截面应力的计算

任务引领：图示支架，AB杆为圆截面杆，L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截 面杆，其边长a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆和BC杆横截面 上的正应力和伸缩量。
A
d
3 00
C
a
B F
一、应力的概念
10KN A=10mm2
10KN
10KN 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密 程度，内力集度. A=100mm2

G
´
d d G G G dx dx
d G dx
3. 静力学关系 dA
2
d T A dA A G dA dx d G A 2 dA dx

O
令I p A dA
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡） 1N/m2=1Pa 1MPa=106Pa＝1N/mm2 1GPa=109Pa
—位于截面内的应
力称为“ 切应力”
二、拉（压）杆横截面上的应力与应变
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
10KN
哪个杆先破坏?
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布， 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。
应力就是单位面积上的力?
F1

P
DF
ΔA
σ
DF P DA

F2
p lim
DF DA
DA0

dF dA
（总应力）
σ —垂直于截面的应 力称为“ 正应力”
混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。
【任务2】圆轴扭转横截面上的应力应变
任务引领：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，BC 段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m ，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。
一、圆轴扭转时横截面上应力分布公式推导方法为：
轴心拉压应变公式：
FN L DL EA

DL L E
A C d
300
完成任务：图示支架，AB杆为圆截面杆，
L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截面杆，其边长 a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆 和BC杆横截面上的正应力和伸缩量。
a
B F
解：
1、以B点为研究对象
(2) 计算最大切应力 由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段 轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。 AB段： T1 22106 max MPa 64.8MPa π WP1 1203 16 BC段：
max
T2 14106 MPa 71.3MPa π WP2 1003 16
三、低碳钢拉伸性能
材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度 条件有关）—是材料在受力过程中表现出的各种物理性 质。 在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时 的力学性能。 圆截面 l=10d l=5d 拉伸标准试件： k=11.3 k= 5.6 矩形截面 l k A
1. 拉伸图和应力——应变图 试验机的自动绘图设备，可在试件拉伸过程 中，自动绘出试件所受应力 =P/A与标距 段相 应的伸长量 △ l/L 的关系曲线。通常称它为拉伸 图。下图为低碳钢的拉伸图。
Mn Mn max I p Wp R
WP—抗扭截面系数，几何量 单位m3 mm3
圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
空 心 圆 轴 极惯 性矩 实 心 圆 轴
4
o d D
4 D D 4
o
D
) 4 (1 Ip I p I ( 1 ) =d/D=0 32 32 32 3 抗扭截 D3 D W ( 1 4 )
0 .2
对于没有明显屈服阶段的塑性 材料，用名义屈服极限σ 0.2来表示。
0 .2 %
四、 材料压缩时的力学性质
试 件 和 实 验 条 件 常 温 、 静 载
§2-5
、 塑 性 材 料 （ 低 碳 钢 ） 的 压 缩
1
12压 缩试验 .swf
p — S —
比例极限
e —
弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
.
1
模块四：截面应力计算
【任务1】：轴心拉压的应力与应变 【任务2】：圆轴扭转横截面上的应力与应变 【任务3】：平面弯曲正应力计算 【任务4】：平面弯曲剪应力计算 【任务5】：组合变形应力计算 【任务6】：平面应力状态应力计算
模块四;截面应力的计算
学 （1）了解全应力、正应力、切应力的概念及单位； （2）掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律； 习 （3）掌握轴向拉 伸 压缩时材料的力学性能、工作许用应力； 内 （4）理解扭转圆轴横截面上应力分布规律，掌握切应力的计算； （5）平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算； 容：
1. 几何变形方面
dx
等直圆杆扭转实验观察： dφ
a γp G G’ c γ d d’
O
d dx d dx
GG ' d tan aG dx
此式表明距圆心为 任一点处的与到圆心 的距离成正比。
´

2. 物理关系
胡克定律： 代入上式得：
完成任务：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，
BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m， MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。 解（1）作扭矩图 用截面法求得AB段、 BC段的扭矩分别为 T1=MeA=22kN•m T2=－MeC=－14kN•m 作出该轴的扭矩图如图示。
屈服极限 E --- 弹性摸量

bt
2 、 脆 性 材 料 （ 铸 铁 ） 的 压 缩
o

脆性材料的抗拉与抗压性质 不完全相同 压缩时的强度极限远大于拉 伸时的强度极限
bc
bc bt
低碳钢压缩, 愈压愈扁
铸铁压缩, 约45开裂
建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变 图，如图示。
静力学关系
物理关系
观察变形
应力分布规律
应力和变形公式
（1）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形 状、大小及它们相互之间的距离都没有变化。 （2）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变 成了平行四边形，但各边的长度没有改变（在小变形情况 下），只是夹角发生了改变。
Me
Me
对圆轴内部的变形可作如下假设：扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改 变，只是绕轴线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的 距离也保持不变，这一假设称为圆轴扭转的平面假设。 根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡 克定律可知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于 半径的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭 矩方向一致。
（6）掌握弯曲正应力分布规律及计算公式； （7）掌握弯曲剪应力的分布规律及计算公式； （8）掌握斜弯曲、拉(压)弯杆、偏心压缩 杆的正应力、截面核心 ； （9）理解平面应力状态分析的解析法、图解法。
1）具有轴向拉抻和压缩构件的应力变形的计算能力； 学 （ （2）会计算简单图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径， 习 能用平行移轴公式 计算组合图形的形心主惯性矩。 目 （3）熟练掌握梁横截面上的正应力计算公式。 （4）能联系工程实例进行组合变形的应力计算及确定截面应力分布。 标： 弯曲正应力分布规律及计算公式；偏心压缩杆的正应力。。
重点：轴心拉压应力、应变计算；平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。 难点：剪切胡克定律；惯性半径；弯曲剪应力的分布规律及计算公式；平面应力
状态分析的解析法、图解法。
【任务1】：轴心拉压
知识目标：掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律 及低碳钢拉伸性能。 能力目标：能求解轴心拉压杆的应力和应变
两个假设：平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动。
纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等 可知：横截面上只有正应力σ， 且大小相等。 F

FN
P
FN dA A
A
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
轴心拉压应力公式：

FN A
17.3 103 4.8MPa 2 60
2 0 1 03 4 1 03 0.5 6 6 mm 2 3.1 4 3 0 2 0 0 1 03 4
FNBAL1 EA 1
DLBC L2
L2
E
4.8 2 3 103 0.083 mm 3 20010
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面 杆，只是Ip值不同。
剪应力的计算公式： 1、横截面上任意一点剪应力计算：
Mn Ip
2、最大剪应力计算
IP—截面对形心的极惯性矩 是一个几何量，与截面形状及 尺寸有关，单位m4 mm4
当 R 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
0
两个塑性指标:
断后伸长率 伸长率
A0 A1 l1 l0 100% 100% 断面收缩率 A0 l0 5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料