第四章 动态电磁场I-基本理论与准静态电磁场-2013new
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第4章 动态电磁场Ⅰ：基本理论与准静态电磁场
et
E2t E1n
E2
2
[1]
B E dl t dS l S
l1
P
1
E1t
E2n
en
B E1t l1 E2t l1 l1l2 t
e en et
B E1t E2t l2 t
A 2 A 2 J c t
2
非齐次波动方程 达朗贝尔方程
2 2 2 t
1
2
1 A 2 A 2 2 J c t 1 2 2 2 2 t
A E t
A E 0 t
A E t
4.4.2 非齐次波动方程
D H J c t
B A E A J c t B H D E A 2 A ( A) A E t 2 A ( A) 2 A J c ( ) 2 t t
S V
P jQ
复坡印廷矢量
* S EH
媒质吸收的有功功率密度等于电磁功率流面密度矢量 的平均值 T 1 Sav S r , t dt T0
基于场的分析，相应的等值电路参数
P 1 R 2 2 Re S dS I I S
坡印廷定理
动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系 W/m2 坡印廷矢量
表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量
电磁功率流面密度矢量
4.3.2 时谐电磁场的坡印廷定理
第4章_动态电磁场Ⅰ：基本理论与准静态电磁场
S
( J J d ) dS 0
(J J d ) 0
上式称为全电流连续性原理。它包括了传导电流、运 流电流及位移电流。 位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说 是电场的时间变化率。
对于静电场，由于 D 0 ，自然不存在位移电流。 对于时变电场，电场变化越快，产生的位移电流 密度也越大。 动画 已知传导电流密度 Jc E，因此 在电导率较低的介质中 J d J c 在良导体中
或
en H J S
理想导体与理想介质分界面上的边界条件
et
1
E1 0
H 2t
K
H2t = - K
E2t= 0
en
H1 0
P
D2n
B2n= 0
D2n =
8. 正弦电磁场
正弦电磁场的场强方向与时间无关，但其大 小随时间的变化规律为正弦函数，即
E (r , t ) Em (r )cos( t ψe (r ))
(4) 损耗角正切 tan 用来表征电介质中损耗的特性
tan
tan << 1 —— 低损耗介质 受潮 损耗 tan tan >> 1 —— 良导体 有损耗 tan 0 无损耗tan = 0
4.1.2 动态电磁场的边界条件
D H J c t B E t B 0 D
J d J c
t
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述 安培环路定律变为
l
H dl ( J J d ) dS
S
即
l
H dl ( J
《电磁场与电磁波》准静态电磁场
导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
准静态电磁场优秀课件
基本方程组（微分形式）：
E 0 , H J D , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
11.10.2020
2
求解方法：分两步 1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解
电荷 静电场公式
分布
Ｅ、Ｄ
HJD,B0 t
5.2 磁准静态场与电路 MQS Filed and Circuit
1 证明基尔霍夫电流定律
在 MQS 场中， H J J 0J dS 0 S
S J dS S 1 J 1 d S S 2J 2d S S 3J 3 d S
i1i2i30
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
E
U
ln(b/
a)
e
H
I
2
e
a
I
b H
S E
SE H *22U lIn*b/(a)ez
P RS 2 e2 U [ l I * b n /a )d (] S Ra be lU I b n [ * /a )d (] R U I * e ] [
荷决定。
11.10.2020
15
例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
形自由电荷云，球内电荷密度为ρ0。问电荷驰豫过程中
电位如何分布？
z
解:
'
3a2 r2
5
求解方法：分两步 1）磁场的求解静态场的公式 2）电场的求解通过磁准静态场的基本方程求解
BA, EA
第四章 动态电磁场1：基本理论与准静态电磁场
B dS 0 B1n B2n
S
表明：两种磁媒质分界面上的磁感应 强度的法向分量是连续的。 2）磁场强度的旋度方程：
H dl J dS
l S
K 0 H1t H 2t K H1t H 2t
表明：在分界面不存在宏观的自由面电 流分布（K=0）的条件下，两种介质分界 面上的磁场强度的切向分量是连续的。
D ( ) t
是有限量，两种介质分界面上的 磁场强度的切向分量依然是连续 的。
H1t H 2t K
图3-30 H的旋度方程 对应的边界条件
3）动态电磁场分界面上的边界条件: 实际上，媒质分界面上
D B ( ) 和 ( ) t t
总是有限量。
动态电磁场的边界条件为：
jt jt E (r , t ) Re [ Em (r )e ] Re [ 2 E (r )e ]
4. 时谐电磁场麦克斯韦方程组的复数表示：
H J c jD E jB B 0 D
思考题与作业 例题4-2 备注
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
一 时谐电磁场的定义： 二 时谐电磁场的复数表示：
以电场强度为例，推导其复数表示。 1. 时谐电磁场的三要素：振幅、频率、相位 在电路中，正弦量有三个要素：振幅、频率、相位
i(t ) 2I cos(t ) I Ie j di(t ) 2I sin(t ) j I j Ie j dt
结论：频率形式的麦克斯韦方程组不含场量对时间的偏导， 分析更加简单。 5. 请同学们自己学习时谐电磁场有损媒质中的复数表示！！
准静态电磁场PPT讲稿
Ｈ、Ｂ
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
静态电磁场的基本理论和应用
静态电磁场的基本理论和应用静态电磁场是指场的物理量随时间变化极其缓慢，可以近似看作是不变的电磁场。
静态电磁场具有宏观上常见的电学和磁学效应，是电学和磁学的基础。
静态电磁场的基本理论包括静电场和静磁场的产生和作用，以及带电粒子在静态电磁场中的运动规律。
静态电磁场的应用非常广泛，例如在电力工业、通讯工程和物理实验室等领域，静态电磁场都发挥着重要的作用。
1. 静电场的产生和作用静电场是由电荷引起的场。
当电荷分布不均匀或者有电荷运动时，就会产生静电场。
电荷具有相互排斥作用和相互吸引作用，因此静电场的效应包括电场力和电场能。
电场力是指电场对电荷施加的力，可以方便地通过库仑定律计算。
电场能是指电荷在电场中位移所获得的能量，可以表示为$W=\int{\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 dV}$。
其中，$\epsilon_0$是真空介质常数，$E$是电场强度，$V$是场的体积。
静电场的应用非常广泛，例如在电力工业中，静电场运用于高压直流输电、电能贮存和防雷等方面。
在通讯工程中，静电场对电磁波的传输和接收也起着重要作用。
此外，静电场在物理实验室中常用于制备和测量微小粒子，例如通过静电引力操纵带电颗粒进行实验。
2. 静磁场的产生和作用静磁场是由磁荷引起的场。
目前并没有发现独立存在的磁荷，因此实际上静磁场是由电流所产生的。
通过安培环路定理和比奥-萨伐尔定律，我们可以方便地计算静磁场的大小和方向。
静磁场的效应包括磁场力和磁场能。
磁场力是指磁场对运动带电粒子的作用力，可以表示为$F=qv\times B$。
其中，$q$是粒子带电量，$v$是粒子速度，$B$是磁场强度。
磁场能是指运动带电粒子在磁场中位移所获得的能量，可以表示为$W=\int{\frac{1}{2\mu_0}B^2 dV}$。
其中，$\mu_0$是真空磁导率，$B$是磁场强度，$V$是场的体积。
静磁场的应用也非常广泛，例如在电力工业中，静磁场运用于电机、变压器和电力电子器件等方面。
电磁场理论基础第4章PPT课件
1 2
C 1
D2
1 2
C1 b
33
第四章 恒定电流的电场和磁场
所以得
1
C1 r
C2
C
1
1 a
1 r
U
0
1 a
1 c
U0 1
2
1 c
1 b
1 r
1 c
2 1
1 a
U0
1 c
1 c
1 b
1 c
1 b
2 12a11cU01cb11rb1
34
第四章 恒定电流的电场和磁场
导体表面上总的场强为
E Et2En2 0.565 V/m
电场强度与导体表面的夹角为
aarctEgt 19.5 En
V/m
27
第四章 恒定电流的电场和磁场
例 4.2 设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导 率分别为σ1和σ2的导电媒质, σ1、σ2远小于金属球的电导率。 σ1≈σ2, 为常数。导体球及导电媒质的半径如图4-8所示。内外球间 加有直流电压U0, 极性如图。试求两区域中恒定电场的电流、 电 流密度、电场强度及电位的分布。
tg1 tg2
1 2
11007101
017
22
第四章 恒定电流的电场和磁场 3. 第一种媒质为理想介质, 第二种媒质为导体
图 4-6 理想介质与导体交界面的电场强度
23
第四章 恒定电流的电场和磁场
E1 E12n E12t
由上式可知E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于σ2有限, 导体中沿电流方向存在电 场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂 直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场 与静电场有根本的区别。然而σ2越大, E2t和E1t越小, θ1也越小, 直 至σ2=∞时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。
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4.4 电磁位
重点内容回顾及 静态电磁场中电磁位的定义和作
疑难解答
用
主要知识点 教 学 内 重点和难点 容
电磁位-洛伦兹规范、电磁位的 非齐次波动方程。时谐电磁场非 齐次波动方程及其求解方法。
动态电磁场非齐次波动方程的 建立及求解
思考题与作业 作业4-5
备注
了解非齐次波动方程在动态电磁 波分析中的重要作用。
5. 请同学们自己学习时谐电磁场有损媒质中的复数表示！！
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例：4-2
写出下列与时谐电磁场对应的复矢量或瞬时矢量：
1）H x
jH 0 sin cos(x cos )e jzsin
2）E
ey
E
ym
c
os
(t
x
)
ez Ezm sin(t x )
• 边界条件与媒质无关，类似于电路中的网络拓扑结构 的约束。
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4）在理想导体与介质交界面上的边界条件:
在理想导体（媒质1）与介质（媒质2）交界面上的边界条
件为：
H2t K
E2t 0
B2n 0
D2n
结论：理想导体与介质在不同媒质分界面上:
二 动态电磁场边界条件求取：
1.对比动态电磁场和静态电磁场的基本方程:
D
H
Jc
t
E
B
t
•B 0
•D
H
Jc
E 0
•B 0
•D
可知：仅旋度方程有异，所以仅需推导场量的切向 分量之间的关系。
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2.动态电磁场边界条件求取: 1）电场强度的旋度方程：
S EH
表征：单位时间内穿过单位面积的电磁能量，还描述了该电 磁功率流的空间流动方向，可以对动态电磁场的功率和能量 传播进行计算和分析。
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三 时谐电磁场的电磁能量：
1. 时谐电磁场中，导电媒质吸收的复功率体密度：
E Jc* E ( H jD)* E ( H* jD*)
Wm
V
(1 2
vv H gB)dV
磁场能量分布密度为：
wm
1 2
vv H gB
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二 动态电磁场的电磁能量：
1. 坡印廷定理 坡印廷定理的物理意义：动态电磁场中，单位时间内穿过闭 合曲面S流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量W的 增加率和电磁场能量的消耗率。反映了动态电磁场能量守恒 和功率平衡关系。 2. 坡印廷矢量
t
A 位函数组
被称为动态电磁场的电磁位。
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2. 洛伦兹规范
与恒定磁场取库伦规范不同，在动态电磁场中，我们将定义
洛伦兹规范。
2 A
2A t 2
( •
A
)
t
J c
(1)
2
( •
A)
(2)
t
上述两个二阶偏微分方程，对 A 的散度规范不同，方
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4.4.1 电磁位-洛伦兹规范
一 电磁场分析中引入位函数的作用：
在恒定磁场的分析中，基于恒定磁场的无散性， 定义了矢量磁位函数，由求得的矢量磁位，最终 可以算的待求场点处的磁感应强度。
矢量磁位的引入没有任何具体的物理意义，是 一个纯粹的计算辅助量，但在磁场问题的分析计 算中，基于矢量磁位的分析计算更为方便。
——角频率；
Exm , E ym , Ezm ——电场强度三个分量的振幅（最大值）；
x , y ,—z—电场强度在直角坐标系下三个分量的初相位；
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3. 电场强度的相量表示方法：
Ev&m (rv) evx Exm (rv)e jx evy Eym (rv)e jy evz Ezm (rv)e jz evxEv&xm (rv) evy Ev&ym (rv) evz Ev&zm (rv)
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例：4-3 用坡印亭矢量分析直流电源U0沿同轴电缆向负载R 传送能量的过程。设电缆为理想导体，内导体半 径为a，外导体的内外半径分别为b和c。
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图 同轴电缆实物和结构图
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结论：只要 限大，
(
B t
)
不是无
电场强度的切向分量依
然是连续的，即
E1t E2t
图2-14 E的旋度方程 对应的边界条件
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2）磁场强度的旋度方程:
图3-30 H的旋度方程 对应的边界条件
结论：只要在分界面上
D ( t ) 是有限量，两种介质 分界面上的磁场强度 的切向分量依然是连 续的。
程组形式也不同。
方程如，果但取（库1伦）规中范A
•
与
A
0 ，式（2）可简化为泊松
仍然耦合。
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2 A
2 A ( • t 2
A
)
t
J c
取（1）式中梯度项为零，得到 A 的散度规范（也称洛伦兹
v
dE 2E(rv) sin(t ) jEv& jE(rv)e j
dt HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY
2. 电场强度在直角坐标系下的表示方法：
Ev(rv,t) evxEx evy Ey evz Ez
evxExm (rv) cos[t x (rv)] evyEym (rv) cos[t y (rv)] evz Ezm (rv) cos[t z (rv)]
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4.3 电磁场能量-坡印廷定理
一 静态电磁场中电磁能量：
1.在恒定电流场中，电功率体密度为：
p
dP dV
EJ c
E2
Jc2
一般形式为：
p E • Jc
上面两式被称为焦耳-楞次定律的微分形式。 在恒定电场中，导电媒质吸收的电功率以焦耳热形式体现。
2.分界面上磁场强度的边界条件: 1）磁感应强度的散度方程：
B dS S
0 B1n
B2n
2）磁场强度的旋度方程：
l H dl SJ dS
K0
H1t H 2t K H1t H 2t
图3-30 H的旋度方程 对应的边界条件
HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY
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2.静电场中，静电能量的分布密度为：
静电能量：
We
V
(1 2
vv DgE)dV
静电能量分布密度为：
we
1 2
vv DgE
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3.恒定电流引起的磁场中，磁场能量的分布密度为：
磁场能量：
电路中正弦量的三要素
主要知识点 教 学 内 重点和难点 容
思考题与作 业 备注
时谐电磁场的麦克斯韦方 程组和媒质特性的复数构成 方程
时谐电磁场的复数表示
例题4-2
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4.2.1 时谐电磁场的复数表示
一 时谐电磁场的定义：
二 时谐电磁场的复数表示：
同样在动态电磁场中，定义辅助位函数可以简 化麦克斯韦方程组的求解。
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二 动态电磁场的电磁位-洛伦兹规范：
1. 动态电磁场的电磁位 定义动态矢量位 A（单位：韦/米）的辅助矢量函数：
B A
定义一个动态标量位 （单位：伏）的辅助矢量函数：
E
A
电场强度的瞬时矢量和复矢量的关系：
E(r,t) Re[Em (r)e jt ] Re[ 2E(r)e jt ]
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4. 时谐电磁场麦克斯韦方程组的复数表示：
H Jc jD E jB
• B 0
• D
结论：频率形式的麦克斯韦方程组不含场量对时间的偏导， 分析更加简单。
主要知识点 教 学 内 容 重点和难点
动态电磁场的麦克斯韦方程组 和媒质特性的构成方程.
动态电磁场中不同媒质分界面 上的边界条件。
动态电磁场中不同媒质分界面 上的边界条件
思考题与作业 例题4-1；作业4-1、4-2 备注
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4.1.1 动态电磁场的基本方程
HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY
4.3 电磁场能量-坡印廷定理
重点内容回顾及 疑难解答
静态电磁场中电磁能量
主要知识点 教 学 内 容 重点和难点
坡印廷矢量的物理意义、 时谐电磁场中复坡印廷矢量 的表示方法以及坡印廷矢量 的应用。
时谐电磁场中坡印廷矢量的 表示方法。
思考题与作业 例题4-3，作业4-3 备注
2. 时谐电磁场的坡印廷定理
微分形式 E H*) E Jc* j(B H* E D*)
积分(E形式H)
dS
[E Jc* j(B H* E D*)]dV