充要条件和必要条件教案

龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日第次时段: 教学课题充分条件和必要条件

教学目标考点分析1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

重点难点重点：构建充分条件、必要条件的数学意义；难点：命题条件的充分性、必要性的判断．教学方法讲练结合法、启发式、探究式教学

教学过程

1.2 充分条件和必要条件（1）

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假：

（1）若x y

=,则22

x y

=; （2）若22

x y

=,则x y

=;

（3）若1

x>,则21

x>; （4）若21

x>,则1

x>[来源:https://www.360docs.net/doc/566543466.html,]

二、讲授新课

1.推断符号“?”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“p q

?”;

如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“p q

?/”.

用推断符号“?和?/”写出下列命题：⑴若a b

>，则ac bc

>；⑵若a b

>，则a c b c

+>+；

2．充分条件与必要条件

一般地，如果p q

?，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“p q

?”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p.

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即p q

?）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即q p

???）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即p q

?且q p

?；

（2）充分不必要条件，即p q

?且q p

?/；

（3）必要不充分条件，即p q

?/且q p

?；

（4）既不充分又不必要条件，即p q

?/且q p

?/．

3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

B A

C 图2 C A B 图4 C A B 图1 图3 B A （1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设,A B 为两个集合，集合A B ?是指

x A x B ∈?∈。这就是说，

“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，“x B ∈”是“ x A ∈”的必要条件。对于真命题“若p 则q ”，即p q ?，若把p 看做集合A ，把q 看做集合B ，“p q ?”相当于“A B ?”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A 闭合”为条件A ，“灯泡B 亮”

为结论B ，可用图1、图2来表示A 是B 的充分条件，A 是B 的必要条件。

[来源:学,科,网]

（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若a b >，则a c b c +>+；

⑵若0x ≥，则20x ≥；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

三、例题

例1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件．

⑴p ：10x -=，q ：()()120x x -+=；

⑵p ：两直线平行，q ：内错角相等；

⑶p ：a b >，q ：22a b >；

⑷p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形．

四、课堂练习

课本P8 练习1、2、3

五、课堂小结

1．充分条件的意义；

2．必要条件的意义．

1.2 充分条件和必要条件（2）

一、复习回顾

一般地，如果已知p q ?，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件

⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件．[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．

二、例题分析

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．

1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？

分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的

“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的

故p 是q 的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．

练习：已知p ：2x >或23

x <；q ：2x >或1x <-，则p ?是q ?的什么条件？ 方法一：2:23

p x ?≤≤ :12q x ?-≤≤

显然p ?是q ?的的充分不必要条件

方法二：要考虑p ?是q ?的什么条件，就是判断“若p ?则q ?”及“若q ?则p ?”的真假性

“若p ?则q ?”等价于“若q 则p ”真的

“若q ?则p ?”等价于“若p 则q ”假的

故p ?是q ?的的充分不必要条件

2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ??? 显然M 是Q 的充分不必要条件

3．充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化[来源:https://www.360docs.net/doc/566543466.html,] 由题可知等价于000004040a a a a a a ≠??=>?=<

或或

4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件

必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=

则0x =，0y = 即0xy =

故0xy =是220x y +=的必要条件

不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠

故0xy =是220x y +=的不充分条件

综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．

例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．

解：由于p ?是q ?的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件

于是有12101m m -≤-??

≤+?

9m ∴≥

课后作业 1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）

2．对于实数x 、y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．（充分不必要条件）

3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=.

[来源:Z,xx,https://www.360docs.net/doc/566543466.html,]

学生

总结 1.出现的问题:

2.解决的方法:

教师总结

学生对于本次课评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定：

1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化

2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化

教师签字：

教务主任签字： ___________

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