合
专题一 专题二 专题三
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专题归纳
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专题二 利用相似三角形证明线段相等 证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三角形 的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法 证不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例 线段来解决.
高中数学新人教A版选修4-1课件：3.3平面与圆锥面的截线
分截的圆分别为S1,S2.
在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和
圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点,
则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平
面间的母线段的长,且为定值.
所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲
成角为α,当截面是椭圆时,其离心率等于(
)
sin cos sin cos
A.
B.
C.
D.
sin cos sin cos
答案:B
【做一做2-2】 双曲线的焦距为4,实轴长为3,则离心率
e=
.
解析:设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则
2c=4,2a=3,
3
2
4
3
于是 c=2,a= . 故e= = .
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题型一
题型二
Z 知识梳理
Z 重难聚焦
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D典例透析
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题型三
解:点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PA⊥m于点A,过点
P作PB⊥平面π'于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2,连接BQ2.
语
言
一条抛物线;如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半
相交,这时的交线为椭圆;当平面与圆锥的两个部分都相交,这
时的交线叫做双曲线
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1
2
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和
圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点,
则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平
面间的母线段的长,且为定值.
所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲
成角为α,当截面是椭圆时,其离心率等于(
)
sin cos sin cos
A.
B.
C.
D.
sin cos sin cos
答案:B
【做一做2-2】 双曲线的焦距为4,实轴长为3,则离心率
e=
.
解析:设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则
2c=4,2a=3,
3
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4
3
于是 c=2,a= . 故e= = .
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题型三
解:点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PA⊥m于点A,过点
P作PB⊥平面π'于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2,连接BQ2.
语
言
一条抛物线;如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半
相交,这时的交线为椭圆;当平面与圆锥的两个部分都相交,这
时的交线叫做双曲线
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人教A版高中数学选修4-1-1.1 平行线等分线段定理-课件(共17张PPT)
求证；A1B1=B1C1
2、已知：直线，l1∥l2∥l3，AB=BC 求证；A1B=BC1
AB BC
A
l1
B
l2
l3
C
A1
？B1 ？C1
图1
l1
A1
A
？
3 1
l2
B
l3
2 4
？
C
C1
图2
图1
图2
练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3，AB=BC。l1
A1 A E
3
求证； A1B1=B1C1
l2
形是平行四边形。
分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
A
M
B
？ ？F ？ E
D
N
C
练习 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点。
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB
于点E
A
B
又∵在梯形ABCD中，MD=有M线C 段中点E时，常过
∴AE=EB
该点作平行线，构造
易证ME是AB的垂直平分线平 及行 推线 论等的分基线本段图定形理。
如图：有块直角三角形菜地，分配给张，王，
李三家农民耕种，已知张，王，李三家人口分
别为2人，4人，6人，菜地分配方法按人口比
例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，
P处是三家合用的肥料仓库，所以点P必须是三
l
A1 A2 A3
图1
l
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l
A1 A2 A3
l
B1 B2
l1 l2
B3 l3
2、已知：直线，l1∥l2∥l3，AB=BC 求证；A1B=BC1
AB BC
A
l1
B
l2
l3
C
A1
？B1 ？C1
图1
l1
A1
A
？
3 1
l2
B
l3
2 4
？
C
C1
图2
图1
图2
练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3，AB=BC。l1
A1 A E
3
求证； A1B1=B1C1
l2
形是平行四边形。
分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
A
M
B
？ ？F ？ E
D
N
C
练习 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点。
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB
于点E
A
B
又∵在梯形ABCD中，MD=有M线C 段中点E时，常过
∴AE=EB
该点作平行线，构造
易证ME是AB的垂直平分线平 及行 推线 论等的分基线本段图定形理。
如图：有块直角三角形菜地，分配给张，王，
李三家农民耕种，已知张，王，李三家人口分
别为2人，4人，6人，菜地分配方法按人口比
例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，
P处是三家合用的肥料仓库，所以点P必须是三
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A1 A2 A3
图1
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B1 l1 B2 l2
B3 l3
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A1 A2 A3
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B1 B2
l1 l2
B3 l3