江苏省苏州市2019-2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题(解析版)

第4题
第5题
第9题
6．已知等比数列an 中， a1 0 ，则“ a1 ＜ a2 ”是“ a3 ＜ a5 ”的
分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）
条件．（填“充
【答案】充分不必要。
【分析】分别考察充分和必要两种情况。
2
【解答】由 a1 0 ，“ a1 ＜ a2 ”，a2=a1q，得 q>1，因此 a5=a3q2>a3，所以“ a1 ＜ a2 ”是“ a3 ＜ a5 ”的充分条件；若“ a3 ＜ a5 ”，即 a5=a3q2>a3，所以 q2>1，q>1 或 q<-1。当 q<-1 时， a2=a1q<a1，因此“ a1 ＜ a2 ”是“ a3 ＜ a5 ”的不必要条件。
=
24π π=2，母线长
弧长 l= 圆心角 =
24ππ= 10 ，由勾股定理可求的圆锥体的高
5
h=
l2 −r2 =
102 − 22 = 4
6
。半球体积V1
=
1 2

4πr 3 3
=
1 2

4π 23 3
= 16π。圆锥体体 3
积 V2
=
1πr 2 h 3
=
1π
6π。因此冰淇淋的体积为V
【点评】将双曲线与三角函数对称性勾连到一起，利用三角函数得到 b 与 c 的关系，从而建立 a 与 c 的关系，属于中档题。
x 0
8．若 x，y 满足约束条件 x − y 0 ，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
x + y −1 0
【答案】3.
【分析】由约束条件画出（x,y）的区域，再考察 z=x+3y 的最大值。
【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3.
【点评】考察学生利用线性规划解决问题的能力，题目不难，但应细心谨慎，属于中档题。
9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆
3
锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 ，弧长为 4 cm 的扇形，则 5
【解答】z=2-b+(2b+1)i，因此 2b+1=3,b=1.
【点评】考察复数的展开及虚部的概念，属简单题。
3．从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概
率为
．
【答案】 2 3
【分析】古典概型，列出一男一女的可能选法的种数和三选二选法种数，二者相除即可。
【解答】三人中选二人有 C32 种选法，一男一女的选法共有 C21C11 种，因此选中的恰好是一男
一女的概率为
C21C11 C32
=
2 3
。
1
【点评】考察古典概型，属简单题。
4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的
车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，则在
【分析】由题意得到 b 与 c 的数量关系，从而求解离心率 e。
【解答】由对称性知 ∠ F1PO=60 ° ，所以
F1O OP
=
c b
=
tan F1PO
=
tan
60
=
3 ，因此
e= c = a
c2 a2
=
c2 c2 −b2
=
( 3b)2 = ( 3b)2 − b2
3= 6。 22
圆 O：x2 + y2 = 2 作切线 PA（切点为 A），满足 PO＝ 2 PA，则实数 m 的取值范围为
．
【答案】m≥ 4 或 m≤0. 3
【分析】将 PO＝ 2 PA 转化成圆心到直线的距离小于等于 2r 即可求解。
= V1
+
V2
=
16
+
16 3
3π。
【点评】本题考察范围较多，涉及到圆锥体侧面展开图求母线求底面圆半径，勾股定理求圆锥体高以及圆锥体体积公式和球体积公式，计算量较大，考查学生的计算能力。属于中档题。
10．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x＋my＋m＋2＝0(m R)上存在点 P，使得过点 P 向
．
【答案】{1,4} 【分析】由交集定义求解。
【解答】A＝ x x 1 ，B＝{﹣1，0，1，4}，则 A B＝{1,4}
【点评】考察集合交集的求解，属于简单题。
2．已知 i 是虚数单位，复数 z＝(1＋bi)(2 ＋i)的虚部为 3，则实数 b 的值为
．
【答案】1.
【分析】展开复数 z，对照复数的虚部的系数，列出方程求解即可。
该冰淇淋的体积是
cm3．
【答案】 16 +16 3π。 3
【分析】由圆锥侧面展开图信息可求的圆锥底面圆半径和圆锥母线长，从而求得圆锥体的高，可分别求得圆锥体的体积和半球的体积，二者相加即可。
【解答】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 ，弧长为 4 cm 的扇形，从而圆锥底面圆 5
半径
r=
弧长 2π
[8，9)之间通过的车辆数是
．
【答案】100.
【分析】在[5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，可求出车辆总数，再求[8，9)之间通过的车辆数水到渠成。
【解答】[5，7)之间的
频率组距
=0.24+0.20=0.44，因此车辆总数=440÷0.44=1000。所以[8，9)
之间通过的车辆数为 1000×0.10=100 辆。
【点评】考察对学生频率分布直方图的读取和理解，颇具新意。
5．如图是一个算法流程图，若输入的 x 值为 5，则输出的 y 值为
．
【答案】2.
【分析】按照流程图计算即可。
【解答】x=5，因此 x<0，因此 y=log2(x-1)=log2(5-1)=log24=2. 【点评】考察流程图的读取，对数运算，属于简单题。
【点评】考察学生对充分必要条件，等比数列的定义的运用，分类讨论思想的理解和运用，属于中档题。
7．在平面直角坐标系
xOy
中，己知点
F1，F2
是双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a＞0，b＞0)的左、右焦
点，点 P 的坐标为(0，b)，若∠F1PF2＝120°，则该双曲线的离心率为
．
【答案】 6 2
苏州市 2019—2020 学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
高三数学试题
2020．01
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．）
1．已知集合 A＝ x x 1 ，B＝{﹣1，0，1，4}，则 A B＝

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(word完整版)江苏省苏州市2019届高三第一学期期末考试数学试卷

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点（1）求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1）当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2）当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3）当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分）设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1）求侧棱PA 的长;（2）设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。

2019-2020年高三上学期期末调研测试数学试题含解析.doc

2013．1【试卷总评】本试卷作为高三一轮复习结束后的一次测试，能紧扣2013年江苏《考试说明》，试题难度适中，没有偏题，怪题，注重对基础知识和数学思想方法的考查。

填空题前13题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第14题体现了字母处理能力以及知识的综合运用能力；第15、16、17、18、19、20题分别从三角向量、立体几何、实际应用、直线与椭圆、数列、函数不等式的综合运用等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。

试卷整体体现了注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力。

参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ．【考点定位】本题考查集合的关系和运算，集合中元素的互异性是本题的易错点。

2．已知复数1i z =-+（i 为虚数单位），计算：z zz z⋅-= ▲ ．3．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为▲．4．根据右图所示的算法，可知输出的结果为▲．【答案】11【解析】5．已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为▲．6．函数(1)()coscos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ．7．函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ．【考点定位】此题考查的是复合函数的值域问题，正确的理解定义域是本题的关键。

8．已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数)上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++= ▲ ．【考点定位】此题考查的是曲线的切线问题和导数的运算，紧扣切点是本题的关键。

江苏省苏州市2019届高三上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(解析版)

苏州市2019届高三上学期期末学业质量阳光指标调研卷数学2019．1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A B ＝．答案：{3}考点：集合的运算。

解析：取集合A 、B 的公共部分即可，所以，A B ＝{3}2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是．答案：－1考点：复数的运算，复数的概念。

解析：212i (12)2i i iz i i ++===-，所以，虚部为－1。

3．某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60~80分的学生人数是．答案：25考点：频率分布直方图。

解析：成绩在60~80分的频率为：1－（0.1－0.3－0.1）＝0.5，成绩在60~80分的学生人数为：50×0.5＝25。

4．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为．答案：536考点：古典概型。

解析：连续抛掷一颗骰子2次，共有36种可能，点数之和为8的有（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）所以，所求概率为：P ＝5365．已知3sin()cos απα-=，则tan()πα-的值是．答案：13考点：三角函数的诱导公式。

解析：3sin()cos απα-=化为3sin cos 21αα-=（世纪网），得：1tan 3α=-， tan()πα-＝tan α-＝136．如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出的n 的值为．答案：3考点：程序框图。

解析：第1步：a ＝6，b ＝6，n ＝2；第2步：a ＝9，b ＝12，n ＝3，退出循环，所以，n ＝3 7．在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (﹣3，1)，则该双曲线的离心率为．答案10考点：双曲线的性质。

(完整)江苏省苏州市2019届高三第一学期期末考试数学试卷

2021届江苏省苏州市2019-2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研考试高二数学试题

2020届江苏省苏州市2019-2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研考试高二数学试题点评2020年1月14日，腊月二十，阴有霾。

苏州市高二数学期末考试也随一阵寒流袭来！恰好有空，大致看了下试卷，有些共鸣与思考，下面就对此份试卷谈谈自己不成熟的初步感受。

试卷结构自然不多说，与前期公布的山东2020年高考模拟卷如出一辙——8道单选+4道多选+4道填空（且有一题两问）+6道大题，赋分也是一致。

单选题中涉及不等式、圆锥曲线、空间向量与立体几何、数列等模块。

其中不乏亮点，比如第7题是数学文化包装下的等差数列计算问题，这切合了全国卷每年均考数学文化的风格（尽管高考的考查方式值得商榷与研究，这一点华师大汪晓勤教授也多次提出质疑）。

第8题是一类比较有意思的题型，方法也较多。

此类问题最早出自2009年天津高考题：之后便如雨后春笋般不断涌现，其本质就是要找出是哪些整数满足不等式，且寻找的方法不一（或从“形”或从“数”），此类题测试的素养也是比较多的，如直观感知。

但是，若从命题的效度来看本题可能会大打折扣，这是因为本题是选择题且四个选择支仅仅是区间端点开闭不同，因而只需试值两组数值即可，如-3/2,4/3，这样便丢失了本题所应有的思维测度以及所要测试的素养。

多选选择题是新高考的新生事物，考查了逻辑用语，空间向量计算，数列以及圆锥曲线等知识点，从本套试卷看，多项选择题的命题组成上有如下2种方式：方式1：“大杂烩”式由多个命题组成，如第9题方式2：一个题干下多个结论的真伪判断，如10-12题个人比较喜欢如第11题这样的概念（公式）判断型命题，这是检测学生是否掌握数学公式结构的似真命题，更是对数学知识本质理解考查的有效载体。

对于选择题尤其是多选题的应试策略需要研究，当然从命题的角度看，怎么设计选择支也值得研究。

填空题减量不减分，区区四题，但是浓缩的必定是精华——考查了空间向量计算、基本不等式、抛物线、数列与双曲线等内容。

苏州市2019~2020高三数学一模试卷含答案

江苏 2020 届高考备考系列试卷第 3 页 (共 4 页)
19. (本小题满分 16 分)
已知数列 {an} 满足 2Sn = nan + a1，a3 = 4，其中 Sn 是数列 {an} 的前 n 项和．
(1) 求 a1 和 a2 的值及数列 {an} 的通项公式；
(2)
设 Tn =
1
1
1
+
(0, b)，若 ∠F1PF2 = 120◦，则该双曲线的离心率为
.
x ⩾ 0
8.
若
x，y
满足约束条件
xx
− +
y y
⩽0 −1 ⩽
0
，则 z = x + 3y 的最大值为
.
9. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已
知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 π，弧长为 4π cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 5
。
，因此
【点评】将双曲线与三角函数对称性勾连到一起，利用三角函数得到 b 与 c 的关系，从而建立 a 与 c 的关系，属于中档题。
8．若 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
【答案】3.
【分析】由约束条件画出（x,y）的区域，再考察 z=x+3y 的最大值。
【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3.
【解答】[5，7)之间的
=0.24+0.20=0.44，因此车辆总数=440÷0.44=1000。所以[8，9)之间通过的车辆
数为 1000×0.10=100 辆。【点评】考察对学生频率分布直方图的读取和理解，颇具新意。

江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷

江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合，集合，则______．2．命题：“”的否定是__________．3．写出命题“若，则或”的否命题为__________．4．命题“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．已知函数f(x)=的图象一定过点P,则P点的坐标是__________.6．函数f(x)= 的值域是____________7．函数的单调增区间为 _________.8．用“”将，，从小到大排列是__________．9. 方程的解在区间（k，k 1）（）上，则k =_______．10．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角为__________．11.已知函数,则_____.12. 已知奇函数满足的值为___________ 。

13．定义在R上的偶函数f(x), 当x≥0时,f(x)为减函数。

若f(1－m)<f(m),则实数m的取值范围是________.14已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+1的导函数为f ′（x ），f ′（0）＞0，f （x ）与x 轴恰有一个交点，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：（1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1；（2）A 1C //平面AB 1E ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2．A 1B 1C 1ABCE(第15题）（1）求f (x )的解析式，并写出其定义域；（2）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；（3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，yxBAMNOP(第18题）l记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2＋2S n，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，求k和t的值．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证： CA＝3CB．DA B COB ．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234．（1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t （t为参数），圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin （θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD＝1．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π3，求BC 的长；（2）求二面角B －PD －A 的余弦值．CDPBA23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1．；2．； 3．若，则且； 4．充分不必要5、P(-1,4)；6、； 7、； 8、9、2； 10、； 11、1； 12、；13、； 14、2二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1平面ABC ．因为AE 平面ABC ，所以CC 1AE ． ……………2分因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE BC ．因为BC 平面B 1BCC 1，CC 1平面B 1BCC 1，且BC ∩CC 1＝C ，所以AE 平面B 1BCC 1． ………………5分因为AE 平面AB 1E ，所以平面AB 1E 平面B 1BCC 1. ……………………………7分（2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，所以F 为A 1B 的中点． ……………………………9分A 1B 1C 1 A BC E(第15题） F又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cos B＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．……………………………4分又由正弦定理得sin Bsin C＝bc，所以sin Bsin C＝3510．……………………………6分解法2因为cos B＝45，B∈(0，)，所以sin B＝1－cos2B＝35．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A，所以sin C＝2sin(B＋C)＝65cos C＋85sin C，即－sin C＝2cos C．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝25 5，所以sin Bsin C＝3510．………………………6分（2）因为cos B＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．…………………………8分又0＜B＜π，所以sin B＝1－cos2B＝3 5，所以sin2B＝2sin B cos B＝2×35×45＝2425．…………………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sin A＝sin(3π4－2B)＝sin 3π4cos2B－cos3π4sin2B ………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝9000x，………………………2分t 2＝30003(100－x)＝1000100－x，………………………4分所以f(x)＝t1＋t2＝9000x＋1000100－x，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分（2）f(x)＝1000(9x＋1100－x)＝10[x＋(100－x)](9x＋1100－x)＝10[10＋9(100－x)x＋x100－x]．………………………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x＞0，x100－x＞0，所以9(100－x)x＋x100－x≥29(100－x)xx100－x＝6，…………………12分当且仅当9(100－x)x＝x100－x，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分（2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)，所以2－x 0＝m ． ………………………7分由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0 x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1．因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，解得m ＝5±133． ………………………15分因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P＝4k 4k 2＋1，所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB＝k (m ＋2)m －1．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g (x )＝2(1－2ln x )x 3．令g(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4．因为h (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0，所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1．因为h (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0．所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a∈(53，2)时，h(a)＞h(53)＝827．………………………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为827．………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．因为a1＞0，所以a1＝1．………………………2分（2）因为3T n＝S n2＋2S n，①所以3T n＋1＝S n＋12＋2S n＋1，②②－①，得3a n＋12＝S n＋12－S n2＋2a n＋1．因为a n＋1＞0，所以3a n＋1＝S n＋1＋S n＋2，③………………………5分所以3a n＋2=S n＋2＋S n＋1＋2，④④－③，得3a n＋2－3a n＋1＝a n＋2＋a n＋1，即a n＋2＝2a n＋1，所以当n≥2时，an＋1an＝2．………………………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2＝0．因为a2＞0，所以a2＝2，所以a2a1＝2，所以对n∈N*，都有an＋1an＝2成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N*．………………………10分(3)由(2)可知S n＝2n－1．因为S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，所以(S k－S1)2＝S1(S t－S k)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．由于S k－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO =∠C ．………………………2分在圆O 中，AO =DO ，所以∠DAO =∠ADO ，所以∠DOC =2∠DAO =2∠C ．………………………5分因为CD 为圆O 的切线，所以∠ODC =90°，从而DOC ＋C ＝90°，即2C ＋C ＝90°，故∠C ＝30°， ………………………7分所以OC ＝2OD ＝2OB ，所以CB ＝OB ，所以CA ＝3CB ． ………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12． ………………………4分（2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P(x，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x＝x ＋2y ，y ＝3x ＋4y ．……………………8分因为(x ，y )在曲线C 上，所以6x2－y 2＝1，代入6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，化简得8y 2－3x 2＝1，所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1． ………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0．………………………2分由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin，得圆C 的普通方程为(x －a )2+(y －2a )2＝1．DA B C O （第21A 题）………………………4分因为直线l 与圆C 相切，所以∣a －2a ＋1∣2＝1， ………………………8分解得a ＝1±2．所以实数a 的值为1±2． ………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；……………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）以{→AB ，→AD ，→AP }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)，则→PB ＝(1，0，－1)，→CD ＝(－1，1－y ，0)．…………………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为π3，所以|cos ＜→PB ，→CD ＞|＝|→PB →CD∣→PB ∣∣→CD ∣|＝12，即12×1＋(1－y )2＝12，解得y ＝2或y ＝0（舍），所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2． ………………………5分CDPBA（第22题）xy z（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为→PB ＝(1，0，－1)，→PD ＝(0，1，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧→PB n 1＝0，→PDn 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0．令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． ………………………7分因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1n 2∣n 1∣|n 2∣＝33，所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为33． ………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C2442＝96(种). ………………………3分（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝4 C 2496＝14， ………………………5分 P (X ＝1)＝3C 14C1396＝38，P (X ＝2)＝2C14C 1396＝14， P (X ＝3)＝C14C 1396＝18．所以随机变量X 的概率分布列为：………………………8分所以E (X )＝014＋138＋214＋318＝54． ………………………10分 X 0 1 2 3 P14381418。

苏州市2019届高三第一学期期末调研数学试卷(后附详尽解析及答案)

苏州市2019届高三第一学期期末调研数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}1>=x x A ，{}3<=x x B ，则集合=B A ． 2、已知复数iiz 21-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为． 3、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为． 4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为． 5、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为20.，目标未受损的概率为40.，则目标受损但未完全击毁的概率为．6、阅读下面的流程图，如果输出的函数)(x f 的值在区间],[2141内，那么输入的实数x 的取值范围是．7、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤431y x x x y ，则目标函数y x z -=28、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7772-==S a ,，则7a 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知过点),(11M 的直线l 与圆52122=-++)()(y x 相切，且与直线01=-+y ax 垂直，则实数10、一个长方体的三条棱长分别为983,,，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为． 11、已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为． 12、若832παtantan =，则=-)tan(8πα ．13、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=05042x e x x x f x ,,)(，若关于x 的方程05=--ax x f )(恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为个．14、已知C B A ,,是半径为1的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则⋅+⋅+⋅的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、已知函数212232--=x x x f cos sin )(．（1）求函数)(x f 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合（2）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3=c ，0=)(C f ，若A B sin sin 2=，求b a ,的值．16、如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，F 是1BB 的中点，M 是线段1AC 的的中点．（1）求证：直线//MF 平面ABCD ；（2）求证：平面⊥1AFC 平面11A ACC ．17、已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下：其中，点E A ,为x 轴上关于原点对称的两点，曲线BCD 是桥的主体，C 为桥顶，且曲线段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为],[,22482-∈+=x xy ，曲线段DE AB ,均为开口向上的抛物线段，且E A ,分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处),(D B 的切线的斜率相等．（1）求曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A 经B 到C 爬坡．定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：=P M （该点P 与桥顶间的水平距离）⨯（设计图纸上该点P 处的切线的斜率），其中P M 的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为80.米，51.米，02.米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （*∈N n ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1211212121133221+-+--++-+=+n n n n b b b b a )( ，求数列{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n n b c λ+=2，问是否存在实数λ，使得数列{}n c （*∈N n ）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．20、已知函数x k x x f )(ln )(1--=（R ∈k ）．（1）当1>x 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）若对于任意],[2e e x ∈，都有x xf ln )(4<成立，求实数k 的取值范围；（3）若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：ke x x 221<．附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A . 选修4-1:几何证明选讲如图,E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点,过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ,G 为切点,已知EF=FG ,求证:EF ∥CB.(第21-A 题)B . 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=2113⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,求矩阵C ,使得AC=B.C . 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0,已知直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D . 选修4-5:不等式选讲已知a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by )(bx+ay )≥xy.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.(1) ξ为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;(2) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ).23.在平面直角坐标系xOy中,已知两点M(1,-3),N(5,1),若点C的坐标满足=t+(1-t)(t∈R),且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.(1) 求证:OA⊥OB;(2) 在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.苏州市2019届高三第一学期期末考试答案1.(1,3)2.-12思路分析先化z=a+b i(a ,b ∈R)的形式或设z=a+b i(a ,b ∈R),再去分母.解法1z=(1-i )i 2i ·i=1+i-2=-12-12i,所以z 的虚部是-12.解法2设z=a+b i(a ,b ∈R),则2i(a+b i)=1-i,即-2b+2a i =1-i,所以-2b=1,得b=-12易错警示复数z=a+b i(a ,b ∈R)的虚部是b ,不是b i .3.3思路分析先求出a 2∶b 2∶c 2.由已知,得a 2∶b 2∶c 2=3∶6∶9,得e 2=22=3,所以e=3.4.900思路分析根据分层抽样的特点,建立比例式.设该校学生总数为n ,则300 =45-20-1045,得n=900.5.0.4设“目标受损但未完全击毁”为事件A ,则其对立事件是“目标未受损或击毁目标”.P (A )=1-P ( )=1-(0.4+0.2)=0.4.解后反思在数学中,“但”与“且”的意义本质上是相同的.6.[-2,-1]流程图表示输出分段函数f (x )=2 ,∈[-2,2],2,∉[-2,2]的值.令f (x )得≤ ≤2,≤2≤12,解得-2≤x ≤-1.7.5思路分析先画出可行域,并解出.可行域是以A (3,1),B (3,2),C (2.5,1.5)为顶点的△ABC 及它的内部.z=2x-y=(2,-1)·(x ,y )≤(2,-1)·(3,1)=5.解后反思利用向量数量积的几何意义——一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积,比平移直线更直观.8.-13思路分析可先求出基本量a 1,d ,再求a 7;也可利用S 7=7a 4先求出a 4.在等差数列{a n }中,S 7=7a 4=-7,所以a 4=-1.又a 2=7,所以公差d=-4,从而a 7=a 4+3d=-1-12=-13.9.12思路分析可用过圆上一点的切线方程求解;也可用垂直条件,设切线方程(x-1)-a (y-1)=0,再令圆心到切线的距离等于半径.因为点M 在圆上,所以切线方程为(1+1)(x+1)+(1-2)(y-2)=5,即2x-y-1=0.由两直线的法向量(2,-1)与(a ,1)垂直,得2a-1=0,即a=12.思想根源以圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点T (x 0,y 0)为切点的切线方程为(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2.10.3思路分析先不考虑在哪个面上钻孔,考察圆柱半径与高的关系,再检验.设圆柱的底面半径为r ,高为h ,该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面,多了一个圆柱侧面.由题意,得πr 2+πr 2=2πrh ,得r=h.经检验,只有r=3符合要求,此时在8×9的面上打孔.易错警示实际应用问题须检验.11.94解法1令x+2=a ,y +1=b ,则a+b=4(a>2,b>1),4 +1 =14(a+b 4≥14(5+4)=94,当且仅当a=83,b=43,即x=23,y=13时取等号.解法2(幂平均不等式)设a=x+2,b=y+1,则4 +2+1+1=4 +1 =22+12 ≥(1+2)2 +=94.解法3(常数代换)设a=x+2,b=y+1,则4+2+1+1=4 +1 = ++ + 4 =54+ + 4 ≥94,当且仅当a=2b 时取等号.思想根源(权方和不等式)若a ,b ,x ,y ∈(0,+∞),则 2 + 2 ≥( + )2+,当且仅当 =时取等号.12.思路分析可先记t=tan π8,最后再代入化简.解法1记t=tan π8=1-cos π4sin π4=2-1,则tan α=32t.所以tan=32 - 1+32 2= 2+3 2解法2tan =32tan π8-tan π81+32tan 2π8=tan π82+3tan 2π8=sin π8cos π82cos 2π8+3sin 2π8sin π4解后反思有时,“硬做”也是必须的.13.-e ,-5ln5,2思路分析化为定曲线与两条动直线共有三个公共点.关键是两条动直线关于x 轴对称,其交点在x 轴上.方程|f (x )|-ax-5=0⇔f (x )=ax+5或f (x )=-ax-5.所以曲线C :y=f (x )与两条直线l :y=ax+5和m :y=-ax-5共有三个公共点.由曲线的形状可判断直线l 与曲线C 总有两个交点,所以可有情况是:直线m 与曲线C 相切,直线m 与曲线C 相交两点但其中一点是l ,m 的交点-5,0.由m 与C 相切,得当a>0时,y=-ax-5与f (x )图像在x ≤0的一侧相切.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=2x 0=-a ,x 0=-2.又切线方程为y-y 0=-a (x-x 0),得y=-ax+ax 0+y 0=-ax+a ·-+ 24-4=-ax- 24-4=-ax-5,得a=2.同理当a<0时,可得a=-e .由题易知a ≠0,从而m 与C 相切时,a=2或a=-e;由点-5,0在C 上,得当a>0时,交点位于f (x )图像在x ≤0的一侧,此时有f =25 2-4=0,a=52;当a<0时,交点位于f (x )图像在x>0的一侧,此时有f e -5-5=0,a=-5ln5,故由交点在C 上得a=52或a=-5ln5.经判断,a 的这四个值均满足要求.解后反思先确定a 的可能值,再检验,较易操作.也可考虑定曲线y=|f (x )|与动直线y=ax+b 的公共点的问题.14.-43,4思路分析固定顶点A ,B 后,就是一个双动点问题,与单个动点问题类似.解法1在平面直角坐标系xOy 中,设A (-1,0),B (1,0),C (cos α,sin α),P (r cos β,r sin β),其中α∈(0,π),r ∈[0,1],β∈R .· + · + · =3r 2-1-2r cos(β-α)∈[3r 2-2r-1,3r 2+2r-1]⊆-43,4,当r=13,β=α时,取得最小值-43;当r=1,β=π+α时,取得最大值4.解法2 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2-24+2 ·= 2+2 ·-1.以O 为坐标原点,建立直角坐标系,设P (x 0,y 0),C (cos θ,sin θ),则 2+2 · -1=3 02+3 02-2x 0cos θ-2y 0sin θ-1,其中x 0cos θ+y 0sin θ= 02+ 02sin(θ+φ)∈[- 02+ 02, 02+ 02].令t= 02+ 02∈[0,1],则3t 2-2t-1≤ 2+2 · -1≤3t 2+2t-1,得到 2+2 · -1∈-43,4.解法3 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2- 24+2 · = 2+2 ·-1.若知道 · =( - )·( + )=PO 2-OB 2, · + · =( + )· =2 · ,可加快计算速度.实际上,PO 2-OB 2=r 2-1,由向量数量积的定义知2 · =2 ·( - )∈[2r 2-2r ,2r 2+2r ].更进一步, · + · + · =3 2-2 · -1=3 -13 2-43.思想根源设G 是△ABC 的重心,P 是平面ABC 上任意一点,则 · + · + ·=3 2- 2+ 2+ 26.15.思路分析(1)首先把函数化简为f (x )=A sin(ωx+φ)+B 的形式,其中A>0,ω>0.(2)利用正弦、余弦定理,列出关于边a ,b 的方程组.规范解答(1)因为f (x )x-12(1+cos2x )-12(2分)=sin 2 1,(4分)所以函数f (x )的最小值是-2,(5分)此时2x-π6=2k π-π2,k ∈Z,得x=k π-π6,k ∈Z,即x 的取值集合为 = π-π6, ∈Z .(7分)(2)由f (C )=0,得sin 2 1.又C ∈(0,π),所以2C-π6=π2,得C=π3.(9分)由sin B=2sin A 及正弦定理,得b=2a.(11分)由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得a 2+b 2-ab=3.(13分)由=2 , 2+ 2- =3,解得 =1,=2.(14分)16.思路分析(1)要证MF ∥平面ABCD ,只要证MF 与平面ABCD 内的某直线平行.当F 沿移到B 时,M 恰好移到AC 的中点E.也可以找MF 所在的平面AC 1F 与底面ABCD 的交线.(2)只要先证MF ⊥平面ACC 1A 1,只要证EB ⊥平面ACC 1A 1.规范解答(1)证法1如图1,连结AC ,取AC 的中点E ,连结ME ,EB.因为M ,E 分别是AC 1,AC 的中点,所以ME 12C 1C.(2分)又F 是B 1B 的中点,且B 1B C 1C ,得FB12C 1C ,所以MEFB ,四边形MFBE 是平行四边形,(4分)所以MF ∥EB.因为MF ⊄平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图1证法2如图2,延长C 1F ,CB 相交于点G ,连结AG.因为FB12C 1C ,所以F 是GC 1的中点.(2分)又因为M 是AC 1的中点,所以MF ∥AG.(4分)因为MF ⊄平面ABCD ,AG ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图2(2)如图1,因为底面ABCD 是菱形,得BA=BC ,又E 是AC 的中点,所以EB ⊥AC.因为A 1A ⊥平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以A 1A ⊥EB.(9分)由(1)知,MF ∥EB ,所以MF ⊥AC ,MF ⊥A 1A.(11分)又因为A 1A ∩AC=A ,A 1A ,AC ⊂平面ACC 1A 1,所以MF ⊥平面ACC 1A 1.(13分)因为MF ⊂平面AFC 1,所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17.思路分析(1)由e 求得a ∶b ∶c.(2)最简单直接的解法是:利用PA ,PB 的斜率互为相反数,直接求出A ,B 的坐标.规范解答(1)由e==得a ∶b ∶c=2∶1∶3,椭圆C 的方程为 24 2+ 22=1.(2分)把P (2,-1)的坐标代入,得b 2=2,所以椭圆C 的方程是 28+ 22=1.(5分)(2)由已知得PA ,PB 的斜率存在,且互为相反数.(6分)设直线PA 的方程为y+1=k (x-2),其中k ≠0.由+1= ( -2),2+4 2=8,消去y ,得x 2+4[kx-(2k+1)]2=8,即(1+4k 2)x 2-8k (2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.(8分)因为该方程的两根为2,x A ,所以2x A =4(2 +1)2-81+4 2,即x A =8 2+8 -21+4 2.从而y A =4 2-4 -14 2+1.(10分)把k 换成-k ,得x B =8 2-8 -21+4 2,y B =4 2+4 -14 2+1.(12分)计算,得k AB = --=8-16 =-12,是定值.(14分)解后反思利用直线PA 与椭圆C 已经有一个交点P (2,-1),可使得解答更简单.由+1= ( -2), 2+4 2=8,得+1= ( -2),4( 2-1)=4- 2,当(x ,y )≠(2,-1)时,可得+1= ( -2),4 ( -1)=- -2.解得=8 2+8 -24 2+1,=4 2-4 -14 2+1.以下同解答.下面介绍一个更优雅的解法.由A ,B 在椭圆C :x 2+4y 2=8上,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,所以k AB = 1- 2 1- 2=-14· 1+21+2.同理k PA =1+1 1-2=-14· 1+21-1,k PB =2+1 2-2=-14· 2+22-1.由已知,得k PA =-k PB ,所以1+1 1-2=-2+1 2-2,且1+2 1-1=-2+2 2-1,即x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)-(x 1+x 2)+4,且x 1y 2+x 2y 1=(x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+4.从而可得x 1+x 2=2(y 1+y 2).所以k AB =-14· 1+ 21+2=-12,是定值.18.思路分析(1)首先B (-2,1).设曲线段AB 对应函数的解析式为f (x ),则f (-2)=1且f'(-2)=12.(2)先算出M P 的最大值.规范解答(1)首先B (-2,1),由y'=-16 (4+ 2)2,得曲线段BCD 在点B 处的切线的斜率为12.(2分)设曲线段AB 对应函数的解析式为y=f (x )=a (x-m )2(x ∈[m ,-2]),其中m<-2,a>0.由题意,得 (-2)= (-2- )2=1,'(-2)=2 (-2- )=12,解得=-6,=116.(4分)所以曲线段AB 对应函数的解析式为y=116(x+6)2(x ∈[-6,-2]).(5分)(2)设P (x ,y ),记g (x )=M P =(0-x )+6), ∈[-6,-2],∈[-2,0].(7分)①当x ∈[-6,-2]时,g (x )的最大值为g (-3)=98;(10分)②当x ∈[-2,0]时,g (x )-g (-2)=-( 2-4)2(4+ 2)2≤0,即g (x )≤g (-2)=1,得g (x )的最大值为g (x )max =98.(13分)综上所述,g (x )max =98.(14分)因为0.8<98<1.5<2,所以,游客踏乘的观光车不能过桥,蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥.(16分)19.思路分析(1)利用a n =1, =1,- -1,≥2,得到a n+1与a n 的关系.(2)与(1)类似,相当于(-1) n 项和为1.当n ≥2时,(-1)n+1 2 +1=1 -1-1.(3)即c n+1-c n >0对n ∈N *恒成立.考虑分离出λ.规范解答(1)a 1=S 1=2.由a n+1=S n+1-S n =(2a n+1-2)-(2a n -2),得a n+1=2a n .(2分)所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,a n =2n .(4分)(2)由1 1= 12+1,得b 1=32.(5分)当n ≥2时,1-1 -1=(-1)n+12 +1,得b n =(-1)n 2 +12.(8分)所以b n =1,1) 2 +12,≥2.(9分)(3)假设数列{c n }是单调增数列,则c n+1-c n =2n +λ(b n+1-b n )>0对n ∈N *恒成立.①当n=1时,由2+0,得λ<8;(11分)②当n ≥2时,b n+1-b n =(-1)n+12 +1+12 +1-(-1)n 2 +12=(-1)n+12 +2+32 +1.若n=2k ,k ∈N *,则λ<12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递增,当n=2时取最小值3219,得λ<3219;(13分)若n=2k+1,k ∈N *,则λ>-12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而-12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递减,当n=3时取最大值-12835,得λ>-12835.(15分)综上所述,存在实数λ,且λ的取值范围是-12835(16分)解后反思特别要注意对n=1时的单独处理.20.思路分析(1)只要注意对k 的讨论.(2)分离出k ,转化为k>K (x )恒成立问题.(3)先说明0<x 1<e k <x 2,从而只要证e k <x 2<e 2 1,只要证f (x 1)=f (x 2)转化为关于x 1的不等式对0<x 1<e k 恒成立问题.规范解答(1)f'(x )=ln x-k ,其中x>1.(1分)①若k ≤0,则x>1时,f'(x )>0恒成立,f (x )在(1,+∞)上单调递增,无极值;(2分)②若k>0,则f (x )在(1,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增,(4分)有极小值f (e k )=-e k ,无极大值.(5分)(2)问题可转化为k>1x-1对x ∈[e,e 2]恒成立.(7分)设K (x )=1x-1,则K'(x )=42ln x+11=4 2(ln x-1)+1.当x ∈[e,e 2]时,K'(x )≥1>0,所以K (x )在[e,e 2]上单调递增,K (x )max =K (e 2)=1-8e2.(9分)所以实数k 的取值范围是1-8e 2,+∞.(10分)(3)因为f'(x )=ln x-k ,所以f (x )在(0,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增.不妨设0<x 1<e k <x 2.要证x 1x 2<e 2k ,只要证x 2<e 21.因为f (x )在[e k ,+∞)上单调递增,所以只要证f (x 1)=f (x 2)即要证(ln x 1-k-1)x 1<(k-ln x 1-1)e 21.(12分)令t=2(k-ln x 1)>0,只要证(t-2)e t +t+2>0.设H (t )=(t-2)e t +t+2,则只要证H (t )>0对t>0恒成立.H'(t )=(t-1)e t +1,H ″(t )=t e t >0对t>0恒成立.所以H'(t )在(0,+∞)上单调递增,H'(t )>H'(0)=0.(14分)所以H (t )在(0,+∞)上单调递增,H (t )>H (0)=0.综上所述,x 1x 2<e 2k .(16分)21.A.规范解答由切割线定理,得FG 2=FD ·FA.(2分)因为EF=FG ,所以EF 2=FD ·FA ,即 =.(5分)又因为∠EFA=∠DFE ,所以△EFA ∽△DFE.所以∠EAF=∠DEF.(8分)因为∠EAF=∠BAD=∠BCD ,所以∠DEF=∠BCD.所以EF ∥CB.(10分)B.规范解答因为AC=B ,所以C=A -1B.(2分)由|A|=2113=6-1=5,得A -13-112.(6分)所以3-112110-1341-3=35-15-3(10分)C.思路分析化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程,可利用直线l 的标准参数方程的几何意义求线段AB 的长.规范解答因为曲线C 经过极点,所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ-4ρcos θ=0,(2分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的直角坐标方程为y 2-4x=0.(4分)把直线l 的标准参数方程代入,得t 2+82t=0,解得t 1=0,t 2=-82.(8分)所以AB=|t 2-t 1|=82.(10分)易错警示必须先说明“曲线C 经过极点”,才能在方程ρsin 2θ-4cos θ=0两边同乘ρ,否则新方程表示的曲线可能比曲线C 多一个极点.D.思路分析化x 2+y 2为xy ,显然可用基本不等式x 2+y 2≥2xy.规范解答因为a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,所以(ax+by )(bx+ay )=ab (x 2+y 2)+(a 2+b 2)xy ≥ab ·2xy+(a 2+b 2)xy=(a+b )2xy=xy.(9分)当且仅当x=y 时,取等号.(10分)22.思路分析本质上就是要求出ξ的分布,否则怎么说明理由?规范解答(1)设第一次与第二次取到卡片上数字分别为X ,Y.则P (X=1)=P (Y=1)=P (X=2)=P (Y=2)=38,P (X=3)=P (Y=3)=28.随机变量ξ的可能取值为2,3,4,5,6.(2分)P (ξ=2)=P (X=1)P (Y=1)=964,P (ξ=3)=P (X=1)P (Y=2)+P (X=2)P (Y=1)=932,P (ξ=4)=P (X=1)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=2)=2164,P (ξ=5)=P (X=2)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=2)=316,P (ξ=6)=P (X=3)P (Y=3)=116.(7分)所以当ξ=4时,其发生的概率最大.(8分)(2)由(1)可知E (ξ)=2×964+3×1864+4×2164+5×1264+6×464=24064=154.(10分)解后反思利用ξ=X+Y 来计算P (ξ=k ),条理清楚,不易出错.思想根源实际上,因为ξ=X+Y ,所以E (ξ)=E (X )+E (Y )=158+158=154.23.思路分析可直接判断点C 的轨迹是直线MN ,也可设C (x ,y ),得关于(x ,y )的参数方程.(1)只要证 · =x 1x 2+y 1y 2=0.可利用根与系数的关系.(2)设弦为EF ,则 ·=0,可设直线EF 的方程为x-m=λy.规范解答(1)由 =t +(1-t ) ,得 - =t ( - ),即 =t .所以点C 的轨迹就是直线MN ,其轨迹方程为x-y-4=0.(2分)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由- -4=0,2=4 ,消去x ,得y 2-4y-16=0,所以y 1y 2=-16.而x 1x 2= 124· 224=16,所以 · =x 1x 2+y 1y 2=0.所以OA ⊥OB.(4分)(2)设经过点P (m ,0)的弦EF 所在的直线方程为x-m=λy.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则以EF 为直径的圆经过原点等价于x 1x 2+y 1y 2=0.由- = ,2=4 ,得y 2-4λy-4m=0.当Δ=16λ2+16m>0时,y 1+y 2=4λ,y 1y 2=-4m.从而x 1x 2=12 2216=m 2.所以m 2-4m=0,解得m=0或m=4.(6分)①若m=0,则λ≠0,此时圆心D (x ,y )满足 =2 2,=2 (λ≠0).圆心的轨迹方程为y 2=2x (y ≠0).(8分)②若m=4,则λ∈R,此时圆心D (x ,y )满足=2 2+4, =2 .圆心的轨迹方程为y 2=2(x-4).(10分)易错警示不要轻易舍去m=0的情况.。

2022-2023学年江苏省苏州市高一年级上册学期期末学业质量阳光指标调研数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题1．已知角，那么的终边在（）563α=︒αA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限．α203︒α【详解】因为，又，所以的终边在第三象限．563=360+203α=︒︒︒180203270︒<︒<︒α故选：C ．2．命题“”的否定为（）22,4x x ∀≥≥A ．“”B ．“”22,4x x ∀≤≥2002,4x x ∃<<C ．“”D ．“”22,4x x ∀≥<20024x x ∃≥<,【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，主要是否定结论而不是否定条件，故的否定为22,4x x ∀≥≥20024x x ∃≥<,故选：D3．已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（）ππA ．B ．C ．2D ．12π2π【答案】B【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，r α则，解得.21π2πr r αα⎧=⎪⎨⎪=⎩π2,2r α==故选：B4．已知，，则“”是“”成立的（）αR β∈αβ=sin sin αβ=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】若“”，则“”必成立；αβ=sin sin αβ=但是“”，未必有“”，例如.sin sin αβ=αβ=0,αβπ==所以“”是“”成立的充分不必要条件.αβ=sin sin αβ=故选：A.5．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．sin y x =|sin |y x =cos 2y x =tan y x=【答案】B【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.【详解】的最小正周期是，不符合题意.sin y x =2π在区间上单调递增，不符合题意.tan y x =π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭对于，，cos 2y x =ππ,π22π2x x <<<<所以在区间上单调递增，不符合题意.cos 2y x =π,π2⎛⎫⎪⎝⎭对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，sin y x=sin y x=π且在区间上单调递减，B 选项正确.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭故选：B6．已知A ，集合，若，则实数a 的取值范围()f x ={12}B x ax =∈<<R ∣B A ⊆是（）A ．B ．C ．D ．[2,1]-[1,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】A ，()f x =所以，210x -≥所以或，1x ≥1x ≤-①当时，,0a ={102}B x x =∈<<=∅R ∣满足，B A ⊆所以符合题意；0a =②当时，0a >，12{}B x x a a =∈<<R ∣所以若，B A ⊆则有或，11a ≥21a ≤-所以或（舍）01a <≤2a ≤-③当时，0<a ，21{}B x x a a =∈<<R ∣所以若，B A ⊆则有或（舍），11a ≤-21a ≥，10a -≤<综上所述，，[1,1]a ∈-故选：B.7．三个数，之间的大小关系为（）220.81log 1.41a b ==，0.312c =A ．B ．b a c <<a b c <<C ．D ．a c b <<b<c<a【答案】A【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可.1,12【详解】由题意，即，220.810.80.640.5a =>=>112a <<，即，221log 1.41log 2b =<=102b <<，0.310221c =>=综上：c a b >>故选：A8．已知函数，若函数有两个零点，则实数a 的取值范1221,()log (1),1x x a f x x x a⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩()()2g x f x =-围是（）A ．B ．C ．D ．21log 3a -<≤21log 3a -≤<23log 34a -≤<23log 34a -<≤【答案】D 【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数()211x y x =->-()()12log 11y x x =+>-2y =有两个零点求得的取值范围.()()2g x f x =-a 【详解】函数有两个零点，()()2g x f x =-即有两个不相等的实数根，()2f x =即与的图象有两个交点.()y f x =2y =画出、和的图象如下图所示，()211x y x =->-()()12log 11y x x =+>-2y =由解得，设.212x-=2log 3x =()2log 3,2B 由解得，设.()12log 12x +=34x =-3,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭对于函数，1221,()log (1),1x x a f x x x a⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩要使与的图象有两个交点，结合图象可知，.()y f x =2y =23log 34a -<≤故选：D二、多选题9．设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的一个函数{}*2,A x x k k ==∈N ∣*B =N 的有（）A ．B ．C ．D ．12y x =2log y x =2xy =2y x =【答案】ACD【分析】根据函数的定义一一判断求解.【详解】对于A ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N∣*1,2y x k k ==∈N 即任意，都有唯一的与之对应，所以A 正确；x A ∈y B ∈对于B ，存在，，所以B 错误；6x A =∈2log 6y B =∉对于C ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N ∣2xy B =∈即任意，都有唯一的与之对应，所以C 正确；x A ∈y B ∈对于D ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N ∣2y xB =∈即任意，都有唯一的与之对应，所以D 正确；x A ∈y B ∈故选:ACD.10．已知函数，则下列结论中正确的有（）π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．B ．的定义域为7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．在区间上单调递增D ．若，则的最小值为()f x ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭()()1212,f x f x x x =≠12x x -π【答案】BC【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.【详解】已知函数,函数的定义域为,π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2π,Z 32x k k -≠+∈即函数的定义域为,故选项正确;()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣B 7π7πππ=tan tan 12412343π3ππ7ππ=tan tan tan 42366f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则,故选项错误;7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 当,则在区间上单调递增, 故选项正确;πππππ,,2,123323x x ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭C 因为的周期,π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2T =所以若，则的最小值为,故选项错误;()()1212,f x f x x x =≠12x x -π2D 故选: .BC 11．若a ，b 均为正数，且满足，则（）24a b +=A ．的最大值为2B ．的最小值为4ab 11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．的最小值是6D ．的最小值为4aa b +22a b +165【答案】AD【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，，211222222a b ab a b +⎛⎫=⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭当且仅当时等号成立，A 选项正确.22a b ==B 选项，111b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但由解得，不满足，4≥=1b a ab ab a b ===1a b ==24a b +=所以等号不成立，所以B 选项错误.C 选项，，42224a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+=当且仅当时等号成立，所以C 选项错误.4,3b a a b a b ===D 选项，，()222224251616a a a a ab =+-=-++所以当，时，168255a -=-=⨯16442455b a =-=-=取得最小值，D 选项正确.22a b +64816516162555⨯-⨯+=故选：AD12．已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，x y a =0a >1a ≠log a y x =0a >1a ≠它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（）e 2x x +=ln 2x x +=1x 2x A ．B ．C ．D ．122x x +=211x x ->1122e ln x x x x =1212ln e x x x x =【答案】ABC【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合2y x =-+e xy =ln y x =1x 2x 图像即可判断各选项.【详解】由方程和可化为和，e 2xx +=ln 2x x +=e 2x x =-+ln 2x x =-+即直线与两函数和的交点横坐标分别为、，2y x =-+e xy =ln y x =1x 2x 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称，e xy =ln y x =y x =如图所示，点、关于点对称，，且，A B C 12012x x <<<<()1,1C 所以，故A 正确；122x x +=因为，所以，1213e 222>-+=110x 2<<又，所以，故B 正确；212x x =-211112221x x x x x -=--=->由和它们的图像关于直线对称，所以，，e x y =ln y x =y x =12e xx =21ln x x =所以，故C 正确；1122e ln x x x x =对于D ，由，则，即，与矛盾，故D 错误.1212ln e x x x x =2211x x x x =12x x =12012x x <<<<故选：ABC.三、填空题13．求值：__________．22351lg 2lg 2822-⎛⎫+-+=⎪⎝⎭【答案】1【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.【详解】()22222333515lg 2lg 28lg lg 222222-⎛⎫+-+=+-+ ⎪⎝⎭()2335lg 442lg 5244lg1012⨯⎛⎫=⨯-+=⨯-+== ⎪⎝⎭故答案为：114．已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数()f x (0,)+∞__________．()=f x 【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即得.【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，2()f x x -=(0,)+∞所以函数满足题意.2()f x x -=故答案为：.2x -15．已知，则__________．1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈(sin 1)(cos 1)αα-+=【答案】225-【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结sin cos αα⋅sin cos αα-果.【详解】由得：1sin cos 5αα+=，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=解得：；12sin cos 25αα⋅=-由得：12sin cos 25αα=-()22249sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα-=-+=-=又因为,且,所以即(0,π)α∈12sin cos 25αα⋅=-sin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以7sin cos 5αα-=则(sin 1)(cos 1)sin co 1272sin cos 1521255s αααααα-+=⋅+=-+-=---故答案为：.225-四、双空题16．我们知道，设函数的定义域为I ，如果对任意，都有，且()f x x I ∈,a x I a x I +∈-∈，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数()()2f a x f a x b ++-=()y f x =(,)P a b 的图象关于点成中心对称图形，则实数c 的值为__________；若3()2e 1x cf x x =-++(0,1)，则实数t 的取值范围是__________．()2(56)2f t f t -++>【答案】 2()(),16,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据题意可得即可求出c 的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，()()2f x f x +-=并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.()2(56)2f t f t -++>【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形，3()2e 1x cf x x =-++(0,1)所以，()()2f x f x +-=即，33222e 1e 1x x c c x x --+++=++即，所以，(e 1)2e 1x xc +=+2c =所以在定义域上单调递减，32()2e 1xf x x =-++R 令，32()()121e 1x g x f x x =-=-+-+因为函数的图象关于点成中心对称，()f x (0,1)所以的图象关于对称，()g x (0,0)且单调递减，32()()121e 1x g xf x x =-=-+-+因为，即，()2(56)2f t f t -++>()21(56)1f t f t -->-++即，也即，2()(56)g t g t ->-+2()(56)g t g t ->--所以则解得或，256t t -<--2560t t -++<1t <-6t >故实数t 的取值范围是.()(),16,-∞-⋃+∞五、解答题17．设集合．{}22216,05x x A x M B x x -⎧⎫=∈≤≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)若，；M =N A B ⋂(2)若，．M =R (),A B A B R 【答案】(1){}3,4A B = (2){}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.,A B A B ⋂（2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.【详解】（1），所以，所以.422162x ≤≤=14x ≤≤{}14A x M x =∈≤≤∣，解得，所以.()()202505x x x x -<⇔--<-25x <<{}|25B x x =<<若，则，所以.M =N {}1,2,3,4A ={}3,4A B = （2）或，{|2B x x =≤R }5x ≥若，则，M =R {}|14A x x =≤≤所以.{}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R18．已知．πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角的终边过点，求；α(12,5)P -()f α(2)若，分别求和的值．()2f α=sin cos sin cos αααα-+24sin 3sin cos ααα-【答案】(1)512(2)，sin cos 3sin cos αααα-=+2224sin 3sin cos 5ααα-=【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.()f x ()f α（2）根据齐次式的知识求得正确答案.【详解】（1）πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭，()()()sin cos sin tan cos cos sin ααααααα⨯-⨯-==-⨯-⨯若角的终边过点，则，α(12,5)P -5tan 12α=-所以.()5tan 12f αα=-=（2）若，()tan 2,tan 2f ααα=-==-所以；sin cos tan 133sin cos tan 11αααααα---===++-22224sin 3sin cos 4sin 3sin cos sin cos αααααααα--=+.224tan 3tan 16622tan 1415ααα-+===++19．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y （单位：万元）是销售利润x （单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元；③销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A ．；B ．；C ．．(0)y kx b k =+> 1.5(0)xy k b k =⋅+>2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？②总奖金能否超过销售利润的五分之一？【答案】(1)模型C,理由见解析(2)①210万元; ②不会.【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；（2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭23log 23155x x ⎛⎫+-≥⎪⎝⎭的增长速度解释.【详解】（1）模型A ．，因为，所以匀速增长，(0)y kx b k =+>0k >模型B ．，因为，先慢后快增长，1.5(0)xy k b k =⋅+>0k >模型C ．，因为，先快后慢增长，2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k 0k >所以模型C 最符合题意.（2）因为销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元，所以，即，2log 20k n +=0k n +=又因为销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元，所以，即，2log 43k n +=23k n +=由解得，所以，023k n k n +=⎧⎨+=⎩33k n =⎧⎨=-⎩23log 2315⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x y ①如果总奖金不少于9万元，即，23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭即，即，解得，2log 2415x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭21615x +≥210x ≥所以至少应完成销售利润210万元.②设，即，23log 23155x x ⎛⎫+-≥⎪⎝⎭2log 211515x x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭因为与有交点，2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+()0,1且增长速度比慢，2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+所以当时，恒在的下方，0x >2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+所以无解，2log 211515x x⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.20．已知函数的图象经过点．()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<5π,38⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求在区间上的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)记关于x 的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭25π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x n 的值，并求的值．1231222n n x x x x x -+++++【答案】(1)最大值为，最小值为3(2)，.4n =12π【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<()3sin(2)4f x x π=+根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦24x π+（2）由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n 的值和π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 3x =的值.123422x x x x +++【详解】（1）将代入，5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<得，即，533sin 4πϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭53242k ππϕπ+=+解得，，因为，所以，24k ϕπ=+π0πϕ<<4πϕ=所以，()3sin(2)4f x x π=+当时，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52444x πππ≤+≤所以，所以，sin(2)14x π≤+≤3sin(234x π≤+≤所以在区间上的最大值为，最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3（2）因为，所以，π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3sin 22824x π⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即，，2sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 3x =由余弦函数性质可知，在上有4个解，2cos 3x =25π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即，，，4n =122x x π+=234x x π+=346x x π+=累加可得，.12342212x x x x π+++=21．已知为奇函数．24()1x af x x +=+(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；()f x (0,)+∞(2)若关于x 的方程有8个不同的解，求实数m 的取值范围．22()(21)|()|0f x m f x m -++=【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析.()f x (0,1)(1,)+∞(2)11(0,(,2)22 【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.(0)0f =a (2)将已知方程因式分解得，，作出的图像，数形结合即可得到的()()(2()1)0f x m f x --=()f x m 取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以24()1x a f x x +=+R (0)01af ==0a =，24()1xf x x =+当时，，，所以函数为奇函数.0a =24()1x f x x =+24()()1x f x f x x --==-+24()1xf x x =+则在单调递增，在上单调递减.24()1xf x x =+(0,1)(1,)+∞证明如下：，且12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <，()22121212121222221212444444()()111(1)x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++，()()()()()()()()1221211221222212124411111x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-----⎣⎦==++++当时，，，，所以，即12,(0,1)x x ∈1210x x -<210x x ->()22121(1)0x x ++>12())0(f x f x -<，所以函数在上单调递增；12()()f x f x <24()1xf x x =+(0,1)当时，，，，所以，即12,(1,)x x ∈+∞1210x x ->210x x ->()22121(1)0x x ++>12())0(f x f x ->，所以函数在上单调递减.12()()f x f x >24()1xf x x =+(1,)+∞（2）因为，则，即22()(21)|()|0f x m f x m -++=22()(21)|()|0f x m f x m -++=，()()(2()1)0f x m f x --=解得或，因为有4个解，1()2f x =()f x m=1()2f x =要使关于x 的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，22()(21)|()|0f x m f x m -++=()f x m =如图所示，根据第一问函数单调性可知，当时，，所以的取值范围是且0x >max ()(1)2f x f ==m 02m <<，综上，的取值范围是.12m ≠m 11(0,(,2)22 22．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．()f x ()g x R ()()2xf xg x +=(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)若函数在上的值域为，求正实数a 的值；2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞(3)证明：对任意实数k ，曲线与曲线总存在公共点．()()f x y g x =12y kx =+【答案】(1)，()222x xf x --=()222x x g x -+=(2)2a =(3)证明见详解【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.a （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1），分别为定义在上的奇函数和偶函数()f x ()g x R 所以，又因为①，()()()(),f x f x g x g x -=--=()()2xf xg x +=所以②，()()()()2xf xg x f x g x --+-=-+=有①②可知，，.()222x x g x -+=()222x xf x --=（2）令，由（1）知，，()(2)()g x a F x f x -⋅=()()()22222222x x x xa F x --+--⋅=又因为，令，所以x ∈R 22x xt -=-Rt ∈所以，()()222222222222222x x xx t at t at a --+-+-+-⋅=-=函数在上的值域为，2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞所以，故,()1,2F x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭[)221,t at -+∈+∞当时，得，又因为，所以2a t =2214a -+=0a >2a =（3）由（1）知，所以2222()4121()4141x x x xx x xf x yg x ---====-+-++与曲线总存在公共点，()()f x y g x =12y kx =+即在有实数根，令，210412x kx +-=+(),-∞+∞()21412x k G x x +=-+当时，易知为函数的零点，0k =4log 3x =()G x 当时，易知函数在单调递减，0k <()21412xk G x x +=-+(),-∞+∞又因为，，由零点存在性定理可知:()1002G =>()11010G k =-<,使得成立.()00,1x ∃∈()00G x =当时，，0k >()2113241222x kx G x kx kx +-<+-=++=又因为，，所以.()1002G =>223122G k k k ⎛⎫⎛⎫-<⋅-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20G k ⎛⎫-< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知:,使得成立.12,0x k ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭()10G x =故对任意实数函数在有零点.k ()21412x k G x x +=-+(),-∞+∞即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.k ()()f x y g x =12y kx =+。

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