第1章 数论与应用--整数的唯一分解定理
拆数的原理
拆数的原理拆数是指将一个数拆分成若干个数之和的过程。
这种操作在数学中具有广泛的应用，特别是在数论、组合数学、计算几何以及各种应用数学中都是非常重要的。
拆数的原理包括数论、组合数学以及小学数学中的常见知识。
1. 数论基础数论是研究整数性质的一个分支学科，是拆数的基础。
在数论中，一个整数可以表达为另外两个整数之和或积的形式，这被称为“唯一分解定理”。
基于唯一分解定理，我们可以使用分治法拆分任何一个整数。
唯一分解定理表示：任何一个大于1的整数都可以写成质数的乘积，而且这个乘积表示方式是唯一的（除了质数的顺序不同外）。
例如，我们将整数分为奇数和偶数两部分，然后对它们进行递归处理，直到不能再被分为止。
这样，我们可以将一个整数n拆分成如下形式：n = 2k + (n-2k)其中，n-2k是小于n的数，因此如果我们可以拆分n-2k，则可以使用上述公式拆分n。
这个递归过程可以不断进行下去，直到所有分解式都是质数。
2. 组合数学组合数学是一门研究离散结构的学科，它被广泛应用于计数问题和概率问题。
拆数是组合数学的一个典型应用，因为拆数涉及到不同的组合方式。
例如，一个正整数n可以拆分为若干个正整数之和的组合方式数目可以用组合数公式计算。
设f(n)表示将n拆分为若干个正整数之和的组合方式数目，我们有：f(n) = C(n-1, k-1)其中k表示正整数的个数，可以从1一直递增到n。
组合数C(n, k)表示从n个元素中取k个元素组成的组合，其组合数公式为：C(n, k) = n! / (k!*(n-k)!)根据上面的公式，我们可以计算得到f(n)的值。
例如，当n=5时，其C(n-1,k-1)的值如下：k=1, C(4, 0) = 1k=2, C(4, 1) = 4k=3, C(4, 2) = 6k=4, C(4, 3) = 4k=5, C(4, 4) = 1因此，将5拆分为若干个正整数之和的组合方式数目为1+4+6+4+1=16种。
数论的基本概念与定理
● 04
第四章 数论中的应用
数论在密码学中的应用
RSA算法
建立在数论概念 的加密算法
DiffieHellman密
钥交换
基于数论方法的 密钥协商协议
数论在编码理论 中的应用
编码理论是数论的一 个重要应用领域，利 用数论的知识可以设 计出高效的纠错编码 方案，确保数据传输 的完整性和可靠性。 通过数论的算法，可 以在数据传输过程中 实现对错误的自动校 正，提高数据传输的 安全性和效率。
经济学模型
许多经济学模型依赖于数 论原理的支持 为经济学家提供定量分析 的方法
总结
数论作为一门数学分支，不仅仅在理论研究中起 到重要作用，更在应用领域发挥着关键的作用。 从密码学到编码理论，从计算机科学到经济学， 数论的思想和方法贯穿其中，为各个领域的发展 和应用提供了坚实的基础。
● 05
第五章 数论中的经典问题
性陈述
费马陪定理
最简单的一个， 但也是最难证明
的
费马猜想
在证明了358年 后终于被安德鲁
·怀尔斯证明
费马定理的应用
费马定理在密码学、 编码理论等领域有着 广泛的应用。其中 RSA加密算法就是基 于费马小定理的原理 设计而成。费马定理 的应用不仅在理论研 究中有重要意义，也 在实际应用中发挥着 重要作用。
01 关于椭圆曲线的难题 02 尚未被证明 03 数论领域的难题
平凡解和非平凡解
数论中的方程和问 题
存在平凡解和非平凡解的 区分
解决难题的重要方 向
数学家们寻找非平凡解
数论中的重点问题
数论中的经典问题涉及到许多重要概念和定理， 如黄金分割比例、尼科彻定理、费马曲线猜想等。 这些问题不仅具有理论意义，还在实际生活中有 着重要的应用价值，值得深入研究和探讨。
数论1
7.2 素数和合数
• 由上可知, 若a是合数, 则a一定有大于1且 小于或等于人的因数. 由定理7.2.1知, a的 大于1的最小因数一定是素数, 故本定理 得证. • 素数有多少？公元前三世纪, 古希腊数 学家欧几里德Euclid就证明了素数有无 穷多个.
7.2 素数和合数
定理7.2.3 (Euclid) 素数有无穷多个 素数有无穷多个. 定理 证明(反证法)假设素数是有限多个, 共有n个, 令 证明 它们是p1,p2,…,pn, 并令a= p1p2…pn+1. 若a是素 数, 则因a≠pi; 其中1<i<n, 故素数个数最少是 n+1个, 这与假设素数个数为n个矛盾. 若a不是 素数, 则由定理7.2.2知, l的大于 1的最小因数 b是素数. 由于pi|p1p2…pn, 但pi不能整除1, 故pi 不能整除a, 因此b≠pi, 其中1≤i≤n, 那么a也为素 数. 所以在p1,p2,…,pn,还有素数, 这也与已知共 有n个素数矛盾.
专业基础课程
初等数论
(一) 一
Number Theory (1)
杭州师范学院 沈忠华
• 本章主要介绍整数的整除性和因数分解等内 容． • 在本章或下一章中，如无特别说明，常以小 写英文字母，或有时标以足码或肩码表示整 数．当几个字母写在一起时，表示它们相乘， 如: abc=a×b×c; 但注意数目字写在一起不表 示相乘，如 168不是1×6×8而是一百六十 八．当数目字和字母写在一起时，则表示该 数目字和字母相乘, 如168abc＝168×a×b×C.
7.2 素数和合数
• 下面给出关于合数的两个定理． 是合数,则 有一因数 满足: 有一因数d满足 定理 7.2.4 若 a是合数 则a有一因数 满足 是合数 1＜d＜ 1＜d＜a1/2 证明 由于 a是合数，故存在整数 b和 c使 a ＝bc, 其中: 1<b<a, 1<c<a.若b和c均大于 a1/2 , 则a＝bc＞a1/2·a1/2＝a, 这是不可能 的. 因此b和c中必有一个小于或等于a1/2.
唯一分解定理
唯一分解定理数论中的唯一分解定理，也称为质因数分解定理，是数论中非常重要的一个定理。
它表明每个大于1的自然数都可以写成一系列质数的乘积，并且这种表达方式是唯一的。
唯一分解定理的正式表述如下：任何一个大于1的整数n都可以表示为n=p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₙ^aₙ的形式，其中p₁、p₂、...、pₙ是不同的质数，a₁、a₂、...、aₙ是大于等于1的整数。
这种表示方式是唯一的，即如果m=p₁^b₁* p₂^b₂* ... * pₙ^bₙ（其中b₁、b₂、...、bₙ是大于等于1的整数），那么对于每个i（1 ≤ i ≤ n），都有aᵢ = bᵢ。
唯一分解定理是数论中一个非常重要且实用的定理。
它使得我们可以将大的整数分解成质数的乘积，从而更方便地进行数学计算和研究。
通过质因数分解，我们可以推导出很多关于整数性质的结论，并且可以在密码学、计算机科学等领域中得到广泛的应用。
首先，让我们来看一个简单的例子。
考虑一个整数n=24。
我们可以将24分解为24=2^3 * 3^1。
这就是24的质因数分解。
其中，2和3都是质数，而3的指数为1，表示在分解中3只出现了1次。
这个分解方式是唯一的，没有其他的分解方式。
这意味着我们可以将任何一个大于1的自然数都表示为一系列质数的乘积，而且这种表达方式是唯一的。
同样地，我们可以将其他整数进行质因数分解。
例如，考虑整数30。
我们可以将30分解为30=2^1 * 3^1 * 5^1。
同样地，这个分解方式是唯一的，没有其他的分解方式。
这样我们就可以方便地得到整数的质因数分解。
唯一分解定理的证明比较复杂，涉及到数论的深入理解和推导。
在此我们不再展开讨论。
但是，唯一分解定理在数论中的重要性不言而喻。
它为我们提供了一种将整数分解为质数的乘积的方法，并且这种分解方式是唯一的。
这非常有利于我们在数学计算和研究中的推导和应用。
综上所述，唯一分解定理是数论中一个非常重要的定理。
齐次分解定理
齐次分解定理齐次分解定理，也被称为数论中的唯一分解定理或质因数分解定理，是数论中的一个重要定理。
该定理指出：任何一个正整数都可以被唯一地分解成若干个质数的乘积，即质因数。
所谓齐次是指分解后的每一个因子的乘幂均为1的情况。
这个定理具有重要的数论性质和实际意义，在数论的研究中有着非常广泛的应用。
齐次分解定理的内容如下：任何一个大于1的自然数N，要么是一个质数，要么可以写成几个质数的乘积，并且这个分解是唯一的。
具体来说，对于任意自然数N，如果N是一个质数，则直接分解为N本身。
如果N不是一个质数，则可以写成以下形式：N = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak其中，p1, p2, ..., pk为质数，a1, a2, ..., ak为正整数。
这种分解的形式是唯一的，即如果还有其他的质因数分解形式，则这些质因数和指数都完全相同。
这个定理在数论中非常重要，它确保了任何一个自然数都可以进行质因数分解，并且这种分解方式是唯一的。
这为数论的研究提供了基础，同时也为数学的其他领域提供了重要的工具。
齐次分解定理的证明方法可以通过数学归纳法来完成。
首先，对于N = 2的情况，由于2是质数，所以分解也是唯一的。
然后，假设对于某个自然数m成立，即m可以唯一分解为几个质数的乘积。
接下来，考虑m + 1的情况，如果m + 1是一个质数，则分解为m + 1本身即可。
如果m + 1不是一个质数，则可以进行质因数分解，即：m + 1 = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak然后，将每个质因数的指数减去1，即：m = p1^(a1-1) * p2^(a2-1) * ... * pk^(ak-1)由于对于m，质因数分解是唯一的，所以对于m + 1来说，其质因数分解也是唯一的。
因此，质因数分解定理成立。
齐次分解定理的重要性体现在许多数论相关的问题中。
首先，齐次分解定理可以用来求解最大公约数和最小公倍数问题。
高一联赛班春季班第11讲初等数论——唯一分解定理
唯一分解定理：每个大于1的自然数n 均可分解为有限个素数之积，如不计素数在乘积中的顺序，那么这种分解方式是唯一的.将相同的素因子写在一起，那么n 可以唯一地写成：1212k k n p p p ααα=⋅⋅⋅其中12,,,k p p p ⋅⋅⋅为互不相同的素数，而12,,,k ααα⋅⋅⋅是正整数，上式称为n 的标准分解.自然数n 的正约数个数公式：12()(1)(1)(1)k n τααα=++⋅⋅⋅+．第11讲 初等数论唯一分解定理11.1唯一分解定理【例1】 ⑴数135720132015⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的末三位数字为多少？⑵完全平方数除以1999所得的不同余数有几个？【例2】 设,a b 为正整数，1a b ≤<.证明：连续b 个整数中必有两个数的积被ab 整除.【例3】 记1!2!100!S =.证明：有一个整数k ，1100k ≤≤，使!S k 是一个完全平方数，并且这样的k是唯一的.【例4】 证明：若整数,a b 满足2223a a b b +=+，则a b -和221a b ++都是完全平方数.【例5】 证明：任意正整数可以表示为(不同)素因子的个数相等的正整数之差.【例6】 设,,a b c 是给定的整数.证明：有无穷多个正整数n ，使得32n an bn c +++不是完全平方数.【例7】 求正整数k ，使得存在函数:f N Z →满足：⑴(2000)2001f =；⑵()()()((,)),,f ab f a f b kf a b a b N =++∀∈.（其中(,)a b 表示,a b 的最大公约数.）【例8】 设12n p p p p =是最初的n 个质数的乘积，这里*n N ∈，2n ≥.证明：1p -和1p +都不是完全平方数.【例9】 求最小的质数(3)p >，使得不存在非负整数,a b 满足32a b p -=.【演练1】证明：存在无穷多个由连续3个正整数组成的数组，使得该数组中的每个数都可以表示为两个整数的平方和.（追问：是否存在这样的连续4个正整数？）实战演练【演练2】已知存在*,m n N ∈，使得195m n k =-，正整数k 的最小值为多少？【演练3】求出所有的正整数,a b ，使得对所有的正整数n ，n n a b +都是正整数的1n +次幂.【演练4】设正整数,,,a b c d满足ab cd+++不是素数.=，求证：a b c d【演练5】任意给定正整数n，证明：存在连续的n个正整数都是合数.。
初等数论讲义修改版
3.10 Gauss整数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第九讲 模m的原根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 模m的原根存在的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 公钥密码应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十讲 群， 环， 域理论简介（上） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 群的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 似曾相识的群理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 基本的群论定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第十一讲 必备的抽象代数（下） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 环和域的概念及例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 环的算术性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 理想的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 域的“熟知”定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 数论函数 第十二讲 基本的数论函数及运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 数论函数pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯函数和Euler函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirichlet乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 麦比乌斯反演公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 积性函数和完全积性函数 素数分布 同余方法 柯召方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
初等数论
第一章 整数的唯一分解定理第一节 整除性教学重点：应用带余数除法定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a . 如果a = bc 里的c 不存在，我们就说b 不能整除a 或a 不被b 整除，记作b |/a . 定理1 （传递性）若a 是b 的倍数，b 是c 的倍数，则a 是c 的倍数， 也就是b |a,c|b ⇒c|a.证 b |a,c|b 就是说存在两个整数1a ，1b 使得111111,(),a ab b bc a a b c a b ===成立因此但是是一个整数，故c|a 定理2 若a ，b 都是m 的倍数，则a ±b 也是m 的倍数.证 a ，b 是m 的倍数的意义就是存在两个整数a 1 , b 1，使得111111,.(),a a m b b m a b a b m a b a b m ==±=±±±因此但是整数，故是的倍数 .定理3 若1212,,,,,,n n a a a m q q q 都是的倍数，是任意个整数，1122.n n q a q a q a m +++ 则是的倍数注：1、显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数.2、若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数.以后若无特别说明，素数总是指正素数.3、下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；·(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0；(ⅴi) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ ba ∣a . 定理4(带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b ≠ 0，则存在唯一的两个整数q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r < |b |. (1)证明 存在性 若b ∣a ，a = bq ，q ∈Z ，可取r = 0. 若b |/a ，考虑集合A = { a + kb ；k ∈Z },其中Z 表示所有整数的集合.在集合A 中有无限多个正整数，设最小的正整数是r = a + k 0b ，则必有0 < r < |b |， (2)否则就有r ≥ |b |. 因为b |/a ，所以r ≠ |b |. 于是r > |b |，即a + k 0b > |b |，a + k 0b - |b | > 0，这样，在集合A 中，又有正整数a + k 0b - |b | < r ，这与r 的最小性矛盾. 所以式(2)必定成立. 取q = - k 0知式(1)成立. 存在性得证.唯一性 假设有两对整数q '，r '与q ''，r ''都使得式(1)成立，即a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则(q '' - q ')b = r ' - r ''，|r ' - r ''| < |b |， (3)因此r ' - r '' = 0，r ' = r ''，再由式(3)得出q ' = q ''，唯一性得证. 证毕3、定义2 称式(1)中的q 是a 被b 除的不完全商，r 是a 被b 除的余数，也叫最小非负剩余，记作r a b =><.第二节 最大公因数与辗转相除法第三节 最小公倍数教学目的：1、掌握最大公因数与最小公倍数性质；2、掌握辗转相除法；3、会求最大公因数与最小公倍数.教学重点：最大公因数与最小公倍数性质教学难点：辗转相除法一、最大公因数定义 设12,,,2).n a a a n n d ≥ 是（个整数若整数是它们之中每一个的因数， 12,,,n d a a a 那么就叫作的一个公因数.整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数.不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k ).如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）.显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2.定理1 12,,,n a a a n 若是任意个不全为零的整数，则1212i ,,,,,n n a a a a a a （）与的公因数相同； 1212ii ,,,,,.n n a a a a a a = （）(）（）证 12,,,.,1,2,,,n i d a a a d a i n = 设是的任一公因数由定义12,1,2,,,,,i n d a i n d a a a = 因而故是的一个公因数，121,2,,,.n n a a a a a 同法可证，的任一个公因数都是，a 的一个公因数 121,2,,,n n a a a a a 故与a 有相同的公因数.定理2 若b 是任一正整数，则（i ）0与b 的公因数就是b 的因数， 反之，b 的因数也就是0与b 的公因数 . (ii) (0,b)=b .证 显然0与b 的公因数是b 的公因数 .由于任何非零整数都是0的因数， 故b 的因数也就是0，b 的公因数，于是（i ）得证.其次，我们立刻知道b 的最大因数是b ；而0，b 的最大公因数是b 的最大公因数，故（0，b ）=b.推论2.1 若b 是任一非零整数，则（0，b ）= b .定理3 ,,,,,,)(,).a b c a bq c q a b b c a b b c =+=设是任意三个不全为零的整数，且其中是非零整数，则与有相同的公因数，因而（ 定理4 ,(,)a b a b 若是任意两个整数，则就是a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .中的最后一个不等于零的余数，即得(,)n a b r =推论4.1 ,(,).a b a b 的公因数与的因数相同例（1）1859,1573185928621431859143.a b =-=-⨯⨯=⨯-=由定理得（，1573）=（1859,1573）.1859=11573+2861573=5286+143所以（，1573）=（1859,1573）例（2）169,121484812532512322311212211.a b ==⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=由定理得169=1121+48121=2+25所以（169,121）定理5 ,i (,),a b a b a b δδδδ设是任意两个不全为零的整数，（）若m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m.(ii)若是a,b 的任一公因数，则（,）= 特别地, )(),(,),(b a b b a a = 1. 定理6 1212,,,,,,).n n n a a a n a a a d = 若是个整数，则(二、最小公倍数1、定义 整数a 1, a 2, , a k 的公共倍数称为a 1, a 2, , a k 的公倍数. a 1, a 2, , a k 的正公倍数中的最小的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最小公倍数，记为[a 1, a 2, , a k ].2、定理1 下面的等式成立：(ⅰ) [a , 1] = |a |，[a , a ] = |a |；(ⅱ) [a , b ] = [b , a ]；(ⅲ) [a 1, a 2, , a k ] = [|a 1|, |a 2| , |a k |]；(ⅳ) 若a ∣b ，则[a , b ] = |b |.3、定理2 对任意的正整数a ，b ，有[a , b ] =),(b a ab . 证明：设m 是a 和b 的一个公倍数，那么存在整数k 1，k 2，使得m = ak 1，m = bk 2，因此ak 1 = bk 2 . (1)于是21),(),(k b a b k b a a =. 由于)(),(,),(b a b b a a = 1，所以 t b a b k k b a b ),(),(11|=即，， 其中t 是某个整数. 将上式代入式(1)得到m =),(b a ab t . (2) 另一方面，对于任意的整数t ，由式(2)所确定的m 显然是a 与b 的公倍数，因此a 与b 的公倍数必是式(2)中的形式，其中t 是整数.当t = 1时，得到最小公倍数[a , b ] =),(b a ab . 推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.证明 由式(2)可得证.这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数.推论2 设m ，a ，b 是正整数，则[ma , mb ] = m [a , b ].证明 由定理2及前面的定理2的推论得到[ma , mb ] =),(),(),(22b a mab b a m ab m mb ma ab m === m [a , b ]. 证毕4、定理3 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记[a 1, a 2] = m 2，[m 2, a 3] = m 3， ，[m n -2, a n -1] = m n -1，[m n -1, a n ] = m n ，则[a 1, a 2, , a n ] = m n .证明：我们有m n = [m n -1, a n ] ⇒ m n -1∣m n ，a n ∣m n ，m n -1 = [m n -2, a n -1] ⇒ m n -2∣m n -1∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n -1∣m n ，m n -2 = [m n -3, a n -2] ⇒ m n -3∣m n -2∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n ，a n -2∣m n ，m 2 = [a 1, a 2] ⇒ a n ∣m n ， ，a 2∣m n ，a 1∣m n ，即m n 是a 1, a 2, , a n 的一个公倍数.另一方面，对于a 1, a 2, , a n 的任何公倍数m ，由定理2的推论及m 2, , m n 的定义，得m 2∣m ，m 3∣m ， ，m n ∣m .即m n 是a 1, a 2, , a n 最小的正的公倍数. 证毕推论 若m 是整数a 1, a 2, , a n 的公倍数，则[a 1, a 2, , a n ]∣m .定理4 整数a 1, a 2, , a n 两两互素，即(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j的充要条件是[a 1, a 2, , a n ] = a 1a 2 a n . (3)证明：必要性 因为(a 1, a 2) = 1，由定理2得到[a 1, a 2] =),(2121a a a a = a 1a 2 . 由(a 1, a 3) = (a 2, a 3) = 1及前面的定理4推论得到(a 1a 2, a 3) = 1，由此及定理3得到[a 1, a 2, a 3] = [[a 1, a 2], a 3] = [a 1a 2, a 3] = a 1a 2a 3 .如此继续下去，就得到式(3).充分性 用归纳法证明. 当n = 2时，式(3)成为[a 1, a 2] = a 1a 2. 由定理2a 1a 2 = [a 1, a 2] =),(2121a a a a ⇒ (a 1, a 2) = 1， 即当n = 2时，充分性成立.假设充分性当n = k 时成立，即[a 1, a 2, , a k ] = a 1a 2 a k ⇒ (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j .对于整数a 1, a 2, , a k , a k + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1]. (4)其中m k = [a 1, a 2, , a k ].因此，如果[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = a 1a 2 a k a k + 1，那么，由此及式(4)得到[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1] =),(11++k k k k a m a m = a 1a 2 a k a k + 1， 即),(1+k k k a m m = a 1a 2 a k ， 显然m k ≤ a 1a 2 a k ，(m k , a k + 1) ≥ 1.所以若使上式成立，必是(m k , a k + 1) = 1， (5)并且m k = a 1a 2 a k . (6)由式(6)与式(5)推出(a i , a k + 1) = 1，1 ≤ i ≤ k ； (7)由式(6)及归纳假设推出(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (8)综合式(7)与式(8)，可知当n = k + 1时，充分性成立. 由归纳法证明了充分性. 证毕三、辗转相除法本节要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid 算法.它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用.1、定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法.设a 和b 是整数，b ≠ 0，依次做带余数除法：a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .由于b 是固定的，而且|b | > r 1 > r 2 > ，所以式(1)中只包含有限个等式.下面，我们要对式(1)所包含的等式的个数，即要做的带余数除法的次数进行估计.2、引理1 用下面的方式定义Fibonacci 数列{F n }：F 1 = F 2 = 1，F n = F n - 1 + F n - 2，n ≥ 3，那么对于任意的整数n ≥ 3，有F n > α n - 2， (2)其中α =251+.证明：容易验证α 2 = α + 1.当n = 3时，由F 3 = 2 >251+= α 可知式(2)成立.假设式(2)对于所有的整数k ≤ n （n ≥ 3）成立，即F k > α k - 2，k ≤ n ，则F n + 1 = F n + F n - 1 > α n - 2 + α n - 3 = α n - 3(α + 1) = α n - 3α 2 = α n - 1，即当k = n + 1时式(2)也成立.由归纳法知式(2)对一切n ≥ 3成立.证毕. 定理11(1),1,,;k k k k a P b r k n --=-= 若a,b 是任意两个正整数，则Q其中 0111201121,,,0,1,,k k k k k k k k P P q P q P P Q Q Q q Q Q ----===+===+ 其中k=2,,n.推论1.1若a,b 是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数s,t 使得as+bt=(a,b).定理2 若a,b,c 是三个整数，且(a,c)=1.则i （）ab,c 与b,c 有相同的公因数，ii （） (ab,c)=(b,c),,.b c 上面假定了至少有一不为零推论2.1 ,.ab c b 若（a,c)=1,c 则推论2.2 1212,,,,,,.n m a a a b b 设及b 是任意两组整数1212,,,,,,.n m a a a b b 若前一组中任意整数与后一组中任意整数互质，则与b 互质例2 用辗转相除法求(125, 17)，以及x ，y ，使得125x + 17y = (125, 17).解：做辗转相除法：125 = 7⋅17 + 6，q 1 = 7，r 1 = 6，17 = 2⋅6 + 5， q 2 = 2，r 2 = 5，6 = 1⋅5 + 1， q 3 = 1，r 3 = 1，5 = 5⋅1， q 4 = 5.由定理4，(125, 17) = r 3 = 1.利用定理2计算（n = 3）P 0 = 1，P 1 = 7，P 2 = 2⋅7 + 1 = 15，P 3 = 1⋅15 + 7 = 22，Q 0 = 0，Q 1 = 1，Q 2 = 2⋅1 + 0 = 2，Q 3 = 1⋅2 + 1 = 3，取x = (-1)3 - 1Q 3 = 3，y = (-1)3P 3 = -22，则125⋅3 + 17⋅(-22) = (125, 17) = 1.例3 求(12345, 678).解：(12345, 678) = (12345, 339) = (12006, 339) = (6003, 339)= (5664, 339) = (177, 339) = (177, 162) = (177, 81)= (96, 81) = (3, 81) = 3.例4 在m 个盒子中放若干个硬币，然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币：每一次在n （n < m ）个盒子中各放一个硬币.证明：若(m , n ) = 1，那么无论开始时每个盒子中有多少硬币，经过若干次放硬币后，总可使所有盒子含有同样数量的硬币.解：由于(m , n ) = 1，所以存在整数x ，y ，使得mx + ny = 1. 因此对于任意的自然数k ，有1 + m (-x + kn ) = n (km + y )，这样，当k 充分大时，总可找出正整数x 0，y 0，使得1 + mx 0 = ny 0 .上式说明，如果放y 0次（每次放n 个），那么在使m 个盒子中各放x 0个后，还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1. 因此经过若干次放硬币后，必可使所有盒子中的硬币数目相同.四、小结.第四节 素数、整数的唯一分解定理教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4课时教学过程一、素数1、定义 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.2、定理1 设a 是任意大于1的整数，则a 除1以外的最小正因子p 是素数，并且当a 是合数时，则a p ≤ .3、定理2 设p 是素数，a 是任意整数，则a p |或1),(=a p .4、定理3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.5、定理4 素数有无穷多个.6、定理2 形如4n-1型的素数有无穷多个.例1 写出不超过100的所有的素数。
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1.2 整除、素数与合数
定理1-7 （1）a | b a | b a | b a | b ； （2） a | b且a | c 对任意的x, y Z 有a | bx cy ； （3）设m 0，那么，a | b ma | mb； （4） a | b且b | a b a； （5）设b 0。 那么a | b a b 。 例 设 f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 是整系数多项式。若 d | b－c， 则 d | f (b) f (c)。 证：易知
1.1 归纳公理
定理1-2（最小自然数原理） 设T是N的一个非空子集。 那么，必有 t0 T 使对任意的 t T 有 t0 t ，即 t 0是T中 的最小自然数。 定理1-3（最大自然数原理） 设M是N的非空子集。若 M有上界，即存在 a N ，使对任意的 m M 有 m a ， 那么，必有m0 M ，使对任意的 m M有m m0 ，即m0 是M 中的最大自然数。 这两个定理给出了N的一个子集中一定存在最小自然数， 以及存在最大自然数的条件。其中，最小自然数原理 是我们常用的第二种数学归纳法的基础。
定义1 设a，b是任意两个整数，其中 b 0 。如果存在一个整数q 使得等式 a bq （1-1） 成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作 b | a ，此时我们把b叫作 a的约数或因数，把a叫作b的倍数。 如果（1-1）里的整数q不存在，我们就说b不能整除a或a不能被b a。 整除，记作b Œ 定理1-5 若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数，也就是 b | a, c | b c | a.
f (b) f (c) an (bn cn ) an1 (bn1 cn1 ) a1 (b c) j j 由此及 d | b c ，就推出所要结论。 注：上例常用的形式是：若 b qd c ，那么 d | f b 的充要条件是 d | f (c ) 。
（3）当 n k 1 时，有
1 2 3 k (k 1) k (k 1) / 2 (k 1) (k 1)(k 2) / 2
n n(n 1) / 2 。
公式也成立。 1 2 3 所以对于任意正整数n都有
1.2 整除、素数与合数
1.1 归纳公理
定理1-4（第二种数学归纳法） 设 P(n)是关于自然数n的一个命题。 P(1) 成立； 如果（1）当 n 1时， （2）设 n 1 ，若对所有的自然数 m n， P ( m) 成立，则必可推出 P (n) 成立，那么，P(n) 对所有自然数n成立。 证：用反证法。若定理不成立，设T是使 P (n) 不成立的所有自然 数组成的集合，T非空。由定理1-2知集合T必有最小自然数 t 0。由 于 P(1)成立，所以 t0 1 。由条件（2）（取 n t0）知，必有自然数 m t0 使P ( m) 不成立。由于T的定义知 m T ，但这和 t 0 的最小性 矛盾。 证毕
1.2 整除、素数与合数
1 。如果它除了显然约数±1，±p外没 定义1-2 设整数 p 0， 有其它的约数，那么，p就称为是素数（或质数）。若 a 0 ，±1 且a不是素数，则a称为合数。 a 1是合数的充要条件是a de， 1 d a， 1﹤e a； 定理1-8 （1） 若d 1，是素数且 q d | q， 则d q。 （2） 定理1-9 若a是合数，则必有素数 p | a 。 定理1-10 若p是一质数，a是任一整数，则a能被p整除或p与a互 质。 定理1-11 设a是任一大于1的整数，则a的除1以外最小正因数q是 一质数，并且当a是合数时，q a 。 定理1-12 任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
1.1 归纳公理
例 试证明：对于任意正整数n都有
1 2 3 n n(n 1) / 2. 证 （1）当 n 1时，因为 1 (1 2) / 2 ，所以公式成立。 （2）假设当 n k 时，有 1 2 3 k k (k 1) / 2 成立。
1.2 整除、素数与合数
定理1-11证明：假设q不是质数，由合数定义，q除1及本身外还有 一正因数 q1，因而1 q1 q 。但q | a ，所以 q1 | a ，这与q是a的除1 外的最小正因数矛盾，故q是质数。 当a是合数时，则 a a1q，且 a1 1，否则a是质数。由于q是a的除 2 1外的最小正因数，所以 q a1 ，q qa1 a，故 q a 。 证毕 定理1-11给出了一个寻找素数的有效算法。例如，为了求出不超 过100（或任给的正整数N）的所有素数，只要把1，及不超过100 （或N）的所有正合数都删去。由定理1-11和定理1-12知，不超过 1/2 1/2 （或 N 2） 。 100（或N）的正合数a必有一个素除数 p a 100 10 因而，只要先求出不超过10（或 N 2 ）的全部素数2,3,5,7（或 p1 , p2 , , ps ) ，然后，依次把不超过100（或N）的正整数中的除了 2,3,5,7（或 p1 , p2 , , ps ）以外的2的倍数、3的倍数、5的倍数、7
1 S
1.1 归纳公理
归纳公理 设S是N的一个子集，满足条件： （1） 1 S ; （2） 如果n S，则n 1 S； 那么，S N。 定理1-1（第一数学归纳法） 设 P (n) 关于自然数n的一个命题。 如果 P(1) 成立； （1）当 n 1 时， （2）由 P (n) 成立必可推出 P(n 1) 成立。
数论与应用
数论是研究整数性质的一个数学分支，是密码学发展的 关键。随着网络安全越来越重要，数论的作用也越来越受 到重视，因此，这里介绍了数论的一些基本知识和相关应 用，全书共分为12章，希望给相关领域的学者提供一些帮 助。
第1章 整数的唯一分解定理
1.1 归纳定理 1.2 整除、素数与合数 1.3 带余数除法 1.4 最大公因数和最小公倍数 1.5 整数的唯一分解定理 1.6 辗转相除法 1.7 素数定理