移动最小二乘法
移动指数窗口的最小二乘算法
移动指数窗口的最小二乘算法
移动指数窗口的最小二乘算法是一种用于时间序列预测的统计方法。
该方法使用指数加权移动平均来处理数据，以提高模型的准确性。
移动指数窗口的最小二乘算法能够动态地适应数据的变化，具有很强
的实时性和鲁棒性。
该算法的主要步骤如下：
1. 初始化模型参数，包括移动窗口大小、指数加权系数等。
2. 从时间序列数据中选择一个指定大小的移动窗口，在此窗口
内进行最小二乘回归分析，得出模型拟合参数。
3. 基于指数加权移动平均的方法修正模型预测值，使其更加接
近实际观测值，得到下一个时间点上的预测值。
4. 删除窗口最前面的数据，并添加新的观测值，重复以上步骤
进行下一轮预测。
该算法的核心思想是将过去观测值的权重随时间推移而递减，同
时加入最新的观测值，以自适应地反映出当前数据变化的趋势。
这使
得移动指数窗口的最小二乘算法能够更好地适应时间序列数据的变化，提高预测的精度和准确性。
值得注意的是，该算法的参数设置对结果影响较大，需根据实际
情况进行调整。
3D曲面重建之移动最小二乘法
3D曲面重建之移动最小二乘法
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本文我们思考这样一个问题：如何在一组逐点值的给定域上估计该域的一般函数？这种估计对于给定域上PDE数值的求解，根据扫描数据进行表面重建，或者理解采集到数据的数据结构都有所帮助。
下面介绍几种常见的最小二乘法：
一、全局最小二乘估计
为了解决多项式拟合中的未知系数，我们构建如下的目标函数：
然后我们可以写个归一化方程为：
用矩阵的形式表示为：
这个矩阵方程也可以直接用于计算系数向量：
或者在大型系统中使用迭代的方法。
图1 全局最小二乘（实曲线）
二、全局加权最小二乘拟合
我们可以为每个数据值分配一个权重用于最小二乘拟合中，这样我们将目标函数最小化为：
归一化方程的解为：
三、加权局部最小二乘
在全局最小二乘拟合中，我们假设整个域中都可以用一个单一的多项式精确地描述数据所代表的函数。
但是，对于大型、复杂的数据集，这将要求我们拟合出一个不理想的高阶多项式，即便如此，这也不能捕获数据的所有特征。
所以，为了替代全局解决方案，我们尝试通过对每个数据点及其邻域拟合出一个低阶多项式来获得更好的解决方案。
因此，有个最小二乘拟合的值，每个值都是点的近似值并且每个点的系数向量都不同。
注意：不同于其它讨论的方法，这不是一种公认的方法并且也不常见。
它仅仅是为了我们更好的理解下一部分将要介绍的移动最小二乘法。
用通用的方法就可解决。
图2 加权局部最小二乘拟合四、移动最小二乘法
总结。
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合示例文章篇一：哎呀呀，这题目可把我这个小学生难住啦！什么是移动最小二乘法呀？曲线曲面拟合又是什么东西？我一点儿都不明白！老师在课堂上讲这些的时候，我就像在听天书一样。
我看看周围的同学，有的皱着眉头，有的一脸迷茫，估计和我差不多。
我心里忍不住想：“这东西怎么这么难呀，难道是要故意为难我们吗？”我回家问爸爸妈妈，他们看着我，也是一脸无奈。
爸爸说：“孩子，这对爸爸来说也太复杂啦！”妈妈接着说：“宝贝，妈妈也搞不懂呢。
”后来在学校，我和同桌小明一起讨论。
我问他：“小明，你懂移动最小二乘法的曲线曲面拟合吗？”小明摇摇头说：“不懂，感觉像外星语言。
” 我们俩你看看我，我看看你，都忍不住笑了。
我就一直在想，这就好像是一个超级大的迷宫，我们怎么都找不到出口。
数学的世界有时候真的好奇怪呀，一会儿是简单的加减乘除，一会儿又冒出这么难的东西。
这移动最小二乘法的曲线曲面拟合，难道是数学王国里的大怪兽，专门来拦住我们前进的路？老师为了让我们明白，在黑板上画了好多图，讲了好多遍。
可我还是似懂非懂的。
我多希望能有一把神奇的钥匙，一下子就能打开这个知识的大门，让我清楚地看到里面到底是怎么回事。
我又去问班上的数学小天才小刚，我说：“小刚，你给我讲讲呗。
”小刚很耐心地跟我说：“其实吧，就是用一种特别的方法去把一些曲线和曲面弄明白。
” 我着急地问：“那到底怎么弄明白呀？”小刚挠挠头说：“哎呀，我也说不太清楚。
”我觉得吧，学习这个就像爬山，我们一直在努力往上爬，可这座山好高好高，爬得好累呀！但我可不会轻易放弃，我一定要弄明白这个移动最小二乘法的曲线曲面拟合到底是怎么回事！我相信，只要我一直努力，总有一天能征服这座知识的大山！示例文章篇二：哎呀呀，这题目可把我难住啦！什么是移动最小二乘法的曲线曲面拟合呀？对于我这个小学生来说，简直就像是外太空的神秘语言！老师在课堂上讲这个的时候，我看好多同学都一脸懵。
我心里就在想：“这东西难道比孙悟空的七十二变还难？” 我瞪大眼睛，努力想听明白，可那些复杂的公式和概念就像调皮的小猴子，在我脑子里上蹿下跳，就是不让我抓住它们。
移动最小二乘法
A( x) PTW ( x) P B( x ) P T W ( x )
进一步又可得：
a( x) A1 ( x) B( x)u
这样逼近函数uh(x)的表达式为：
u ( x) p ( x)a( x) ( x)u i ( x)ui
h T i 1
N
式中Φ(x)为形函数：
( x) [1 ( x), 2 ( x),, N ( x)] pT ( x) A1 ( x)B( x)
最小二乘法与移动最小二乘法比较 （1）拟合函数的建立不同。移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项 式或其它函数，而是由一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成，这里a(x)不是常数， 而是坐标x 的函数。 （2）引入紧支（Compact Support）概念，认为点x 处的值y 只受x 附近子 域内节点影响，这个子域称作点x 的影响区域（支撑域），影响区域外的 节点对x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数ω(x)，如果权函数 在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。
0 0 ( x x1 ) 0 ( x x2 ) 0 W ( x) 0 0 ( x xn )
为了得到a(x) 对J取极值即得：
J A( x) a ( x) B ( x)u 0 a
即：
A( x)a( x) B( x)u
h
( x, x ) 在这些节点 x xi 处的误
J ( x xi )[u h ( x, xi ) u( xi )]2 ( x xi )[ pi ( xi )ai ( x) u( xi )]
i 1 i 1 i 1
N
移动最小二乘法在电机试验数据处理中的应用
移动最小二乘法在电机试验数据处理中的应用龚春忠;张政;张李侠【摘要】为了获得高精度的电机效率MAP,以应用于整车动力性经济性仿真开发与整车动力系统标定等领域,采用移动最小二乘法对电机效率MAP点云数据进行处理,获取高精度的网格化MAP数据.为保证拟合精度,需要对原始数据进行适当缩放处理,并选择合适的紧支域半径与权函数.实例分析中的曲面平均误差仅为0.335％,证明该方法有效可靠,精度满足电机试验与电动汽车动力性经济性开发的需求.【期刊名称】《汽车工程师》【年(卷),期】2019(000)003【总页数】3页(P55-57)【关键词】电动汽车动力性经济性;移动最小二乘法;电机试验;电机效率MAP【作者】龚春忠;张政;张李侠【作者单位】浙江合众新能源汽车有限公司试制试验中心;浙江合众新能源汽车有限公司试制试验中心;浙江合众新能源汽车有限公司试制试验中心【正文语种】中文作为电动汽车核心的三电技术成为众多新能源汽车制造商的竞逐技术。
电机效率MAP 通常用于整车动力性经济性仿真开发与整车动力性经济性标定领域。
当前阶段，电机MAP 的数据处理方法相对粗糙，通常使用2 种方法：一是临近网格点法，边界使用等曲率延拓；二是使用高次曲面最小二乘拟合法[1]。
2 种方法都有各自的缺点：第1 种方法在实测点非网格均匀化分布时，误差会很大；第2 种方法在边界延拓上，失真率过高，整体曲面精度低。
文章采用移动最小二乘法（MLS）[2]对电机效率MAP 数据进行处理，获取高精度的网格化MAP 数据。
相对于网格插值而言，MLS 插值计算量较大，不适合直接应用于整车控制器程序烧录或仿真模型中。
因此，文章仅使用其做电机试验数据的网格化处理。
1 电机效率MAP试验依据《GB/T 1029—2005 三相同步电机试验方法》[3]，电机效率测试需要在台架中进行。
电机试验台架结构原理，如图1所示。
试验时，驱动电机与控制器冷却装置的冷却效果与汽车中的实际使用条件尽可能相同。
基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用的开题报告
基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用的开题报告一、研究背景和意义移动最小二乘近似（Mobile Least Squares Approximation，简称MLSA）是目前信号处理领域中常见的一种方法，其基本思想是在移动窗口内构建多项式模型，通过最小二乘拟合方法得到最优模型参数，并利用该模型进行信号处理。
在语音、图像、地震等领域中，都有广泛的应用。
但是，MLSA方法中使用的权函数选择不当，会导致拟合效果不佳，不能很好的处理信号中的噪声和异常值，因此权函数的选取非常关键。
本研究旨在通过比较不同参数和方法的权函数，选取合适的权函数，并在语音处理、图像处理等领域中进行应用，提高信号处理的准确性和可靠性。
二、主要研究内容1. 综述移动最小二乘近似的基本原理和应用；2. 比较不同参数和方法的权函数，包括平方窗函数、海明窗函数、汉明窗函数和波兰斯基窗函数等；3. 通过实验验证不同权函数的拟合效果，包括均方误差、峰值信噪比、估计标准差等指标；4. 在语音处理、图像处理等领域中，应用选定的权函数，对信号进行处理，验证其效果。
三、研究方法和技术路线本研究将采用实验室中常用的信号处理工具，如MATLAB、Python 等，利用这些工具进行数据处理和实验分析。
主要研究技术路线如下：1. 综述MLSA方法的基本原理和应用；2. 收集不同参数和方法的权函数，并分析其特点和适用场景；3. 根据不同权函数对模拟信号进行拟合，并对比不同权函数的拟合效果；4. 对真实信号进行处理，比较不同权函数在语音处理、图像处理等领域中的应用效果。
四、预期成果1. 确定适合不同领域的权函数选择方法，并进行总结；2. 系统分析和比较不同权函数的拟合效果，以及在实际应用中的效果；3. 在语音处理、图像处理等领域中应用选定的权函数，提高信号处理的准确性和可靠性。
五、可行性分析本研究以数据处理为主要手段，可以充分利用实验室现有的硬件和软件设施，实现预期研究目标。
滑动最小二乘法求解地震波波动方程
滑动最小二乘法求解地震波波动方程
滑动最小二乘法是一种常用的非线性最小二乘问题求解方法。
这种方法在地震动学中用来求解地震波波动方程，可以得到波动的时空特性、强度分布等结果，为地震动学研究和防震减灾提供有力工具。
地震波波动方程描述的是一个具有多参数微分方程，包括地面位移、速度和加速度三个量，求解这种复杂的方程往往要求高精度的数值计算。
因此，使用滑动最小二乘法进行参数优化求解是一种理想的解决方案。
滑动最小二乘法求解地震波波动方程，主要利用时间变换和函数建模技术，通过一系列经验公式和数值积分的方法来实现。
然后，根据求解的结果，能够得到波动的时空特性、强度分布等。
滑动最小二乘法求解地震波波动方程同时也能够改进地震波模拟软件，增强计算精度和计算效率。
由此可见，使用滑动最小二乘法求解地震波波动方程，对地震动学的研究和防震减灾的实践具有重要意义，是地震学和地震动学研究的基本工具之一。
改进的移动最小二乘插值法研究
收稿 日 ：０ ９１—６ 作者简介：任红萍 （９６ 月ｔ） 期 ２ ０—１２ ． １６ 年９ ｔ ，女 ，博士，副教授． 研究方 向：计算数学 基 金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ １４ ；上海市教育委员会科研创新项 目 （９ Ｚ ９． １８ １２ ） ０Ｚ ９）
１２ ０２
工
程
二 次基 ：
∑ Ｍ （） ∑ 叫 ２ 叫
Ｘ
Ｘ
— Ｘ
Ｕ
ｈ
— Ｘ ，
Ｘ
ｍ ∑
ｐ
Ｐ ＝ （， ｚ ） 对于一维区域 ． １ｚ ， ，
Ｘ
（） ４ Ｘ
Ｐ ＝（，１ ２ ，ｌ２ ；， 对于二维区域 １ ， ， ＸＸ， ）
改进 的移 动最小二乘插值法研 究木
任红萍 程玉民０ 张 ， ， 武０
ｆ。 原 科 技 大 学应 用 科 学 学 院 ，太 原 ０ ０ ２ ； １太 ３ ０ ４ ２ 一上海 大 学 上 海 市 应 用 数 学和 力学 研 究 所 ，上 海 ２ ０ ７ ； ００ ２
３ 一上海大学计算机工程与科学学院，上海 ２ ０ ７ ） ０ ０ ２
一
［。由于 移动最小 二乘逼近法 的形 函数不 具有 Ｋｒｎ ｃｅ ｅ ａ ］ ｏ ｅｋｒＤ ｌ 函数 的性质 ，因而基 于该方 ｔ
法建立 的无网格方法需 要借助 罚函数 法或 Ｌ ｇａ ｇ 乘子法施加 本质边界条件 ，导致建立 的弱 ａ ｒｎ ｅ 形式方程较为复杂，降低了无网格 方法 的计算效率 。所 以，研究具有插值性质的移动最小二乘
分类号：ＡＭ Ｓ ２ ０ ） ５ ９ （０ ０ ６ Ｎ９
中图分类号： ２ ０４
文献标识码： Ａ
１ 引 言
无 网格方 法是继 有 限元法之后 的又一类 重要 的科学和 工程 分析 的数值方 法 。移 动最 小二 乘逼近法 ｆ ｖｎ ａｔ ｑ ａｅ ｐ ｒｘｍａｉｎ 是无 网格方法 构造 形函数的最为重要的方法之 Ｍｏ ｉｇｌ ｓ ｓ ｕ ｒｓａ ｐｏ ｉ ｔ ） ｅ ｏ
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移动最小二乘法
2.1 移动最小二乘曲线拟合
将拟合函数表述为如下形式：
1
()()()()()m
T i i i f x p x a x p x a x ===∑, (3)
其中a (x )=(a 1(x ), a 2(x ),…, a m (x ))T 为待定系数，p (x )=(p 1(x ), p 2(x ),…, p m (x ))T 为基函数向量，通常需要选择完备多项式基，例如二维情况
线性基 p (x ) = (1, x , y )T (m =3) 二次基 p (x ) = (1, x , y , x 2, xy , y 2)T (m=6)
为了得到较为精确的局部近似值，需使局部近似值f (x i )和节点值y i 之差平方带权最小，因此残差的离散加权L 2范式为：
2
21
1
()[()]()[()()]n n
T i i i i i i i J w x x f x y w x x p x a x y ===--=--∑∑, (4)
其中n 是求解区域内的节点数，f (x )是拟合函数，w (x －x i )是节点x i 的权函数。
权函数应该是非负的，且随着2
i
x x -的增加单调递减，权函数还应该具有紧支性，即
在支持域（x 的影响区域）内不等于0，在支持域之外全为0，一般选用圆形作为权函数的 支持域，半径记为r 。
常用的权函数是样条函数，记i s x x '=-，s s r
'
=，则三次样条函数形式如下：
23
23
214432
4
41
()4413
32
0 1.
s s s s s s s s s ω⎧-+≤
⎪⎪
⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪
⎪⎩
(5)
要求出待定系数a (x ),先要使J 取得最小值，先将（4）式写成矩阵形式：
J = (Pa (x )－Y )T W (x ) (Pa (x )－Y ) 其中
Y = (y 1, y 2,…, y n )T ,
W (x ) = diag (w 1(x ), w 2(x ),…, w n (x ))，w i (x ) =()i w x x -.
1121112
22212()()()()()()()
()()m m n n m n p x p x p x p x p x p x P p x p x p x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
. 根据最小二乘原理求得待定系数为：
a (x ) = A -1(x )B (x )Y
其中A (x ) = P T W (x ) P , B (x ) = P T W (x )。
代入（3）式，得拟合函数为
1
()()()n
k k i i i f x x y x Y φψ===∑,
其中()k x ψ为形函数，k 表示基函数的阶数,
112()[,,,]()()()k k k k T n x p x A x B x ψφφφ-== .
2.2 带插值条件的移动最小二乘曲线拟合
当拟合曲线要求经过某些节点的时候，就需要将通常的移动最小二乘法增加插值条件，可利用上面带插值条件的最小二乘曲线拟合法二进行构造。
假设若给出的离散点为(,)i i x y ，1,2,,i n = ，插值条件为(,),1,2,,s s x y s t = ，
t n ≤，采用一般的移动最小二乘法得到的拟合曲线为f (x )，则带插值条件的移动最小二乘拟
合曲线可表示为
1
()()t
s s s y f x l x δ==-∑ (6)
其中1
()
(),1,2,,()
t
j s j s
j s j
x x l x s t x
x =≠-=
=-∏ ，δs = f (x s )－y s .
该构造公式也可看成是对移动最小二乘拟合公式的修正，修正项为
1
()t
s s
s l x δ
=∑，其具体
计算过程为：
（一） 先求出不带插值条件的移动最小二乘拟合曲线； （二） 接着计算插值节点下的偏差δs = f (x s )－y s ；
（三） 最后计算l s (x )并利用公式（6）得到插值条件下的移动最小二乘拟合曲线。
我们通过实验对一般移动最小二乘和带插值条件移动最小二乘方法进行比较。
给定离散数据点为 x =[1,2.5,4.5,6,7,8,9,10]; y =[1.5,2,2.2,3,4,5.5,6.5,7]。
采用移动最小二乘方法进行拟合的时候，采用线性基 p (x ) = (1, x , y )T ，并采用公式（5）的三次样条函数作为权函数。
图5是一般移动最小二乘方法的拟合结果；图6是通过两节点(x 3, y 3), (x 7, y 7)，即(4.5, 2.2), (9, 6.5)的移动最小二乘拟合结果。
我们也比较两种方法拟合的误差，见表1，其中x 与y 分别表示给定离散点的横纵坐标，y 1与y 2分别表示通常情况与插值条件下的移动最小二乘拟合得到的函数值，δ取的是拟合产生的离差平方和。
实验和误差结果发现，本文给出的带插值条件的移动最小二乘方法整体拟合效果更好。
图5 通常情况下移动最小二乘拟合图6 插值条件下移动最小二乘拟合
表1 拟合误差分析表
x y y1y2
1 1.5 1.5000 1.2979
2.5 2 1.9238 1.8339
4.5 2.2 2.3636 2.2000
6 3 3.202
7 3.1353
7 4 4.1732 4.1779
8 5.5 5.3015 5.4576
9 6.5 6.3101 6.5000
10 7 7.0538 7.1980。