《数字信号处理教学课件》dsp-2

1 e jN 1 e j
j( N 1 )
e
2
sin(N 2 ) sin 2
设N=4， 幅度与相位随 ω变化曲线如下图所示
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立
结论：
X (e j )
x(n)e j(2 M )n , M为整数
式中a, b为常数
3. 时移与频移
设X(e jω)=FT[x(n)]， 那么
改变相位
FFTT[[xx((nn nn00))]]eejjn0n0XX((eejj) ) FFTT[[eejj00nnxx((nn))]] XX((eej )) (j(0 0)
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
4. FT的对称性
x(n) = xe(n) + xo(n) FT
X(ejw) = XR(ejw) + jXI(ejw)
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(6) 研究实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭 反对称部分为零。 所以其FT具有共轭对称性。 即： H(ejω)=He(ejω) H(ejω)=H*(e-jω) 因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数 即 ：HR(ejω)=HR(e-jω) HI(ejω)=-HI(e-jω)
x(n)=cosωn+j sinωn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和
x(n)=xe(n)+xo(n)
xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭：
X
令YY ((kH：eejj(ke))=jFh(T)nkkXYYYYYY[-)yem(((((((kkkHHHYY(eeeeeeen,jjjjjjjj(((((m则kH)eeeeek])))))))mjjjjjFFF(hhhYYYYmme(((TTT)))))((nkkkkkkk((jHFXXXhhkeeH[[[ee)))(T()yyyjjeee(((kxkkXjj(((eee([))())nnneyjjjjjj[mFe(he))mmmm)))m(ekkkjF(]]]Th))))nmmmmkjkjjXem[(T)))kk])kyke(Xnnnmxj[hhh(e)x(nky(((ej(jm(nmxxxkkk)h(emk])((()))n(m[[[mmmYjeeej)xkmmmm)h(k())))]n)j[(mjjeeeeehmnmkkk(j)exxxxkjjjje)nxxx(((()kkkkhm[mmmmje(((xjmmmm(x()))))nknxkmj]eeee()))em(hhh)k)[mxejjjj(((e)jmnnnx(hmkkkkmxx)m(eeej(j(em(nn)nkmmmkjjjee)))xhj[h)))2xmj((]]]j(k1eeenmn(k)em)]jjj)eemj)hjj)]nj(Henk(ejejmj)e)j]endj]
结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)， 而序 列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部[jXI(ejω)] 。
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：
x(n) = xr(n) + jxi(n) FT
X(ejw)= Xe(ejw) + Xo(ejw)
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分 ho(n)的关系
h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2[h(n) + h(-n)] ho(n)=1/2[h(n) - h(-n)] 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：
x*(-n)=xe(n)-xo(n)
根据上面两式， 得到
xxee ((nn))
1 22
[[ xx((nn))
xx((nn))]]
xxoo ((nn))
11 22
[[ xx((nn))
xx((nn))]]
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(4) 频域函数X(ejω)的对称性 任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称 部分之和：
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) Xe(ejω) = X*e(e－jω)
Xo(ejω) =－X*o(e－jω)
Xe(ejω), Xo(ejω)和原频域函数X(ejω)的关系
X ee (e
jj
)
1 2
[X
(e
jj
)
X
(e
jj
)]
Xoo (e
jj
)
1 2
[
X
(e
jj
)
X
(e
jj
)]
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
x(n)e jn
n
称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字
母表示。
FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下
式：
x(n)
n
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
求FT的反变换， 用e jωm乘上式两边， 并在-π~π内对ω进行
积分，得XX到((eejj)e)ejjmmddnnxx(n[(nnn)x)(nx)e(eejnj)(jm(enmnejn)d)jnd]medjnd
信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述； 信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换； (2)时域离散信号和系统 信号用序列表示； 系统用差分方程描述； 频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
2.2.1 序列傅里叶变换的定义
X (e j )
n
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
5. 时域卷积定理
定理说明：两序列卷积的FT
设：y(n)=x(n)*h(n)
服从相乘关系，对于线性时不
y证(n明则) ：：mYyyy((((ennnxyj)))(ωmn))=)myyh(X((nmnn()e)xxxjm(((ωmmmx))(·)))mhhhH((()nnnxh((e(mnxjmmmω)(Yhm))))(m(en))jh)(m号变n)的系21F统mTX，乘)(输以e j出单)的位* HF脉T(冲等e j响于)应输的入21F信T
结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭
对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(b) 序列表示成共轭x对(n)称=部xe分(n)x+e(xno)(和n)共x轭e (n反)对称12部[x分(nx)o(n)x之(和n)]
其中：
xe (n)
u (n)
分段增 益函数
2, n 0 1, n 0 0, n 0
说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其
奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)
时，需要补充一点h(o)δ(n)信息
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
[例2] x(n)=anu(n),0<a<1,求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。
2. 线性
设： 则：
FXFXTF1XT1([T(1e[ae(a[jexjax1j)1x()(1n)n()n)FF)TFTbb[Tx[bxx2x[1x2(1x((2n(1nn(n()n))n])]])]),],]XX,aaX2X2aX((2eX1e1((j(e1eje(j)je)j)j))F)FbTFbTX[bTX[xX2x[22(x2(2(e(2en(n(jej)n)]j)])),,]),
xor(n)=－xor(-n)
实部 是奇
函数
xoi(n)= xoi(-n)
虚部
是偶
函数
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
[例1] 试分析x(n)=e jωn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的形式， 得到
函数
虚部 是奇 函数
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(2) 共轭反对称序列
共轭反对称序列满足：
xo(n)=－x*o(-n)
将x0(n)用其实部与虚部表示： xo(n)=xor(n)+jxoi(n)
上式两边n用-n代替，取共轭： x*o(-n)=xor(-n)－jxoi(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到
1 an,n 0 2 1 an,n 0
2
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
[例2]：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实
部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).
解
∵ HR (ejw)=FT[he(n)]=1+0.5 ejw +X0(.5e je)jw= hex(n(n) )ee-jwnj(2
(1) 共轭对称序列
共轭对称序列xe(n)满足： xe(n)=x*e(-n)
将xe(n)用其实部与虚部表示： xe(n)=xer(n)+jxei(n)
上式两边n用-n代替，取共轭： x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
得到：
xer(n)=xer(-n)
实部
是偶
xei(n)=-xei(-n)