考研复习题典型环节伯德图
考研复习题典型环节伯德图
其幅频特性是:
对数幅频特性为:
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角 频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。 当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
由图5-19可看出，振荡 环节的对数幅频特性在 转折频率 附近产生 谐振峰值，这是该环节 固有振荡性能在频率特 性上的反映。前面已经 分析过，谐振频率ωr 和谐振峰Mr分别为:
振荡环节对数幅频率特性图
其中 称为振荡环节的无阻尼（ξ=0）自 然振荡频率，它也是渐近线的转折频率。由式（581）可知，当阻尼比ξ愈小谐振频率ωr愈接近无阻 尼自然振荡频率ωn，当ξ=0时，ωr=ωn
当有n个积分环节串联时，即: 其对数幅频特性为: 相频特性是一条与ω无关， 值为-n×900 且与ω轴平行 的直线。两个积分环节串联 的Bode图如图5-13所示。
是一条斜率为-n×20dB/dec， 且在ω=1（弧度/秒）处过零 分贝线（ω轴）的直线。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
三惯性环节 惯性环节的频率特性是: 其对数幅频特性是: 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性, 即在 的低频段时， ，与零分贝线重合； 在 的高频段时 是一条斜率为 -20（dB/dec.）的直线。 两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两 条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图514所示。
二积分环节
积分环节的频率特性是: 其幅频特性为: 对数幅频特性是:
设
，则有: (5-68)
可见，其对数幅频特性是一条 在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝 线（ω轴），且以每增加十倍频率 降低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。 积分环节的相频特性是:
第五章5_2 Bode图 自动控制原理 浙江大学考研资料
5
Bode plots (Logarithmic plots )
Bode图（对数坐标图）
Bode图（对数频率特性曲线）： 对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线组成 对数频率特性曲线的横坐标：按logω分度，单位为弧度/秒（rad/s） 对数幅频曲线的纵坐标：按LmG(jω)=20log|G(jω)|线性分度，单位是分贝 对数相频曲线的纵坐标：按Φ(ω)线性分度，单位为度
Lm j 20 log j 20 log
dB
Angle 90º jω
对数幅频曲线为一条斜线，其斜率为 6dB/octave 或者 20dB/decade. 相角恒等于 +90º.
-90º (jω)-1
ω
10
Bode plots (Logarithmic plots )
2 1 1 1 2 Lm 1 j 2 j Lm Lm n 1 jT1 1 jT2 n
1
(1+j (1 jωT1)-1 (1 (1+j jωT2)-1
1
Angle 1/T1 -90º -180º
17
1/T2 ω
2 1 1 1 2 Angle1 j 2 j Angle Angle n 1 jT1 1 jT2 n
Wintersweet
2
Bode plots (Logarithmic plots )
Bode图（对数坐标图）
对数坐标图的优点 1) 将乘积和除法的数学操作转化为加法和减法; 2) 传递函数的获取大多采用图表法，而不是分析法; 3) 半对数坐标扩展了低频段 首先运用直线近似的方法来获得系统的近似特性，然后修正直线， 提高精度. 对数坐标图 足够多的数据 极坐标图
尼奎斯特图 伯德图
1．比例环节比例环节的传递函数为G(s)＝K所以比例环节的频率特性为G(j ω)＝K 十j0＝0j Ke其幅相频率特性曲线如图5-2所示。
其中幅值M(ω) ＝K 。
相位移φ(ω)＝00。
并且都与ω无关，它表示输出为输入的K 倍，且相位相同。
图5—2 比例环节幅相频率特性曲线2．积分环节积分环节的传递函数为G(s)＝s1所以积分环节的频率特性为21101)(πωωωωjejj j G -=-==其幅相频率特性曲线如图5—3所示，它是整个负虚轴，且当ω→∞时，趋向原点0，显然积分环节是一个相位滞后环节[因为φ(ω)＝-900]，每当信号通过一个积分环节，相位将滞后900。
图5—3 积分环节幅相频率特性曲线3．微分环节微分环节的传递函数为G(s)＝s所以微分环节的频率特性为20)(πωωωωjej j j G =+==其幅相频率特性曲线如图5—4所示。
是整个正虚轴，恰好与积分环节的特性相反。
其幅值变化与ω成正比：M(ω)＝ω，当ω＝0时， M(ω)也为零，当ω→∞时，M(ω)也→∞。
微分环节是一个相位超前环节[φ(ω)＝+900]。
系统中每增加一个微分环节将使相位超前900。
图5-4 微分环节幅相频率特性曲线4．一阶惯性环节一阶惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G所以一阶惯性环节的频率特性为222211111)(ωωωωωT T jT jT j G +-+=+=幅频特性和相频特性为ωωφωωT tg T M 122)(11)(--=+=由式(5—16)直接可得实频特性和虚频特性为22221)(11)(ωωωωωT T I T R +-=+=并满足下面的圆的方程22221)(21)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωωI R 圆心为⎪⎭⎫⎝⎛0,21，半径为21。
当ω从0→∞时，M(ω)从l →0；φ(ω)从00→-900，因此，一阶惯性环节的频率特性位于直角坐标图的第四象限，且为一半圆，如图5—5所示。
完整版bode图习题解析
(?
?
?
2?? T arctan 1 ? ? 2T 2
?
1 )
T
(? ?
1) T
在低频段，? 很小，φ(ω)约等于0，高频段，? 很大， φ(ω) ＝－? ，转折频率处，
?
??n
?
1 ,
T
?
(?
n
)
?
?
?
2
Elemental Bode Diagrams
20
Mdb
0
-20
-40
-60 10-1
100
-20
-40
p
p
p
1
2
3
1
2
4 6 8 10 20 40 60 80 100
1倍频程 1倍频程
1倍频程 1倍频程
10倍频程
10倍频程
10倍频程
(a)
1
2
3
4
5
6
7
(b)
频率特性
G( j? ) ? K
二.典型环节的 Bode图
1. 放大环节 L(? )
20lgK
对数幅频特性
0
0.1
1
L(? ) ? 20lg A(? ) ? 20lg K ?(? )
10
20
1? s
0
1
1?1 2s
1
-20
s
-40
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
Example
Step 4: graphically add all element magnitude.
40
M db
10
20
5-3 频域：伯德图
而相频
。
5 ( ) arctg
2
将以上各环节幅频和相频绘出后， 分别相加 即得出系统的开环对数幅频和相频
27
28
29
30
31
三、最小相位系统
1. 定义： 在系统的开环传递函数中，没有位于S右半平 面的 零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为 最小相位系统，反之为非最小相位系统。 七种典型环节组成的系统必为最小相位系统。 2. 最小相位系统特征： a．在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位 系统的相角变化范围最小。 这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式 的阶次。
4
相频与ω无关，值为-90°且平行于横轴的直线。
L ( )
20 0 0.1
( )
20
1
10
0 90
0.1
1
10
5
3. 微分环节
G jω jω
微分环节是积分环节的倒数，它们的曲 线斜率和相位移也正好相差一个负号。
L ( )
20
0
20
0.1 20
1
10
( )
ω tg
1 T 2ω2
即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振荡 环节的相应特性是关于横轴对称。此时，其对 数幅频特性的高频渐近线的斜率为+40dB/dec 1 而相频由0°（对应ω=0）经90° ω ω T ，最 后趋于180°（ω→∞）。
n
19
L( )
40 20
90
0
0.1
1
10
6
4. 惯性环节
惯性环节的幅频特性为
1 Gjω 1 jω T
典型环节的Bode图
控制系统的开环频率特性目的：掌握开环Bode图的绘制根据Bode图确定最小相位系统的传递函数重点：开环Bode图的绘制、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数1 开环伯德图手工作图的一般步骤：1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式，计算各个典型环节的交接频率2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数ν3）通过（1,20lgK）绘制斜率为-20vdB/dec低频段4）随着频率增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就改变一次斜率最小相位系统定义：递函数的零点、极点全部位于S 左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。
否则就是非最小相位系统。
对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。
对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。
也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。
非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。
对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。
Tf函数用来建立实部或复数传递函数模型或将状态方程、或零级增益模型转化成传递函数形式。
sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
输出sys 是储存传递函数数据的传递函数目标。
单输入单输出情况下，num和den是s的递减幂级数构成的实数或复数行向量。
这两个向量并不要求维数相同。
如h = tf([1 0],1)就明确定义了纯导数形式h(s)=s。
若要构建多输入多输出传递函数，要分别定义每一个单输入单输出系统的端口的分子与分母。
2 典型环节的伯德图绘制曲线在MA TLAB中实现，利用下述的程序段：num=[b2 b1 b0];den=[1 a2 a1 a0];H=tf(num,den);bode(H)margin(H)hold on2.1 比例环节传递函数：()G s K=频率特性：()G j Kω=对数幅频特性：()20lgL j Kω=对数相频特性：()0ϕω=程序段：num=[0 10]; den=[0 1]; H=tf(num,den);bode(H)margin(H) holdon结论：放大环节的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线。
典型环节的伯特图
3
5.1频率特性及其表示法 5.1.1 频率特性的基本概念
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频 率正弦输入信号的响应特性。
2 1.5 1
2 5 4 3
0.5 0 -0.5 -1
线性系统
1 0 -1 -2 -3
-1.5 -2
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
输出的振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化
ห้องสมุดไป่ตู้s
微分 方程
p
d p dt
传递 函数
系统
频率 特性
s j
13
5.1.2 频率特性的表示法
(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) (2)极坐标图 (Polar plot) (3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot) 对数幅频特性 对数频率 特性曲线 相频特性 纵坐标均按线性分度 横坐标是角速率 按 lg 分度 10倍频程，用dec
23
Asymptote 渐近线
0 -5
Corner frequency
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw T+1) T=0.1
Asymptote 渐近线
Magnitude (dB)
-10 -15 -20 -25 0
精确曲线
Exact curve
Phase (deg)
精确曲线
-45
一阶因子 (1 jT ) 1
如何绘制伯德图
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T 1，o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
T可uesd以ay,用Mar这ch 3两1, 2段020渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。 4
惯性环节的Bode图
10 渐近线
0
-10
20dB / Dec
-20
0°
-45°
T T T 20T 10T 5T
112 2T T T
5 10 20 TTT
一阶微分环节的波德图
惯性环节的波德图
Tuesday, March 31, 2020
17
二阶微分环节的频率特性
③ 二阶微分环节： G(s) T 2s2 2Ts 1
幅频和相频特性为：
A()
(1
T
2
2
)2
(2T
)2，
(
)
tg 1
第三节 典型环节的频率特性 之一 波德图
Tuesday, March 31, 2020
1
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节：G(s) K, (K 0),G( j) K 幅频特性：A() K；相频特性：() 0
L() / dB
20log K
20log K
20log K
()
频率特性分别为：
G( j) j G( j) 1 jT G( j) 1 T 2 2 j2T
Tuesday, March 31, 2020
14
纯微分环节的波德图
① 纯微分： A( )
L( )(dB)
20
L( ) 20 log A( ) 20 log
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相频特性是：
二阶微分环节与振荡节 的Bode图关于ω轴对称 ，如图5-21。渐近线的 转折频率为，相角变化 范围是00至+1800。 二阶微分环节的Bode图
七不稳定环节
不稳定环节的频率特性是:
其对数幅频特性和相频特性分别为:
不稳定惯性环节的Bode图
二积分环节
积分环节的频率特性是: 其幅频特性为: 对数幅频特性是:
设
，则有: (5-68)
可见，其对数幅频特性是一条 在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝 线（ω轴），且以每增加十倍频率 降低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。 积分环节的相频特性是:
(5-69)
是一条与ω无关，值为-900 且平行于ω轴的直线。积分环 节的对数幅频特性和相频特性 如图5-12所示。
振荡环节的相频特性是:
除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是 阻尼比ξ的函数，随阻尼比ξ变化，相频特性在转折 频率 附近的变化速率也发生变化，阻尼比ξ越小， 变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相 频特性的大致形状。不同阻尼比ξ的相频特性如图520 所示。
振荡环节对数相频特性图
六二阶微分环节
一放大环节（比例环节）
放大环节的频率特性为:
其幅频特性是:
对数幅频特性为:
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角 频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。 当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
典型环节伯德图
伯德图又叫对数频率特性曲线，是将幅频特性和相 频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数 幅频特性，后者叫对数相频特性。 两个坐标平面横轴(ω轴)用对数分度，对数幅频特性 的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数， 即L(ω)=20lg|G(jω)|(dB)；对数相频特性的纵轴也是线 性分度，它表示相角的度数，即φ(ω)=∠G(jω)(度)。 通常将这两个图形上下放臵（幅频特性在上，相频特 性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相 角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。
一阶微分环节的相频特性 如图5-16 所示，相角变化 范围是00至900，转折频率 1/T处的相角为450。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
比较图5-16和5-14，可知 ，一阶微分环节与惯性环 节的对数幅频特性和相频 特性是以横轴（ω轴）为 对称的。
五振荡环节 振荡环节的频率特性是: 其对数幅频特性为:
惯性环节的相频特性为:源自对应的相频特性曲线如图5-14所 示。它是一条由 至 范围内变 化的反正切函数曲线，且以 和 的交点为斜对称.
四一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为:
其对数幅频特性是:
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示， 渐近线的转折频率为 ，转折频率处渐近特性与精 确特性的误差为 ，其误差均为正分贝数 ，误差范围与惯性环节类似。 相频特性是: 当 时，
很明显，距离转折频率 愈远 , 愈能满 足近似条件，用渐近线表示 对数幅频特性的精度就愈高 ；反之，距离转折频率愈近 ，渐近线的误差愈大。 等 于转折频率 时，误差最大 ，最大误差为:
时的误差是:
时的误差是: 误差曲线对称于转折频率 ， 如图5-15所示。由图5-15可知，惯 性环节渐近线特性与精确特性的误 差主要在交接频率 上下十倍频 程范围内。转折频率十倍频以上的 误差极小，可忽略。经过修正后的 精确对数幅频特性如图5-14所示。
(5-79)
(5-80)
渐近线的第一段折线与零分贝线（ω轴）重合，对应 的频率范围是0至 ；第二段折线的起点在 处，是一条 斜率为-40（dB/dec）的直线，对应的频率范围是 至∞ 。两段折线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的 转折频率为 。对数幅频特性曲线的渐近线如图5-17所 示。
渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：
当有n个积分环节串联时，即: 其对数幅频特性为: 相频特性是一条与ω无关， 值为-n×900 且与ω轴平行 的直线。两个积分环节串联 的Bode图如图5-13所示。
是一条斜率为-n×20dB/dec， 且在ω=1（弧度/秒）处过零 分贝线（ω轴）的直线。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
三惯性环节 惯性环节的频率特性是: 其对数幅频特性是: 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性, 即在 的低频段时， ，与零分贝线重合； 在 的高频段时 是一条斜率为 -20（dB/dec.）的直线。 两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两 条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图514所示。
当 时， ，它是阻尼比 ξ的函数；当ξ=1时为-6（dB）; 当ξ=0.5时为0(dB); 当ξ=0.25时为+6(dB)；误差曲线如图5-18所示。
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
图5-18 振荡环节对数幅频特性误差修正曲线
由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比 ξ的函数，且以 的转折频率为对称，距离转折频率 愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时， 误差可忽略不计。经过修正后的对数幅频特性曲线如图 5-19所示。
滞后环节的Bode图
由图5-19可看出，振荡 环节的对数幅频特性在 转折频率 附近产生 谐振峰值，这是该环节 固有振荡性能在频率特 性上的反映。前面已经 分析过，谐振频率ωr 和谐振峰Mr分别为:
振荡环节对数幅频率特性图
其中 称为振荡环节的无阻尼（ξ=0）自 然振荡频率，它也是渐近线的转折频率。由式（581）可知，当阻尼比ξ愈小谐振频率ωr愈接近无阻 尼自然振荡频率ωn，当ξ=0时，ωr=ωn
其对数幅频特性与惯性环节相同；相频特性与惯性环 节相比是以 为对称，相角的变化范围是 至 。Bode如图5-22所示
八滞后环节
滞后环节的频率特性是: 其对数幅频特性和相频特性分别为:
滞后环节伯德图如图5-23 所示。其对数幅频特性与 ω无关，是一条与ω轴重 合的零分贝线。滞后相角 由式（5-92）计算，分别 与滞后时间常数τ和角频 率ω成正比。