上海交通大学线性代数第一、二章复习题附答案
上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题3
习 题 三 （一）1.求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）133353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为2,1321-===λλλ(二重)对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数.（2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭答案特征值为1231λλλ===-(三重)对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为1232λλλ===(三重)对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭答案特征值为1236,3λλλ=-==(二重).对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(5) 322010423A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭答案特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。
对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(6) 0100100000010010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。
对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。
线性代数第3版习题全解
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =；(3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zz x zx++=++=++++ ()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5)x y x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
线性代数第二版(上海交大)习题答案5
1．(3)()3212533112E A λλλλλ---=-+-=++ 所以，A 的特征值为1231λλλ===-对于1231λλλ===-，解齐次线性方程组()E A X O --=，得其基础解系为111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，故与1231λλλ===-对应的全体特征向量为111c -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭其中c 为非零常数．2．设λ为A 的特征值，α是对应的特征向量，则A αλα= 用矩阵A 左乘上式两端，并利用2A A =，得22A A A αλαλααλα====故()10λλα-=即0,1λ=．3．设λ为A 的特征值，α是对应的特征向量，则A αλα= 用矩阵1k A -左乘上式两端，并利用k A O =，得k k A O αλα==故0k λ=即0λ=．4．因为λ是A 的特征值，α是对应的特征向量，则()()11011011m m m m m m m m g A a A a A a A a E a A a A a A a E αααααα----=++++=++++()1011m m m m a a a a g λαλαλααλα--=++++=即()g λ是()g A 的特征值，α是对应的特征向量． 5. 设β为()TAP -1P 对应于λ的特征向量.由题意， A αλα=, 且T A A = T P βα=1()T P AP βλβ-= 1()T T P A P βλβ-= 11()()T T A P P βλβ--=则，1()T P β-为A 对应于λ的特征向量. 故, 1()T P αβ-= 即, T P βα=7. A 的特征多项式为4(2)(1)0λλ+-=. 8. 由题意, 存在可逆矩阵P , 使得1P AP B -=,则111()()()T T T T T T T T B P AP P A P P A P ---=== 由于T P 可逆, 所以T T A B9．因为111P A P B -=，122P A P B -=，则()111121212P A A P P AP P A P B B ---+=+=+，即1212A A B B ++ ；且111121212P A A P P A PP A P B B ---==， 即1212A A B B ．10．A 可逆，则1A -存在，且1A ABA BA -=由定义AB BA ．16. ()1121121164320132916n n n n n M AM M A M n n ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．A 的特征多项式为()21E A λλλ-=-故A 的特征值为1230,1λλλ===对10λ=，齐次线性方程组AX O =的基础解系为124⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对231λλ==，齐次线性方程组()E A X O -=的基础解系为211,001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令121210401Q -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则1000010001Q AQ -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1000000010010001001nn Q A Q -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故1121000121021210010210252401001401483n A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．必要性：由性质知，A B ，则,A B 有相同的特征值，又,A B 为对角矩阵，则特征值为主对角元，即A 和B 的主对角元除了排列次序外是完全相同的;充分性：若A 和B 的主对角元除了排列次序外是完全相同的，则必存在初等矩阵()1,2,,i R i s = ，使得1111221s s R R R AR R R B ---= ，即A B ．23．设122212221Q -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭则由题意知1100000001Q AQ -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭故11120331001221001222200021200021203300122100122121033A Q Q --⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪==----= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. 29．因为A 正交，且1A =，则()1nT T T T E A A A A A E A A E A E E A -=-=-=-=-=--又A 为奇数阶，则E A E A -=--，即0E A -= 故E A -为不可逆矩阵． 31．(1)A 的特征多项式为()()()125E A λλλλ-=---故A 的特征值为1231,2,5λλλ===对11λ=，齐次线性方程组()E A X O -=的基础解系为011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭单位化得1011ε⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭对22λ=，齐次线性方程组()2E A X O -=的基础解系为2100ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对35λ=，齐次线性方程组()5E A X O -=的基础解系为11 ⎪ ⎪⎝⎭单位化得3011ε⎛⎫⎪=⎪⎪⎭令()12301000Q εεε⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝ 则1100020005Q AQ -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(2)A 的特征多项式为()()2110E A λλλ-=--故A 的特征值为1231,10λλλ===对121λλ==，齐次线性方程组()E A X O -=的基础解系为221,001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化单位化得1201ε⎛⎫⎪=⎪⎪⎭225145ε⎛⎫-⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对310λ=，齐次线性方程组()10E A X O -=的基础解系为22- ⎪ ⎪⎝⎭单位化得3132323ε⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭令()1231320323Q εεε⎫-⎪⎪ ⎪==-⎪ ⎪⎪⎪⎭则11000100010Q AQ -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.32. 设()1120T α=-, ()2101Tα=-,特征值8对应的特征向量为123(,,)T x x x x =,由于实对称矩阵不同特征根对应特征向量正交, 故 ()112,20x x x α=-=, ()213,0x x x α=-= 求得方程组的基础解系为()3212Tα= 取3α为特征值8对应的特征向量, 并令 ()123112201012P ααα⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭1100010008P AP --⎛⎫⎪=-=Λ ⎪ ⎪⎝⎭则 1141999112100324425201010202999012008423212999A P P -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=Λ=---= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭。
交大线性代数2(修订)
= ( n − 1)a n + a n−1 D1 = ( n + 1)a n
18
交大线性代数
【例】计算n + 1阶行列式 an ( a + 1)n (a + 2)n n−1 n−1 a (a + 1) ( a + 2)n−1 Dn+1 =
a 1 a+1 1 a+2 1
( a + n )n ( a + n ) n −1
n2
n−1
(n + x )
8
【解法二】 【例】计算 n 阶行列式 D =
D = a1
x1 a1 a1
a2 x2 a2
a3 a3 a3
an an xn , n)
1 a2 a3 0 0 − a2 0 1 aa– 2a2 a3 1
a2 0 a3 0
an 0 an 0
( xi ≠ ai , i = 1,2,
xn xnan –
(爪形三线)
9 10
x1 + x1 a2
x −a x1 − a1 + a3 1 1 x3 − a3 x2 − a 2
+a2n a
x1 − a1 a3 xn − an
an 0 0
a1 − x1 0 D= a1 − x1 0
x2 − a2 0
n ⎛ x −a ⎞ n = ⎜ x1 + ∑ ai 1 1 ⎟ ∏ ( xi − ai ) xi − ai ⎠ i = 2 i=2 ⎝ n ⎛ x −a ⎞ n = ⎜ x1 − a1 + a1 + ∑ ai 1 1 ⎟ ∏ ( xi − ai ) xi − ai ⎠ i = 2 i =2 ⎝ n ⎛ x −a x −a ⎞ n = ⎜ x1 − a1 + a1 1 1 + ∑ ai 1 1 ⎟ ∏ ( xi − ai ) x1 − a1 i = 2 xi − ai ⎠ i = 2 ⎝ n ⎛ ai ⎞ n = ⎜1+ ∑ ⎟ ∏ ( xi − ai ) i =1 x i − a i ⎠ i =1 ⎝
矩阵理论答案(上海交大版)
0 2 2 2 ， 3 1 2 1 3
即
T
e1, e2 , e3 e1, e2 , e3 A,
作
基
变
换
e1,
e2 , e3 '
'
,e1
'
,e 则 2
e3 .
P
' ' e1' , e2 , e3 e1, e2 , e3 PAP 1. 故使为对角形的基 e1, e2 , e3 P1 即可。
u1 ； w1 ； 故 U W 的基为 3w1 w2 ， U 的基为 3w1 w2 ， W 的基为 3w1 w2 ， U W
的基为 3w1 w2 ， u1 ， w1 。 6． U W ( x, y, z, w)
1 1 1 1 x y z w 0 ， r 2， 1 1 1 1 x y z w 0
数非 0 且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 5． 记 U= u1, u2 , u3 ， W w1, w2 ，把 U,W 放在一起成 4 行 5 列的矩阵，其 Hermite 标 准形为
1 0 0 0
4 5 1 2 1 5 1 1 3 9 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
5． | Em AB |
mn
， En BA 知除 0 外 AB 与 BA 的特征值全相同（包括代数重数）
而迹为矩阵特征值之和。
2 6． （1）特征多项式 x 8 x 7 为最小多项式，可能角化
（2） | E A | 1 2 3 为最小多项式，可对角化 （ 3 ）特征多项式为 1
线性代数第3版习题全解（上海交通大学）
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
线性代数第3版习题全解上海交通大学--资料
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5) xy x y y x y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =； (3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zzxzx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x x x--= 2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x x x x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案线性代数试卷（A卷） 2006－06－21姓名学号得分题号一二三四总分得分一单项选择题（每题3分，共18分）1．已知矩阵，，且，则a. 当时，必有秩；b. 当时，必有秩；c. 当时，必有秩；d. 当时，必有秩。
2．已知为3维列向量组，行列式，，则行列式a. －6；b. 6；c. －18；d. 18。
3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是a. L；b. L；c. L；d. L。
4．设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的是a. 若线性相关，则线性无关；b. 若线性相关，则线性相关；c. 若线性无关，则线性无关；d. 若线性无关，则线性相关。
5. 设为非零实矩阵，，是行列式中元素的代数余子式，则矩阵必为a. 不可逆矩阵；b. 对称矩阵；c. 正交矩阵；d. 正定矩阵。
6．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则a. ；b. ；c. ；d. 。
二填空题（每题3分，共18分）1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵为；2. 设,，其中是非齐次线性方程组的解,为矩阵,且, 则线性方程组的通解为；3. 设实对称矩阵满足，则二次型经正交变换可化为标准形；4．已知矩阵满足，且，则行列式；5．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵必有一个特征值为；6．已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量。
二计算题（每题8分，共48分）1．已知阶矩阵且满足方程，其中，求矩阵。
2. 已知非齐次线性方程组，其系数矩阵的秩试求：常数的值，以及该方程组的通解。
3. 求正交变换,将实二次型化为标准型,并写出正交变换。
4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
5. 已知是3维线性空间的一个基，且，，。
（1）求由基到基的过渡矩阵；（2）设向量，求在基下的坐标6. 设列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量.（1）求常数；（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？为什么？四证明题（每题8分，共16分）1. 已知矩阵为阶正定矩阵,证明:（1）矩阵的特征值都大于零；（2）若，则为正定矩阵。
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代数第一、二章复习 2005-10-316A 2B = 54、填空题1、设，则A 中元素a i2的代数余子式等于-11;Q A 121)12、设3A3、设 3n A333阶方阵At ，且 AB 0， 3-7a 1 4 •设 A = a ? a 3b 1 b 2 b s C1a 1 C2C3a 2 a 3b 1 b 2 b 3d 1d 2 d 3，且 A =4， B =1，则3a 1 3D C 1 2d 1a 1 bi C 1 2d 13a 2 3b 2 2d 2 32 a 2 b 2 C 2 2d2 3a 33b 3 C 3 2d 3a 3b 3 C 3 2d 3A 2B =a 1b 2d 1 a ? b 2 C 29 a 2 b 2 2d 2 a 3 ba 3b 3 2d 3 9 9[4 2 1] 54 ；a 1b 1 a 1b 2ab_ azd a 2b 2 a 2b n 0 , b )i 0, i 1, 2, ,n ,6.设A，其中a ianb a n b 2a nb n则r(A) = 15已知A 是秩为2的4阶矩阵，则A j7 、设A , B , C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式r(A )= oBD 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( -A) 1;3 B 3A 1 B ( 3)- A 1278、已知A 为三阶方阵，且 A 4 , A 2E 8 ,则A A 1 = __2__ ；o阶方阵，且行列式|A| a ，则|2A| _|2A| 25a、选择题*11 *12 *134*11 2*11 3*12 *13 1、如果D*21 *22 *23 1 ,则 D 14*21 2*213*22 *23*31*32*334*312*313*32*3311 1 11 10 39、设 A，则第1 1 1 0121 110、设A 为n 阶可逆矩阵 5B 是将矩阵，则AB1Pii。
11 •设A 为5阶方阵， 且A< =-4 4行各元素的代数余子式之和为A 中的第i 行与第j 行元素对调后的则行列式|AA 46a 11 a 12a 135*113*12 *1312如果D821 *22 *233，则 D 15*21 3*22 *23*31*32*335*313*32*33a 21 a 2214 .已知行列式A 12元素（2,321X 1 *22 X 2 b 1b 2的解必素(1,2)的 代数余子式1）的代数余子式A 21的值15 .已知A 为5 =-45 a 12811X1a 12X 213.如果线性方程组a 11(A) 8 (B) 12 (C) 24 (D) 242 •设A为4阶方阵，已知A 3，且，则A A 1= ____________ ；3、设A, B, C是n阶方阵，且ABC E, E为n阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是()(A) BCA E (B) ACB E (C) BAC E (D) CBA E14、当ad be时，a b=() e d(A)1 d e (B) 1 d e ad be b a ad be b a(C)1 d b (D) 1 d bbe ad e a ad be e a5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是()1 0 0 1 0 0 1 0 0(A) 0 0 1 (B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 1 0 1 0 1 0 0 40 0 10 1 01 0 1a11 a12 a13 a 11 3a31 a12 3a32 a13 3a 336 、若P a21 a22 a23 = a21 a 22 a23 则Pa31 a32 a33 a31 a32 a33( )1 0 0 1 0 3 0 0 3(A) 0 1 0 (B) 0 1 0 (C) 0 1 03 0 1 0 0 1 1 0 11 0 0(D) 0 1 00 3 10 07、设A a 10 b 4 a 2 b s 0 b 2 a 3 0 bia 4 ，则 A =() (A) (C) 3i 323334b 2b 3)(a i a 4 bb 4)(B) a 1a 2a 3a 4 ①匕鸟①匕厶(a 2a 3 (@a 2 db 2)(a 3a 4 b 3b 4)8、设n 阶方阵A 满足A 2 2E ,其中E 是n 阶单位阵，则必有( 1 1 (C) A -A2 (D) (A) A 2A 1 (B) A 2E (D) 9、设 A 、 (A) (C) B 都是n 阶非零矩阵，且 必有一个等于零 一个小于n ，—个等于n 10 •设n 阶矩阵 ) AA 满足 A 2 AB 0, (B) (D) E 0，其中 则A 和B 的秩(都小于n 都等于0 E 为n 阶单位矩阵, 则必有 ( (A) (B) E (C) A A 1(D) 11 •设 ，且 1 a , b , c 均不为零，则A (A) (B) (C)12 .设(A)r(B) 2二、计算题1、 已知(D)12B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B)AB 0,r(B) r(A) 21 42, (C)则(r(B)(D)3 求(AB)T 。
11 4 221AB T B T A T7 2 0 0 3 1 3 11 2 2、求行列式;X nX x 2x n m11 1 12 1 (4)11n1 0 13、设A 0 2 0，已知AX E A 2 X ，求矩阵X 。
1 0 12 1 1 1 1 1 1 1，则 A 1 = 1 1 230 1 1 1 1 1解：由于解：法2 01 1 7 114 3AB4 231 3217 13 102 010 T0 14 3T17 AB17 13 1014 13 3 10A TB TXx 2 m Xn17 14 133 10X y y y yy X y y y(2 )y y X y y y y y X yy y y y X1 12 1 (1 )2 23 1 3 34 2455 34.已知矩阵A(3 ) X m x 2A 1A(A,E)3 1 3 1A 12 3 J 3 1 31 3 1 3 J 3J 3 2 3 1 35、A 是n 阶矩阵, 满足 AA T求行列式AE 的值3阶方阵A 的伴随矩阵为 A，且A7、如果可逆矩阵 A 的各行元素之和为 2a ，计算 ，求（4A ） 1 2A 。
A 1的各行元素之和等于什么。
3A 1B1111a1 a A1 1 A 11 A1 1 - a a1111 1aan a 12 a 13设实矩阵 A = a 21 a 22 a 23 满足条件：a 31 a 32 a 33（1）a ij A bj ，(i, j 1,2,3) ,其中A i j 是a i j的代数余子式；(2) an1求行列式Ao1 2 01 1设A =0 2 1 B = 20 ，求矩阵 X 使其满足矩阵方程0 0 1531 1 1 1 1a1B。
|A| =- 1, 8、 9、AX 10.设A , B 为5阶方阵, |B| =-2,求 2A T B 1 解 2ATB 125 A T B 1 =25( 1)(—)=162)3A 1B11 .利用初等变换求矩阵 A 的秩112 2 1 0 2 151(1 )、A2 03 1 3 11041解： 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 512 1510 2151 A2 03 1 30 2 1 5 10 0 00 1 1 0 4 1 00 2220 02 221 12 2 10 2 1 5 10 0 2 2 20 0r(A)=311 1 1(2 )、 A1 1 1 31123解：11 1 111 1 1A1 1 13r 1 ( 1)0 0 2 411 2 30 0 121 1 11 11 1 1r 2r 30 0 12 「3 2r 20 0 1 2240 0 0 0r(A) 21 41 02 1 13 (3 )、 A10 3 1 0 263解：1 4 1 0 1 0 32 1 13 2 1 1 A 1 0 31 1 4 1 02 63 0 2 6 1 0 3 1 1 0 3 0 1 5 1 0 1 5 0 0 16 5 0 0 16 0 01650 012 •已知A 1 1 隶 ，求 A 190 1n 1 n解 由于 A因 '0 11 0 1 1 1 0B ,B C1 1n 1 a 1 2为 x 2 4X 3 3x 411. 解线性方程组 X 1X 3 X 43为 x 2 X 37为7X 33X 4 解: 将增广阵化为规范的阶梯阵: 2 1 43 41 1 0 1 1 3 「2 「12 3 1 1 0 13 7 0 7 3 371 0 1131 0 12 12r3 (r21)「20 0 1 2 3 100 0 00 4 240 10 11 31 0 0 121 2r2「11r3 30 1 0 0 0 1 60 00 0 00 0得同解方程组， A 0X 0为3 此 31 3 0 1 1 50 0 01 00 1 0 0 0 1 3 1X 1 X 3 ,C n A 19X23 2x 3 4移项添项即得 X 46X1X X3X 3 2X 3 X 3 x 4 6r(A)19na 3 2 12 242* 3” 7r 1r42r31一 r 323)四•证明题1 •设方阵A 满足A 40 ,试证明E A 可逆，123(E A) E A A A(E A)(E A A 2 A 3)=E A A 2 A 3 (A A 2 A 3 A 4) =E-A 4 E2•设A 为可逆矩阵，A 2 | A| E ，证明：A A证明：由于A 为可逆矩阵，且AA | A|E,又由已知A 2 AE 故A 2 AA 两边左乘A 1得A A3、设n 阶方阵A ，B 满足A B AB ，求证(1)A E 可逆；(2)AB=BA4、 设n 阶方阵A 满足A 2 2A E 0，证明：矩阵 A 可逆证明由于 A 2 2A E 0，有 A 2 2A E A(A 2E) 故矩阵A 可逆，且A 1 A2E 。
5、 若A 为方阵，证明 A A T , AA T ,A T A 是对称阵。
证明(A A T )T A T (A T )T A A T , A A T 是对称阵。
(AA T )T ( A T )T A T AA T , A A 是对称阵 (A T A)T A T (A T )T A T A , A J A 是对称阵因此方程组通解为：X X 312(x 3是任意数)。