电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第4章习题解答

第4章习题解答

4.1 电导率为的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为，其表面的电位分布

σR 为。试确定表面上各点的电流密度。

0cos Φθ解：由于导体球的外部是空气，所有在导体球的表面只有切向分量，即

0t t t 11sin sin J E e e e R R R θϕθ

σΦΦΦσσΦσθθθϕ⎛⎫∂∂==-∇=-+= ⎪∂∂⎝⎭

4.2 如题4.2图所示平板电容器。板间填充两种不同的导电媒质，其厚度分别为

和，两平板的面积均为。若在两极板上加上恒定的电压。试求板间

1d 2d S 0U 的电位、电场强度、电流密度以及各分界面上的自由电荷和电容器的漏

ΦE

J 电导。

解：理想电容器，满足的定解问题为

021==σσ 和 210 Φ∇=220

Φ∇=以及

12

1

1

1

1

1212

012

1

2

00x x d d x d x d x d x d V x

x

ΦΦΦΦΦΦεε==+====∂∂====∂∂由直接积分法可以得到电位的通解为 和 1 Ax B Φ=+2Cx D

Φ=+由和可以确定出及，则上式电位的表达式为

1

0x Φ==12

2

0x d d V Φ=+=0=B )(210d d C V D +-= 和 1 Ax Φ=2012()

Cx V C d d Φ=+-+利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出

2

1120

12

1120

2d d V C d d V A εεεεεε+=

+=

因此电位分布为

和 2012112V x d d εΦεε=

+102110

221122112

()V d V

x d d d d εεεΦεεεε-=+++而对应的电场强度和电位移矢量为

和 2

101221

x

E e V d d εεε=-+ 120

1221

x

E e V d d εεε=-+

以及

和 12101221x

D e d d εεεε=-+ 1220

1221x D e V

d d εεεε=-+ 根据静电比拟法得到对平板电容器内恒定电场的电位为

(

)

E E

D J εσΦΦ⇔⇔⇔⇔

和 2012112V x d d σΦσσ=

+102

110

221122112

()V d V x d d d d σσσΦσσσσ-=+++电场强度为

和 2101221x E e d d σσσ=-+

120

1221x E e V

d d σσσ=-+

电流密度矢量为

和 12101221x

J e d d σσσσ=-+ 1220

1221x J e d d σσσσ=-+

此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导，有

G

——极板的面积121221

d d d d S S

C

C

J S E S S I G V d d E l E l σσσσσ⋅⋅====

+⋅⋅⎰⎰⎰⎰ A A S 4.3 如题4.3图所示矩形导体片的电导率为，试求导电片上的电位分布

σ以及导电片中各处的电流密度。解：根据题意，定解问题为

20

Φ∇=以及 00

π0 sin

0 0

2n

x x a

y y b

y

U b

ΦΦ

Φ

Φ

====∂====∂于是可以将通解直接选为

1212(,)(sinh||cosh||)(sin cos )

y y y y x y C k x C k x D k y D k y Φ=++由得到，则

0y Φ

==02=D 12(,)(sinh ||cosh ||)sin y y y x y C k x C k x k y

Φ=+由

得到，即。因此0y b

y

Φ

=∂=∂0cos =b k y (21)π

,1,2,2y n k n b

-=

= 1(21)π(21)π(21)π(,)sinh

cosh sin 222n n n n x n x n y

x y C D b b b Φ∞

=---⎡⎤=+⎢⎥⎣

⎦

∑由得到，于是

0y Φ

==0=n D 1

(21)π(21)π(,)sinh

sin 22n n n x n y

x y C b b

Φ∞

=--=∑再由

可以得到0πsin

2x a

y

U y

b

Φ=∂=∂01π(21)π(21)πsin sinh sin

222n n y n a n y

U C b b b ∞=--=∑比较系数法可以得到，而其余的系数均为零。因此，导电片上电位分布为

1πsinh

2U C a b

=0ππ(,)sinh sin

π22sinh 2U x y

x y a b b b

Φ=利用和可以计算出导电片上各处电流密度分布为

E Φ=-∇ E J

σ=0π

πππππcosh sin sinh cos π222222sh 2x y x y J E e e x y U x y x y e e a b b b b b b b

ΦΦσσΦσσ⎛⎫∂∂==-∇=-+ ⎪

∂∂⎝

⎭⎛⎫

=-

+ ⎪⎝⎭ 4.4 在电导率为的无限大导电媒质中流有电流密度的恒定电流。今沿轴方向挖一半径为的无限

σ0x J J e =

z a 长圆孔。试求空间各处的电位、电场强度和电流密度。

ΦE

J 解：在圆柱坐标系下，均匀电流密度产生的电位为，因此存在空腔的媒质中电位的定

J ϕρσ

cos 0J

-(,)Φρϕ解问题为

20

Φ∇=以及

和 0a

ρΦρ

=∂=∂0

cos J ρΦ

ρϕ

σ

→∞

=-