相干光信号分析

1．理论模型
假设入射信号光和本地激光束都具有高斯型场分布，高斯光束束腰（直径）分别为s d 和
l d ，并对信号光进行光强调制，则相应的本地光场强和信号光场强分别可表示为：
2
22
0(()
)/()()()S
x x y d S
S S s s x
E t A g t nT e e i t V ωωϕ--+=--+-
(1.1)
2
22
()/()
()L L L x
y d i t L L E t A e e
ωϕ-+-+=
(1.2)
其中/sin()x V c θ=，θ为两光束的夹角;0x 为信号高斯分布中心在x 方向上的偏移，设光路总长为L ，则0tan()x L θ=；()g t nT -是周期为T ，幅度为1，占空比为1:1的方波函。

合成光在探测面S 上产生的光电流()i t 可分成三个部分： ()()()()S L SL i t i t i t i t =++
(1.3)
式中 2
22
2()/22
0()()S
x
y d S S S
i t R A g t nT e dS -+=-⎰
(1.4)
2
22
2()/2()L
x
y d L L S
i t A e
dS -+=⎰
(1.5)
2
2222
000()/(2)/0()2()cos[]S
x
y d x xx d S
SL S L SL SL x
S
i t R A A g t nT e e
t dS V ωωϕ-+--=-+∆-
⎰ (1.6)
其中 222
01/1/1/S L
d d d =+ (1.7) SL S L ωωω=-
(1.8) SL S L ϕϕϕ∆=-
(1.9)
假设x 、y 方向所加的偏转角分别为：
0cos()x m t θθϕ∆=Ω+
(1.10)
0sin()y m t θθϕ∆=Ω+
(1.11)
x 、y 方向的起始偏角为x θ和y θ，且有
2220x y
θθθ=+ (1.12)
则总的两光束夹角为：
()t θΩ=(1.13)
化简得
()t θΩ=(1.14)
当0m θθ<<，此式可进一步化简为 2
00200
()[1cos()]2m m xy t t θθ
θθϕϕθθΩ=++Ω+-
(1.15)
其中
()y
xy x
tg θϕθ=
(1.16)
由于式（1.4）、（1.6）中，积分于时间t 无关，故函数()g t nT -可拿到积分式外面，若记 2
22
2()/20()S
x
y d S S S
R A e dS f θ-+=⎰ (1.17) 2
22
2()/200L
x y d L L S
R A e dS i -+=⎰
(1.18)
2
2222
000()/(2)/02cos[][()]S
x
y d x xx d S
S L SL SL SL x
S
R A A e e
t dS f t V ωωϕθ-+--+∆-
=Ω⎰
(1.19)
那么式（1.4）、（1.5）、（1.6）可改写为： 2()[())]()S S i t f t g t nT θ=Ω⋅-
(1.20) 0()L L i t i =
(1.21)
()[()]()SL SL i t f t g t nT θ=Ω⋅-
(1.22)
那么最终光电探测器输出电流为
()()()p S L SL i i t i t i t =++
(1.23)
将得到的电流通过一带通滤波器，带通滤波器中心频率为2/T ωπ=，带宽为2Ω，即滤波得[,]ωω-Ω+Ω频率分量的信号。

而方波信号()g t nT -可用傅立叶级数分解为：
2(1)2
()1/2cos(),0,1,2...(21)k g t nT n t k k ωπ
+-=+
=+∑ (1.24)
那么信号经过滤波器后
'2
()[())]cos()S S i t f t t θωπ
=Ω⋅
(1.25) '
()0L i t =
(1.26)
'
2
()[()]cos()SL SL i t f t t θωπ
=Ω⋅
(1.27)
将所得信号进行包络检波，包络检波可等效为对解调信号乘以一开关函数，开关函数可
用傅立叶级数表示为
2(1)
2
()1/2cos(),0,1,2...(21)k K t n t k k ωωπ+=+
=+∑ (1.28)
那么包络检波后信号变为
''''
[()()]()
2
2
[[())]cos()[()]cos()]()
p S SL S SL i i t i t K t f t t f t t K t ωθωθωωπ
π
=+⋅=Ω⋅
+Ω⋅
⋅ (1.29)
再经一带宽为Ω的低通滤波器，滤波得到直流和低频分量，最终信号的形式为 '''1222
[[())][()]]2p S SL i f t f t θθπππ
=
⋅⋅Ω+⋅Ω (1.30)
2．数值计算
取信号光和本地光的波长均为0.632m μ，0SL ϕ∆=；取信号光场强幅度和本地光场强
1mm 。

1． 取偏角0θ=，以探测器半径R 为变量，()S i t 、()SL i t 为应变量，如下图示
由图可知，探测器半径2R mm =时，光几乎全部接收，因此取2R mm =。

2． 取2R mm =，以t 为变量，取10m rad θμ=，10x y rad θθμ==；取21000ωπ=⨯，
2100πΩ=⨯；做图得
x y
x y
3．以300
x y rad
θθμ
==为例，画出滤波后信号和最终解调后信号
4．以θ为变量，最终解调得到的电流为应变量，画图
上图为曲线的4阶多项式拟合
3．关于函数()S f θ和()SL f θ
若在不考虑偏移量0x 的前提下，并假定探测器面积大到可以认为光束的全部能量都打在探测器面上，那么可以给出函数()S f θ和()SL f θ的表达式。

2
22()/2022
200
()/2{2[(/)1/2]}S
x
y d S S S
S S S S f R A e
dS
R A d d d i θπ-+==⋅Φ-⎰
(1.31)
22
0(
)sin ()22000()2)cos(){2[()1/2]}S
d SL S L SL f R A A e
d πθλθϕ-=∆⋅Φ- (1.32)
考虑0x (1.32)式变为
22
022
02
22(1)
(
)sin ()2
00002000022
2sin()
()2)cos()
{2[1/2]}{)()}S
S
S
x d d d d SL S L SL S S
S S
x d f R A A e
e
d x x d d πθλπθθϕλ-
--=⋅∆+⋅⋅Φ-⋅Φ--Φ-
(1.33)
上图中，应变量是最终解调后的有用信号电流，曲线a 、b 、c 分别对应由式(1.32)、式(1.33)及数值积分式所得的结果。

可以看出在400rad μ附近，0x 对信号电流有较大的影响，不能忽略。

上图中， 220
02220012(1)2322sin(),cos()
S S S S
x d d d SL x d B d B e B B πθλϕ--=⋅==∆+ (1.34) 由式(1.33)和上图可以看出，在考虑0x 的前提下，会引入两项影响较大的因子1B 和2B ；1B 为影响相位的因子，影响较大，2B 为影响振幅的因子，影响较小。

考虑最终解调后的信号与角度θ的对应关系曲线，a 对应不考虑0x 的曲线，b 对应考虑0x 的曲线，如下图示。

接下来两张图，前一张是上图中曲线()a b -；后一张是初始偏角200,200x y rad rad θμθμ==，偏转角幅度10m rad θμ=时，最终解调的信号，a 、b 同上述情况。

后一张
不同光路长度下的电流差值
下图表示不同的偏转角幅度下，最终输出信号最大的电流差值。