解析几何中最值问题的解题策略

解析几何中最值问题的解题策略
圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。

其中，代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值。

下面我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质。

例题 1.已知
(0,2)A ，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>
的离心率为
F ，直线AF
的斜率为3
-，O 是坐标原点。

（1）求E 的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。

解：（1）2
2:14
x E y += （2）由题意直线l 的斜率存在，设:2l y kx =+
联立22
2
1
4
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22
(41)16120k x kx +++=，22316(43)0,4k k ∆=->>得
122|||41PQ x x k -==+ 原点O 到直线PQ
的距离
所以221
443||1241
OPQ
k S PQ d k ∆+-=⋅==≤=+
当2273
44
k =
>
时，取等号，此时:2l y x =+ 先来解析这道题，应用了两个公式： 一.
弦长公式212|||,PQ x x a x a
-=是的系数 二.
,0,0,=2
a b
a b a b +≤
>>=当时，不等式式取“”号 我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论
例题2.已知22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，设过点(0,)A m 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，
当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程。

解：由题意直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+
联立22221
y kx m
x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222222222
()20a k b x a b kmx a m a b +++-=，
22
22
2
2
2
2
2
2
4(),m b a b a k b m k a -∆=+->
222||PQ a k b
=+原点O 到直线PQ
的距离所以
1||2OPQ
S PQ d ∆=⋅== 22222222
()2()2
m a k b m ab
ab a k b ++-≤=+ 当222222222
2a k b m m a k b m +-=+=，即时，取等号。

由此我们得出一个一般性结论：
若直线l 的斜率k 为定值，当222
2
+=2a k b m 时，OPQ S ∆有最大值2
ab
若直线l 的截距m 为定值，且满足2
2
2m b ≥，当22
2
22-=m b k a 时，OPQ
S ∆有最大值2
ab
若2
2
2m b <，当22
2
22-=0m b k a <时，OPQ
S ∆取不到最大值2
ab ，此时不能用基本不等式求最值。

我们得探索其他求最值的方法，用构造函数法或放缩法可以证明，当=0k 时，OPQ S ∆有最大值，下面我们再看一道例题。

例题3已知动圆P 与圆22
1:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，记
圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值． （1）设圆P 的半径为R , 圆心P 的坐标为(,)x y ，
由于动圆P 与圆22
1:(2)49F x y ++=相切，且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切，
结合图像可知，动圆P 与圆1F 只能内切.且127,
1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
则4||6||||2121=>=+F F PF PF .
所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.
所以曲线C 的方程为15
92
2=+y x . （2）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，
由
2
2
2,
1,
95
x
my
x
y
可得2
25920250m y my （），
则121222
2025
,5959
m y y y y m m +=-=-++. 所以2
2
12
1214MN m y y y y
2
2
22
20100
15959
m
m m m
2
2
301.59
m m
因为//MN OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积.
点O 到直线2:+=my x MN 的距离2
1d m
.
所以△QMN 的面积22222
1
130(1)301
2259
59
1
m m S MN d m m m .
t ，则221m t =-(1)t ≥ ，22303030454
51
9
5t t S
t t t
t
.
设4
51f t t t t
，则22
2
454
5t f t t t
. 因为1t , 所以22540.t f t t 所以4
5f t t t
在1,上单调递增.
所以当1t 时, f t 取得最小值, 其值为9.所以△QMN 的面积的最大值为
30
9
. 说明: △QMN 的面积22
212
1
2
12
1
30142
m S
OF y y y y y y . 例题4已知椭圆E 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且抛物线y x 242
-=的焦点是它
的一个焦点，又点)2,1(A 在该椭圆上。

（1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程。

例题5．设椭圆中心在坐标原点，A （2,0），B （0,1）是它的两个顶点，直线y=kx （k>0）与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E,F 两点。

（1）6=，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值；
例题6在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O=45°． （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l 1：y=kx+m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2：y=kx+m 2（m 1≠m 2）与椭圆G 交于C ，D 两点，且|AB|=|CD|，如图所示．
（ⅰ）证明：m 1+m 2=0；
（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值． 12（Ⅰ）根据F 1（﹣1，0），∠PF 1O=45°，可得b=c=1，从而a 2=b 2+c 2=2，故可得椭圆G 的标准方程；
（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）． （ⅰ）直线l 1：y=kx+m 1与椭圆G 联立，利用韦达定理，可求AB ，CD 的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；
（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．
【解析】：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．
因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．
所以，a2=b2+c2=2．…（2分）
所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）
所以
==
=．
同理．…（7分）
因为|AB|=|CD|，
所以．
因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）
（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）
所以
=
．
（或）
所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）。