电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第4章习题解答
电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答
如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无穷长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上面盖板的电位为，求槽内的电位函数。
解依据题意，电位知足的界限条件为①②③依据条件①和②，电位的通解应取为题图由条件③，有两边同乘以，并从0 到对积分，获得故获得槽内的电位散布两平行无穷大导体平面，距离为，此间有一极薄的导体片由到。
上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。
设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。
yboydyoy题图解应用叠加原理，设板间的电位为此中，为不存在薄片的平行无穷大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片刻的电位，其界限条件为：①②③依据条件①和②，可设的通解为由条件③有两边同乘以，并从0 到对积分，获得故获得求在上题的解中，除开一项外，其余全部项对电场总储能的贡献。
并按定出边沿电容。
解在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷相应的电场储能为其边沿电容为如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解依据题意，电位知足的界限条件为①题图②③依据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0 到对积分，获得故获得槽内的电位散布为一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填补密度为的电荷。
求体积内的电位。
解在体积内，电位知足泊松方程（ 1）长方体表面上，电位知足界限条件。
由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（ 2）由式（ 2），可得故如题图所示的一对无穷大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其地点为。
求板间的电位函数。
解因为在处有一与轴平行的线电荷，认为界将场空间切割为和两个地区，则这两个地区中的电位和都知足拉普拉斯方程。
而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。
电位的界限条件为题图①②③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（ 1）（ 2）由式（ 1），可得（ 3）将式（ 2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（ 3）和（ 4）解得故如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。
电磁场与电磁波理论第二版徐立勤,曹伟第2章习题解答
电磁场与电磁波理论第二版徐立勤,曹伟第2章习题解答第2章习题解答2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0Va ρρρρ=，()0a ρ≤≤。
试求总电量Q 。
解：2π200002d d d d π3laV VQ V z la aρρρρρ?ρ===?2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。
当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求其表面上的面电流密度。
解：面电荷密度为 204πS QR ρ=面电流密度为 00200sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθρρωθωθ=?=== 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。
已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试求0S J 。
解：每根导线的体电流密度为 00224π(/2)πI I J d d== 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为04πS IJ Jd d ==因此，等效面电流密度为04πS IJ e d=2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。
为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。
当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。
由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为实验电荷受0q 的排斥力为要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由00222114π4π()q q x d x εε=-，可以解得如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.0122=+=。
只是这时实验电荷与0q 和02q 不是排斥力，而是吸引力。
2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。
解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电场为2.9半径为0R 的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为0S ρ，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为0R 的半球内，再求球心处的电场强度。
电磁学第二版习题答案第四章
j
δ
=
ρ I 3.14 ×10−8 × 20 = = 0.2 V 2 −3 2 m πR 3.14 × (10 )
4.3.5 铜的电阻温度系数为 4.3 ×10−3 / 0C ，在 0 0C 时的电阻率为 1.6 ×10−8 Ω ⋅ m ，求直径为 5mm、长 为 160km 的铜制电话线在 25 0C 时的电阻。
b a
ρ dx ρ 1 1 ρ (b − a) = ( − )= 2 4π r 4π a b 4π ab
ρ dx 4π r 2
4.3.4 直径为 2mm 的导线由电阻率为 3.14 ×10−8 Ω ⋅ m 的材料制成，当 20A 的电流均匀地流过该导 体时，求导体内部的场强。
解：根据 j = δ E ，得 E =
lρ ⎡ 1 1 ⎤ lρ − = π (b − a) ⎢ ⎣a b⎥ ⎦ π ab lρ l =ρ 2 s πa
当 a = b 时： R =
4.3.3 球形电容器内外半径为 a 和 b，两极板间充满电阻率为 ρ 的均匀物质，试计算该电容器的漏 电电阻。 解：对漏电电阻，其内部电极电位差，电流沿径向从高电位向低电位流过，则有： dR = 积分得： R = ∫ dR = ∫
（a） Rab = 1K Ω ， （b） Rab = 4.5Ω （c） Rab = 1.2Ω （d） Rab = 7.4Ω （e） Rab = 5Ω （f） Rab = 1.5Ω （g） Rab = 14Ω
4.2.3 当附图中的 R1 为何值时 A、B 间的总电阻恰等于 R0？ 解：由 R总 = R1 +
U = 0.01× 103 = 10(V ) ， U 额 = RW =
2 P 100 = 0.01 × 100 = 0.01(W )
电磁场理论 答案 习题4
( evr
2 cosθ
+
evθ
sin θ
)
4-5 接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起，在点 (0,0, d ) 处有一个
点电荷 q (如图 4-3)，求导体上方的电
z
位。
d·q
解：计算导体上方的电位时，要保持导 体平板部分和半球部分的电位都为零。先找平
面导体的镜像电荷 q1 = −q ，位于 (0,0,−d )
k Q2
所以在整个过程中，外力作的总功为
8πε 0d
. 也可以用静电能计算，在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互 w 作用能：
wwW
=
1 2
q1ϕ1
+
1 2
q2ϕ
2
=
1 Q
2
4π
−Q ε0 (2d )
+
1 (−Q) 2 4π
−Q ε0 (2d )
=
− Q2 8π ε0d
移动点电荷到无穷远以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作
h 4-3 证明：一个点电荷 q 和一个带有电荷 Q 、半径为 R 的导体球之间的作用力为
.kF
=
q 4π ε 0
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
Q
+ D
Rq
D
2
−
DRq (D2 − R2 )2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
w⎣
⎦
其中 D 是 q 到球心的距离 (D > R) 。
ww证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电 Q ，必须在导体球内
om 处。再找球面镜像电荷 q2 = −aq / d ，位于
a b·q2 ·
－b·q3
电磁场与电磁波课后复习题与答案四章复习题解答
四章习题解答4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽的电位函数。
解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为① (0,)(,)0y a y ϕϕ== ② (,0)0x ϕ=③ 0(,)x b U ϕ=根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a aππϕ∞==∑ 由条件③，有01sinh()sin()n n n b n x U A a aππ∞==∑ 两边同乘以sin()n xaπ，并从0到a 对x 积分，得到 002sin()d sinh()an U n xA x a n b a aππ==⎰ 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩L L ， 故得到槽的电位分布 01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n xx y n n b a a aππϕππ==∑L 4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。
上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。
设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。
a题4.1图解 应用叠加原理，设板间的电位为(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+其中，1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即10(,)x y U y b ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：① 22(,0)(,)0x x b ϕϕ== ② 2(,)0()x y x ϕ=→∞③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b db ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为 21(,)sin()e n x b n n n y x y A b ππϕ∞-==∑ 由条件③有 00100(0)sin()()n n U U y y d n y bA U U b y y d y b db π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑两边同乘以sin()n yb π，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d bn d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d bππ 故得到 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x bn U bU n d n y y b d n b b ππππ∞-=+∑ 4.3 求在上题的解中，除开0U y b 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。
电磁场与电磁波习题答案资料讲解
电磁场与电磁波习题答案第四章习题解答★【4.1】如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为① (0,)(,)0y a y ϕϕ==；② (,0)0x ϕ=； ③ 0(,)x b U ϕ= 根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a a ππϕ∞==∑ 由条件③，有 01sinh()sin()n n n b n xU A a a ππ∞==∑两边同乘以sin()n xa π，并从0到a 对x 积分，得到002sin()d sinh()an U n x A x a n b a a ππ==⎰ 02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故得到槽内的电位分布 01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()n U n y n xx y n n b a a aππϕππ==∑4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。
上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。
设在薄片平面上，从0=y 到d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。
解 应用叠加原理，设板间的电位为(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+其中，1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即10(,)x y U y b ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：22(,0)(,)0x x b ϕϕ==① 2(,)0()x y x ϕ=→∞②③ 002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b db ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩； 根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为21(,)sin()en x bn n n yx y A b ππϕ∞-==∑；由条件③有 00100(0)sin()()n n U U y y d n y b A U U b y yd y b db π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑两边同乘以sin()n ybπ，并从0到b 对y 积分，得到 0002211(1)sin()d ()sin()d d bn d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d bππ 故得到 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x b n U bU n d n y y b d nb b ππππ∞-=+∑ 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位0U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
电磁场与电磁波第二版课后答案
电磁场与电磁波第二版课后答案本文档为《电磁场与电磁波》第二版的课后答案，包含了所有章节的练习题的答案和解析。
《电磁场与电磁波》是电磁学领域的经典教材，它讲述了电磁场和电磁波的基本原理和应用。
通过学习本书，读者可以深入了解电磁学的基本概念和原理，并且能够解决一些相关问题。
第一章绪论练习题答案1.电磁场是由电荷和电流产生的一种物质性质，具有电场和磁场两种形式。
电磁波是电磁场的振动。
电磁辐射是指电磁波传播的过程。
2.对于一点电荷，其电场是以该点为中心的球对称分布，其强度与距离成反比。
对于无限长直导线产生的电场，其强度与距离呈线性关系，方向垂直于导线轴线。
3.电磁场的本质是相互作用力。
电场力是由于电荷之间的作用产生的，磁场力是由于电流之间的作用产生的。
解析1.电磁场是由电荷和电流产生的物质性质。
当电荷存在时，它会产生一个电场，该电荷周围的空间中存在电场强度。
同时，当电流存在时，它会产生一个磁场，该电流所在的区域存在磁场。
电磁波是电磁场的振动传播。
电磁波是由电磁场的变化引起的，相邻电磁场的振动会相互影响，从而形成了电磁波的传播。
电磁辐射是指电磁波在空间中的传播过程。
当电磁波从一个介质传播到另一个介质时，会发生折射和反射现象。
2.在一点电荷产生的电场中，电场强度与该点到电荷的距离成反比，即\(E = \frac{{k \cdot q}}{{r^2}}\)，其中\(E\)为电场强度，\(k\)为电场常数，\(q\)为电荷量，\(r\)为距离。
对于无限长直导线产生的电场，其电场强度与离导线的距离呈线性关系。
当离无限长直导线的距离为\(r\)时，其电场强度可表示为\(E = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \pi \cdot r}}\)，其中\(E\)为电场强度，\(\mu_0\)为真空中的磁导率，\(I\)为电流强度。
3.电磁场的本质是相互作用力。
当两个电荷之间有作用力时，这个作用力是由于它们之间的电场力产生的。
电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤-曹伟)第3章习题解答
第3章习题解答3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=；(3)()2,,sin z A B z Φρϕρϕρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθϕθϕ=。
解：已知空间的电位分布，由E Φ=-∇r r 和20/Φρε∇=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1) ()2x E e Ax B Φ=-∇=-+r r r0202εερA -=Φ∇-=(2) ()x y z E A e yz e xz e xy Φ=-∇=-++r r r r r020=Φ∇-=ερ(3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρϕΦρϕρϕρ⎡⎤=-∇=-+++⎣⎦r r r r20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦεϕϕεϕρρ⎛⎫⎛⎫=-∇=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θϕΦθϕθϕϕ=-∇=-+-r r r r r200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θϕϕρεΦεθϕθθ⎛⎫=-∇=-+- ⎪⎝⎭3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。
试求球心处的电位。
解：上顶面在球心产生的电位为22001111100()()22S S d R d R d ρρΦεε=+-=- 下顶面在球心产生的电位为22002222200()()22S S d R d R d ρρΦεε=+-=- 侧面在球心产生的电位为030014π4πS S SSRRρρΦεε==⎰式中212124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。
因此球心总电位为1230S R ρΦΦΦΦε=++=3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。
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第4章习题解答4.1 电导率为的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为，其表面的电位分布σR 为。
试确定表面上各点的电流密度。
0cos Φθ解：由于导体球的外部是空气，所有在导体球的表面只有切向分量，即0t t t 11sin sin J E e e e R R R θϕθσΦΦΦσσΦσθθθϕ⎛⎫∂∂==-∇=-+= ⎪∂∂⎝⎭4.2 如题4.2图所示平板电容器。
板间填充两种不同的导电媒质，其厚度分别为和，两平板的面积均为。
若在两极板上加上恒定的电压。
试求板间1d 2d S 0U 的电位、电场强度、电流密度以及各分界面上的自由电荷和电容器的漏ΦEJ 电导。
解：理想电容器，满足的定解问题为021==σσ 和 210 Φ∇=220Φ∇=以及12111112120121200x x d d x d x d x d x d V xxΦΦΦΦΦΦεε==+====∂∂====∂∂由直接积分法可以得到电位的通解为 和 1 Ax B Φ=+2Cx DΦ=+由和可以确定出及，则上式电位的表达式为10x Φ==1220x d d V Φ=+=0=B )(210d d C V D +-= 和 1 Ax Φ=2012()Cx V C d d Φ=+-+利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出211201211202d d V C d d V A εεεεεε+=+=因此电位分布为和 2012112V x d d εΦεε=+102110221122112()V d Vx d d d d εεεΦεεεε-=+++而对应的电场强度和电位移矢量为和 2101221xE e V d d εεε=-+ 1201221xE e V d d εεε=-+以及和 12101221xD e d d εεεε=-+ 12201221x D e Vd d εεεε=-+ 根据静电比拟法得到对平板电容器内恒定电场的电位为()E ED J εσΦΦ⇔⇔⇔⇔和 2012112V x d d σΦσσ=+102110221122112()V d V x d d d d σσσΦσσσσ-=+++电场强度为和 2101221x E e d d σσσ=-+1201221x E e Vd d σσσ=-+电流密度矢量为和 12101221xJ e d d σσσσ=-+ 12201221x J e d d σσσσ=-+此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导，有G——极板的面积121221d d d d S SCCJ S E S S I G V d d E l E l σσσσσ⋅⋅====+⋅⋅⎰⎰⎰⎰ A A S 4.3 如题4.3图所示矩形导体片的电导率为，试求导电片上的电位分布σ以及导电片中各处的电流密度。
解：根据题意，定解问题为20Φ∇=以及 00π0 sin0 02nx x ay y byU bΦΦΦΦ====∂====∂于是可以将通解直接选为1212(,)(sinh||cosh||)(sin cos )y y y y x y C k x C k x D k y D k y Φ=++由得到，则0y Φ==02=D 12(,)(sinh ||cosh ||)sin y y y x y C k x C k x k yΦ=+由得到，即。
因此0y byΦ=∂=∂0cos =b k y (21)π,1,2,2y n k n b-== 1(21)π(21)π(21)π(,)sinhcosh sin 222n n n n x n x n yx y C D b b b Φ∞=---⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑由得到，于是0y Φ==0=n D 1(21)π(21)π(,)sinhsin 22n n n x n yx y C b bΦ∞=--=∑再由可以得到0πsin2x ayU ybΦ=∂=∂01π(21)π(21)πsin sinh sin222n n y n a n yU C b b b ∞=--=∑比较系数法可以得到，而其余的系数均为零。
因此，导电片上电位分布为1πsinh2U C a b=0ππ(,)sinh sinπ22sinh 2U x yx y a b b bΦ=利用和可以计算出导电片上各处电流密度分布为E Φ=-∇ E Jσ=0ππππππcosh sin sinh cos π222222sh 2x y x y J E e e x y U x y x y e e a b b b b b b bΦΦσσΦσσ⎛⎫∂∂==-∇=-+ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 4.4 在电导率为的无限大导电媒质中流有电流密度的恒定电流。
今沿轴方向挖一半径为的无限σ0x J J e =z a 长圆孔。
试求空间各处的电位、电场强度和电流密度。
ΦEJ 解：在圆柱坐标系下，均匀电流密度产生的电位为，因此存在空腔的媒质中电位的定J ϕρσcos 0J-(,)Φρϕ解问题为20Φ∇=以及和 0aρΦρ=∂=∂0cos J ρΦρϕσ→∞=-根据分离变量法可以得到问题的通解为001(,)ln [(sin cos )(sin cos )]n n n n n n n A B A n B n C n D n Φρϕρρϕϕρϕϕ∞-==+++++∑代入边界条件可以得到，，即J A σ=-22a J B a A σ==-2(,)(cos J a Φρϕρϕσρ=-+而电流密度为220221(1cos (1)sin z J E e e e z a a J e e ρϕρϕΦΦΦσσΦσρρϕϕϕρρ⎛⎫∂∂∂==-∇=-++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦4.5 如题4.5图所示，厚度为的扇形弧片由两块大小相同但电导率不同的金属片构d 成。
弧片的内外半径分别为和。
当以和作为电极时，加上恒定的电1R 2R AB CD 压后，试求弧片上的电位分布、分界面上的面电荷密度以及极板间的电阻；若0U 以和作为电极，结果又如何？AAD A BC 解：弧片内电流只有分量，即，。
根据边界条件可以e ϕ 11J J e ϕ= 22J J e ϕ=1n 2n J J =得到，即。
而21JJ =2211E E σσ=π/4π/2021120π/4πd d d ()4CDAB U E e l E E E E ϕρϕρϕρ=-⋅=--=-+⎰⎰⎰ 可以解得 201012121244π()π()U U E e E e ϕϕσσσσρσσρ==++金属片1中的电位分布为10120124πd d 0π()4PABU E e l E ϕϕσΦρϕϕϕσσ=-⋅=-=≤≤+⎰⎰ 金属片2中电位分布为π/4201202210π/412124()ππd [d d ] π()()42PABU U E e l E E ϕϕσσσΦρϕρϕϕϕσσσσ-=-⋅=-+=+≤≤++⎰⎰⎰ 面电荷密度为 00021002121124()()()S U J E E εεεσσρεσσπσσρ⎛⎫-=-=-=⎪+⎝⎭电流为 21021021212144d d ln π()π()b S a U U RI J S d R σσσσρσσρσσ=⋅=⋅=++⎰⎰ 根据电阻的定义可得 1222101π()14ln U R R I U R σσσσ+==当电极改置于内圆弧和外圆弧，则，即，因此电位仅为的函数，21E E =12ΦΦ=Φr 1021d d 0() ()0d d R U R r ΦρΦΦρρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭因此电位分布为 021221()ln(/) ln(/)U r R R R R R Φρρ=≤≤于是有 1020111122222121d()()ln(/)d ln(/)U U d J E r J E r d R R R R σσσσΦσσρρρρ==-===-=因此，总电流为12120121221π()ππd d 444ln(/)S S U d I J S J S J d J d R R σσρρ+=+=+=⎰⎰阻抗为211204ln(/)π()R R R U dσσ=+4.6 球形电容器的内球半径为，外球壳的内半径为。
将两种不同的 导电煤质分别填入两个半球，两种导电a b 煤质的 电导率分别为和。
求该电容器的漏电阻。
1σ2σ解：设在上电位为，上电位为零。
根据题意，电位仅为的函数，因此定解问题为a r =Ub r =Φr 221d d 0() ()0d d r a U b r r r ΦΦΦ⎛⎫=== ⎪⎝⎭因此，通解为C D rΦ=-+根据边界条件可以得到ba aU Db a abU C -=-=因此11abU b a r b Φ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭在两种煤质中电流密度分别为2222221111r a b abU E J r a b abU E J σσσσ-==-==因此总电流为1212122πd d ()S S abUI J S J S b aσσ=+=+-⎰⎰于是电容器的漏电阻1212π()b a R ab σσ-=⋅+4.8 半径为的圆柱形导体内的磁场，试求导体中的总电流。
1a =cm 2424.77102210H e ϕρρ--⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭A /m 解： J H =∇⨯ ()42134.77101210z z z ze e e H e e z H H H ρϕϕρϕρρρρρϕρρρ--∂∂∂∂⎛⎫===⨯- ⎪∂∂∂∂⨯⎝⎭2π0.0142003d 4.77101d 0210S I J S ρρρ--⎛⎫=⋅=⨯-= ⎪⨯⎝⎭⎰⎰⎰ 4.14 已知某一电流分布的矢量磁位为224x y z A e x y e y x e xyz=+-求该电流分布及其对应的。
B解：利用矢量磁位满足的泊松方程来求出电流分布为A222222222y x z x y z x y A A A J A e e e e y e xx y z ∂∂∂=-∇=---=--∂∂∂由可以求出磁感应强度为A B⨯∇=22244()y y x x z z x y z x y z A A A A A A B A e e y x e y z z x xy e xz e yz e y x ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯=-+-+- ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--+-。