安徽建筑大学高等数学(下)试卷参考解答
安 徽 建 筑 工 业 学 院2008-2009-3高等数学A期末考试试卷(A)附答案
共 4 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 高等数学A 期末考试学期 08-09-3得分适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xz x x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是 ；2. 设u =(1,2,0)u=grad ；3. 设幂级数nn n a x ∞=∑的收敛半径是2，则幂级数0(1)1n nn a x n ∞=++∑的收敛区间是 ；4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰ 的值是 ；5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是 ；6. 将函数1,01()2,1x f x x x π-≤<⎧=⎨≤<⎩在[0,]π上展开为余弦级数，其和函数()S x 在点21x π=-处的函数值(21)S π-= ；7. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则积分1d (1i)(3)C z z z ---⎰ 的值是 ；8. 留数21Res sin,0z z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 9.取n a = ，可使得级数2nn a∞=∑收敛，且级数2ln nn an ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)共 4 页 第 2 页10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z z x x y∂∂∂∂∂.11．（本小题满分7分）判别级数1e 1nn n∞=-∑的敛散性，并说明理由．12．（本小题满分8分）判别级数11(1)2ln nn n n∞=--∑是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由.共 4 页 第 3 页13. （本小题满分8分） 将函数()1(1)f x x x =-≤展开为以2为周期的Fourier 级数.三（14）．（本题满分7分）求幂级数21nn nx∞=∑的收敛域与和函数.四（15）。
[理学]河海大学高等数学高等数学下册1-15考试试卷及解答
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高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
2012-2013学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案
安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵，若0AB =，则__________． t =2、若A 为三阶矩阵，行列式 2A =，2B A =，B ∗为B 的伴随矩阵，则 B ∗=__________．3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =，122a =，130a =，且余子式，31 8M =−32M x =，，则3319M =x =__________．4、已知向量组，，，，若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不．能．由12,,3ααα线性表示，则k =__________．5、若阶矩阵n A 的秩为，且1n −A 的各行元素之和均为，则齐次线性方程组00AX =的通解是__________．二、选择题（每小题3分，共15分）得分6、已知A ，B ，C 均为阶矩阵，则下列结论正确的是 （ ）n A ． 22()2A B A AB B +=++2m B ．，其中为正整数 ()m m AB A B =m C ．若AB AC =且，则0A ≠B C =D ．若，则ABCE =BCA E =，其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α，2α均为维向量，向量n 1β，2β，3β均可以由1α，2α线性表示，则下列结论正确的是 （ ） A ．1β，2β，3β必线性无关 B ．1β，2β，3β必线性相关C ．仅当1α，2α线性无关时，1β，2β，3β线性无关D ．仅当1α，2α线性相关时，1β，2β，3β线性相关8、设A 为矩阵，则下列结论正确的是 （ ） m n × A ．若，则方程组m n <AX b =必有无穷多解B ．若，则方程组m n <0AX =必有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C ．若A 有阶子式不为零，则方程组n 0AX =仅有零解D ．若A 有n 阶子式不为零，则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中，哪个不是．．“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件 （ ） A ．A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B ．1A =，且对任意i j ,1,2,,n "，有ij ij a A = =C ．为正交矩阵 T A D ．1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==，E 为三阶单位矩阵，且|，则||A E −=0|A 为 （ ）A ．−B ．C ．224−D ．4三、计算题（每小题9分，共54分）得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1，其中．120n a a a ≠"答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求:（1）T βα；（2）． 2A13、已知矩阵，判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆．如果可逆，求；如果不可逆，请说明理由． 1A −14、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知，，若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似，求a ，b 的值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解，求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解．四、分析计算题（每小题10分，共10分）得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,（1）判断二次型是否正定；（2）利用正交变换X QY =化二次型为标准形，并求出相应的正交矩阵． Q得分五、证明题（每小题6分，共6分）18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =，其中E 为阶单位矩阵，若n 2B A A =+，证明B 可逆，并求B 的逆矩阵．安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、；2、256；3、；4、3−4−1−；5、，其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题（每小题3分，共15分）6、D ；7、B ；8、C ；9、A ； 10、D三、计算题（每小题9分，共54分）11、解：从第二行起，每行减去第一行，再从第二列起，第i 列的1ia a 倍加到第一列上，得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ．．．．．．（4分） 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑""""""""""．．．．．．．（9分） 12、解：（1）因为，()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以． ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．（5分）（2）2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟． ．．．．．．（9分）13、解：利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆，并求出1A −：()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，．．．．．．（7分）故A 可逆，且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠． ．．．．．．（9分）（注：若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆，则给3分；之后正确求出1A −，则给9分．）14、解：依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， ．．．．．．（5分）故，()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3122ααα=+． ．．．．．．（9分）15、解：由相似矩阵的性质，一方面A B =，即381b +=−，得．3b =− ．．．．．．（5分）另一方面，相似矩阵有相同的特征值，故()()tr A tr B =， 即2，得．5a +=+b 0a =．．．．．．（9分）16、解：依题意，对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠， 故当2λ=−时，()()2r A r A ==，方程组有无穷多个解． ．．．．．．（4分）此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩，令自由未知量，得该方程组的一个特解．30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为，(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为，其中为任意常数． ．．．．．．（9分）(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题（每小题10分，共10分）17、解：（1）因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0，所以A 的特征值为125λλ==，34λ=−．由于A 有一个特征值为负数，故A 不正定，该二次型不正定．．．．．．．（4分）（2）对于方程组(5，)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−，．2(1,0,1)T ξ=−先正交化，得111(,1,0)2T ηξ==−，2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−，再单位化，得111(T )ηγη==，222(Tηγη==． 对于方程组(4，解得基础解系， )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==． ．．．．．．（6分） 故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝， f 的标准形为221255423f y y y =+−． ．．．．．．（10分）五、证明题（每小题6分，共6分）18、证明：一方面，由32A E =知，A 可逆且1212A A −=． 另一方面，由32A E =得，33A E E +=，即2()()3A E A A E E +−+=，所以A E +可逆，且121()(3)A E A A −E +=−+． ．．．．．．（4分）由A ，A E +均可逆知，2()B A A A A E =+=+也可逆，且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+． ．．．．．．（6分）。
高等数学参考解答 (1)
习题1.1(A)组1. 求以下函数的定义域 (1) 232+-=x x xy (2) 241x y -= (3) 112--=x x y2. 求下述函数的反函数(1) 11-+=x x y (2) 12-=x y 3. 请回答以下问题(1) 如果函数)(x f y =满足：存在常数N M ,，使得M x f N ≤≤)(，问函数)(x f y =是否有界？(2) 有界函数的图像具有什么特征？(3) 奇函数的图像具有什么特性？偶函数的图像具有什么特性？(4) 周期函数的图像具有什么特性？(5) 单调增、单调减函数的图像分别具有什么特性？4. 给定函数的图像如下：试问，(1) 它们对应函数的零点分别是多少？ (2) 函数在y 轴上的截距大约是多少？5. 给定分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=010001)sgn(x x x x 试问，这一函数的定义域是什么？试画出这一函数的图像。
解答：1. (1) 2320x x -+>，从而2x >或1x <，即 ),2()1,(+∞-∞Y(2) 240x -> 解得 )2,2(-(3) 210x -≠，从而，定义域为：),1()1,1()1,(+∞---∞Y Y2. (1) 由11-+=x x y 解出x 可得11y x y +=-，因此反函数为：11-+=x x y (2) 函数值域为：[1,)-+∞，对于每一个大于1的函数值，都有两个x 与之对应，因此，无反函数3. (1)有界 (2) 有界函数的图像夹在两条平行于x 轴的平行直线之间(3) 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称(4) 周期函数的图像在横轴上以一个周期长度为单位重复出现(5) 单调增函数的图像随自变量取值的增大而上升，单调减函数的图像随自变量取值的增大而下降4. (1) 对应函数的零点分别为：3 ,1 ,2-=x (2) 函数在y 轴上的截距大约是65. 定义域为),(+∞-∞，图像略。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷与参考答案
成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))在区间[-2, 2] 上的最大值为：A、2B、4C、6D、82、已知函数(f(x)=e x lnx)，则该函数的定义域是：A.((0,+∞))B.((−∞,0))C.((0,1))D.((1,+∞))3、设函数f(x)=x3−3x2+2在区间[−1,3]上的最大值为M，最小值为m。
则M−m 的值是：A. 4B. 6C. 8D. 10)，则该函数的间断点是：4、设函数(f(x)=11+x2A.(x=0)B.(x=1)C.(x=−1)D.(x)无间断点5、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则该函数在区间 [-2, 2] 上的最大值为：A、4B、3C、2D、16、设函数f(x)=x3−6x2+9x+1，则该函数的极值点为：A.x=1B.x=2C.x=3D.x=47、若函数(f(x)=ln(x2+1))，则(f(x))在(x=1)处的导数(f′(1))是：)A、(12B、1C、2)D、(238、设函数(f(x)=x3−6x2+9x+1)，则函数的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 39、设函数(f(x)=3x2−4x+5)，则该函数的对称轴为：A.(x=1))B.(x=−13)C.(x=23D.(x=2)10、在下列函数中，连续函数为：（）)（x∈R）A.(f(x)=1x3)（x∈R）B.(f(x)=√xC.$( f(x) =)$D.(f(x)=|x|)（x∈R）)，则(f′(0))的值为：11、已知函数(f(x)=1x2+1A. 0B. 1C. -1D. 不存在)，求(f′(x))。
12、设函数(f(x)=2x+3x−1)A.(2(x−1)2B.(2x2−1)C.(2(x+1)(x−1))D.(1x−1)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数(f(x)=e ax+b)，其中(a,b)为常数，若(f(x))的单调递减区间为((−∞,1a))，则(a)的取值范围为______ 。
2017年安徽建筑大学高数真题
2017年安徽建筑大学专升本《高等数学》试卷一、选择题（4题，每小题5分，共20分）1.设函数)(x f 在0x x =处可导，则下列四个极限中等于)(0x f '的是（）A、00)()(lim 0x x x f x f x x --→B、t )t ()t (lim000t --+→x f x f C、t)()t -(lim000t x f x f -→D、t)t ()(lim000t --→x f x f 2.设11-≤≤x ，则=+x x arccos arcsin （）A、0B、πC、2πD、-2π3.二元函数),(y x f 在点),(00y x f 处存在偏导数是这个二元函数在该点可微分的（）条件A、必要而不充分B、充分而不必要C、必要且充分D、既不充分也不必要4.设D 为圆周222R y x =+所围成的区域，则⎰⎰=+Ddxdy y x 22（）A、⎰⎰=DRRdxdy 3πB、3022032R d d Rπρρϕπ=⎰⎰C、220R d d Rπρρϕπ=⎰⎰D、32202R d R d Rπρϕπ=⎰⎰二、填空题（4题，每小题5分，共20分）1.=-++∞→x x x 32lim 。
2.=+-⎰dx x x 1222。
3.设二元函数)2ln(3y x z +=则全微分=dz 。
4设区域D 是由直线x y x y ===、及、31围成的三角形区域，则⎰⎰=Dxyd σ。
三、解答题（6题，每小题10分，共60分）1、若5222lim =-++→x bax x x ，求a、b 的值。
2、设函数)1ln()(2x x e e x f ++=，求)(x f '3、求函数)693()(23+--=x x x x f 在区间[]44、-上的最大值和最小值4、求不定积分dx x x ⎰3cos 2sin5、求定积分dx x x ⎰++401236、求微分方程x x y y 2sin tan =+'的通解。
安徽建筑大学高等数学(下)试卷参考解答
安徽建筑大学高等数学（下）试卷参考解答2013-2014学年第二学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设12=+z xe z y ，则()0,1dz=2edx dy --.2．空间曲面1532:222=++∑z y x 在点(1,1,2)-处的法线方程为1122412x y z -+-==-.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质： ①),(y x f 在点00(,)x y 处连续，②),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ③),(y x f 在点00(,)x y 处可微，④),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“Q p ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ， 则有（ .A ）.A ②⇒③⇒① .B ③⇒②⇒① .C ③⇒④⇒① .D ③⇒①⇒④2．设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个偏导数存在，则),(00y x f x '=0，),(00y x f y '=0是),(y x f 在点00(,)x y 处取得极值的（.B ）.A 充分但非必要条件 .B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件4．0)(22='''+''y x y 是（.C ）微分方程.A 一阶 .B 二阶 .C 三阶 .D 四阶5．微分方程xe x y y y 2)13(6--=-'-''的特解形式为（ .B ）.A x e b ax y 2)(*-+= .B x e b ax x y 2)(*-+=.C xe b ax x y 22)(*-+=.D x x e C e C y 3221*+=-三、（8分）设),(22yx y x f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：1212z xf f x y∂''=+∂， 2111222122222112[2()][2()]z x xx yf f f f y f x y y y y y∂'''''''''=+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 21112222232214(2)x x xyf f f f y y y'''''''=+---. 七、（10分）求微分方程0)(22='+''y x y 满足初始条件(0)0,(0)1y y '==-的特解. 解：令y p '=，原方程化为220p xp '+=，即212dp xdx p -=，积分得：21x C p =+， 21p x C=+.又(0)1y '=-，得1C =-. 211y x '=-，12111ln 211x y dx C x x -==++-⎰ ， 将(0)0y =代入得10C =，所以特解为11ln21x y x -=+.八（10分）求函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面2225x y z ++=(0,0,0)x y z >>>上的最大值.解： 令222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z λ=+++++-.由2220,0,0, 5.x y z F F F x y z '=⎧'=⎪⎨'=⎪++=⎩得222120,120,320,5.x x y y z z x y z λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪++=⎩， 解得1,1,3.x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩由于问题的解是唯一存在的.所以此驻点就是所求的最大值点(1,1,3).此时最大值为3ln 32.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2002-2003学年第 二 学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -.5．微分方程0='+''y y x 的通解为12ln y C x C =+.二、选择题（每小题3分，共15分）1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(222222,y x y x yx xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在.D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ）.A 32x y z -==- .B 326yx z -==-.C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--=5．设xx x x xe e y e x y xe y +=+==2321,)1(,为某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该方程的通解为（ .D ），其中321,,C C C 为任意常数..A 332211y C y C y C ++.B 11223C y C y y ++.C x x x xe e e C eC -++2221.D x x xxe e C eC ++221三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂.（本题10分）解：122()zx y f yf x∂''=-+∂， 212(2())z x y f yf x y y∂∂''=-+∂∂∂ 1111222()[2()]f x y x y f xf '''''=-+---+22122[2()]f y y x f xf '''''++-+ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f ''''''''=---+-++ .四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.解：在闭区域D 内，由100x y f y f x ⎧'⎪=-=⎨'==⎪⎩得驻点(0,1)，(0,1)0f =. 在D 的边界)0(322≥=+y y x 上， 令22(,,)(1)(3)F x y x y x y λλ=-++-，由22120,20,3.xy F y x F x y x y λλ⎧'=-+=⎪'=+=⎨⎪+=⎩得{2,1,x y ==(2,1)0f =. 在D 的边界x 轴上，()3,0，()3,0-，()3,03f=-，()3,03f -=，比较以上各函数值，知最大值为()3,03f -=，最小值为()3,03f =-.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2003-2004学年第 二 学期一、填空题 （每小题3分，满分15分）1．微分方程02)(3=-+xdy dx x y 满足56|1==x y 的特解为315y x x =+.5．曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是245x y z +-=.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ .D ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件2．微分方程xe x y y y 2323-=+'-"的特解形式为（ .D ）.A ()x ax b e + .B ()x ax b xe +.C ()xax b ce++ .D ()x ax b cxe ++4．．若),(y x f 函数在),(00y x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且满足2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ->，则),(00y x (.A ).A 必不为),(y x f 的极值点.B 必为),(y x f 的极大值点.C 必为),(y x f 的极小值点.D 可能不是),(y x f 的极值点。
成人高考成考高等数学(二)(专升本)试卷及解答参考
成人高考成考高等数学(二)(专升本)复习试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、设函数(f(x)=2x−3x)，则函数的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 02、设函数(f(x)=e x sinx)，则该函数的导数(f′(x))为：A.(e x(sinx+cosx))B.(e x(sinx−cosx))C.(e x cosx)D.(e x sinx)3、设函数f(x)=x3-6x2+9x，若函数在x=1处取得极值，则该极值是：A. 4B. 0C. -4D. 84、下列函数中，定义域为实数集的有（）A、f(x) = √(x^2 - 1)B、g(x) = 1/xC、h(x) = |x| + 1D、k(x) = √(-x)5、设函数(f(x)=x3−3x+2)，则(f(x))的极值点为：A.(x=−1)和(x=1)B.(x=−1)和(x=2)C.(x=0)和(x=1)D.(x=0)和(x=2)6、设函数(f(x)=3x2−4x+1)，则该函数的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 水平D. 垂直)，其定义域为((−∞,0)∪(0,+∞))，则函数(f(x))在(x=0)处7、设函数(f(x)=1x的极限值为：A. -∞B. +∞C. 0D. 不存在8、若函数(f(x)=x3−3x2+4x+1)在点(x=1)处可导，且其导数的反函数为(g(x))，则(g′(1))等于：B. -1C. 0D. 29、若函数(f(x)=11+x2)的定义域为(D f)，则(D f)为：A.((−∞,+∞))B.((−∞,−1)∪(−1,+∞))C.((−∞,−1]∪[−1,+∞))D.((−1,1]∪[1,+∞))10、设函数f(x)=1xlnx，则f(x)的导数f′(x)为：A.−1x2lnx+1x2B.1x2lnx−1x2C.1x lnx−1x2D.−1x lnx+1x211、设函数(f(x)=11+x2)，则(f′(0))的值为：A.(−1)B.(0)C.(12)D.(11+02)12、设函数f(x)=x 3−3xx2−1，则f′(1)的值为：A. 1C. 0D. 无定义二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、设函数f(x) = x² - 3x + 2，若f(x)在x=1处的导数为0，则f(x)的极值点为______ 。
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安徽建筑大学高等数学（下）试卷参考解答2013-2014学年第二学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设12=+z xe z y ，则()0,1dz=2edx dy --.2．空间曲面1532:222=++∑z y x 在点(1,1,2)-处的法线方程为1122412x y z -+-==-.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质： ①),(y x f 在点00(,)x y 处连续，②),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ③),(y x f 在点00(,)x y 处可微，④),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“Q p ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ， 则有（ .A ）.A ②⇒③⇒① .B ③⇒②⇒① .C ③⇒④⇒① .D ③⇒①⇒④2．设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个偏导数存在，则),(00y x f x '=0，),(00y x f y '=0是),(y x f 在点00(,)x y 处取得极值的（.B ）.A 充分但非必要条件 .B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件4．0)(22='''+''y x y 是（.C ）微分方程.A 一阶 .B 二阶 .C 三阶 .D 四阶5．微分方程xe x y y y 2)13(6--=-'-''的特解形式为（ .B ）.A x e b ax y 2)(*-+= .B x e b ax x y 2)(*-+=.C xe b ax x y 22)(*-+=.D x x e C e C y 3221*+=-三、（8分）设),(22yx y x f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：1212z xf f x y∂''=+∂， 2111222122222112[2()][2()]z x xx yf f f f y f x y y y y y∂'''''''''=+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 21112222232214(2)x x xyf f f f y y y'''''''=+---. 七、（10分）求微分方程0)(22='+''y x y 满足初始条件(0)0,(0)1y y '==-的特解. 解：令y p '=，原方程化为220p xp '+=，即212dp xdx p -=，积分得：21x C p =+， 21p x C=+.又(0)1y '=-，得1C =-. 211y x '=-，12111ln 211x y dx C x x -==++-⎰ ， 将(0)0y =代入得10C =，所以特解为11ln21x y x -=+.八（10分）求函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面2225x y z ++=(0,0,0)x y z >>>上的最大值.解： 令222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z λ=+++++-.由2220,0,0, 5.x y z F F F x y z '=⎧'=⎪⎨'=⎪++=⎩得222120,120,320,5.x x y y z z x y z λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪++=⎩， 解得1,1,3.x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩由于问题的解是唯一存在的.所以此驻点就是所求的最大值点(1,1,3).此时最大值为3ln 32.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2002-2003学年第 二 学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -.5．微分方程0='+''y y x 的通解为12ln y C x C =+.二、选择题（每小题3分，共15分）1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(222222,y x y x yx xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在.D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ）.A 32x y z -==- .B 326yx z -==-.C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--=5．设xx x x xe e y e x y xe y +=+==2321,)1(,为某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该方程的通解为（ .D ），其中321,,C C C 为任意常数..A 332211y C y C y C ++.B 11223C y C y y ++.C x x x xe e e C eC -++2221.D x x xxe e C eC ++221三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂.（本题10分）解：122()zx y f yf x∂''=-+∂， 212(2())z x y f yf x y y∂∂''=-+∂∂∂ 1111222()[2()]f x y x y f xf '''''=-+---+22122[2()]f y y x f xf '''''++-+ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f ''''''''=---+-++ .四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.解：在闭区域D 内，由100x y f y f x ⎧'⎪=-=⎨'==⎪⎩得驻点(0,1)，(0,1)0f =. 在D 的边界)0(322≥=+y y x 上， 令22(,,)(1)(3)F x y x y x y λλ=-++-，由22120,20,3.xy F y x F x y x y λλ⎧'=-+=⎪'=+=⎨⎪+=⎩得{2,1,x y ==(2,1)0f =. 在D 的边界x 轴上，()3,0，()3,0-，()3,03f=-，()3,03f -=，比较以上各函数值，知最大值为()3,03f -=，最小值为()3,03f =-.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2003-2004学年第 二 学期一、填空题 （每小题3分，满分15分）1．微分方程02)(3=-+xdy dx x y 满足56|1==x y 的特解为315y x x =+.5．曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是245x y z +-=.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ .D ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件2．微分方程xe x y y y 2323-=+'-"的特解形式为（ .D ）.A ()x ax b e + .B ()x ax b xe +.C ()xax b ce++ .D ()x ax b cxe ++4．．若),(y x f 函数在),(00y x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且满足2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ->，则),(00y x (.A ).A 必不为),(y x f 的极值点.B 必为),(y x f 的极大值点.C 必为),(y x f 的极小值点.D 可能不是),(y x f 的极值点。
三（10分）、求微分方程0)(2='+"y yy 满足初始条件21,1|00='===x x y y 的特解. 解：令y p '=，dp y pdy ''=.原方程化为20dpyp p dy+=， 当0p =时，0dydx=，y C =；当0p ≠时，0dp yp dy +=，dp dyp y=-，1C p y =，即1C y y '=，1ydy C dx =，21212y C x C =+.代入初始条件，得1211,22C C == . 所求特解为21y x =+ .四（15分）、设),(z y y x f u =，其中f 具有二阶连续偏导数，求du 及zy u∂∂∂2.解：11u f x y ∂'=∂，1221u x f f y z y∂''=-+∂，22u yf z z∂=-∂. 11222211()x ydu f dx f f dy f dz y z y z''''=+-++-. 21221()u x f f y z z zy ∂∂''=-+∂∂∂ 12222222211[()][()]x y yf f f z y z z z'''''=-⋅--+- 122222321x y f f f yz z z'''''=--.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2004--2005学年第 二 学期一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设x yz e-=，则z zx y∂∂+∂∂=0．2．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P 的坐标为(1,1,2)．5．微分方程2xy y x '-=的通解为()y x x C =+．二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1。
设(),z f x y =为二元函数，则下列结论正确的是（ .D ）.A 若(),f x y 在点()0,0x y 处偏导数都存在，则lim oox xy y →→(),f x y 存在；.B 若(),f x y 在点()0,0x y 处连续，且偏导数都存在，则(),f x y 在点()0,0x y 处可微；.C 若(),f x y 在点()0,0x y 处可微，则(),f x y 在点()0,0xy 处偏导数连续；.D 若(),f x y 在点()0,0x y 处偏导数都连续，则(),f x y 在点()0,0x y 处连续．2.设函数(),z z x y =由方程220x y z xyz ++-=所确定，则(),z z x y =在点(1,1)--处沿方向{}3,4l =的方向导数为（ .A ）.A 485-.B 485.C 48- .D 485.微分方程()21y y '''=+的通解为（.C ）.A 12ln(cos )y x C C =-++.B 12ln(cos )y xC C =++.C ()12lncos y x C C =-++.D ()12lncos y x C C =++三(10分)、设()22,z f x y xy =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.解： 122zxf yf x∂''=+∂，21112212222[2][2]zx yf xf y f y xf f x y∂'''''''''=++⋅++∂∂ 2211122224(22)xyf x y f xyf f '''''''=++++.四（12分）、 设()22,44f x y x y x y =--- ，（1）求(),f x y 的极值；（2）求(),f x y 在闭圆盘229x y +≤上的最大值和最小值.解：（1）42x f x '=-，42y f y '=--，2xxA f ''==-，0xyB f ''==，2yyC f ''==-. 由{0,0,x y f f '='=得{420,420,x y -=-+=，解得驻点(2,2)-.由于20AC B ->，0A <，所以(2,2)-是极大值点，极大值为(2,2)8f -=. （2）令2222(,,)44(9)L x y x y x y x y λλ=---++-.由22420,420,90,x y xL x L y L x y λλ⎧'=+=⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩解得驻点3232,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭及3232,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. max (2,2)8f f =-=，min 3232,122922f f ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2005-2006学年第 二 学期一、填空题（每小题3分，共15分） 1．曲面ln 0y x e z -+=在点（1，0，1）处的切平面方程为2x y z -+= .5．微分方程tan cos y y x x '+=的通解为()cos y x C x =+ .二、选择题（每小题3分，共15分） 1．考虑二元函数(,)f x y 的下面5条性质 ①当00(,)(,)x y x y →时(,)f x y 的极限存在， ②(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，③(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在， ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ⑤(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．若用“P Q ⇒”表示可由性质Ｐ推出性质Ｑ，则下列结论正确的是（A ）A ④⇒⑤⇒②⇒①．B ④⇒⑤⇒③⇒①．C ⑤⇒④⇒③⇒②．D ⑤⇒③⇒②⇒①．4．12ln x y C C e +=为微分方程（ B ）的通解．A 2yy y '''=B 2yy y yy ''''-=C 22yy y y '''-= D yy y ''''= 5．设二阶非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=有三个线性无关的特解123,,y y y ，则该方程的通解为（ D ）A11223y C y C y y =++．B 113223()()yC y y C y y =-+-．C 1122123(1)y C y C y C C y =+---．D1122123(1)y C y C y C C y =++--．三、（本题满分10分）设(,ln ())z f xy x g y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 可导，求2z x y∂∂∂．解： 121x z f y f x''=⋅+⋅ 1111221221()()xy z f y f x f g f x f g x'''''''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅11112221(1)f xyf yg f g f x'''''''=++++四、（本题满分10分）求椭圆2244x y +=上的点到直线2360x y +-=的最长距离和最短距离．解：设(,)x y 为椭圆上任意一点，则该点到直线2360x y +-=的距离为23649x y d +-=+.构造Lagrange 函数222(,,)(236)(44)F x y x y x y λλ=+-++-， 则由22(,,)4(236)20,(,,)6(236)80,(,,)440.x y F x y x y x F x y x y y F x y x y λλλλλλ'=+-+=⎧⎪'=+-+=⎨⎪'=+-=⎩ 解得 8,53,555,4x y λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩和 8,53,55.4x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 又该问题最值一定存在，且可能极值点仅有两个，所以min 1831236551313d =⨯+⨯-=,max 18311,236551313d =-⨯-⨯-=.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2006-2007学年第 二 学期一、填空题 （每小题3分，满分15分）1．旋转曲面22z x y =+在点(1,2,4)处的法线方程为 124241x y z ---==-. 5．函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处的方向导数最大值等于21.二、选择题（每小题3分，满分15分）1．函数u xyz =在条件下1111x y z a++=(0,0,0,0)x y z a >>>>下的极值等于（.A ）.A 327a .B 39a .C 33a.D 3a3．设函数(,)f x y 在点(0,0)处的某邻域内有定义，且有2200(,)(0,0)lim 0x y f x y f x y →→-=+，则下列结论不正确的是（ .D ）.A (,)f x y 在(0,0)处连续 .B (,)f x y 在(0,0)处偏导数存在.C (,)f x y 在(0,0)处可微 .D (,)f x y 在(0,0)处某方向l 的方向导数不存在5．方程1x y y e '''-=+的一个特解形式为（ .D ）.A x ae b + .B x axe b + .Cx ae bx + .D x axe bx +三（12分）、设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中()f t 二阶可导，(,)g u v 具有连续的二阶偏导数，求dz 及2zx y ∂∂∂. 解：122z f g yg x ∂'''=++∂，2z f xg y∂''=-+∂.122(2)()dz f g yg dx f xg dy '''''=+++-+.21212222[2]2z f g yg f xg g xyg x y y∂∂''''''''''=++=-+++∂∂∂.八（6分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.解：令y p '=，则y p '''=.原方程化为：2()p x p p '+=，即dx x p dp p-=. 111()()()dpdpp p x e pe dp C p dp C p p C -⎰⎰=+=+=+⎰⎰. 由1(1)1x p y ='==得10C =.故2x p =.∵(1)1y '=∴p x =.即dy x dx=. 解得：32223y x C =+，又(1)1y =，213C =。