有介质时的高斯定理
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有介质时的高斯定理,写出其物理意义
有介质时的高斯定理，写出其物理意义
高斯定理（也称为高斯通量定理）是电磁学中的一个基本定理，描述了电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量与在该曲面内部源的大小之间的关系。
具体表达式为：对一个任意形状的封闭曲面，电场或磁场通过该曲面的总通量等于该曲面内部电荷或磁荷的代数和。
物理意义如下：
1. 电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量是该曲面内部电荷或磁荷的性质之一，可以帮助我们了解场的发源和分布。
例如，通过测量通过一个闭合曲面的电场通量，可以推断该闭合曲面内部的电荷分布情况。
2. 高斯定理对于计算电场或磁场的分布以及场源的性质具有重要的应用。
通过选取适当的曲面以及利用高斯定理，可以简化计算复杂电场或磁场的过程，提高计算效率。
3. 高斯定理还有与能量和电荷守恒定律的联系。
当封闭曲面内部不存在电荷时，即电荷守恒定律成立时，通过该曲面的电场通量为零。
这可以用来推导电场能量的守恒。
总的来说，高斯定理在电磁学中具有重要的作用，它可以帮助我们理解场的分布、推断电荷或磁荷的性质，并且简化电场或磁场计算的过程。
有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
有电介质时的高斯定理
3.电位移线起于正的自由电荷而止于负的自由电荷.
∬ΣD→ ⋅ dS→ = Q0
Processing math: 100%
问题分析
εr− 1
由于Q = εr Q0, 真空电容率ε = ε0εr 从而：
def
定义:点位移矢量:D = ε
从而上式简化为:
有电介质时的高斯定理
Q0
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0εr
∬ ∑ ΣD→ ⋅ dS→ = i=1Q0i
说明:
1. 电位移矢量D→ = ε0εrE→ = εE→ = P→ + ε0E→ 2.公式考虑了极化电荷的影响。
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面利用高斯定律有
有电介质时的高斯定理
问题引入：
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例，在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面, 利用高斯定律有： 1
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0 (Q0 − Q′)
其中，Q0表示自由电荷，Q′表示极化电荷。 可见在电介质中计算电场与Q′有关，直接计算很困难。
∬ΣD→ ⋅ dS→ = Q0
Processing math: 100%
问题分析
εr− 1
由于Q = εr Q0, 真空电容率ε = ε0εr 从而：
def
定义:点位移矢量:D = ε
从而上式简化为:
有电介质时的高斯定理
Q0
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0εr
∬ ∑ ΣD→ ⋅ dS→ = i=1Q0i
说明:
1. 电位移矢量D→ = ε0εrE→ = εE→ = P→ + ε0E→ 2.公式考虑了极化电荷的影响。
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面利用高斯定律有
有电介质时的高斯定理
问题引入：
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例，在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面, 利用高斯定律有： 1
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0 (Q0 − Q′)
其中，Q0表示自由电荷，Q′表示极化电荷。 可见在电介质中计算电场与Q′有关，直接计算很困难。
10-2静电场中的电介质-有电介质时的高斯定理解析
若为不均匀极化，介质内有极化电荷的积累。
4. 电介质极化的定量描述
（1）电极化强度 P
用来量度电介质极化状态（极化的程度和方向）
P
单位：C/m²
pi V
物理意义：大量分子电偶极矩的统计平均值. 外场越强，极化越厉害，所产生的分子电矩的 矢量和也越大。 P E 如果电介质中各点的极化强度矢量大小和方向都 相同，则该极化是均匀的，否则极化是不均匀的.
Q
+++++++
U
Q
+++++++
-------
Q
U
-------
Q
r
U0
说明：
E0
E
r E0
ห้องสมุดไป่ตู้U0
（1）相对电容率 r 1 （2）电介质内附加电场方向与原电场相反（退极化场）。
r
E0
2.电介质对电场的影响
极化电荷 （产生附加电场 E ） ↑ 相互 电介质（绝缘体） 静电场（E0） 作用 ↓ 静电场重新分布 E E0 E
n
（ ） PP ( (r 1) E QQ P E Q 1) 1) E 0 r 00 r
选－1 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移 矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面 所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是
A. 若通过该曲面的电位移通量为零，曲面内一
E E0 E ' 0 E0 0
q ' 和 q 的关系。 2. D 、E、 P、 P 0 E P E
9-6有电介质时的高斯定理 电位移
∫∫ D S
S1
= D 1 S＝S σ
σ σ E1 = = ε 1 ε r 1ε 0
v v v v 再利用 D 1＝ ε 1 E 1 , D 2＝ ε 2 E 2 可求得
σ σ E2 = = ε 2 ε r 2ε 0
方向都是由左指向右。 方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
负两极板A、 间的电势差为 （2）正、负两极板 、B间的电势差为 ）
例题9-6 一半径为 的金属球，带有电荷 0,浸埋在均匀 一半径为R的金属球 带有电荷q 浸埋在均匀 的金属球， 例题 无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 ），求球外任一点 “无限大”电介质（电容率为 ），求球外任一点 的场 强及极化电荷分布。 强及极化电荷分布。 P 根据金属球是等势体， 解: 根据金属球是等势体，而 ε r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 称分布， R Q0 球对称性， 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 斯定理来。 S 如图所示， 如图所示，过P点作一半 点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 径为 并与金属球同心的闭合 球面S， 球面 ，由高斯定理知
4εr（εr 2 1) 3 ′ σ 上负下正 σ2 = ε0 (εr2 1)E2 = εr1εr 2 +εr1εr3 + 2εr 2εr3
′ σ3 = ε0 (εr3 1)E3 =
4εr（εr3 1) 2 σ εr1εr 2 + εr1εr3 + 2εr 2εr3
上负下正
有电介质时的高斯定理 电位移
r r 由 P = ε0 (εr 1)E 得电极化强度矢量的分布
P=
r r 由 σ′ = P n 得束缚电荷的分布
09-3-电位移
ε r1 1 σ0 (2)σ1 ' = ) ε r1 ε r2 1 σ2'= σ0 ε r2
�
∑
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
在有介质存在的情况下,介质在外电场的作 在有介质存在的情况下 介质在外电场的作 用下会发生极化,产生束缚电荷 产生束缚电荷.这些束缚电荷 用下会发生极化 产生束缚电荷 这些束缚电荷 也要激发电场.基于这一思想 可以预期,只要 基于这一思想, 也要激发电场 基于这一思想 可以预期 只要 我们把这些束缚电荷考虑进去,真空中的高斯 我们把这些束缚电荷考虑进去 真空中的高斯 定理将依然成立.因此有 因此有: 定理将依然成立 因此有
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
叫电介质的电极化率, 式中 叫电介质的电极化率,它取决于介 质的性质. 相同, 质的性质.若介质中各点的 相同,就是均 匀电介质,将其代入电位移的定义式,有 匀电介质,将其代入电位移的定义式 有
(2)由上题可知
λ E= = ε 0ε r 2π ε 0ε r r
D
λ σ 1 ' = (ε r 1)ε 0 E1 = (ε r 1) 2 π ε r R1 λ σ 2 ' = (ε r 1)ε 0 E 2 = (ε r 1) 2π ε r R2
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
∑ q = ∑ q + ∑ q′
i S S S
E dS = ∫
S
1
ε0
(∑ q + ∑ qi′ )
S S
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
�
∑
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
在有介质存在的情况下,介质在外电场的作 在有介质存在的情况下 介质在外电场的作 用下会发生极化,产生束缚电荷 产生束缚电荷.这些束缚电荷 用下会发生极化 产生束缚电荷 这些束缚电荷 也要激发电场.基于这一思想 可以预期,只要 基于这一思想, 也要激发电场 基于这一思想 可以预期 只要 我们把这些束缚电荷考虑进去,真空中的高斯 我们把这些束缚电荷考虑进去 真空中的高斯 定理将依然成立.因此有 因此有: 定理将依然成立 因此有
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
叫电介质的电极化率, 式中 叫电介质的电极化率,它取决于介 质的性质. 相同, 质的性质.若介质中各点的 相同,就是均 匀电介质,将其代入电位移的定义式,有 匀电介质,将其代入电位移的定义式 有
(2)由上题可知
λ E= = ε 0ε r 2π ε 0ε r r
D
λ σ 1 ' = (ε r 1)ε 0 E1 = (ε r 1) 2 π ε r R1 λ σ 2 ' = (ε r 1)ε 0 E 2 = (ε r 1) 2π ε r R2
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
∑ q = ∑ q + ∑ q′
i S S S
E dS = ∫
S
1
ε0
(∑ q + ∑ qi′ )
S S
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
解：（ 1 ）求 ： D D, E , P 具有球对称性
选过场点与球面同心的 球面为S：r
S内
R
q
r
P
2 D d S D 4 r q 0
S
r
当：r R : 当： r R :
q q
0
0 q0
D=0
E=0
P=0
0
E
(1 r )q0 R P n P 2 4r R 2 (1 r )q0 q 4R R
总结
D分布
球对称 面对称 轴对称
高斯面 同心球面 垂直于板的和中心 面对称的封闭柱面 同轴封闭园柱面
由于导体为等势体:
例：设无限长同轴电缆的芯线半径为R1，外皮 的内半径为R2。芯线与外皮之间充入两层绝缘 的均匀电介质，其相对电容率分别为εr1和εr2。 两层电介质的分界面半径为R，如图。求单位 长度的电容。 解： (1) 先求 ： D R2 εr1 设单位长芯线、外皮 R R1 分别带电λ、-λ εr2 D, E 具有轴对称性 选过场点与电缆同轴的单位长封闭园柱 面为高斯面：r
§9-4 有介质时的高斯定理
一、有介质时的环路定理和高斯定理：
E E0 E
L
有介质时的环路定理：
E d l 0
有介质时的高斯定理：
q内
E d S
S
q
S内
q
S
0
0
q0
1 1 S内 ) ( q0 q内 P dS 0 S内 0 0 S ( E P ) d S q 0 0
D, E , P
40 r r
09介质中的高斯定理电位移矢量
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
r r ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
ε0
在介质中，高斯定理改写为： 在介质中，高斯定理改写为：
自由电荷 总场强
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑ (q
S
0
+q )
'
束缚电荷
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
v = εE
电常量。 电常量。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 εr 的介 ： 质球中心， 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 区的 、 、 。 在介质球内、 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 高斯球面。 R
r r ∫∫ D ⋅ dS = ∑q0
S
r r r 球面上各点D大小相等 D 大小相等， 球面上各点 大小相等， // dS , cosθ = 1 II 2 ∑q0 D4πr = q0 , ∴ D = 高斯面 4πr 2 q q I区： 1 = 区 D II区： 2 = 区 D 2 4πr2 4πr
dr =
q 4πε 0r
9
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面 ： ， 电荷密度为 σ0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 εr 的 电介质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电 电介质。 点的场强 ； 电容器的电 容。 ①. 过 P1 点作高斯柱面 左右底面分别经过导体 点作高斯柱面, 解： d' − σ 和 P1 点。 σ
r r φD = ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S
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（1）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 重合的称为无极分子（如H2、 CH4、CO2）
无极分子在电场中, 正负电荷中心会被
拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这
称为位移极化。
无极分子
l
q q
p ql
感应电偶极矩
（2）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 不重合的称为有极分子（如 HCl、H2O、NH3 ）
例如左图的左右表面 上就有极化电荷。
正是这些极化电荷 的电场削弱了电介 质中的电场。
电介质的击穿
当外电场很强时，电介质的正负电中心 有可能进一步被拉开,出现可以自由移动的 电荷,电介质就变为导体了，这称为击穿。
电介质能承受的最大 电场强度称为该电介质 的击穿场强, 或介电强度。
例如. 空气的击穿场强 约 3 kV/mm.
介质中的高斯定理又写为： sD dS q内
… 的高斯定理
即通过任意封闭面的电位移的通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
说明： 1.它比真空中的E 的高斯定律更普遍,当没有电介质
时, 即r=1, 就过渡到真空中的高斯定律了。
2.如果电场有一定的对称性,我们就可以先从 D 的高
斯定理求出 D 来；然后再求出 来。
实验：插入电介质后，电压变小
U U0
r
Q Q Q Q
r>1……介质的
相对介电常数 （相对电容率）
r 随介质种类和
状
U
为什么插入电介质 会使电场减弱？
1电介质的极化
电介质这类物质中，没有自由电子, 不导电， 但可以极化。 电介质分子可分为有极和无极两类:
有极分子在电场中， 固有电偶极矩会转向 电场的方向，这称为 转向极化。
说明：
有极分子 q
q 固有电偶极矩
l
q q
（1）静电场中，有极分子也有位移极化，
但主要是转向极化；
（2）由于热运动，P分子不是都平行于
E。
电场越强, P分子 的排列越整齐。
总之，不管哪种电介质,极化机制虽然不同， 放到电场中都有极化现象,都会出现极化电荷 （也叫束缚电荷）。
D
4
q0 πr2
•电介质内：场点 R2> r > R1
E介质内
D
0
r
q0
4 π 0 rr 2
E0
r
E0是真空时场强
•电介质外： （真空区域）场点 r > R2
E介质外
D
0
q0
4 π0r2
E0
普遍结论： 当电介质充满两个等势面之间的空间时，
该空间的场强等于真空时场强的 1/ r 倍。
例 1. 已知: 一导体球半径为R1，带电 q0（>0） 外面包有一层均匀各向同性电介质球壳，
其外半径为R2,相对介电常数为r .求：场强分布.
【解】 导体球内： E导内 o
导体球外：
D d S q0
S
D 4 π r 2 q0
r
R1
R2 0 r
q0
此式对导体外的电介质、电介质外的真空区域都适用。
２. 的高斯定律
问题：有电介质时，静电场有什么规律？
对P点，
q0 E0
q E
E E0 E
1
EdS (
S
0
q0内
q内 )
Edl o
L
电 q内′ 介
质 q
q0
q0内
P S
S
Ed
S
1
o
( q0内
q内 )
问题： 有电介质时，如何求 E ？
由q0和q' 分布
E
我们设法在方程中替换掉
插入电介质后，电压变小
U U0
r
当电介质充满两个等势面之 间的空间时，该空间的场强
等于真空时场强的 1/ r 倍。
Q Q Q Q
d U0
r
U
因为在真空中，高斯定理为：
sE0 dS
q内
0
介质中总场强为：
E
E0
r
介质中的高斯定理写为： E dS
q内
s
0 r
引入辅助物理量---电位移矢量 D： D 0r E
无极分子在电场中, 正负电荷中心会被
拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这
称为位移极化。
无极分子
l
q q
p ql
感应电偶极矩
（2）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 不重合的称为有极分子（如 HCl、H2O、NH3 ）
例如左图的左右表面 上就有极化电荷。
正是这些极化电荷 的电场削弱了电介 质中的电场。
电介质的击穿
当外电场很强时，电介质的正负电中心 有可能进一步被拉开,出现可以自由移动的 电荷,电介质就变为导体了，这称为击穿。
电介质能承受的最大 电场强度称为该电介质 的击穿场强, 或介电强度。
例如. 空气的击穿场强 约 3 kV/mm.
介质中的高斯定理又写为： sD dS q内
… 的高斯定理
即通过任意封闭面的电位移的通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
说明： 1.它比真空中的E 的高斯定律更普遍,当没有电介质
时, 即r=1, 就过渡到真空中的高斯定律了。
2.如果电场有一定的对称性,我们就可以先从 D 的高
斯定理求出 D 来；然后再求出 来。
实验：插入电介质后，电压变小
U U0
r
Q Q Q Q
r>1……介质的
相对介电常数 （相对电容率）
r 随介质种类和
状
U
为什么插入电介质 会使电场减弱？
1电介质的极化
电介质这类物质中，没有自由电子, 不导电， 但可以极化。 电介质分子可分为有极和无极两类:
有极分子在电场中， 固有电偶极矩会转向 电场的方向，这称为 转向极化。
说明：
有极分子 q
q 固有电偶极矩
l
q q
（1）静电场中，有极分子也有位移极化，
但主要是转向极化；
（2）由于热运动，P分子不是都平行于
E。
电场越强, P分子 的排列越整齐。
总之，不管哪种电介质,极化机制虽然不同， 放到电场中都有极化现象,都会出现极化电荷 （也叫束缚电荷）。
D
4
q0 πr2
•电介质内：场点 R2> r > R1
E介质内
D
0
r
q0
4 π 0 rr 2
E0
r
E0是真空时场强
•电介质外： （真空区域）场点 r > R2
E介质外
D
0
q0
4 π0r2
E0
普遍结论： 当电介质充满两个等势面之间的空间时，
该空间的场强等于真空时场强的 1/ r 倍。
例 1. 已知: 一导体球半径为R1，带电 q0（>0） 外面包有一层均匀各向同性电介质球壳，
其外半径为R2,相对介电常数为r .求：场强分布.
【解】 导体球内： E导内 o
导体球外：
D d S q0
S
D 4 π r 2 q0
r
R1
R2 0 r
q0
此式对导体外的电介质、电介质外的真空区域都适用。
２. 的高斯定律
问题：有电介质时，静电场有什么规律？
对P点，
q0 E0
q E
E E0 E
1
EdS (
S
0
q0内
q内 )
Edl o
L
电 q内′ 介
质 q
q0
q0内
P S
S
Ed
S
1
o
( q0内
q内 )
问题： 有电介质时，如何求 E ？
由q0和q' 分布
E
我们设法在方程中替换掉
插入电介质后，电压变小
U U0
r
当电介质充满两个等势面之 间的空间时，该空间的场强
等于真空时场强的 1/ r 倍。
Q Q Q Q
d U0
r
U
因为在真空中，高斯定理为：
sE0 dS
q内
0
介质中总场强为：
E
E0
r
介质中的高斯定理写为： E dS
q内
s
0 r
引入辅助物理量---电位移矢量 D： D 0r E