典型环节伯德图
绘制伯德图
幅频和相频特性为：
A( ) (1 T 2 2 )2 (2 T )2， ( ) tg 1
1 T 1 ，o ，称为转折频率或交换频率。 T
Monday, March 09, 2015
可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
3
惯性环节的Bode图
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
20dB / Dec
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
T
( )
2.0
-63.4
3.0
-71.5
4.0
-76
5.0
-78.7
7.0
-81.9
10
-84.3
20
-87.1
50
-88.9
100
-89.4
1 1 当 0时， (0) 0;当 时， ( ) ;当 时， () 。 T T 4 2 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0, －45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状 都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向 右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上 下平移。
Monday, March 09, 2015 6
振荡环节的频率特性
K Kn 2 ⒋ 振荡环节的频率特性： G( s) 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
0 L( ) 20 lg K 0 0
K 1 K 1 0 K 1
( )
180
K 0
log
典型环节传递函数及伯德图
1 T
10 T
L( )(dB)
0 0.01
( ) G( j ) 90
0.1 1 10
20
20dB / dec
j
40
( )()
0 90 60 30 0 0.01 0.1 1 10
４.惯性环节 （一阶积分环节，是一个相位滞后环节）
惯性环节的特点：当输入量突变时，输出量不会突变，只能按指数 规律逐渐变化，即具有惯性。 惯性环节的微分方程:
比例环节功能框图
1.比例环节（放大环节）
G( j ) K , L( ) 20lg G( j ) 20lg K G( s) K G( j ) K G( j ) K 0 ( ) G( j ) 0
L( )(dB)
20lgK j 0 K 0 0.1 1 10
1
转折频率
1 T
渐近线 1
10 T
0
0 -20
实际幅相曲线
( )()
0 .1 1 T
20dB / dec
0.707
1 T
0 -45
1 T
10
1 T
5 一阶微分环节
特点：此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且与输 入量的变化率有关。
方块图为:
R( s )
τs + 1
C (s)
６.振荡环节
G jω 1 2 2 L ω 20lg 1 T ω 2 2 T jω 2ζ T jω 1
2ζ Tω
2
2
ω t g1
2ζ Tω 2 2 1 T ω
BODE图的讲解
§5.7 利用闭环频率特性分析系统的性能
共二十三页
§5.3
对数(duì shù)频率特性 ( Bode )
Bode图介绍
(jièshào)
共二十三页
§5.3
对数(duì shù)频率特性 ( Bode)（2）
Bode图介绍(jièshào)
横轴 按 lg 刻度，dec “十倍频程”
绘制开环系统(xìtǒng)Bode图的 步骤
⑴ 化G(j)为尾1标准型
⑵ 顺序列出转折频率
例1
G(s)
s(
40(s 0.5) 0.2)( s2 s 1)
100( s 1)
G(s)
0.5
s( s 1)(s2 s 1)
0.2
0.2 惯性环节
0.5 一阶复合微分
1 振荡环节
⑶ 确定低频特性
例1 根据(gēnjù)Bode图确定系统传递函数。
解. 依图有 G(s) K
Ts 1
30
20lg K 30 K 1020 31.6
转折频率 2 1 T T 0.5
G(s)
3.16 s 1
2
• Bode图与Nyquist图之间的对应(duìyìng)
关系： • 截止频率c：G( jc ) 1
最小转折频率之左 的特性或其延长线
基准点 ( 1, L(1) 20lg K ) 斜率 20 v dB dec
⑷ 叠加作图
一阶
二阶
惯性环节 -20dB/dec
复合微分 +20dB/dec
振荡环节 -40dB/dec
复合微分 +40dB/dec
共二十三页
0.2 惯性环节 -20
《典型环节伯德图》课件
稳定性分析
稳定性定义：系统 在受到扰动后能够 恢复到其原始状态 的能力
稳定性分类：稳定、 不稳定、临界稳定
稳定性分析方法： 伯德图分析、奈奎 斯特图分析、根轨 迹分析等
伯德图分析：通过绘制 伯德图，观察系统在不 同频率下的增益和相位 变化，判断系统的稳定 性。
动态性能分析
伯德图：描述系统动态性能的图形工具 频率响应：系统对不同频率信号的响应 相位裕度：系统稳定性的指标 增益裕度：系统放大能力的指标 动态性能分析方法：如根轨迹法、频率响应法等
MATLAB还提供了丰富的函数库，可以方便地进行各种数学计算和仿真。
Simulink软件介绍
软件名称： Simulink
开发商： MathWorks
公司
软件功能：用 于建模、仿真 和分析动态系
统
应用领域：广 泛应用于控制 工程、信号处 理、通信等领
域
软件特点：图 形化界面，易 于操作，支持 多种编程语言
软件版本：最 新版本为 Simulink 2022a
其他绘制软件介绍
AutoCAD：一款专业的CAD软件，可以绘制 各种类型的伯德图
SolidWorks：一款三维设计软件，可以绘制 伯德图
Inventor：一款三维设计软件，可以绘制伯 德图
SketchUp：一款三维设计软件，可以绘制伯 德图
Blender：一款三维设计软件，可以绘制伯德 图
幅频特性的分析
幅频特性的定义：描述信号在频率域上的分布特性 幅频特性的表示方法：通常采用伯德图或奈奎斯特图 幅频特性的应用：用于分析信号的频率响应、滤波器设计等 幅频特性的测量方法：通过频谱分析仪或示波器等仪器进行测量
相频特性的分析
相频特性的定义：描述信号频率与相位之间的关系 相频特性的表示方法：通常用相频特性曲线表示 相频特性的应用：在信号处理、通信等领域有广泛应用 相频特性的测量方法：通过实验或仿真进行测量
典型环节的Bode图
控制系统的开环频率特性目的：掌握开环Bode图的绘制根据Bode图确定最小相位系统的传递函数重点：开环Bode图的绘制、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数1 开环伯德图手工作图的一般步骤：1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式，计算各个典型环节的交接频率2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数ν3）通过（1,20lgK）绘制斜率为-20vdB/dec低频段4）随着频率增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就改变一次斜率最小相位系统定义：递函数的零点、极点全部位于S 左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。
否则就是非最小相位系统。
对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。
对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。
也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。
非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。
对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。
Tf函数用来建立实部或复数传递函数模型或将状态方程、或零级增益模型转化成传递函数形式。
sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
输出sys 是储存传递函数数据的传递函数目标。
单输入单输出情况下，num和den是s的递减幂级数构成的实数或复数行向量。
这两个向量并不要求维数相同。
如h = tf([1 0],1)就明确定义了纯导数形式h(s)=s。
若要构建多输入多输出传递函数，要分别定义每一个单输入单输出系统的端口的分子与分母。
2 典型环节的伯德图绘制曲线在MA TLAB中实现，利用下述的程序段：num=[b2 b1 b0];den=[1 a2 a1 a0];H=tf(num,den);bode(H)margin(H)hold on2.1 比例环节传递函数：()G s K=频率特性：()G j Kω=对数幅频特性：()20lgL j Kω=对数相频特性：()0ϕω=程序段：num=[0 10]; den=[0 1]; H=tf(num,den);bode(H)margin(H) holdon结论：放大环节的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线。
考研复习题典型环节伯德图
相频特性是：
二阶微分环节与振荡节 的Bode图关于ω轴对称 ，如图5-21。渐近线的 转折频率为，相角变化 范围是00至+1800。 二阶微分环节的Bode图
七不稳定环节
不稳定环节的频率特性是:
其对数幅频特性和相频特性分别为:
不稳定惯性环节的Bode图
二积分环节
积分环节的频率特性是: 其幅频特性为: 对数幅频特性是:
设
，则有: (5-68)
可见，其对数幅频特性是一条 在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝 线（ω轴），且以每增加十倍频率 降低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。 积分环节的相频特性是:
(5-69)
是一条与ω无关，值为-900 且平行于ω轴的直线。积分环 节的对数幅频特性和相频特性 如图5-12所示。
振荡环节的相频特性是:
除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是 阻尼比ξ的函数，随阻尼比ξ变化，相频特性在转折 频率 附近的变化速率也发生变化，阻尼比ξ越小， 变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相 频特性的大致形状。不同阻尼比ξ的相频特性如图520 所示。
振荡环节对数相频特性图
六二阶微分环节
一放大环节（比例环节）
放大环节的频率特性为:
其幅频特性是:
对数幅频特性为:
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角 频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。 当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
尼奎斯特图 伯德图
1．比例环节比例环节的传递函数为G(s)＝K所以比例环节的频率特性为G(j ω)＝K 十j0＝0j Ke其幅相频率特性曲线如图5-2所示。
其中幅值M(ω) ＝K 。
相位移φ(ω)＝00。
并且都与ω无关，它表示输出为输入的K 倍，且相位相同。
图5—2 比例环节幅相频率特性曲线2．积分环节积分环节的传递函数为G(s)＝s1所以积分环节的频率特性为21101)(πωωωωjejj j G -=-==其幅相频率特性曲线如图5—3所示，它是整个负虚轴，且当ω→∞时，趋向原点0，显然积分环节是一个相位滞后环节[因为φ(ω)＝-900]，每当信号通过一个积分环节，相位将滞后900。
图5—3 积分环节幅相频率特性曲线3．微分环节微分环节的传递函数为G(s)＝s所以微分环节的频率特性为20)(πωωωωjej j j G =+==其幅相频率特性曲线如图5—4所示。
是整个正虚轴，恰好与积分环节的特性相反。
其幅值变化与ω成正比：M(ω)＝ω，当ω＝0时， M(ω)也为零，当ω→∞时，M(ω)也→∞。
微分环节是一个相位超前环节[φ(ω)＝+900]。
系统中每增加一个微分环节将使相位超前900。
图5-4 微分环节幅相频率特性曲线4．一阶惯性环节一阶惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G所以一阶惯性环节的频率特性为222211111)(ωωωωωT T jT jT j G +-+=+=幅频特性和相频特性为ωωφωωT tg T M 122)(11)(--=+=由式(5—16)直接可得实频特性和虚频特性为22221)(11)(ωωωωωT T I T R +-=+=并满足下面的圆的方程22221)(21)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωωI R 圆心为⎪⎭⎫⎝⎛0,21，半径为21。
当ω从0→∞时，M(ω)从l →0；φ(ω)从00→-900，因此，一阶惯性环节的频率特性位于直角坐标图的第四象限，且为一半圆，如图5—5所示。
如何绘制伯德图.ppt
j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0
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一放大环节（比例环节）
放大环节的频率特性为:
其幅频特性是:
对数幅频特性为:
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角 频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。 当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
Байду номын сангаас
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
其对数幅频特性与惯性环节相同；相频特性与惯性环 节相比是以 为对称，相角的变化范围是 至 。Bode如图5-22所示
八滞后环节
滞后环节的频率特性是: 其对数幅频特性和相频特性分别为:
滞后环节伯德图如图5-23 所示。其对数幅频特性与 ω无关，是一条与ω轴重 合的零分贝线。滞后相角 由式（5-92）计算，分别 与滞后时间常数τ和角频 率ω成正比。
当有n个积分环节串联时，即: 其对数幅频特性为: 相频特性是一条与ω无关， 值为-n×900 且与ω轴平行 的直线。两个积分环节串联 的Bode图如图5-13所示。
是一条斜率为-n×20dB/dec， 且在ω=1（弧度/秒）处过零 分贝线（ω轴）的直线。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
三惯性环节 惯性环节的频率特性是: 其对数幅频特性是: 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性, 即在 的低频段时， ，与零分贝线重合； 在 的高频段时 是一条斜率为 -20（dB/dec.）的直线。 两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两 条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图514所示。
二阶微分环节的频率特性是： 其对数幅频特性是：
相频特性是：
二阶微分环节与振荡节 的Bode图关于ω轴对称 ，如图5-21。渐近线的 转折频率为，相角变化 范围是00至+1800。 二阶微分环节的Bode图
七不稳定环节
不稳定环节的频率特性是:
其对数幅频特性和相频特性分别为:
不稳定惯性环节的Bode图
惯性环节的相频特性为:
对应的相频特性曲线如图5-14所 示。它是一条由 至 范围内变 化的反正切函数曲线，且以 和 的交点为斜对称.
四一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为:
其对数幅频特性是:
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示， 渐近线的转折频率为 ，转折频率处渐近特性与精 确特性的误差为 ，其误差均为正分贝数 ，误差范围与惯性环节类似。 相频特性是: 当 时，
滞后环节的Bode图
很明显，距离转折频率 愈远 , 愈能满 足近似条件，用渐近线表示 对数幅频特性的精度就愈高 ；反之，距离转折频率愈近 ，渐近线的误差愈大。 等 于转折频率 时，误差最大 ，最大误差为:
时的误差是:
时的误差是: 误差曲线对称于转折频率 ， 如图5-15所示。由图5-15可知，惯 性环节渐近线特性与精确特性的误 差主要在交接频率 上下十倍频 程范围内。转折频率十倍频以上的 误差极小，可忽略。经过修正后的 精确对数幅频特性如图5-14所示。
(5-79)
(5-80)
渐近线的第一段折线与零分贝线（ω轴）重合，对应 的频率范围是0至 ；第二段折线的起点在 处，是一条 斜率为-40（dB/dec）的直线，对应的频率范围是 至∞ 。两段折线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的 转折频率为 。对数幅频特性曲线的渐近线如图5-17所 示。
渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：
二积分环节
积分环节的频率特性是: 其幅频特性为: 对数幅频特性是:
设
，则有: (5-68)
可见，其对数幅频特性是一条 在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝 线（ω轴），且以每增加十倍频率 降低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。 积分环节的相频特性是:
(5-69)
是一条与ω无关，值为-900 且平行于ω轴的直线。积分环 节的对数幅频特性和相频特性 如图5-12所示。
由图5-19可看出，振荡 环节的对数幅频特性在 转折频率 附近产生 谐振峰值，这是该环节 固有振荡性能在频率特 性上的反映。前面已经 分析过，谐振频率ωr 和谐振峰Mr分别为:
振荡环节对数幅频率特性图
其中 称为振荡环节的无阻尼（ξ=0）自 然振荡频率，它也是渐近线的转折频率。由式（581）可知，当阻尼比ξ愈小谐振频率ωr愈接近无阻 尼自然振荡频率ωn，当ξ=0时，ωr=ωn
典型环节伯德图
伯德图又叫对数频率特性曲线，是将幅频特性和相 频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数 幅频特性，后者叫对数相频特性。 两个坐标平面横轴(ω轴)用对数分度，对数幅频特性 的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数， 即L(ω)=20lg|G(jω)|(dB)；对数相频特性的纵轴也是线 性分度，它表示相角的度数，即φ(ω)=∠G(jω)(度)。 通常将这两个图形上下放臵（幅频特性在上，相频特 性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相 角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。
一阶微分环节的相频特性 如图5-16 所示，相角变化 范围是00至900，转折频率 1/T处的相角为450。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
比较图5-16和5-14，可知 ，一阶微分环节与惯性环 节的对数幅频特性和相频 特性是以横轴（ω轴）为 对称的。
五振荡环节 振荡环节的频率特性是: 其对数幅频特性为:
当 时， ，它是阻尼比 ξ的函数；当ξ=1时为-6（dB）; 当ξ=0.5时为0(dB); 当ξ=0.25时为+6(dB)；误差曲线如图5-18所示。
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
图5-18 振荡环节对数幅频特性误差修正曲线
由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比 ξ的函数，且以 的转折频率为对称，距离转折频率 愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时， 误差可忽略不计。经过修正后的对数幅频特性曲线如图 5-19所示。
振荡环节的相频特性是:
除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是 阻尼比ξ的函数，随阻尼比ξ变化，相频特性在转折 频率 附近的变化速率也发生变化，阻尼比ξ越小， 变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相 频特性的大致形状。不同阻尼比ξ的相频特性如图520 所示。
振荡环节对数相频特性图
六二阶微分环节