固体物理能带理论
固体物理黄昆
V (r a )] f (r a )
2 r a
和
2 x 2 ,
2 y2 ,
2 z 2
微分结果一样
T
Hˆ f
(r)
[
2 2m
2 r
V
(r)]
f
(r
a
)
Hf (r a ) HT f (r )
T H HT
布洛赫定理：当势场
V
(r )
具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
(r
Rn
)
e
ik Rn
(r )
k 为一矢量。当平移晶格矢量为
了位相因子
e
ik
Rn
Rn
，波函数只增加
根据布洛赫定理，波函数可以写成
(r )
e
ik r
uk
(r )
布洛赫函数
H Hi
i
H i ( ri ) Ei ( ri )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多
电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子
TT T T
平移任意晶格矢量 Rm m1a1 m2a2 m3a3
对应的平移算符
T
(
Rm
)
T m1 1
固体物理中的电子结构与能带理论
固体物理中的电子结构与能带理论在固体物理学中，电子结构与能带理论是研究固体材料中电子的行为和性质的重要理论。
通过理解电子结构和能带理论，我们可以深入了解固体材料的导电性、磁性、光学性质等，并为材料设计和应用提供基础。
一、电子结构电子结构是指描述固体材料中电子分布和能级的方式。
根据波尔模型，原子中的电子分布在不同的能级上，而在固体中，原子之间的相互作用会导致电子能级的改变。
在经典物理学中，电子的行为可用经典力学描述，但是在固体中，电子的波动性变得显著，因此需要引入量子力学的概念。
量子力学中的薛定谔方程描述了电子在固体中的行为。
根据波粒二象性，电子既可以被视为粒子，也可以被视为波动。
薛定谔方程描述了电子波函数的演化，并通过解方程得到电子的能级和波函数。
电子结构的计算方法有多种，如密度泛函理论（DFT）、紧束缚模型等。
二、能带理论能带理论是解释固体材料中电子能级分布的重要理论。
它基于电子在固体中的周期性势场中运动的性质。
根据布洛赫定理，电子波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积形式。
在周期势场中，电子波函数满足布洛赫定理的条件。
根据能带理论，固体中的电子能级可以分为禁带和能带。
禁带是指电子不能占据的能级范围，而能带是指电子可以占据的能级范围。
能带又可以分为价带和导带。
价带是指电子占据的能级范围，而导带是指电子可以自由运动的能级范围。
固体材料的导电性质与其能带结构密切相关。
对于导体，导带中存在自由电子，电子可以在导带中自由移动，导致材料具有良好的导电性。
对于绝缘体，导带与价带之间存在较大的能隙，电子不能跃迁到导带中，导致材料具有较差的导电性。
对于半导体，导带与价带之间的能隙较小，可以通过施加外界电场或提高温度来激发电子跃迁，从而改变导电性。
能带理论还可以解释固体材料的光学性质。
在能带中，电子跃迁可以吸收或发射光子。
固体材料的能带结构决定了其能量吸收和发射的范围，从而影响其光学性质。
例如，带隙较小的材料通常对可见光具有较好的吸收和发射能力，因此在太阳能电池等领域有广泛应用。
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
固体物理6-2 能带理论
波矢群中的对称操作 4z，mx，my，σ1，σ2 2z， mx，my 4z，mx，my，σ1，σ2 my
σ2
mx
简单立方晶格Oh (m3m)点群：
特殊位置 Γ点 R S ΔT X Γ Z Σ M Λ X点 M点 R点 Δ轴 Z轴 Σ轴 S轴 T轴 Λ轴 k (0, 0, 0) (π/a, 0, 0) (π/a, π/a, 0) (π/a, π/a, π/a) (k, 0, 0) (π/a, k, 0) (k, k, 0) (π/a, k, k) (π/a, π/a, k) (k, k, k) β群 Oh (m3m) D4h (4/mmm) D4h (4/mmm) Oh (m3m) C4V (4mm) C2V (mm2) C2V (mm2) C2V (mm2) C4V (4mm) C3V (3m)
T (α )ψ n ,k ( r ) = T (α ) eikr un ,k ( r )
=e
ik α 1r
un ,k (α 1r )
′ = eiα kr un ,α k ( r ) = ψ n ,α k ( r )
un ,k (α 1r ) 仍以格矢Rl为周期， 由于
可以改写为 由于α是正交变换，
∴ k α 1r = α k r
V = 2 3 8π
∫∫
等能面
dSdk⊥
dE = k E dk⊥
dZ V ∴N (E) = = 3 dE 4π
2. 近自由电子的能态密度 对于自由电子：
∫∫
dS k E
h2k 2 E (0) ( k ) = 2m
的球面
2mE 能量为E的等能面是半径为 k = h2
在球面上
dE h 2 k E = = k dk m
固体物理学能带理论小结
固体物理学能带理论⼩结能带理论⼀、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近⾃由电⼦近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及⼏个典型的结构的计算；5）明⽩简约布⾥渊区的概念和能带的意义及应⽤；6）会计算能态密度。
本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍⽣出来的的模型的应⽤。
⽐如将能带理论应⽤于区分绝缘体，导体，半导体；2）对三种模型的证明推导。
了解容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。
⼆、基本容1、三种近似在模型中它⽤到已经下假设：1）绝热近似：由于电⼦质量远⼩于离⼦质量，电⼦的运动速度就⽐离⼦要⼤得多。
故相对于电⼦，可认为离⼦不动，或者说电⼦的运动可随时调整来适合离⼦的运动。
多体问题化为了多电⼦问题。
2）平均场近似：在上述多电⼦系统中，可把多电⼦中的每⼀个电⼦，看作是在离⼦场及其它电⼦产⽣的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。
多电⼦问题化为单电⼦问题。
3）期场近似：假定所有离⼦产⽣的势场和其它电⼦的平均势场是期势场，其期为晶格所具有的期。
单电⼦在期性场中。
2、期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格期性时，电⼦波动程的解具有以下性质：形式⼀：()()nik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式⼆：()()ik rr e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了期场的波函数可取布拉维格⼦的所有格⽮成⽴。
2）证明过程：a. 定义平移算符µT ，)()()()(332211321a T a T a T R T mmmm ?= b ．证明µT 与?H的对易性。
ααHT H T =c.代⼊期边界条件，求出µT 在µT 与?H共同本征态下的本征值λ。
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢： 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为：
倒格矢和正格矢之间的关系：
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动，得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为：
Bloch定理： 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为： 即，波函数不再是平面波，而是调幅的平面波，幅度周期性变化。 另外一种形式：
它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ， 所以不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波
简正变化，消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子：
特点： 1.准粒子：不是真实的粒子，不能游离于固体之外 2.准动量： 3.Bose子：
固体物理(第14课)能带理论
根据布洛定理，有 k ( r Rn ) e e e 因而有：
k (r)
e uk ( r ) uk ( r )
i k Rn i k r i k ( Rn r )
uk ( r Rn ) uk ( r )
i k r
上式表明，在周期场中 运动的单电子，其能量 本征函数
l1、l2、l3 Z
为了确定本征值，引入玻恩-卡门边界条件
( r ) ( r N1a1 ), ( r ) ( r N 2a2 ), ( r ) ( r N 3a3 ),
N1
N N1 N 2 N 3
( r N1a1 ) T1 ( r ) 1 ( r ),
(r) u(r) eikr
比较
势场为0
正离子
周期势场 正离子
电子波函数
周期性势场
势场中电子的波函数
6.1.1 布洛赫定理的证明
平移对称性
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格 在平移对称操作下是不变的。 T(Rn)平移算符表示使r到r+Rn的平移操作相当的算符。 其意义是使T(Rn)作用在任意函数f(r)上产生新的函数 f(Rn+r)。 T(Rn) f(r)= f(Rn+r) 晶体中的平移算符共有N1×N2×N3种 平移算符彼此对易，即：
k ( r N1a1 N 2a2 N 3a3 ) eik( N a N a N a ) k ( r ) 因此有：N1a1 N 2a2 N 3a3 2 n
1 1 2 2 3 3
l1 l2 l3 而此仅当 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 时才能满足。
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二 能带
晶体中各原子相互影响，使得能量 和运动轨迹发生不同程度的变化
外 层
内 层
1S 2S到2P所分布的电子离核距离在逐渐变大能量越各个能级都被电子填满这样的能带成为满带 价带：由价电子能级分裂而形成的能带。 ①通常情况下，价带为能量最高的能带； ②也可能未被电子填满，形成不满带或半满带。
第五章 晶体的能带理论
章节内容 5.1 晶体的能带 5.2 布洛赫定理 5.3 克朗尼格-朋奈模型 能带中的能级数目 5.4 导体和绝缘体
5.1 晶体的能带
势阱：该空间区域的势能比附近的势能都低。势阱处的粒子想要离开势阱概率较低 势垒：该空间区域的能量比附近的势能都高。
晶体中大量原子聚集在一起，而且 各原子之间的距离很近，致使离原 子核较远的壳层发生交叠，壳层交 叠使电子不再局限于某个原子上， 有可能转移到相邻壳层上去，也可 能从相邻原子运动到更远壳层上去， 这种现象称为电子共有化
5.2 布洛赫定理
波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数. 为了定量地描述微观粒子的状态
周期
线度：一般指物体从各个方向测量时的最大长度
布洛赫函数
L=Na，L是线度
5.3 克朗尼格-朋奈模型 能带中的能级数目
这些都与5.1节概述中介绍的结论是一致的
5.4 导体和绝缘体
谢谢
空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，这样的能带成为空带
禁带：两个相邻能带间的间距 禁带中不存在电子的定态，其宽度对晶体的导电性至关重要。
满带是不导电的，价带和空带是可以导电的。电流是电子在电 场作用下定向运动的结果。可以想象能带中有许多“空位”， 每个“空位”只能容纳一个电子，由于在满带中所有的“空位” 都被电子占满，电子不能在电场作用下从一个“空位”跑到另 一个“空位”，就像在满座的剧场里一个人不可能去占别人的 座位一样。所以满带中的电子是不自由的，是不能导电的。 但在导带中有许多“空位”，电子在电场的作用下就能改变能 量，从一个“空位”跑到另一个“空位”。大量电子的这种运 动，从宏观上来看，表现为电子作定向运动，因而就形成了电 流。所以说，只有导带中的电子才能导电。