第十章 (图与网络分析)要点
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10.16 在如图10-9 所示的网格中，每弧旁的数字是（cij，fij）。
(1)确定所有的数集；
(2)求最小截集的容量；
(3)证明指出的流是最大流。
10.17求如图10-10 所示的网络的最大流（每弧旁的数字是（cij，fij）。
10.18用Ford-Fulkerson的标号算法求图10-11中所示各容量网络中从Vs到Vt的最大流，并标出个网络的最小割集。图中各弧旁数字为容量 ，括弧中为流量 。
表10-2
城市
Pe
T
Pa
M
N
L
Pe来自百度文库
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10.9 有九个城市 ,其公路网如图10—4所示。弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从 运到 ，问走那条路最短？
10.10 用标号法求图10—5中V1到各点的最短路。
10.11 用Dijksrea方法求图10—6中V1到各点的最短距离。
10.12求图10-7中从V1到各点的最短路。
10.13在图10—8中
(1)用Dijkstra 方法求从V1到各点的最短路；
(2)指出对V1来说那些顶点是不可到达的。
10.14 已知八口海上油井，相互间距离如表10-2所示。已知1号井离海岸最近，位5浬。问从海岸经1号井铺设油管将各油井连接起来，应如何铺设使输油管线长度为最短（为便于计算和检修，油管只准在各井位处分叉）。
10.5 十名研究生参加六门课程的考试。由于选修的课程不同，考试门数也不一样。表10—1给出了每个研究生应参加考试的课程（打Δ号的）。规定考试应在三天内结束，每天上下午各安排一门。研究生们提出希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在每一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在中午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
10.22 设G=（V,E）是一个简单图，令δ（G）= (称δ（G）为G的最小次)。证明：
（1）若δ（G） 2，则G必有图；
（2）若δ（G） 2，则G必有包含至少δ（G）+1条边的图。
10.23 设G是一个连通图，不含奇点。证明：G中不含割边。
10.24 给一个联通赋权图G，类似于求G的最小支撑树的Kruskal方法，给出一个求G的最大支撑树的方法。
表10-2 各油井间距离单位：km
从 到
2
3
4
5
6
7
8
1
1.3
2.1
0.9
0.7
1.8
2.0
1.5
2
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0.7
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0.9
1.1
0.8
6
0.6
1.0
7
0.5
10.15 设某公司在六个城市c1,…, c6 有分公司，从ci到cj的直达航线票价记在下面矩阵的（i，j）位置上（∞表明无直达航线，需经其他城市中转）。请帮助该公司设计一张任意两城市的票价最便宜的路线表。
第十章
精典
10.1 证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列：
（1）7,6,5,4,3,2
（2）6,6,5,4,3,2,1
（3）6,5,5,4,3,2,1
10.2 已知9个人 中， 和两个人握过手， 各和四个人握过手， 各和五个人握过手， 各和六个人握过手，证明这九个人中一定可以找出三个人互相握过手。
表10-1
考试课程
研究生
A
B
C
D
E
F
1
Δ
Δ
Δ
2
Δ
Δ
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Δ
Δ
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Δ
Δ
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10.6 用破圈法和避圈法找出图10-2的一个支撑树。
10.7 用破圈法和避圈法求图10—3中各图的最小树。
10.8 已知世界6大城市：（Pe）、（N）、（Pa）、（L）、（T）、（M）。试在由表10—1所示交通网络的数据中确定最小树。
10.25 下述论断正确与否：可行流f的流量为零，即v(f)= 0，当且仅当f是零流。
习题答案及详解
10.1 证明
（1）由图的性质定理知，任一个图中，奇点的个数为偶数。7，6，5，4，3，2中存在3个奇数，所以不可能是某个图的次的序列，更不是某个简单图的次的序列。
【或者】假设7，6，5，4，3，2为某个简单图的次的序列，则图中有6个点，作为简单图点的最大次数为n-1，即最大次数为5，显然与存在点的次数为7矛盾。所以，7，6，5，4，3，2又是简单图的次的序列。
（2）由定理知，任一个图G=(V，E)中，所有点的次数之和是边数的两倍，即图中点次的和为偶数。序列6，6，5，4，3，2，1的和为27，所以它不可能是一个图的次的序列，更不可能是某个简单图的次的序列。
【或者】假设6，6，5，4，3，2，1为某个简单图的次的序列，则图中存在7个点，不妨设为 ， ， ， ， ， ， ，其中 ， 次为6，表明 ， 与除自身外的剩余6个点均相连。即 ， ， ， ， 的次不少于2，与 的次为1矛盾。所以，6，6，5，4，3，2，1不是某个简单图的次的序列。
10.19 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人。有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文。问最多有几人能得到招聘，有分别被聘任从事那一文种的翻译。
10.20求图10-12中从s→t的最小费用最大流，各弧旁数字为（ ， ）。
10.21 图10-13中，A、B为出发点，分别有50 和40 单位物资往外发运，D、E为收点，分别需要物资30 和60 单位，C为中转点，各弧旁数字为（ ， ）。求满足上述收发量要求最小费用流。
10.3 有八种化学药品A、B、C、D、P、R、S、T要放进储藏室保管。出于安全原因，下列各组药品不能储存在同一室内：A-R、A-C、A-T、R-P、P-S、S-T、T-B、T-D、B-D、D-C、R-S、R-B、P-D、S-C、S-D问储存这八种药品至少需要多少间储藏室。
10.4 已知有十六个城市及他们之间的道路联系（见图10-1）。某旅行者从城市A出发，沿途依次经过J、N、H、K、G、B、M、I、E、P、F、C、L、D、O、C、G、N、H、K、O、D、L、P、E、I、F、B、J、A，最后到达城市M。由于疏忽，该旅行者忘了在图上标明各城市的位置，请应用图的基本概念及理论，在图10—1中标明各城市A~P的位置。
(1)确定所有的数集；
(2)求最小截集的容量；
(3)证明指出的流是最大流。
10.17求如图10-10 所示的网络的最大流（每弧旁的数字是（cij，fij）。
10.18用Ford-Fulkerson的标号算法求图10-11中所示各容量网络中从Vs到Vt的最大流，并标出个网络的最小割集。图中各弧旁数字为容量 ，括弧中为流量 。
表10-2
城市
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10.9 有九个城市 ,其公路网如图10—4所示。弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从 运到 ，问走那条路最短？
10.10 用标号法求图10—5中V1到各点的最短路。
10.11 用Dijksrea方法求图10—6中V1到各点的最短距离。
10.12求图10-7中从V1到各点的最短路。
10.13在图10—8中
(1)用Dijkstra 方法求从V1到各点的最短路；
(2)指出对V1来说那些顶点是不可到达的。
10.14 已知八口海上油井，相互间距离如表10-2所示。已知1号井离海岸最近，位5浬。问从海岸经1号井铺设油管将各油井连接起来，应如何铺设使输油管线长度为最短（为便于计算和检修，油管只准在各井位处分叉）。
10.5 十名研究生参加六门课程的考试。由于选修的课程不同，考试门数也不一样。表10—1给出了每个研究生应参加考试的课程（打Δ号的）。规定考试应在三天内结束，每天上下午各安排一门。研究生们提出希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在每一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在中午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
10.22 设G=（V,E）是一个简单图，令δ（G）= (称δ（G）为G的最小次)。证明：
（1）若δ（G） 2，则G必有图；
（2）若δ（G） 2，则G必有包含至少δ（G）+1条边的图。
10.23 设G是一个连通图，不含奇点。证明：G中不含割边。
10.24 给一个联通赋权图G，类似于求G的最小支撑树的Kruskal方法，给出一个求G的最大支撑树的方法。
表10-2 各油井间距离单位：km
从 到
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10.15 设某公司在六个城市c1,…, c6 有分公司，从ci到cj的直达航线票价记在下面矩阵的（i，j）位置上（∞表明无直达航线，需经其他城市中转）。请帮助该公司设计一张任意两城市的票价最便宜的路线表。
第十章
精典
10.1 证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列：
（1）7,6,5,4,3,2
（2）6,6,5,4,3,2,1
（3）6,5,5,4,3,2,1
10.2 已知9个人 中， 和两个人握过手， 各和四个人握过手， 各和五个人握过手， 各和六个人握过手，证明这九个人中一定可以找出三个人互相握过手。
表10-1
考试课程
研究生
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10.6 用破圈法和避圈法找出图10-2的一个支撑树。
10.7 用破圈法和避圈法求图10—3中各图的最小树。
10.8 已知世界6大城市：（Pe）、（N）、（Pa）、（L）、（T）、（M）。试在由表10—1所示交通网络的数据中确定最小树。
10.25 下述论断正确与否：可行流f的流量为零，即v(f)= 0，当且仅当f是零流。
习题答案及详解
10.1 证明
（1）由图的性质定理知，任一个图中，奇点的个数为偶数。7，6，5，4，3，2中存在3个奇数，所以不可能是某个图的次的序列，更不是某个简单图的次的序列。
【或者】假设7，6，5，4，3，2为某个简单图的次的序列，则图中有6个点，作为简单图点的最大次数为n-1，即最大次数为5，显然与存在点的次数为7矛盾。所以，7，6，5，4，3，2又是简单图的次的序列。
（2）由定理知，任一个图G=(V，E)中，所有点的次数之和是边数的两倍，即图中点次的和为偶数。序列6，6，5，4，3，2，1的和为27，所以它不可能是一个图的次的序列，更不可能是某个简单图的次的序列。
【或者】假设6，6，5，4，3，2，1为某个简单图的次的序列，则图中存在7个点，不妨设为 ， ， ， ， ， ， ，其中 ， 次为6，表明 ， 与除自身外的剩余6个点均相连。即 ， ， ， ， 的次不少于2，与 的次为1矛盾。所以，6，6，5，4，3，2，1不是某个简单图的次的序列。
10.19 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人。有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文。问最多有几人能得到招聘，有分别被聘任从事那一文种的翻译。
10.20求图10-12中从s→t的最小费用最大流，各弧旁数字为（ ， ）。
10.21 图10-13中，A、B为出发点，分别有50 和40 单位物资往外发运，D、E为收点，分别需要物资30 和60 单位，C为中转点，各弧旁数字为（ ， ）。求满足上述收发量要求最小费用流。
10.3 有八种化学药品A、B、C、D、P、R、S、T要放进储藏室保管。出于安全原因，下列各组药品不能储存在同一室内：A-R、A-C、A-T、R-P、P-S、S-T、T-B、T-D、B-D、D-C、R-S、R-B、P-D、S-C、S-D问储存这八种药品至少需要多少间储藏室。
10.4 已知有十六个城市及他们之间的道路联系（见图10-1）。某旅行者从城市A出发，沿途依次经过J、N、H、K、G、B、M、I、E、P、F、C、L、D、O、C、G、N、H、K、O、D、L、P、E、I、F、B、J、A，最后到达城市M。由于疏忽，该旅行者忘了在图上标明各城市的位置，请应用图的基本概念及理论，在图10—1中标明各城市A~P的位置。