人教版八年级下册数学练习：矩形的性质与判定习题
4．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2B C，在 CD 上取一点 E，使 AE=AB，则∠EBC= 。
5．如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BM 为高，
求证：DE+DF=BM。
A
M EFBDC6.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使 BC、AD 恰好落在 AC 上。设 F、H 分别是
B、D 落在 AC 上的两点，E、G 分别是折痕 CE、AG 与 AB、CD 的交点。
（1）求证：四边形 AECG 是平行四边形；
（2）若 AB＝4cm，BC＝3cm，求线段 EF 的长。
7、 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E，求证：四边形 ADCE 为矩形。
是
.
10．矩形的对角线相交所成的钝角为 120°，矩形的短边 5 cm，则对角线之长为 cm。
11．矩形 ABCD 的两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠AOB=2∠BOC，若对角线 AC 的长为 18
cm，则 AD= cm。
【课后练习题:】
1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。 [
矩形的性质与判定习题
例 1、如图，矩形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，EF⊥CE 交 AB 于 F，若 DE=2，矩形 ABCD 的 周长为 16，且 CE=EF，求 AE 的长．
例 2、已知：如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H， 求证：四边形 EFGH 是矩形。
例 3、已知：如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，且 AE=BC， EDC 15 ．
求证：AD=2AB．
A
D
B
EC
例 4、已知：如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M、N•分 别为 BC、AD 的中点．求证：四边形 BMDN 是矩形．
D
C
N
M
A
B
例 5、如图，已知在四边形 ABCD 中， AC DB 交于 O ， E 、 F 、G 、 H 分别是四边的 中
点， 求证：四边形 EFGH 是矩形．
D
E
H
A
C
O
F
G
B
例6、 如图, 在矩形 ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分 CBH.
A D
B
H PC
1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等。
2．矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm，其中一个内 角平分线分长边为两部分，这两部
分分别为（ ）
A．6cm 和 9cm B．5cm 和 10cm
C．4cm 和 11cm
D．7cm 和 8cm
3.在下列图形性质中，矩形 不一定具有的是（ ）
A．对角线互相 平分且相等
B．四个角相等
C．是轴对称图形
D．对角线互相垂直平分
4 在矩形 ABCD 中, 对角线交于 O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为
;
周长为
.
5 一个矩形周长是 12cm, 对角线长是 5cm, 那么它的面积为
A．对角相等
B. 对边相等
C．对角线相等 D. 对 角线互相平分
2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB=5，AC=13，则矩形 ABCD 的面
积__。
D
EC
A
B
题2
题4
3．已知，矩形的一条边 上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长
为 24 cm，则矩形的面积为 cm2。
.
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，则斜边上的中线等于
.
7.矩形的两条对角线的夹角是 60°，一条对角线与矩形短边的和为 15，那么矩形对角
线的长为
，短边长为
.
8.矩形的两邻边分别为 4 ㎝和 3 ㎝，则其对角线为
㎝，矩形面积为
cm2.
9. 若 矩 形 的 一 条 对 角 线 与 一 边 的 夹 角 是 40 ° ， 则 两 条 对 角 线 相 交 所 成 的 锐 角
矩形的性质与判定2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)
18.2.1矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.题型1：理解矩形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行题型2：利用矩形的性质判定三角形全等2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论；【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∵E为CD边上的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE．题型3：矩形的性质与求角度3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70°B．60°C．80°D．45°【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，∴∠DGA＝∠BAG＝20°，∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．故选：A．【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．46°B．52°C．56°D．62°【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，由长方形直尺可知：MP∥OB，∴∠AMP＝∠MOB＝56°，故选：C．【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC ＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故选：C．题型4：矩形的性质与求线段4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD ＝12．【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案为12．【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是18．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．题型5：矩形性质综合5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S阴＝+＝3，故选：A．【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．故答案为．【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）过点F作FG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴FB＝FC＝FD，∴G是BC的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴．在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，∴．题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6B．6.5C．10D．13【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD 的中点．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME＝BC，同理MF＝BC，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵MF＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝60°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的长；（2）求证：AB＝BC．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE＝5；（2）证明：由（1）知，BE＝DE，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ADE，∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH 是矩形．【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO ＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠GOK＝90°，同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴∠HGO＝90°，∴四边形KHGO是矩形．题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形；【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB 交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∴AE平行且等于CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出▱ABCD是矩形．【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BDE＝2OB，∵∠1＝∠2，∴OC＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．【变式9-1】如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵MO＝NO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．题型10：矩形的判定综合10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，进而得到DF＝BE且DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结论；（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DFBE是矩形；（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，∴∠DAE＝30°，又∵AD＝3，∴DE＝AD＝，【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴∠CDB＝90°，CD∥BE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，由勾股定理得：BC＝＝，∵四边形CDBE是矩形，∴DE＝BC＝．word可编辑文档。
人教版八年级数学下册矩形的性质和判定 同步练习
初中数学试卷矩形的性质和判定同步练习1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。
2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。
3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．如图,已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A（10,0）、C（0,4）,点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为。
7.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角相等9.下列叙述错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90º的平行四边形是矩形10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A.测量两条对角线是否相等B.用曲尺测量对角线是否互相垂直C.用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11.矩形ABCD对角线相交于点O,如果△ABC周长比△AOB周长大10cm,则AD长是（）A.5cmB.7.5cmC.10cmD.12.5cm12.下列图形中对称轴有2条的图形是（）A.平行四边形B.等边三角形C.矩形D.直角三角形二、解答题:13.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOD=120°,AB=4cm，求此矩形的面积.14.平行四边形ABCD,E是CD的中点,△ABE是等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形.15.如图,矩形ABCD中，EF⊥EB,EF=EB,ABCD周长为22cm,CE=3cm.求：DE的长.16.如图,矩形ABCD中,DE=AB，CF⊥DE.求证:EF=EB.17.如图,矩形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,BF//DE,若AD=12cm,AB=7cm,且AE:EB=5:2,求阴影部分.18.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD,垂足为E,已知AB=3,AD=4,求△AEO的面积.19.矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G.求证：FH+FG=AD.20.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC.求证：四边形AFCE是矩形21.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点Ｏ,点Ｐ是四边形外一点,且PA⊥PC，PB⊥PD,垂足为Ｐ.求证：四边形ABCD为矩形.参考答案1.相等；互相平分；相等；直角；轴对称；中心对称；2.12；3.48；4.22或26；5.10,5；6.（2，4），（3,4），（8,4）；7.6.5；8.A 9.B 10.C 11.C 12.C 13.163cm 2；14.证明：∵AE ＝BE （等边△）,∠DEA ＝∠EAB ＝60º＝∠ABE ＝∠CEB （内错角相等）. DE ＝CE （E 中点）；∴△ADE ≌△BCE （两边夹一角相等）,∠C ＝∠D （对应角相等）, ∠C ＋∠D ＝180º（同旁内角互补）,∠C ＝∠D ＝90º,同理∠A ＝∠B ＝90º;所以 平行四边形ABCD 是矩形.（四个角是直角）.15.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，DC=AB ，∠D=∠C=90°，∵EF ⊥EB ，∴∠FEB=90°，∴∠DEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∴∠DEF=∠CBE ， 在△DEF 和△CBE 中，∠D ＝∠C ，∠DEF ＝∠CBE ，EF ＝EB ，∴△DEF ≌△CBE （AAS ）， ∴DE=BC ，DF=CE=3cm ，∵矩形ABCD 的ABCD 周长为22cm ，∴2（BC+DE+EC ）=22，∴DE+DE+3=11，∴DE=4．16.∵∠AED=∠FDC ，∠DAE=∠DFC=90°∴∠ADE=∠FCD又∵DE=AB=CD ∴△ADE ≌△FCD ∴DF=AE ∴EF=DE-DF=AB-AE=BE 。
人教版八年级下册数学矩形的性质作业练习
《18.2.1矩形的性质》作业练习1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别相等B.两组对角分别相等 C ．两条对角线互相平分 D ．两条对角线相等2.若矩形ABCD 的邻边长分别是1，2，则BD 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．3.如图1，矩形ABCD 中，60AOB ∠=︒，3AB =，则BD 的长是（ ）A ．3B ．5C ．33D ．6 4.如图2，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，120,2∠=︒=AOB AD ，则矩形ABCD 的面积是 ( )A ．2B ．23C ．43D ．85.如图3，折叠矩形ABCD ，使点D 落在点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长（ ）A ．5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm图1 图2 图36.如图4，在矩形纸片ABCD 中，AB=3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC=∠ECA ，则AC 的长是7.如图5，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得AM 的长为1．2 km ，则M ，C 两点间的距离为8.如图6,点E 是矩形ABCD 内任一点,若AB=3,BC=4．则图中阴影部分的面积为图4 图5 图69．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．参考答案1. A2.C3. D4. C5.C6.67.68.1.2 km9.解：四边形AECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，DC AB，∴//∴∠DFA=∠BAF，又∵∠DCE=∠BAF，∴∠DCE=∠DFAFA CE，∴//∴四边形AECF是平行四边形．。
人教版八年级数学下册--18_2_1 矩形(第2课时 矩形的判定)练习】
第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：，使四边形DF AE是矩形．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是（写出一种情况即可）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝°时，四边形AEDF是矩形．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习答案一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故选：B．3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故①正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BC2+CD2＝AC2，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故②正确；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故③正确；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故④错误；能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，故选：C．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；B．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C．∵AO＝OB＝OC＝OD，∵AC＝BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；故选：D．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：D．10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故选项B符合题意；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状，故选项C不符合题意；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：∠A＝90°（答案不唯一），使四边形DF AE是矩形．【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝45°时，【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．故答案为45．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是有一个角是直角的平行四边形为矩形．【解答】解：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．【解答】解：（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，AE＝DE∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，证明：∵AB＝AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．。
新人教版初中数学八年级下册矩形的性质与判定例题+同步练习及答案-精品试卷
第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC 上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN 交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90° D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA 上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )810、如图,矩形ABCD 中,AE 平分∠BAD 交BC 于E,∠CAE=15°，则下列结论： △ODC 是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S △AOE =S △COE .其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图 第11题图 第12题图11、在矩形ABCD 中,点A 关于∠B 的角平分线的对称点为E,点E 关于∠C 的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S△ADF =（ ）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD 中,O 为AC 中点,EF 过O 点,且EF ⊥AC 分别交DC 于F,交AB 于E,点G 是AE 中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE ＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。
人教版八年级数学下册专题复习18
∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE BE＝3cm，∴BE cm，
故答案为： ．
15、如图，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有①④(填写序号)．
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．
故选：A．
6、如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，
AE＝2，则AC＝．
19、如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是．
∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最小值为： =2.4．
∴线段EF长的最小值为2.4．故选：B．
10、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5C．3 D．4
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
7、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为(D)
八年级数学矩形的性质和判定(人教版)(基础)(含答案)
矩形的性质和判定（人教版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法，错误的是( )A.矩形的对边互相平行B.矩形的对角相等C.矩形的对角线相等D.矩形的对角线平分一组对角答案：D解题思路：概念辨析，考查矩形的性质，从边、角、对角线依次分析．矩形的边：对边平行且都相等，A对；矩形的角：四个角都是90°（对角相等、邻角互补），B对；矩形的对角线：互相平分且相等，C对．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.对角线相等D.对角相等答案：C解题思路：概念辨析，考查平行四边形和矩形的性质，需要对比矩形和平行四边形的性质，矩形具有而平行四边形不具有的性质：从边、角、对角线依次分析：矩形的边：和平行四边形一致；矩形的角：四个角都是90°；矩形的对角线：互相平分且相等，C对．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( )A. B.2C. D.4答案：D解题思路：在矩形ABCD中，AC=BD，，，∴OA=OB=．∵AC=8，∴OA=OB=4．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=4，故选D．试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长度是( )A. B.5C. D.3答案：A解题思路：如图，在矩形ABCD中，AC=BD，，，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．在矩形ABCD中，∠EDC:∠EDA=1:3，设∠EDC=α，则∠EDA=3α，∵∠ADC=90°，∴4α=90°，α=22.5°．由题意得，∠ADE+∠CDE=90°，∠CDE+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠EDA=3α=67.5°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠OCD=180°-2×67.5°=45°．在Rt△DOE中，，∴，故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长是( )A.3B.4C.5D.7答案：A解题思路：如图，易证△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC，AF=DE．设AE=x，则DC=x，∵AF=2，矩形周长为16，∴2(AD+DC)=16，即2(x+2+x)=16，解得x=3，故选A．试题难度：三颗星知识点：略6.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．对于两人的作业，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对答案：A解题思路：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．所以乙的作业正确．故选A试题难度：三颗星知识点：略7.如图，以△ABC的三边为边在BC同侧分别作三个正三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．则当∠BAC等于____时，四边形ADEF为矩形( )A.∠BAC=90°B.∠BAC=120°C.∠BAC=135°D.∠BAC=150°答案：D解题思路：由题意，可证△DBE≌△ABC，△FEC≌△ABC，可得DE=AC=AF，EF=AB=AD．故四边形ADEF为平行四边形．若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°．又因为∠BAD=∠CAF=60°，故∠BAC=150°．故选D试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=BC=3DE=6，则四边形DEFG的周长为( )A.6B.9C.11D.12答案：C解题思路：∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴GF，EF都是△ABC的中位线，∴∵AB=BC=3DE=6，∴GF=3，EF=3，DE=2，∵AD⊥BC，∴∴四边形DEFG的周长为11．故选C试题难度：三颗星知识点：略9.如图，在△ABC中，BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M．若BC=10，DM=3，则EF的长为( )A.6B.9C.7D.8答案：D解题思路：故选D试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D．若BF=2，则AD的长为( )A. B.1C.1.5D.2答案：B解题思路：如图，延长CD交BA的延长线于点E．∵BF平分∠ABC，CD⊥BD易得，△CBE为等腰三角形∴点D是CE的中点在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ∴∠CAE=90°∴∠DCF+∠E=90°∵CD⊥BD∴∠DCF+∠CFD=90°∴∠E=∠CFD∵∠CFD=∠BFA∴∠E=∠BFA∴△ABF≌△ACE（AAS）∴BF=CE∴∵BF=2∴CE=2∴AD=1故选B试题难度：三颗星知识点：略。
人教版八年级下册数学第18章18.2.2矩形的判定习题课件
精彩一题 12．【中考·兰州】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我 们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连 接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
精彩一题 结合小敏的思路作答： (1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，
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1
相等；相等；互相平 分
2D
6A 7C
3 见习题
4
平行四边形；直角； 四边形
8 见习题 9A
5C
10 见习题
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习题链接 11 见习题 12 见习题
答案显示
新知基本功
1．对角线__相__等____的平行四边形是矩形； 对角线__相__等____且___互__相__平__分_____的四边形是矩形．
素质一练通
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.点E，P分别在 AD，BC上，且DE＝BP＝1，AP，BE相交于点H，CE， DP相交于点F.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由； 解：△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°. 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠EAB＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2. ∵DE＝1，∴AE＝4.
新知基本功
5．【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，
F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，
FH，则图中的矩形共有( C )
A．5个
B．8个
C．9个
D．11个
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6．【中考·重庆】下列命题正确的是( A ) A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
(完整版)八年级下册长方形的性质专项练习(有答案)ok
矩形的性质专项练习30 题（有答案）1．已知：如图，在矩形ABCD 中， AF=DE ，求证： BE=CF ．2．以下列图，已知矩形 ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点 O，作 BE∥ AC 交 DC 的延伸于点E．（1）请判断△ DEB 的形状，并说明原因；（2）若 AD=8 ， DC=6 ，试△ DEB 的周长．3．如图，在矩形 ABCD 中， AB=12 ， AC=20 ，两条对角线订交于点O，以 OB 、OC 为邻边作平行四边形OBB 1C，求平行四边形 OBB 1C 的面积．4．如图，已知在矩形ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ，四边形 AFCE 为菱形，求菱形的面积．5．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、 BD 订交于点O，∠ AOB=60 °， AB=2cm（1）求证：△ AOB 是等边三角形；（2）求矩形 ABCD 的面积．6．如图，四边形ABCD 是矩形，△EAD 是等腰直角三角形，△ EBC是等边三角形．已知AE=DE=2 ，求 AB 的长．7．如图，已知在矩形ABCD 中，E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EF⊥EC ，且 EF=EC ，DE=3cm ，BC=7cm ．（1）求证：△ AEF ≌ △ DCE ；（2）请你求出 EF 的长．8．如图，在矩形ABCD 中，点 E 在 AD 上， CE 均分∠BED ．（1）△ BEC 能否为等腰三角形？为何？（2）若 AB=1 ，∠ DCE=22.5 °，求 BC 长．9．如图， ABCD 是矩形纸片，翻折∠ B、∠ D，使 BC、AD 恰巧落在 AC 上．设 F、H 分别是 B、D 落在 AC 上的点， E、G 分别是折痕 CE 与 AB 、 AG 与 CD 的交点．（ 1）试说明四边形AECG 是平行四边形；（ 2）若矩形的一边AB 的长为 3cm，当 BC 的长为多少时，四边形AECG 是菱形？10．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直均分线EF 与 AD 、 AC 、BC 分别交于点E、O、 F．（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）若 AB=5 ， BC=12 ，EF=6 ，求菱形 AFCE 的面积．11．以下图，矩形ABCD 的对角线AC 、 BD 订交于点O， AE ⊥ BD ，垂足为 E，∠ 1=∠ 2， OB=6（1）求∠ BOC 的度数；（2）求△ DOC 的周长．12．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O， E 是边 AD 的中点．（1） OE 与 AD 垂直吗？说明原因；（2）若 AC=10 ， OE=3 ，求 AD 的长度．13．如图，在矩形ABCD 中， BM ⊥ AC ， DN ⊥AC ， M 、 N 是垂足．（1）求证： AN=CM ；（2）假如 AN=MN=2 ，求矩形 ABCD 的面积．14．如图，矩形ABCD 中，角均分线AE 交 BC 于点 E，BE=5 ， CE=3．（1）求∠ BAE 的度数；（2）求△ ADE 的面积．15．如图，已知在矩形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O，CE=AE ， F 是 AE 的中点， AB=4 ， BC=8 ．求线段 OF 的长．16．如图，矩形纸片ABCD 中， AB=8 ， AD=10 ，沿 AE 对折，点 D 恰巧落在 BC 边上的 F 点处．（1）求出线段 BF 、 CE 的长；（2）求四边形 AFCE 的面积．17．如图，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后获得△AFE ，点 F 在矩形 ABCD 内部，延伸 AF 交CD 于点 G．（1）猜想线段 GF 与 GC 有何数目关系？并证明你的结论；（2）若 AB=3 ， AD=4 ，求线段 GC 的长．18．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 和 BD 订交于点O， AC=2AB ．求证：∠AOD=120 °．19．在矩形 ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点 O，AB=6cm ， AC=8cm ．（1）求 BC 的长；（2）画出△ AOB 沿射线 AD 方向平移所得的△DEC ；（3）连结 OE，写出 OE 与 DC 的关系？说明原因．20．如图，矩形 ABCD 被两条对角线分红四个小三角形，假如四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？21．如图，矩形 ABCD 纸片， E 是 AB 上的一点，且 BE ：EA=5 ： 3，CE=15 ，把△ BCE 沿折痕 EC 向上翻折，若点 B恰巧与 AD 边上的点 F 重合，求 AB 、 BC 的长．22．已知，如图，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的三个极点 E， G， H 分别在矩形 ABCD 的边 AB ， CD 上，AH=2 ，连结 CF．（1）当四边形 EFGH 为正方形时，求 DG 的长；（2）当△ FCG 的面积为 1 时，求 DG 的长；（ 3）当△ FCG 的面积最小时，求DG 的长．23．设 E， F 分别在矩形ABCD 边 BC 和 CD 上，△ ABE 、△ ECF、△ FDA 的面积分别是a， b， c．求△ AEF 的面积S．24．如图，过矩形 ABCD 对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC ，分别交 AB 、DC 于 E、F，点 G 为 AE 的中点，若∠ AOG=30 °，求证： OG=DC ．25．如图，在矩形ABCD 中， AB=6 ， AD=4 ， E 是 AD 边上一点（点 E 与 A、 D 不重合）． BE 的垂直均分线交AB于M ，交 DC 于 N ．（1）设 AE=x ，试把 AM 用含 x 的代数式表示出来；（2）设 AE=x ，四边形 ADNM 的面积为 S．写出 S 对于 x 的函数关系式．26．矩形 ABCD 中， AC 、BD 订交于点O，且∠ ADB=30 °，∠ADC 的均分线交BC 于 E，连结 OE．（1）求∠ COE 的度数．（2）若 AB=4 ，求 OE 的长．27．如图，在矩形 ABCD 中， AB=b ， AD=a ，过 D 和 B 作 DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ，且 AE=EF ，试求 a 与 b 之间的关系．28．如图，设在矩形 ABCD 中，点 O 为矩形对角线的交点，∠ BAD 的均分线 AE 交 BC 于点 E，交 OB 于点 F，已知 AD=3 ，AB= ．（1）求证：△ AOB 为等边三角形；（2）求 BF 的长．29．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， G 是边 AB 上的一点，过点 G 作 GE∥ DC 交 BC 边于点 E，F 是 EC 的中点，连结 GF 并延伸交 DC 的延伸线于点 H ．求证： BG=CH ．30．已知，矩形ABCD 中，延伸 BC 至 E，使 BE=BD ， F 为 DE 的中点，连结AF、 CF．求证：（ 1）∠ ADF= ∠ BCF ；（ 2）AF ⊥ CF．矩形的性质专项练习30 题参照答案：1．连结 BF、 CE，已知矩形 ABCD ，∴ AB=CD ，∠ BAF= ∠ CDE=90 °，又AF=DE ，∴ △ AFB ≌ △ DEC ，∴ BF=CE ，∠ AFB= ∠DEC ，∵矩形 ABCD ，AD ∥ BC ，∴ ∠ CBF= ∠AFB ，∠ BCE= ∠ DEC，∴ ∠ CBF= ∠ BCE，BC=BC ，∴ △ BCF ≌ △CBE ，∴BE=CF2．（ 1）△ DEB 的形状为等腰三角形．原因：∵矩形 ABCD ，∴DC∥ AB ，AC=BD ．∵BE ∥AC ，∴四边形 ABEC 为平行四边形．∴AC=BE ．∴BE=BD ．∴△ DEB 的形状为等腰三角形．（ 2）∵ AD=8 ， DC=6 ，∴ AC==10 ．∴BD=BE=10 ．∵ BC⊥ DE ，∴CD=DE=6 ．∴△ DEB 的周长 =2（CD+BD ） =2（6+10 ）=323．在 Rt△ ABC 中，，∴，∴ x=，∴ S 菱形AFCE=EC ?AB=×2=5．∴菱形的面积为55． 1）证明：在矩形ABCD 中， AO=BO ，又∠ AOB=60 °，∴ △ AOB 是等边三角形．（ 2）解：∵ △ AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=2 （ cm），∴BD=2OB=4cm ，在Rt△ABD ，（ cm）∴ S 矩形ABCD =2×2=4（cm2），答：矩形ABCD 的面积是 4cm2．6．过点 E 作 EF⊥BC ，交 AD 于 G，垂足为 F．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EG⊥ AD ．（ 1 分）∵ △ EAC 是等腰直角三角形，EA=ED=2 ，∴ AG=GD ， AD=．∴ EG==．（1分）∵ EB=EC=BC=AD=2，∴ BF=，（1分）∴ EF=．（1分）∴AB=GF=EF ﹣ EG=∵矩形 ABCD 对角线订交于点O，∴，∵四边形 OBB 1C 是平行四边形，∴．4．∵四边形 AFCE 为菱形，∴AF=CF=EC=AE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ B=90 °，7.（1）证明：在矩形 ABCD 中，∠ A= ∠ D=90 °，∴ ∠ ECD+ ∠ CED=90 °，∵ EF⊥ EC，∴ ∠AEF+ ∠CED=90 °，∴ ∠ ECD= ∠ AEF ，在△ AEF 与△ DCE 中，，∴ AF=DE ，又∵ FE⊥ AC ，∵ DE=3cm ， BC=7cm ，∴平行四边形 AFCE 为菱形；∴ AF=3cm ， AE=AD ﹣ DE=BC ﹣DE=7 ﹣ 3=4cm ，（ 2）在 Rt △ ABC 中，由 AB=5 ， BC=12 ，在 Rt△ AEF 中， EF===5．依据勾股定理得： AC===13，故答案为： 5又 EF=6 ，8．（ 1）△ BEC 是等腰三角形，∴菱形 AFCE 的面积 S= AC ?EF=×13×6=39原因是：∵矩形 ABCD ，∴ AD ∥ BC ，11．（ 1）∵ 四边形 ABCD 为矩形， AE ⊥ BD ，∴ ∠ DEC= ∠ECB ，∴ ∠ 1+∠ ABD= ∠ ADB+ ∠ ABD= ∠ 2+ ∠ABD=90 °，∵ CE 均分∠ BED ，∴ ∠ ACB= ∠ ADB= ∠ 2=∠ 1=30 °，∴ ∠ DEC= ∠CEB ，又 AO=BO ，∴ ∠ CEB= ∠ECB ，∴ △ AOB 为等边三角形，∴ BE=BC ，∴ ∠ BOC=120 °；∴ △ BEC 是等腰三角形．（ 2）由（ 1）知，△ DOC ≌ △ AOB ，（ 2）解：∵矩形 ABCD ，∴ △ DOC 为等边三角形，∴ ∠ A= ∠ D=90 °，∴ OD=OC=CD=OB=6 ，∵ ∠ DCE=22.5 °，∴ △ DOC 的周长 =3×6=18∴ ∠ DEB=2 ×（ 90°﹣ 22.5°） =135°，12．（ 1）解： OE⊥AD ，∴ ∠ AEB=180 °﹣∠ DEB=45 °，原因：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ABE= ∠AEB=45 °，∴ AC=BD ， AO=OC ，DO=BO ，∴ AE=AB=1 ，由勾股定理得： BE=BC==，∴ AO=DO ，又∵点 E 是 AD 的中点，答： BC 的长是∴ OE⊥ AD ．9．（ 1）由题意，得∠ GAH=∠ DAC ，∠ ECF= ∠ BCA ，（ 2）解：由（ 1）知 OE⊥ AD ， AO=5 ，在 Rt△AOE 中，由勾股定理得：∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD ∥ BC ，∴∠ DAC= ∠ BCA ，∴∠ GAH= ∠ ECF，∴AG ∥ CE，又∵ AE ∥ CG∴四边形 AECG 是平行四边形；（2）∵四边形 AECG 是菱形，∴ F、 H 重合，∴ AC=2BC ，在 Rt △ ABC 中，设 BC=x ，则 AC=2x ，在Rt△ ABC 中 AC 2=AB2+BC2，222，即（ 2x） =3 +x解得 x=，即线段 BC 的长为cm．10．（ 1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥ FC，∴∠ EAO= ∠ FCO，∵ EF 垂直均分 AC ，∴AO=CO ，FE⊥AC ，又∠ AOE= ∠ COF，AE===4，∵ E 是边 AD 的中点，∴AD=2AE=8 ．答： AD 的长度是 813．（ 1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， AD=BC ，∴∠ DAC= ∠BCA ，又∵ DN ⊥ AC ， BM ⊥ AC ，∴ ∠ DNA= ∠BMC ，∴ △ DAN ≌ △BCM ，∴AN=CM ．（2）连结 BD 交 AC 于点 O．∵ AN=NM=2 ，∴AC=BD=6 ，∴ DN=，∴ 矩形 ABCD 的面积 =，答：矩形 ABCD 的面积是 12．14．（ 1） ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ BAD=90 °， ∵ AE 均分 ∠ BAD ，∴ ∠ BAE= ∠ BAD=×90°=45°．（ 2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ， ∠BAD=∠B=90 °， ∴ ∠ DAE= ∠ AEB∵ ∠ BAE= ∠DAE=45 °， ∴ ∠ AEB=45 °， ∴ ∠ BAE= ∠AEB ，∴ AB=BE=5 ，∴ BC=3+5=8=AD ，∴ S △ADE = AD ×AB= ×8×5=2015． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ADC=90 °， AD=BC=8 ， CD=AB=4 ．（ 1 分）设 DE=x ，那么 AE=CE=8 ﹣ x ，（1 分） 2 2 2，（ 1 分）∵ 在 Rt △ DEC 中， CE =DE +CD 222∴ （ 8﹣ x ） =x +4 ，（ 1 分）∴ CE=8﹣ x=5 ．（1 分）∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ O 为 AC 中点．（ 1 分）又 ∵ F 是 AE 的中点， ∴．16．（ 1）设 BF=x ，CE=y ，则 CF=10 ﹣ x ，EF=DE=8 ﹣y ，在 Rt △ ABF 中依据勾股定理可得 x 2+82=10 2，在 Rt △ CEF 中依据勾股定理可得 y 2+（ 10﹣ x ） 2=（ 8﹣y ） 2，解得 x=6 ，y=3 ，即 BF=6 ， CE=3；（ 2） △ ABF 的面积为 ×8×6=24，∵ E 是 BC 的中点，∴ BE=EC ，∵ △ ABE 沿 AE 折叠后获得 △ AFE ，∴ BE=EF ，∴ EF=EC ，∵ 在 △ GFE 和 △ GCE 中，，∴ △ GFE ≌ △ GCE （ HL ），∴ GF=GC ；（ 2）设 GC=x ，则 AG=3+x ，DG=3 ﹣ x ，在Rt △ADG 中， 42+（ 3﹣ x ） 2=（3+x ） 2，解得 x=18． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ABC=90 °（矩形的四个角都是直角） ，∵ 在 Rt △ ABC 中， AC=2AB ， ∴ ∠ ACB=30 °，∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OB=OD= BD ， OC=OA= AC ， AC=BD ，∴ BO=CO ，∴ ∠ OBC= ∠ OCB=30 °，∵ ∠ OBC+ ∠ OCB+ ∠ BOC=180 °，∴ ∠ BOC=120 °，∴ ∠ AOD= ∠BOC=120 ° 19．（ 1） ∵ 矩形 ABCD ， ∴ ∠ CBA=90 °，AB=6cm ， AC=8cm ，由勾股定理：BC===2（ cm ），答： BC 的长是 2 cm ．（ 2）解：以下图△ ADE 的面积为 ×10×5=25，∴ 四边形 AFCE 的面积为 8×10﹣ 24﹣25=31 ，答： BF 的长为 6， CE 的长度为 3，四边形 AFCE 的面积（ 3）答： OE 与 DC 的关系是相互垂直均分．原因是： ∵ 矩形 ABCD ，∴OD=OC=DE=CE ，∴四边形 ODEC 是菱形，∴OE⊥ CD ， OG=EG ， CG=DG ，即 OE 与 DC 的关系是相互垂直均分20．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD=13cm ，∵ △ AOB 、△BOC 、△ COD 和△ AOD 四个三角形的周长和为 86cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC+OC+OD+DC+OD+OA+A D=86cm ，∴AB+BC+CD+DA=86 ﹣ 2（ AC+BD ）=86﹣ 4×13=34（ cm）．答：矩形 ABCD 的周长等于34cm．21．∵四边形 ABCD 是矩形∴ ∠ A= ∠ B= ∠ D=90 °，BC=AD ， AB=CD ，∴ ∠ AFE+ ∠AEF=90 °（ 2 分）∵F 在 AD 上，∠ EFC=90 °，∴ ∠ AFE+ ∠DFC=90 °，∴ ∠ AEF= ∠DFC ，∴ △ AEF ∽ △DFC ，（ 3 分）∴．（ 4 分）∵BE ：EA=5 ： 3设BE=5k ， AE=3k∴AB=DC=8k ，由勾股定理得： AF=4k ，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k （5 分）在△ EBC 中，依据勾股定理得BE 2+BC2=EC2∵CE=15 ， BE=5k ， BC=10k∴∴k=3（ 6 分）∴AB=8k=24 ， BC=10k=3022．（ 1）∵四边形 EFGH 为正方形，∴HG=HE ，∵ ∠ DHG+ ∠AHE=90 °，∠DHG+ ∠ DGH=90 °，∴ ∠ DGH= ∠AHE ，∴ △ AHE ≌ △DGH （AAS ）∴DG=AH=2（2）作 FM ⊥ DC ，M 为垂足，连结 GE，∵ AB ∥CD ，∴ ∠ AEG= ∠MGE∵HE ∥ GF，∴ ∠ HEG= ∠ FGE，∴ ∠ AEH= ∠ MGF ．在△ AHE 和△ MFG 中，∠ A= ∠ M=90 °，HE=FG ，∴ △ AHE ≌ △ MFG ．∴FM=HA=2 ，即不论菱形 EFGH 怎样变化，点 F 到直线CD 的距离一直为定值 2．所以 S△FCG=GC=1 ，解得 GC=1， DG=6 ．（ 3）设 DG=x ，则由第（ 2）小题得， S△FCG=7 ﹣ x，又在△ AHE 中， AE ≤AB=7 ，∴HE2≤53，∴ x2+16≤53， x≤，∴ S△FCG的最小值为，此时 DG=23．设 AB=x ，BE=x ，EC=x ，CF=x ，则 FD=x﹣ x ，123414 23AD=x +x ，由题意得x1?x2=2a， x3?x4=2b，（x1﹣ x4）×（ x2+x 3）=2c，即 x2?x3﹣x2?x4=2（ b+c﹣ a），又x1x2x3x4=4ab代入 x2 x4=x 1x3﹣ 2（ b+c﹣ a）得对于 x1x3的一元二次方程，即（x1x3）2﹣ 2（ b+c﹣a） x1x3﹣4ab=0解之得 x1x3=（ b+c﹣ a） +又S 矩形=x 1（ x2+x 3）=2a+ （ b+c﹣a）+=（ a+b+c） +∴S△AEF=S 矩形﹣ S△ABE﹣ S△CEF﹣ S△ADF=（ a+b+c）+﹣ a﹣ b﹣ c=24．连结 OB ，∵EF⊥ AC ，矩形的性质专项练习--第11页共13页∴ △ AOE 是直角三角形∴ OG=AG=GE ，∴ ∠ BAC= ∠ AOG=30 °， ∠ AEO=60 °， ∠ GOE= ∠ AOE﹣ ∠ AOG=60 °， ∴ △ OEG 是正三角形，∴ OG=OE=GE ，∴ ∠ ABO= ∠ BAC=30 °，∴ ∠ AOB=180 °﹣ 30°﹣ 30°=120°，∴ ∠ BOE= ∠AOB ﹣ 90°=30 °，∴ △ OEB 是等腰三角形，∴ OE=EB ，∴ OG=AG=GE=EB=OE ，∴ OG= AB= DC ．25．（ 1）连结 ME ．∵ MN 是 BE 的垂直均分线，∴ BM=ME=6 ﹣ AM ，在 △ AME 中， ∠A=90 °，由勾股定理得： AM 2+AE 2=ME 2，AM 2+x 2=（6﹣ AM ） 2，AM=3 ﹣x ．（ 2）连结 ME ，NE ，NB ，设 AM=a ，DN=b ，NC=6 ﹣b ，因 MN 垂直均分 BE ，则 ME=MB=6 ﹣ a ，NE=NB ，所以由勾股定理得AM 2+AE 2=ME 2， DN 2+DE 2=NE 2=BN 2=BC 2+CN 2即 a 2+x 2=（ 6﹣a ） 2， b 2+（4﹣ x ） 2=42+（ 6﹣ b ）2，解得 a=3﹣x 2， b=x 2+x+3 ，所以四边形 ADNM 的面积为 S= ×（ a+b ） ×4=2x+12 ，即 S 对于 x 的函数关系为 S=2x+12 （ 0＜ x ＜ 2），答： S 对于 x 的函数关系式是 S=2x+1226．（ 1） ∵四边形 ABCD 是矩形， DE 均分 ∠ADC ， ∴ ∠ CDE= ∠CED=45 °；∴ EC=DC ， 又 ∵ ∠ ADB=30 °，∴ ∠ CDO=60 °；又 ∵ 由于矩形的对角线相互均分，∴ OD=OC ；∴ △ OCD 是等边三角形；∴ ∠ DCO=60 °， ∠OCB=90 °﹣∠DCO=30 °； ∵ DE 均分 ∠ ADC ， ∠ ECD=90 °，∠ CDE= ∠ CED=45 °，∴ CD=CE=CO ，∴ ∠ COE= ∠ CEO ；∴ ∠ COE= （ 180°﹣ 30°）÷2=75°；（ 2）过 O 作 OF ⊥ BC 于 F ， ∵ AO=CO ，∴ BF=CF ，∴ OF= AB=2 ，∵ ∠ ADB=30 °， AB=4 ，∴ AC=8 ， ∴ BC==4， ∴ BF=CF=2，∵ CD=CE=4 ，∴ EF=CE ﹣ CF=4 ﹣ 2 ，在 Rt △OFE 中，OE==4 ．27．：a 与 b 的关系是 b= a ，原因是：∵ 矩形 ABCD ，∴ AD=BC ， AD ∥ BC ，∴ ∠ DAC= ∠BCA ， ∵ DE ⊥ AC ，BF ⊥ AC ，∴ ∠ AED= ∠ CFB=90 °，在 △ ADE 和 △CBF 中，∴ △ ADE ≌ △CBF ，∴ AE=CF ，∵ AE=EF ，∴ AE=EF=CF ，∵ 矩形 ABCD ，∴ ∠ ABC=90 °=∠ BFC ，∴ ∠ BCF+ ∠ CBF=90 °，∠ ABF+ ∠CBF=90 °，∴ ∠ ABF= ∠ BCF ，∵ ∠ AFB= ∠ CFB=90 °， ∴ △ ABF ∽ △ BCF ，∴= = ，矩形的性质专项练习 -- 第 12 页 共 13 页设 AE=EF=CF=c ，则 BF 2 =AF ?CF=2c 2， ∴ BF= c ，∵ AB=b ， BC=a ，∴ = = ， ∴ b=a ，即 a 与 b 之间的关系是 b= a28．（ 1）证明：在 Rt △ ABD 中， BD===2 ，∵ 矩形 ABCD ，∴ OA=OB= BD=，∴ △ AOB 为等边三角形；（ 2）解： ∵ AE 是 ∠ BAD 的均分线，∴ ∠ BAE=45 °，∴ △ ABE 是等腰直角三角形， △ BEO 是等腰三角形，又 ∠ EBO=90 °﹣60°=30 °，∴ ∠ BOE= （180°﹣ 30°） ÷2=75°，在 △ BOC 中 ∠ COE=180 °﹣ 30°×2﹣ 75°=45°，所以，在 △BEF 和 △ COE 中，∴ △ BEF ≌ △ COE （ ASA ），∴ BF=CE ， 又 CE=BC ﹣ BE=3 ﹣ ，∴ BF=3 ﹣．29．在 △ GEF 和 △ HCF 中， ∵ GE ∥ DC ， ∴ ∠ GEF= ∠HCF ， ∵ F 是 EC 的中点， ∴ FE=FC ，而 ∠ GFE= ∠ CFH （对顶角相等） ，∴ △ GEF ≌ △HCF ，∴GE=HC ， 四边形 ABCD 为等腰梯形，∴ ∠ B= ∠ DCB ，∵ GE ∥ DC ，∴ ∠ GEB= ∠ DCB ，（ 2 分）∴ ∠ GEB= ∠ B ，∴ GB=GE=HC ，∴ BG=CH30．（ 1）在矩形 ABCD 中，∵ AD=BC ， ∠ ADC= ∠ BCD=90 °， ∴ ∠ DCE=90 °，在 Rt △DCE 中，∵ F 为 DE 中点，∴ DF=CF ，∴ ∠ FDC= ∠ DCF ，∴ ∠ ADC+ ∠CDF= ∠ BCD+ ∠ DCF ，即 ∠ ADF= ∠ BCF ；（ 2）连结 BF ，∵ BE=BD ， F 为 DE 的中点，∴ BF ⊥ DE ，∴ ∠ BFD=90 °，即 ∠ BFA+ ∠ AFD=90 °，在 △ AFD 和 △BFC 中，∴ △ ADF ≌ △ BCF ，∴ ∠ AFD= ∠ BFC ，∵ ∠ AFD+ ∠ BFA=90 °， ∴ ∠ BFC+ ∠ BFA=90 °， 即 ∠ AFC=90 °，∴ AF ⊥ FC ．矩形的性质专项练习 -- 第 13 页 共 13 页。
人教版八年级数学下册第02课 矩形的性质与判定 同步练习题
初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。