电磁场与电磁波第四章解读
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电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
电磁场与电磁波第四章 时变电磁场优秀课件
J
)
t
同样
D
D
E、E
A
t
( A )
t
A
0
t
2 2
t 2
2
A
2 A t 2
J
说明
2
2
t 2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
… … t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；图形移动速度，即电磁波速度
相速度，即等相位面的传播速度
H Ε
J
D
t
B
A
t
为任意可微函数
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(
A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
(完整版)《电磁场与电磁波》(第4版)谢处方第四章_时变电磁场00
在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，
只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内
外导体之间的电场和磁场分别为
rr U
E
e
ln(b
, a)
r rI
H e 2
(a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r S
rr EH
r [e
U
ln(b
a
)
]
r (e
I )
11
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
第4章 时变电磁场
12
电磁能量及守恒关系
电场能量密度：
we
1 2
rr ED
磁场能量密度：
wm
1
r H
r B
2
dW
dt V
S
电磁能量密度：
w
we
wm
1 2
rr ED
1
r H
r B
2
空间区域V中的电磁能量：
W
V
w dV
V
r H
(
r E
)
t
r
r ( H )
r 2H
2H
t 2
r
r 2H
2H t 2
0
若为有源空间，结果如何？
若为导电媒质，结果如何？
第4章 时变电磁场
4
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
第4章 时变电磁场
5
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
(1 2
《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
电磁场与电磁波(电磁场理论)第四章ppt课件
其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量
解 E r(z,t)Re[erxjExmcos(kzz)ejt] Re[erxExmcos(kzz)ej(tπ 2)]
erxExmcos(kzz)cos(tπ 2)
e r x E x m c o s ( k z z ) s in (t)
例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为 E ( z ,t) E 1 ( z ,t) E 2 ( z ,t)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P SS re rzd Sa b2 π 2 U ln I(ba )2 π d U I
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方
向的电场
r
所以 E r & m ( z ) e r x E x m e j ( k z x ) e r y E y m e j ( k z y π /2 )
(e rxE x m e jx e ryjE y m e jy)e jk z
（2）因为 c o s (k zt) c o s (t k z )
E r ( z ,t ) e r x E x m c o s (t k z x ) e r y E y m c o s (t k z y π 2 ) R e [ e r x E x m e j ( t k z x ) e r y E y m e j ( t k z y π /2 ) ]
erx0.03cos(108πtkzπ2)erx0.04cos(108πtkzπ/3)
Re[erx0.03ej(108πtkzπ/2)]Re[erx0.04ej(108πtkzπ/3)]
解 E r(z,t)Re[erxjExmcos(kzz)ejt] Re[erxExmcos(kzz)ej(tπ 2)]
erxExmcos(kzz)cos(tπ 2)
e r x E x m c o s ( k z z ) s in (t)
例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为 E ( z ,t) E 1 ( z ,t) E 2 ( z ,t)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P SS re rzd Sa b2 π 2 U ln I(ba )2 π d U I
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方
向的电场
r
所以 E r & m ( z ) e r x E x m e j ( k z x ) e r y E y m e j ( k z y π /2 )
(e rxE x m e jx e ryjE y m e jy)e jk z
（2）因为 c o s (k zt) c o s (t k z )
E r ( z ,t ) e r x E x m c o s (t k z x ) e r y E y m c o s (t k z y π 2 ) R e [ e r x E x m e j ( t k z x ) e r y E y m e j ( t k z y π /2 ) ]
erx0.03cos(108πtkzπ2)erx0.04cos(108πtkzπ/3)
Re[erx0.03ej(108πtkzπ/2)]Re[erx0.04ej(108πtkzπ/3)]
电磁场与电磁波第四章静态场分析
|yb U0
U0n 1Dnsin(na x)sh(na b)
Dn
4U0
(2n 1) sh
nb
a
(x,y) n 1(2n1 4 )U s 0hnbsin(n a x)sh(n a y)
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
|x0
0
|xa 0
(x ,y)|x 0f(0 )g (y) 0
(x ,y)|x af(a )g (y) 0
g(y) 0
g(y) 0
f (0) 0
f (a) 0
A2 0
A2 0
A1sin(kxa)0
kx
n,(n1,2...)
a
注意：不能得到A1＝0
双曲函数
n
f (x)A1sin( a x)
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
v
E
D v E vV
()V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
电磁场与电磁波第四章
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
分类分析求解电磁问题
按时间变化情况
0 t 0 t
静态电磁场
第 3章
13:57
电磁波
第4、5、6、7、 8章
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
分类分析时变电磁场问题
共性问题
电磁波的 典型代表 均匀平面波
个性问题
电磁波的 传输 波导 电磁波的 辐射 天线
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4. 5
时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示
复矢量的麦克斯韦方程
复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程
时谐场的位函数
平均能流密度矢量
13:57
D t
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
H 2 H 2 0 t
2
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
面对的问题 单一媒质环境！ 波动方程的求解！ 分析方法： 利用时变电磁场特性 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
13:57
电磁场与电磁波
式中：A0为振幅、
为角频率， 2 f ( r )为初始相位，与坐标有关。
时谐场量的复数表示
由复变函数，知： cos(t ) Re(e jt ) ，则：
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
jt j (r jt ) Re[ Am (r )e e ] Re[ A(r )e ] j ( r ) 式中： A(r ) Am (r )e
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q 1 a ( ) 4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b 2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的 电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
a 像电荷必须有两个： q ，位于源电荷位置的反演点； q d a q q q ,位于球心。球外的电位由 q、q’ 和 q”共同激发。
S 0
qh z z 0 2π ( x 2 y 2 h 2 ) 3 2
导体表面上的总感应电荷：
d d qh qi S dS q 2 2 32 2π 0 0 ( h ) S
2π
第四章
静态场的边值问题
对于边界面为相互正交的两个无限 大接地导体平面情形，为保持两个平面 电位为零，必须设置三个像电荷，如右 图所示。
将
a2 b d
代入，解得
l l
（4-2-7）
第四章
静态场的边值问题
将式(4-2-7)代入(4-2-6)，得柱外任一点的电位为
R （ R
l R ln C 2π 0 R
（4-2-8）
可见，当 为任一常数）时， 为常数。因此在 xy 平面内，等位线方程为
R 2 ( x b) 2 y 2 2 R2 (x d )2 y 2
求解边值问题的方法主要有解析法和数值法两大类。解析 法中最基本的是镜像法和分离变量法。
第四章
静态场的边值问题
4.1 唯一性定理
唯一性定理 在位场的三类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯 方程的解是唯一的。
证明（反证法 ）： 设在区域 V 内，有体电荷分布 (r)，在V 的边界面 S 上，电位的值 f (S) 或电位函数法向导数的值 g(S)已知。假定存在两个解 1 和 2，它们都满足泊
面都互为反演。 =1 所对应的等位面是与 l 和 l’ 均等距的平面。
第四章
静态场的边值问题
两平行线电荷电场的 等位面如右图所示。
若导体圆柱接地，即半径为 a 的圆柱面上任一点电位等于零， 有 所以
l d ln 2π 0 a R Rd l ln C l ln 2π 0 R 2π 0 Ra
圆柱面看作是两根平行线电荷 l 电 场中的两个等位面。设线电荷 l 和 -l 与金属圆柱轴线的距离分别为 b 和 d，如上图所示。
第四章
静态场的边值问题
地面是与两线电荷等距的平面，且电位为零。由式(4-2-11)，可得 金属圆柱的电位为
l R ln 2π 0 R
其中，R+、R- 分别表示线电荷 l 和 l’ 到金属圆柱的圆周上任一点 的距离。对于金属圆柱上的点 A，有
设点电荷 q 位于介质1中，与介质1和介质2的分界面距离 为 d。在 q 的电场作用下，介质极化，出现极化电荷和极化面 电荷。空间任意点的电场由点电荷 q 与极化电荷共同产生。也 可以采用镜像法求解整个空间的电位分布。
第四章
静态场的边值问题
计算介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中、与源电荷镜面对称 位置处的像电荷 q’ 代替极化电荷，并认为整个空间充满介质 1，有
解：设金属圆柱单位长度带电为 l，电位为 ，则单位长金属圆柱与 地面之间的电容为
l C0
只要求出金属圆柱的电位，就可求得电容。 求金属圆柱的电位，可采用镜像法。 无限长带电金属圆柱对地面的像是位于地 面下方对称位置处、带有电荷 l’=l 的圆柱。
利用上面讨论结果，可将金属圆柱面和像
第四章
静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边
值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类： 第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
0,
2
S
0 或 0 n S
第四章
静态场的边值问题
在格林第一恒等式
V
2 ( ) dV d S S S
dS n
中令 = = ’，并利用式(4-1-3)，可知，对三类边界条件都有
2 ( ) dV 0
V
故有 0， 于是 2 1 C。
对于第一类边界条件,
S
0 ,则 C = 0，所以 1 = 2，解是唯一的。
0 , 则 C 不一定为零。常数对梯度无贡献， 对于第二类边界条件, n S
这两个位函数将给出同一场矢量，解也是唯一的。
1 q q ( ) 4π 0 R R 1 q q ( ) 2 2 2 2 4π 0 r d 2rd cos r b 2rb cos
（4-2-2）
q’ 和 b 由球面电位为零的边界条件来确定。考虑球面上的两个 特殊点 = 0 和 = ，由式(4-2-2)，有
松方程和相同的边界条件，即在区域 V 内有
21
在边界面上有
1
S
, 22
1 n g (S ),
S
（4-1-1）
2 n g (S )
S
f ( S ), 2
S
f (S ) 或
（4-1-2） （4-1-3）
令
2 1，于是
唯一性定理给出了定解的充分必要条件，它表明，对于静态 场的分布就唯一地确定。
场，当电荷（或电流）分布以及场域边界面上的边界条件已知时，
第四章
静态场的边值问题
4.2 镜像法
镜像法是求解静态场边值问题的一种间接解法，其理论依据是唯 一性定理。镜像法主要用于求解理想导体附近的电荷产生的电场或 铁磁质附近的电流产生的磁场。在这类问题中，场由区域内的电荷 （电流）以及界面上的电荷（电流）共同激发。镜像法的思想是， 在所求解场区域以外的空间中某些适当位置上，设置适当的像电荷 （像电流）来替代界面上的电荷（电流）的效果，这些等效电荷 （电流）与场域内的电荷（电流）共同作用结果满足场域边界面上 给定的边界条件，从而可以将界面移去，使所求解的边值问题转化 为无界空间的问题。运用镜像法必须遵循两条规则：
由对称性，像电荷也是无限长线电荷。设像电荷的线密 2 a 度为 l ，位于圆柱内，与轴线的距离为 b ，进行试探求 解。
d
Hale Waihona Puke 第四章静态场的边值问题空间任意点的电位等效为由两根平行线电荷 l 和 l 共同产 生。利用例3.1.4的结果，柱外任一点的电位为
l l 1 1 ln π ln C 2π 0 R 2 0 R
（4-2-6）
其中， R、R 分别为源线电荷和像线电荷到场点的距离； l 由柱面 为等位面这一边界条件来确定；C 的值与电位零点的选取有关。
在导体圆柱的圆周上取两特殊点 A 和 B，因为圆柱面为等位
面，故有
l 1 1 1 1 ln l ln C l ln l ln C 2π 0 a d 2π 0 a b 2π 0 d a 2π 0 a b
4.2.2 导体球面镜像法
设点电荷 q 位于一个半径为 a 的 接地导体球外，距球心为 d，如下图所 示。用镜像法求球外的电位分布。 像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。 设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
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静态场的边值问题
a2 将b d
代入，整理可得 2d 2 a2 2 (d 2 a 2 ) 2 2 [x 2 ] y [ 2 ] ( 1) d ( 1)d
上式为圆族方程。这表明，在密度分别为 l 的两根平行线电荷
产生的电场中，等位面是圆柱面族，且 l 和 l’ 的位置关于任一等位
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静态场的边值问题
所以，单位长金属圆柱与地面之间的电容为
C0
l 2π 0 2π 0 2π 0 ln d a ln d h ( h 2 a 2 )1 2 ln
a b a a
如果 h >> a，则
C0
2 π 0 2h ln a
4.2.4 介质平面镜像法
1
1 q q ( ) 2 2 2 4π1 x 2 y 2 ( z d ) 2 x y (z d ) ( z 0)
(4-2-12)
计算介质 2 中的电位时，用位于源电荷所在位置处的像电荷 q 代替极化电荷，并认为整个空间充满介质 2，则有
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静态场的边值问题
1 2 4π 2
q q x y (z d )
2 2 2
( z 0)
上半空间的电场由点电荷以及导体平面上的感应电荷分布共 同激发。z > 0 的上半空间除 q 所在点外，电势满足 2 = 0。 又因为导体平面接地，因此，在 z = 0 的平面上 = 0。 若假设导体平面不存在，而在 z = 0 的平面下与 q 对称地
放置一个电量为 -q 的点电荷，则上半空间内场方程保持不变， 且平面 z = 0 仍为 = 0 的等位面。因此，可以用 q 和 –q 两个 点电荷组成的电荷系统来代替原边值问题。
d
若导体球不接地且带有电量 Q，则当球外放置点电荷 q 后， 它的电位不为零，球面的净电荷为 Q 。为满足边界条件，像电 a q ，位于源电荷位置的反演点； q 荷仍为两个： q” = Q – q’，
位于球心。
d
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