移动最小二乘法MLS程序
基于MLS的航空叶片中弧线提取方法_张红影
因此， 式（ 1 ） 可表示为
f（ x） = α 0 （ x） + α 1 （ x） x + α 2 （ x） y +
2 2 α 3 （ x） x + α 4 （ x） xy + α 5 （ x） y
（ 2）
MLS 法引入紧支概念， 认为点 x 处的值 y 只受 到 x 附近子域内节点的影响， 该子域称为点 x 的影 响区域。取式（ 2 ） 加权离散第二范式即是拟合后 的曲线在该点坐标与原始数据点之间距离的平 方， 即
n
J =
∑ ω （ x － x ） （ s（ x）
i i=1
－ yi ）
2
=［ α 0 （ x） + α 1 （ x） x +
1
1． 1
MLS 法提取中弧线
叶片截面点云分段
2 2 2 α 2 （ x） y + α 3 （ x） x + α 4 （ x） xy + α 5 （ x） y － y i］
（ 3） n 为影响域半径 r 内点的数目； s（ x） 为拟合函数； y i 式中， 为 x = x i 处的节点值， 即 y i = f（ x i ） ； ω （ x － x i ） 为节点 x 处 的权函数。
李启东
李文龙等
exp（ － （ d i ） 2k ） － exp（ － （ r i ） 2k ） ci ci r ω i（ d i ） = i 1 － exp（ － （ ） 2k ） ci 0
d i = ‖x － x i ‖ di = di r
中国机械工程第 25 卷第 7 期 2014 年 4 月上半月
理论依据
［23 ］
。
本文引入移动最小二 信息。为 减 小 拟 合 误 差， 乘
基亏移动最小二乘法表面的曲率计算及应用
基亏移动最小二乘法表面的曲率计算及应用唐民丽;王伟【摘要】图像工程中，离散的点云模型表面曲率的精确计算非常重要。
笔者在Levin的MLS（Moving Least—Square）表面的基础上，将原始三维点云模型的表面投影到一个MLS表面，然后直接从MLS表面计算点云曲率，并将该方法应用在隧道三维扫描点云模型数据压缩中，取得了良好的效果。
%In blasteroids, the acurate curature calculation of discrete point-cloud geometry surface is of great importance. In this essay, on the basis of Levin＇s MLS （Moving Least-Square）, project the initial 3D point-cloud geometry to a MLS surface, and then make curvature calculation of point clouds directly from the MLS surface. Then adopt this method to the data compression of tunnel＇s 3D scanning point-cloud geometry, and has achieved good results.【期刊名称】《电子设计工程》【年(卷),期】2011(019)020【总页数】3页(P8-10)【关键词】MLS;曲率计算;点云;压缩【作者】唐民丽;王伟【作者单位】海南软件职业技术学院,海南琼海571400;海南软件职业技术学院,海南琼海571400【正文语种】中文【中图分类】TP391.9三维信息获取技术的高速发展使得我们能方便地获得物体表面三维点云数据。
点云数据在三维建模和可视化，以及反求工程中的应用日益广泛。
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合_曾清红
曲线曲面拟合是一种古老而常用的技术， 在工 程、实验、统计和计算机图形等方面有着广泛的应 用。通常，经过测量或者采集可以得到一组离散数 据点(xi, yi), i=1, 2, …, n， 这里 xi 为坐标值。 由于这 些数据点并非完全精确， 而且函数 y= f (x)的表达式 预先无法知道，需要在给定的函数类 f 上根据这些 离散数据作出逼近曲线(曲面)。因为离散数据有误 差，并不要求逼近曲线(曲面)经过数据点，而只是 要求逼近曲线(曲面) f (x)的误差的某个指标达到最 小。传统的曲线(曲面)拟合方法一般使用最小二乘 法[1], [2]，通过使误差的平方和最小，得到一个线性 方程组，求解线性方程组就可以得到拟合曲线(曲 面)。如果离散数据量比较大、形状复杂，还需要 进行分段(分块)拟合和平滑化，这在实际中往往带 来一定的困难。 笔者使用移动最小二乘 (MLS) 法建立一种新 的曲线(曲面)拟合方法，这种方法能够克服以上困 难 ， 并 且 还 具 有 许 多 其 它 优 点 。 Lancaster 和 Salkauskas 最先在曲面生成中使用了 MLS[3]，后来
其中
Ö k ( x ) 称为形函数， k 表示基函数的阶数 Ö k ( x) = [ Φ1k ,Φ2k , Λ ,Φnk ] = p T ( x ) A−1 ( x ) B( x )
（10）
1 移动最小二乘法
1.1 拟合函数的建立 在拟合区域的一个局部子域上， 拟合函数 f (x) 表示为
如果 k = 0 ，则基函数 p ( x ) = {1} ，这时的形函数 为 Shepard 函数
x
smax
权函数
X
图1
影响区域
图2
三次样条权函数
2 移动最小二乘拟合流程
(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
算法#03--具体解释最小二乘法原理和代码
算法#03--具体解释最⼩⼆乘法原理和代码最⼩⼆乘法原理最⼩⼆乘法的⽬标：求误差的最⼩平⽅和，相应有两种：线性和⾮线性。
线性最⼩⼆乘的解是closed-form（例如以下⽂），⽽⾮线性最⼩⼆乘没有closed-form，通经常使⽤迭代法求解（如⾼斯⽜顿迭代法，本⽂不作介绍）。
【⾸先得到线性⽅程组】1.概念最⼩⼆乘法（⼜称最⼩平⽅法）是⼀种数学优化技术。
它通过最⼩化误差的平⽅和寻找数据的最佳函数匹配。
利⽤最⼩⼆乘法能够简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平⽅和为最⼩。
最⼩⼆乘法还可⽤于曲线拟合。
2.原理函数原型：已知：（x0，y0）。
（x1。
y1）…（xi，yi）…（xn，yn）个点，n>=k。
偏差平⽅和：偏差平⽅和最⼩值能够通过使偏导数等于零得到：简化左边等式有：写成矩阵形式：公式①将这个范德蒙得矩阵化简后可得到：公式②也就是说X*A=Y，那么A = (X’*X)-1*X’*Y，便得到了系数矩阵A，同⼀时候，我们也就得到了拟合曲线。
⾼斯消元法【然后解线性⽅程组，即公式①】1.概念数学上，⾼斯消元法（或译：⾼斯消去法）（英语：Gaussian Elimination），是线性代数中的⼀个算法，可⽤来为线性⽅程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆⽅阵的逆矩阵。
当⽤于⼀个矩阵时。
⾼斯消元法会产⽣出⼀个“⾏梯阵式”。
2.原理3.伪代码这个算法和上⾯谈到的有点不同。
它由绝对值最⼤的部分開始做起。
这样能够改善算法的稳定性。
本算法由左⾄右地计算。
每作出下⾯三个步骤，才跳到下⼀列和下⼀⾏：定出i列的绝对值最⼤的⼀个⾮0的数，将第i⾏的值与该⾏交换，使得该⾏拥有该列的最⼤值；将i列的数字除以该数，使得i列i⾏的数成为1。
第(i+1)⾏下⾯（包含第(j+1)⾏）全部元素都转化为0。
全部步骤完毕后，这个矩阵会变成⼀个⾏梯矩阵，再⽤代⼊法就能够求解该⽅程组。
i = 1j = 1while (i ≤ m and j ≤ n) doFind pivot in column j, starting in row i // 从第i⾏開始。
基于移动最小二乘法的点云曲面拟合（python）
基于移动最⼩⼆乘法的点云曲⾯拟合（python）1.移动最⼩⼆乘法介绍为了更好地对数据量⼤且形状复杂的离散数据进⾏拟合，曾清红等⼈[1]开发出⼀种新的算法——移动最⼩⼆乘法。
这种新的最⼩⼆乘算法为点云数据的处理提供了新的⽅法。
使⽤点云数据拟合曲⾯时，由于点云的数据量⼤、形状复杂的特点，如果使⽤传统的最⼩⼆乘法拟合可能会得到病态的曲⾯⽅程，从⽽导致较⼤的误差。
⽽使⽤移动最⼩⼆乘法拟合点云不仅能够减少误差，提升局部的准确率，还能避免分块拟合和平滑化的过程。
下图为⼦区域的划分⽰意图。
通过某点确定⼀个⼦区域，在该区域内，移动最⼩⼆乘法是根据区域内的空间点加权拟合⽅程，并根据拟合⽅程解算这⼀点的坐标。
使⽤移动最⼩⼆乘法拟合点云曲⾯可以看作是⼀个插值的过程，每⼀次插值都对应着⼀次加权最⼩⼆乘的⽅程拟合，所以它可以逼近曲⾯但不能得到曲⾯⽅程。
关于该算法的原理叙述请参看。
2.程序设计 在某个⼦区域中可能会出现空间点数量过少或分布复杂不规律的情况，这会导致最⼩⼆乘法解算⽅程系数时出现奇异矩阵。
⼀般做法是迭代调整阈值，直到⼦区域内的空间点数量分布符合拟合要求，但这种⽅法复杂度较⾼且在点云本⾝分布失常的情况下调整阈值没有意义。
为了⽅便，我们在点云分布不均匀导致出现奇异矩阵的情况下，引⼊⼏何中⼼（也可以根据情况选择其他⽅法）代替最⼩⼆乘的⽅程求解。
# -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Sat Apr 11 17:39:16 2020@author: L JL"""import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Df = open('xuanze.txt','r')point = f.read()f.close()data1 = point.replace('\n','')data2 = data1.split('')data2.pop()n = len(data2)data2 = list(map(float,data2))mat1 = np.array(data2[0:n])mat2 = mat1.reshape(int(n/3),3)mat3 = []for each in mat2:each_line = list(map(lambda x:float(x),each))mat3.append(each_line)mat4=np.array(mat3)x = [k[0] for k in mat4]y = [k[1] for k in mat4]z = [k[2] for k in mat4]def D_radius(x,y,X,Y,N):ind_mat = np.zeros((N,2))for i in range(N):s = ((x-X[i])**2+(y-Y[i])**2)**0.5ind_mat[i][0] = sind_mat[i][1] = iind_mat = ind_mat[np.lexsort(ind_mat[:,::-1].T)]return ind_matdef W_mat(d,x0,y0,x,y):s=(((x-x0)**2+(y-y0)**2)**0.5)/d#print((x-x0)**2+(y-y0)**2)#print(s)if (s<=0.5):return (2/3)-4*s**2+4*s**3elif(s<=1):return (4/3)-4*s+4*s**2-(4/3)*s**3else: return 0def A_mat(W,P,M,N):A = []for m in range(M):a = []for n in range(M):#pmn = p_mn(W,P,N,m,n)pmn = 0for i in range(N):pmn = pmn + W[i]*P[i,m]*P[i,n]a.append(float(pmn))A.append(a)return Adef B_mat(u,W,P,M,N):B = []for i in range(M):sumB = 0for j in range(N):sumB = sumB + W[j]*P[j,i]*u[j]B.append(float(sumB))return BX = np.array(x)Y = np.array(y)Z = np.array(z)Xmax = int(np.max(X))Xmin = int(np.min(X))Ymax = int(np.max(Y))Ymin = int(np.min(Y))N = len(X)M = 3P = np.mat(np.zeros((N,M)))W = np.mat(np.zeros((N,1)))A = np.mat(np.zeros((M,M)))B = np.mat(np.zeros((M,N)))u = np.mat(Z).Ta = np.mat(np.zeros((M,1)))d_mat = np.mat(np.zeros((N,1)))#dataZ = []dataX = np.arange(Xmin,Xmax,0.5)dataY = np.arange(Ymin,Ymax,0.5)print(Xmin,Xmax)print(Ymin,Ymax)f2 = open("dataZ.txt","w")for i in dataX:for j in dataY:#d = D_radius(i,j,X,Y,N)d = 2ind_mat = D_radius(i,j,X,Y,N)#print(ind_mat)if ind_mat[3,0] <= d:try:W = np.mat(np.zeros((N,1)))for n in range(0,N):P[n,0] = 1P[n,1] = X[n]P[n,2] = Y[n]W[n] = W_mat(d,X[n],Y[n],i,j)#print(W)A = A_mat(W,P,M,N)B = B_mat(u,W,P,M,N)c = np.linalg.solve(A,B)#dataZ.append(c[0]+c[1]*i+c[2]*j)dataZ = c[0]+c[1]*i+c[2]*jprint('A')#print(dataZ)except:ind_Zsum = 0for ind in range(0,4):ind_Zsum += Z[int(ind_mat[ind,1])] #dataZ.append(ind_Zsum/4)dataZ = ind_Zsum/4print('B')#print(dataZ)else:ind_Zsum = 0for ind in range(0,4):ind_Zsum += Z[int(ind_mat[ind,1])]#dataZ.append(ind_Zsum/4)dataZ = ind_Zsum/4print('C')#print(dataZ)f2.write(str(i) + ',' + str(j) + ',' + str(dataZ) + '\n')print(i,j)f2.close()# 3D绘图⽰意import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfig = plt.figure()ax = Axes3D(fig)Xmin = -82Xmax = 23Ymin = 0Ymax = 42x = np.arange(Xmin, Xmax, 0.5)y = np.arange(Ymin, Ymax, 0.5)y,x = np.meshgrid(y, x)f = open('dataZ.txt','r')point = f.read()f.close()data1 = point.replace('\n',',')data2 = data1.split(',')data2.pop()n = len(data2)data2 = list(map(float,data2))mat1 = np.array(data2[0:n])mat2 = mat1.reshape(int(n/3),3)z = mat2[:,2].reshape(x.shape)'''print("⽹格化后的X=",x)print("X维度信息",x.shape)print("⽹格化后的Y=",y)print("Y维度信息", y.shape)print("⽹格化后的Z=",z)'''ax.plot_surface(x, y, z, cmap=plt.cm.hot) # 渐变颜⾊#ax.contourf(x, y, z,cmap=plt.cm.hot)ax.set_xlabel('X Label (m)')ax.set_ylabel('Y Label (m)')ax.set_zlabel('Z Label (m)')ax.set_title('Point Cloud Surface Fitting')plt.show()3.拟合情况及存在的问题其他点云的拟合情况，如下图所⽰。
基于骨架约束的人体轮廓图像变形算法
信息技术 XINXUISHU 2021年第4期基于骨架约束的人体轮廓图像变形算法蔡雨轩，车文刚**作者简介：蔡雨轩(1995 -),男，硕士研究生，研究方向为图像处理。
*通讯作者：车文刚(1963 -),男，博士，硕士生导师，教授,研究方向为人工智能和模式识别。
(昆明理工大学信息工程与自动化学院，昆明650500)摘 要：经典的基于控制点的移动最小二乘变形方法，没有考虑到图像变形过程中图像的拓扑结构， 导致变形效果脱离现实人体轮廓结构，变得夸张且不符合常理。
而骨架刚好能完整地保留图像轮廓的拓扑结构。
提出一种在变形过程中加入骨架约束的变形算法，通过推导计算得到一个约束系数，使 每一个像素点的移动相对于骨架存在一个约束,从而达到真实有效的变形。
实验结果表明，文中方法可以使人体轮廓图像由瘦变胖的变形过程更加符合现实中人体曲线的变化情况。
关键词：计算机技术；图像变形；骨架约束;移动最小二乘法；人体轮廓图像中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009 -2552(2021)04 -0069 -06DOI ： 10. 13274/j. cnki. hdzj. 2021.04.013Human contour image deformation algorithm based on skeleton constraintCAI Yu-xuan , CHE Wen-gang(Faculty of Information Engineering and Automation , Kunming University of Science and Technology , Kun ming 650500, China)Abstract : The control points based classic moving least squares deformation method does not take into ac count the topological structure of the image in the process of image deformation , causing the deformationeffect to deviate from the contour structure of the actual human body , which becomes exaggerated and un reasonable ・ The skeleton could just keeps the complete topological structure of the image contour ・ This pa per proposes a deformation algorithm that adds the skeleton constraint in the deformation process , and ob tains a constraint coefficient through derivation and calculation , which allows the movement of each point tohave a constraint relative to the skeleton , so as to achieve an effective deformation. The experimental results show that the method can make the process from thin to fat of human body contour more in line with thechange of the human body curve in reality.Key words ： computer technology ； image deformation ； skeleton constraint ； moving least square method ； human body contour image o 引言图像变形技术是指按一定的规则或方法,生 成平滑的、真实的变形效果的图像处理技术。
基于多项式拟合的法线估计
基于多项式拟合的法线估计、点云平滑和数据重采样本小节介绍基于移动最小二乘法（MLS）的法线估计、点云平滑和数据重采样。
有时，测量较小的对象时会产生一些误差，这些误差所造成的不规则数据如果直接拿来曲面重建的话会使重建的曲面不光滑或者有漏洞。
这些不规则很难用统计分析消除，所以为了建立完整的模型必须对表面进行平滑处理和漏洞修复。
在不能进行额外扫描的情况下，我们可以通过对数据重采样来解决这一问题，重采样算法通过对周围数据点进行高阶多项式插值来重建表面缺少的部分。
此外，由多个扫描点扫描结果配准后得到的数据直接拿来曲面重建的话会产生“双墙”等人造伪数据，即某块区域会出现重叠的两个曲面。
重采样算法也可以对这个问题进行处理。
图1 法线估计结果如图1左侧，是一个由两组点云数据配后得到的数据集的表面法线估计的结果，由于配准造成的误差，法线有噪声，即使在同一平面上的点集，其法线方向不严格一致；右侧则是同一数据集经过点云平滑后再进行法线估计所得到的结果，明显比左图准确一致的多。
为了对重采样前后曲率特征进行量化衡量，我们绘制出了数据集中每点的曲率，得到图2，与上图可视化结果一致，平滑处理前的曲率特征方差很大，而平滑后的则方差较小。
图2 曲率图本小节我们一起学习用最小二乘法对点云进行平滑处理的例子。
代码首先，在PCL（Point Cloud Learning）中国协助发行的书[1]提供光盘的第15章例1文件夹中，打开名为resampling.cpp的代码文件，同文件夹下可以找到相关的测试点云文件bun0.pcd。
解释说明下面对打开的文件关键语句进行解析。
#include //PCL中所有点类型定义的头文件#include //打开关闭pcd文件的类定义的头文件#include //kdtree搜索对象的类定义的头文件#include //最小二乘法平滑处理类定义的头文件以上代码进行与本程序相关的类和函数的头文件声明。
pcl::PointCloud::Ptr cloud (new pcl::PointCloud ());pcl::io::loadPCDFile ("bun0.pcd", *cloud);//加载bun0.pcd文件由于例子中用到的pcd文件只有XYZ坐标，我们把它加载到PointCloud对象中，XYZ坐标字段在本演示中是必需有的，其他字段可有可无，但如果存在也会在处理后的输出点云中被保留。