人教版九年级数学上册21.3.3 实际问题与一元二次方程(3)几何图形面积问题
人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3.3 几何图形面积问题
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学习目标
1.能熟练找出几何图形问题中的等量关系，并列出 一元二次方程并求解. 2.能根据问题建立一元二次方程的数学模型，并运 用它解决实际问题.
重点难点
重点:用一元二次方程解决几何图形面积问题. 难点:发现问题中的等量关系.
A P
△要 ①分∠PB情BQP况Q是进=直9行0角°讨;②三论B角:QP形=9?0°.
然后在Rt∆BQP中根据BP,BQ的表达式 和∠B的度数进行求解即可.
BQ
C
21
知识点四：建立一元二次方程模型解决动态问题
典例讲评
解:(1)根据题意得AP=t cm, BQ=1 cm,
A
△ABC中,AB= BC=3 cm,∠B=60°，
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知识点四：建立一元二次方程模型解决动态问题
典例讲评
例3已知:如图所示，△ABC是边长为3 cm的等边三角形,动点
P,Q同时从A, B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速移动,它们的
速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动.
设解析点根P的据等运边动三时角间形为的t性(s)质. 可得AB= BC=3 cm, 解所以答就问可题以:（表示1）出当BQt为与何PB值，时，
根据题意，得(30-3x)(24-2x)=480,
24 m
整理,得 x2 -22x+40=0,
解方程,得x1=2,x2=20, 当x=20时，30-3x=-30,24-2x=-16,不符合题意,舍去，所以x=2.
答：人行通道的宽为2 m.
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知识点二：建立一元二次方程模型解决边框与甬道问题
归纳总结
由于绿地所占面积与绿地位置无关 ，所以在解决这类问题时，要灵活运用 平移，对分离的图形的面积进行整体表 示,使问题简化.
40m
32 m
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知识点二：建立一元二次方程模型解决边框与甬道问题
学以致用
3. 如图,在长为32m,宽为20m的矩形地面上修筑等宽的道路(图 中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2 ，求道路的宽.
32 m
20m
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知识点二：建立一元二次方程模型解决边框与甬道问题
合作探究
先独立完成导学案互动探究3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
典例讲评
例3:（2）当t为何值时，S△PBQ=
3 2
?
解:(2)过点Q作QM⊥AB，垂足为M,
在Rt∆PBQ中,∠B=60°,QM= ∴QM= 3 t,
3BM,BP= 21BQ， P A
2
∴S△PBQ=
1 2
QM·BP=
1 2
·32
t·(3﹣t )=
3 2
.
整理得：t2-3t+2=0
解得 t1=1, t2=2,
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知识点二：建立一元二次方程模型解决边框与甬道问题
归纳总结
解决图形面积问题的关键是把实际问题转化为数学 问题，把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几 何图形中，然后利用几何知识来寻找它们之间的关系， 列出一元二次方程求解，求不规则图形的面积时，一般 是将不规则图形拼凑或分割成规则图形再利用规则围形 的面积公式列方程求解.
M B
Q
C
答：当t=1或t=2时,△PBQ面积是
3 2
.
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知识点四：建立一元二次方程模型解决动态问题
归纳总结
以“静”制“动”求解动态问题
(1)分析出动点的运行轨迹，用含未知数的代数式把相 应的线段表示出来是解决这类问题的关键. (2)结合题意，用“静”的方法来处理“动”的问题。
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知识点四：建立一元二次方程模型解决动态问题
8
知识点二：建立一元二次方程模型解决边框与甬道问题
典例讲评
例2 如图.某小区有一块长为30m，大宽为24 m的矩形空地，
计划在其中修建两块相同的矩形绿地.它们的面积之和为480m
两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽
为多少米?
30m
解:设人行通道的宽为x m,将两块矩形绿地
合在一起长为(30-3x)m,宽为(24-2x)m,
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知识点三：建立一元二次方程模型解决圈舍问题
典例讲评
例3 如图，一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12
m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，
在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、
宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?
12
解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 xm,
当x=8时，26﹣2x=10<12,符合题意， 即所围矩形猪舍的长为10 m,宽为8m .
12 住房墙
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知识点三：建立一元二次方程模型解决圈舍问题
学以致用
1、如图，我区某中学计划用一块空地修建一个学生自行车 车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的 面积为80平方米，已知现有的板材可使新建的板墙的总长为 24米.为方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2 米宽的门.求这个车棚的长和宽分别是多少米?
住房墙
则平行于墙的一边长为(25-2x+1)m,
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知识点三：建立一元二次方程模型解决圈舍问题
典例讲评
解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 xm, 则平行于墙的一边长为(25-2x+1)m,
由题意得x(25﹣2x +1)=80,
整理得x2-13x+40=0， 解得x1=5,x2=8，
当x=5时，26﹣2x=16>12,不合题意,舍去;
12 墙
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知识点三：建立一元二次方程模型解决圈舍问题
学以致用
2.如图，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58米长的篱笆 围成一个面积为200平方米的矩形场地，求矩形的长和宽。
墙
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知识点三：建立一元二次方程模型解决圈舍问题
归纳总结
这类问题的思路是构建渗透了数学建模素养, 解决这类面积问题的关键是找准题中等量关系： “猪舍面积不变”，这是构建一元二次方程模型的 依据，同时还要考虑靠墙面不用材料，留门时不 用材料.
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知识点一：建立一元二次方程模型解决规则图形面积问题
新知探究
例1.七渔河公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出
部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少 了2 m,剩余空地的面积为20m2,求原正方形空地的边长.
解：设原正方形空地的边长为x m,根据题意得：
(x-1)(x-2)=20
A.x(x- 10)= 900
B.x(x+ 10)= 900
C.10(x+10)= 900
D.2[x+(x +10]=900.
2.从一块正方形的木板 上锯掉2 dm宽的长方形木条，剩下的 面积是48 dm2，则原来这块木板的面积是( B ) A.100 dm2 B.64 dm2 C.121 dm2 D.144 dm2
P
∴BP=(3﹣t)cm,
若△PBQ是直角三角形，
则∠BQP=90°或∠BPQ = 90°， 当∠BQP=90°时，BQ= 21BP,
BQ
C
即t=
1 2
(3-
1),t=1,
当∠BPQ=90°时,BP= 21BQ.3-t= t21,t=2.
答:当t=1或t=2时,△PBQ是直角三角形.
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知识点四：建立一元二次方程模型解决动态问题
学以致用
1、如图，在△ABC中,∠B=90°，点P从点A开始,沿AB边向点B
以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速
度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发，经过几秒钟，使
△PBQ的面积等于8cm2?
C
AP
Q
B
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知识点四：建立一元二次方程模型解决动态问题
学以致用
2、如图21.3- 7,矩形ABCD中,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别
从A,C两点同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到
达点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动.
A
D
(1)P,Q两点从出发开始，经过几秒时，
四边形PBCQ的面积为33 cm2?
P
(2)P,Q两点从出发开始，经过几秒时,
点P和点Q的距离为10cm?
Q
B
C
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思维导图
面积问题
规则图形面积问题 边框与甬道问题
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知识点二：建立一元二次方程模型解决边框与甬道问题
学以致用
1、 如图,要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21cm.正中
央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是
封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，
左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬
的宽度(结果保留小数点后一位)?
2
整理得：x2-3x-18=0
解得x1=6,x2=-3(舍去),
答：原正方形空地的边长为6 m.
20m2
1
7
知识点一：建立一元二次方程模型解决规则图形面积问题
学以致用
1.祥源小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块
面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地 的宽为x米，根据题意，可列方程为( B )
设中央矩形的长、宽分别为9x cm, 7x cm.列方程
9x·7x=
3 4
×27×21.
解得x≈2.6.进而得:
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时)
达标测评
教科书习题21.3第9题．
回顾前面几节课的学习内容，你能总结一
下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？
需要注意哪些问题？
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业：教科书复习题21第8题．
十、课后反思
利用未知数表示边长，通过面积之间的等量关系建立方程解决问题．
展示目标
学习目标：
1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程；
2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
二、学情分析
学生对列方程解应用题的一般步骤已经熟悉，适合由特殊到一般的探究方式。
九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观能动性，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
知识和技能目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并求解检验。
课题
21.3实际问题与一元二次方程---面积问题（第3课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识，在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，所以本节课对学生来说并不陌生。本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中面积问题。通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时本节课的学习又是后面继续学习二次函数解决实际问题的基础。因此，它具有承上启下的作用。
人教版九年级数学上册教案-21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程2带教学反思
21.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048⨯=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？九年级 练数学 习同步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=34×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=64±，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：DQ CQ AB AC）(a)BACQP(b)BACQ DP分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．则：12（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有DQ CQ AB AC=∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=则：12（14-y）·6(4)5y-=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6），使△PCD的面积为12.6c m2．经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P53综合运用5、6 拓广探索全部．2．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．AB．5 C．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8c m2 D．64cm2二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度CFBF=12，迎水坡度11DEAE）（精确到0.1m）BACEDF2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．2．32cm3．20m 和7.5m 或15m 和10m 三、1．设坝的高是x ，则AE=x ，BF=2x ，AB=3+3x ，依题意，得：12（3+3+3x ）x ×30=4500 整理，得：x 2+2x-100=0 解得x ≈220.102-+即x ≈9.05（m ） 2．设宽为x ，则12×8-8=2×8x+2（12-2x ）x 整理，得：x 2-10x+22=0解得：x 1，x 2=3．设道路的宽为x ，AB=a ，AD=b 则（a-2x ）（b-2x ）=12ab 解得：x=14[（a+b ）量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线，得L=•AB+AD-BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽4AB AD BD +-．~。
人教版九年级数学上册《21-3 第3课时 几何图形与一元二次方程》导学案设计优秀公开课3
自主学习第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第 3 课时 几何图形与一元二次方程学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.一、知识链接用长为 60m 的篱笆围一个矩形的菜园.宽 AD 为 x m.用含 x 的代数式填空：（1）如图①，AB = m ，S 矩形 ABCD = ；（ 2 ） 如图② ， 菜园中间用一根篱笆隔开， 则 AB = m ， S 矩 形ABCD =；（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则 AB = m ，S 矩形ABCD =.图① 图② 图③课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.典例精析例1 如图，在一块宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？【变式题1】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题2】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题3】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题4】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).例 2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m 的围栏围成总面积为200m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m 的围栏围成面积为600m2 的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 平方米？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x 表示出来，最后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.三、课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程彩条/小路宽度问题动点面积问题当堂检测1.在一幅长80cm，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x 满足的方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0D．x2－65x－350=02.一块长方形铁板，长是宽的2 倍，如果在4 个角上截去边长为5cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？4. 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， AC =6cm ，BC =8cm.点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点 P ，Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为 9 cm²？参考答案自主学习知识链接 (1)(30-x )x (30-x )(2)(30-1.5x )x (30-1.5x )(3)(60-3x )x (60-3x )课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究 1 解：设中央矩形的长和宽分别为 9a cm 和 7a cm 由此得到上下边衬宽度之比为： 1 (27 - 1- 7a ) = 9(3 - a ) : 7(3 - a ) = 9 : 7. 设上下边衬的 9x cm ，左右边衬宽为 7x9a ) : (21 22cm ，则中央的矩形的长为(27-18x )cm ，宽为(21-14x )cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可 列 出 方 程 (27 -18x )(21-14x ) 327 21,整 理 得 16x 2-48x +9=0 ， 解 方 程 得= 创 46 - 3 3 6 + 3 3 （不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为9 6 - 3 3 左右 x 1 =4 , x 2 = 4椿 1.8, 4边衬的宽度为7 6 - 3 3椿41.4.例 1 方法一：解：设道路的宽为 x 米，依题意得 20×32-32x -20x +x 2=540,解得x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.方法二：解：设道路的宽为 x 米，依题意得(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.【变式题 1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2， x 2=50（不合题意，舍去）.∴x =2. 答：道路的宽为 2 米.【变式题 2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-x )=540，解得x 1=18- 274 » 1.45 ，x 2=18+ 274 （不合题意，舍去）.∴x ≈1.45.答：道路的宽为 1.45 米.典例精析【变式题 3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-2x )=540，解得 x 1=1， x 2=25（不合题意，舍去）.∴x =1. 答：道路的宽为 1 米.【变式题 4 】解： 设横、竖小路的宽度分别为 3x 、 2x ， 于是可列方程(32-4x )(20-6x )= 3 创20 32, 解得 x 140.62 ，x 210.71 （不合题意，舍去）.∴x ≈0.62.则 3x ≈1.86,2x ≈1.24.答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米.例 2 解：设 AB 长是 x m.依题意得 (58-2x )x =200，即 x 2-29x +100=0，解得 x 1=25， x 2=4.x =25 时，58-2x =8，x =4 时，58-2x =50.答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 25m ，8m 或 4m ，50m.【变式题 1】 解：设 AB 长是 x m.依题意得(80-2x )x =600，即 x 2-40x +300=0，解得 x 1=10，x 2=30.x =10 时，80-2x =60>25，(舍去)，x =30 时，80-2x =20<25. 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 30m ，20m.【变式题 2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m ，则平行于住房墙的一边长(25-2x +1)m.由题意得 x (25-2x +1)=80，化简，得 x 2-13x +40=0，解得 x 1=5， x 2=8.当 x =5 时，26-2x =16>12 (舍去），当 x =8 时，26-2x =10<12，故所围矩形猪舍的长为 10m ，宽为 8m. 当堂检测 1.B2.解：设铁板的宽为x cm, 则长为2x cm. 依题意得5(2x-10)(x-10)=3000 ，即x2-15x-250=0.解得x1=25，x2=-10(舍去）.所以2x=50.答：铁板的长50cm，宽为25cm.3.解：设横向彩条的宽度2x cm , 竖彩条的宽度3x cm ，依题意得(20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得x= 5 , x = 10 （舍去）. 2x = 5 , 3x = 5 .1 623 2答：横向彩条的宽度5 cm ,竖彩条的宽度5 cm.3 2能力提升解：若设出发x s 后可使△PCQ 的面积为9cm² ,根据题意得AP= x cm，PC=(6-x)cm，CQ=2x cm.依题意得，整理，得x2-6x+9=0，解得x1= x2=3.答：点P，Q 出发3s 后可使△PCQ 的面积为9cm².。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时 几何图形问题)习
阴影矩形的面积相等，而阴影矩形的长﹑
宽分别为（32-2x）m﹑（20-2x）m，根
据矩形的面积公式就可以列出方程，解方
32
程即可.
20-2x x
20
第3课时 几何图形问题
解：设小道的宽为xm. 依题意，得（32-2x）（20-2x）=504.
整理，得x²-36x+68=0. 解得 x1 =2，x2 =34（不合题意，舍去）.
=9（3-a）：7（3-a）
=9:7
第3课时 几何图形问题
解:设上下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm，则
中央的矩形长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm.中央的矩形的
面积是封面面积的四分之三.于是可列方程
（27-18x）（21-14x）= 43×27×21
方程的哪个根
整理，得 16x²-48x+9=0
答：小道的宽为2m.
①若是规则图形，则套用面积公式； ②若是不规则图形，通过割补平移的方法转换为 规则图形，再根据面积间的和﹑差关系求解.
第3课时 几何图形问题
例2 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是 封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
×27×21
解得
x1
3
3 2
,
x2
3 3 （舍去）
2
所以上下边衬的宽度为 27 9x 1.8
2
左右边衬的宽度为
21 7 x 1.4 2
第3课时 几何图形问题
例3 要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面 积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长 分别是多少米？
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
21.3 实际问题与一元二次方程 21.3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
21．3 实际问题与一元二次方程
21．3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
武汉专版·九年级上册
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多
10 m，设绿地的宽为x m，根据题意，可列方程为B( )
A．x(x－10)＝900
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝9பைடு நூலகம்0
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
2．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出局部区域栽种鲜花(如图中阴影局部)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正 方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，那么可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 6．将外表积为550 cm2的包装盒剪开铺平，纸样如下图，包装盒的高为15 cm，求出包装盒底面的长与宽．
x2－6x＋8＝0，解得
x1
＝2，x2＝4，都符合题意，∴经过 2 s 或 4 s，△PBQ 的面积为 8 cm2
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草 坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
10．要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小 颖的设计方案．
小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2 300 m2.
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
九上数学新人教版213实际问题与一元二次方程课时3
课堂小结
几何
图形
与一
元二
次方
程问
题
等量关系
几何图形面积公式
课本封面问题
类型
小路宽度问题
围墙问题
动态几何问题
常采用图形平移，
聚零为整方便列
方程.
对接中考
1.在长为 160 m ，宽为 100 m的矩形地
面上修筑同样宽的道路，余下的部分
1
依题意得 ×6×(16-3x+2x)=33，解得
2
x=5，
所以经过 5 s 时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2.
(2)设经过 y s 时，点 P 和 Q 的距离为 10 cm，
依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，
整理得 25y2-160y+192=0，
解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，
未知数，如探究中的第一种设法.
间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量
用含未知数的代数式表示,如探究中的第二种设法.
新知探究 跟踪训练
例1 如图，某小区有一块长为 30 m，宽为 24 m 的矩形
空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的
面积之和为480 m2 ，两块绿地之间及周边有宽度相等
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识回顾
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
1.审清题意
2.设未知数
3.列方程
4.解方程验根
5.作答
学习目标
1.会用面积法建立一元二次方程数学模型.
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何图形与一元二次方程教案1
第3课时 几何图形与一元二次方程1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．一、情境导入如图，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型(2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A ．x (5＋x )＝6B ．x (5－x )＝6C ．x (10－x )＝6D ．x (10－2x )＝6解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5－x )米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x (5－x )＝6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．(2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm 2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm ，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x 的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm ，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2－70x ＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型(2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x －17x ＋x 2＝300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动．(1)如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC 与CQ 的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x )·2x ＝8.整理，得x 2－6x ＋8＝0，解这个方程，得x 1＝2，x 2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s后可使△PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半．则根据题意，得12(6－x )·2x ＝12×12×6×8.整理，得x 2－6x ＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于△ABC 面积一半的时刻．三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.。
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
知识点1：一般图形的面积问题 1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃 的长为( C ) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长 方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B ) A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两 2cm，7cm 条直角边长分别为______________ ．
11 ． 如图 ， 已知点 A 是一次函数 y ＝ x － 4 图象上的一点 ， 且矩形 (3，－1)或(1，－3) ． ABOC的面积等于3，则点A的坐标为___________________ 12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的 四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息 亭等宽的观光大道 ， 其余部分 ( 图中阴影部分 ) 种植的是不同花 草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正 方形观光休息亭的边长为多少米？ 解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x) ＝3600，整理得x2－75x ＋350 ＝0 ，解得x1＝5 ， x2＝70 ，∵x2＝70 ＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光 休息亭的边长为5米
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝ 4，解得x1＝1，x2＝4. ∵当x＝4时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7， 此方程无解，所以不能
人教版2021年九年级上数学21.3实际问题与一元二次方程课时3几何图形面积问题
人教版2021年九年级上数学21.3实际问题与一元二次方程课时3几何图形面积问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（）A．x（x﹣10）=375 B．x（x+10）=375 C．2x（2x﹣10）=375D．2x（2x+10）=3752．在半径为R的圆形钢板上，挖去四个半径都为r的小圆.若R＝16.8，剩余部分的面积为272π，则r的值是（）A．3.2B．2.4C．1.6D．0.83．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝04．某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为2144m（如图），则甬路的宽为（）A．3m B．4m C．2m D．5m5．如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是9502cm，则x的值是（）A ．3B ．4C ．4.8D ．5二、填空题 6．一个直角三角形三边长是三个连续整数，则它的周长为_______，面积为______． 7．现要在一个长为40m,宽为26m 的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m 2,那么小道的宽度应是____m.8．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）三、解答题9．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x 的值.10．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2？11．如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙AB （墙长18米）围成一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？晓华的解题过程如下：（解）设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(382)x -米．依题意得(382)120x x -=，整理得219600x x -+=，解得1215,4x x ==．当15x =时，3828x -=；当4x =时，38230x -=．答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米或4米、30米．请问晓华的解题过程正确吗？如果不正确，给出正确的解题过程．12．在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m ．小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同．（1）你认为小明的结果对吗？请计算说明；（2）请你帮助小颖求出图中的x （结果保留根号和）；13．如图，已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿B C D →→方向向点D 运动且不与点D 重合，动点Q 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A B →方向向点B 运动且不与点B 重合，若P ，Q 两点同时出发，运动时间为s t ．（1）连接,,PD PQ DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为27cm ．（2）当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】由题意得，x （x ﹣10）=375，所以选A.2．C【分析】根据大圆面积-4个小圆面积=272π，即可求出r 的值.【详解】由题意得，16.82π-4πr 2=272π解得r 2=2.56r=1.6或r=-1.6（不合题意，舍去）故答案为C【点睛】本题考查列方程解应用题，根据题意找出等量关系是解题的关键.3．C【详解】解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（18﹣3x ）（6﹣2x ）=60，化简整理得，x 2﹣9x+8=0．故选C ．4．C【分析】设小路的宽为xm ，那么小路所占面积为（40x+2×26x-2x 2），于是六块草坪的面积为[40×26-（40x+2×26x-2x 2）]，根据面积之间的关系可列方程40×26-（40x+2×26x-2x 2）=144×6，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为m x ．根据题意得()240264022621446x x x⨯-+⨯-=⨯，整理得246880x x -+=，解得1244,2x x ==，当44x =时不符合题意，故舍去，所以2x =．故选C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用以及矩形面积计算公式，难度一般．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．D【分析】 观察图形可知阴影部分小长方形的长为402()2x x cm -+，再根据去除阴影部分的面积为9502cm ，列一元二次方程求解即可．【详解】解：由图可得出， 2402403022()9502x x x x整理，得，2201250x x 解得，125,25x x （不合题意，舍去）．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．6．12 6【分析】先根据题意设该直角三角形较长的直角边长为x ，则另外两边长分别为1,1x x -+，再根据勾股定理得出方程，从而得出三角形的周长和面积【详解】解：设该直角三角形较长的直角边长为x ，则另外两边长分别为1,1x x -+．依题意，得222(1)(1)x x x -+=+，解得10x =（舍去），24x =，∴直角三角形的三边长分别为3，4，5，∴三角形的周长为34512++=，三角形的面积为13462⨯⨯=． 故答案为：12，6【点睛】本题考查了勾股定理、解一元二次方程以及三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识是解题的关键7．2【分析】根据图形可知剩余的长为(40-2x)m ，剩余的宽为(26-x)m ，然后根据矩形的面积公式列出方程即可.【详解】解：设小道的宽为x 米，依题意得(40-2x)(26-x)=864，解之得x 1=44（舍去）,x 2=2.故答案为2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m 2找到正确的等量关系并列出方程.8．②．【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．【详解】解：24120x x --=即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+，据此易得6x=．故答案为②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．9．x的值为4.【详解】由题意得（x+1）2-1=24，整理得：（x+1）2=25即：x+1=5或x+1=-5，∴x=4或x=-6.∵x＞0，∴x=-6不合题意，舍去.∴x的值是4．10．当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．【详解】解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm．根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14．所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．根据题意，得（12x﹣2）•（x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28，12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．11．不正确，这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米，见解析【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(382)x-米，根据题意，列出方程，即可求出x的值，然后根据实际意义取舍即可．【详解】解：晓华的解题过程不正确，正确解题过程如下：设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(382)x -米．依题意得(382)120x x -=，整理得219600x x -+=，解得1215,4x x ==．当15x =时，3828x -=；当4x =时，3823018x -=>，不合题意，舍去．答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是解方程的实际应用题时，要注意根是否符合实际意义，如本题中，需分析两个取值是否符合实际情况．12．（1）小明的结果正确；（2）x =【分析】（1）设小路宽为y 米，列方程求解就可判断小明的结果是否正确；（2）由题意可知四个扇形刚好可以合成一个半径为x 米的圆，由此可列出方程求解；【详解】解：（1）小明的结果正确. 理由如下：设小路的宽为y m ，则由题意可得： 1(162)(122)16122y y --=⨯⨯， 解得：12212y y ，==（不合题意，舍去）∴2y =，故小明的结果正确；（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，根据题意可得：2116122x π=⨯⨯，解得x =13．（1）1或9s 4；（2）存在， 43t =或4 【分析】 （1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）分当PD DQ =时和当PD PQ =时，进行讨论．【详解】解：（1）∵正方形ABCD 的边长为4cm ，∴4AB BC CD AD ====，当点P 在BC 边上,4,2,42AQ t QB t BP t PC t ==-==-．1111642(4)4(42)7222PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S t t t t =---=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-=正方形∴ 2210t t -+=，解得121t t ==．当点P 在CD 边上时，182,(82)472PQD DP t S t ∆=-=-⨯=， 解得94t =． 当t 为1或9s 4时，PQD △的面积为27cm ． （2）存在．理由如下：①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +-=+, 解得124,43t t ==（不符合题意，舍去）． ②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +-=-+，解得124,4t t ==-（不符合题意，舍去）．所以存在43t =或4时，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．。