移动最小二乘法
最小二乘法
最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。
因此称最小二乘法。
所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。
事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。
此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。
为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
3D曲面重建之移动最小二乘法
3D曲面重建之移动最小二乘法
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本文我们思考这样一个问题：如何在一组逐点值的给定域上估计该域的一般函数？这种估计对于给定域上PDE数值的求解，根据扫描数据进行表面重建，或者理解采集到数据的数据结构都有所帮助。
下面介绍几种常见的最小二乘法：
一、全局最小二乘估计
为了解决多项式拟合中的未知系数，我们构建如下的目标函数：
然后我们可以写个归一化方程为：
用矩阵的形式表示为：
这个矩阵方程也可以直接用于计算系数向量：
或者在大型系统中使用迭代的方法。
图1 全局最小二乘（实曲线）
二、全局加权最小二乘拟合
我们可以为每个数据值分配一个权重用于最小二乘拟合中，这样我们将目标函数最小化为：
归一化方程的解为：
三、加权局部最小二乘
在全局最小二乘拟合中，我们假设整个域中都可以用一个单一的多项式精确地描述数据所代表的函数。
但是，对于大型、复杂的数据集，这将要求我们拟合出一个不理想的高阶多项式，即便如此，这也不能捕获数据的所有特征。
所以，为了替代全局解决方案，我们尝试通过对每个数据点及其邻域拟合出一个低阶多项式来获得更好的解决方案。
因此，有个最小二乘拟合的值，每个值都是点的近似值并且每个点的系数向量都不同。
注意：不同于其它讨论的方法，这不是一种公认的方法并且也不常见。
它仅仅是为了我们更好的理解下一部分将要介绍的移动最小二乘法。
用通用的方法就可解决。
图2 加权局部最小二乘拟合四、移动最小二乘法
总结。
递推最小二乘算法 simulink
递推最小二乘算法simulink 递推最小二乘算法是一种常用的数学算法，用于估计数据的最佳拟合曲线。
Simulink是一款强大的系统建模和仿真工具，它可以方便地进行算法的模拟和验证。
本文档将介绍如何在Simulink中使用递推最小二乘算法来实现数据的最佳拟合。
首先，我们需要明确递推最小二乘算法的基本原理。
递推最小二乘算法是一种迭代算法，根据已知的数据点，通过不断更新拟合曲线的参数，使得拟合曲线与实际数据的残差平方和最小化。
其核心思想是通过迭代计算，不断调整参数，逐步优化拟合效果。
在Simulink中，我们可以使用递归结构来实现递推最小二乘算法。
首先，我们需要建立一个递推模型框架，包括数据输入、参数更新、残差计算和拟合曲线输出等组件。
其次，我们需要确定递推算法的初始参数值，通常可以使用数据的平均值作为初始参数。
然后，我们可以通过迭代计算的方式，不断更新参数值，直到拟合曲线达到最佳效果。
在模型的具体实现中，我们可以使用Simulink中的线性系统模块、运算模块和数据存储模块等进行建模。
通过连接和配置不同的模块，我们可以构建一个完整的递推最小二乘算法模型。
在模型的验证过程中，我们可以使用Simulink提供的仿真功能，输入实际数据，并观察拟合曲线与实际数据的吻合程度。
需要注意的是，在使用递推最小二乘算法之前，我们需要确定一些参数，如迭代次数、收敛准则和阈值等。
这些参数的选择将直接影响到递推算法的收敛速度和拟合效果。
因此，我们需要根据具体的应用场景和数据特点进行合理选择和调整。
总结来说，递推最小二乘算法是一种有效的数据拟合算法，可以在Simulink中得到方便的实现和验证。
通过合理配置模型和参数，我们可以得到与实际数据最佳拟合的拟合曲线。
在实际应用中，递推最小二乘算法具有广泛的应用领域，如信号处理、系统辨识和机器学习等。
希望本文档能够帮助您更好地理解和应用递推最小二乘算法。
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合
基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合示例文章篇一：哎呀呀，这题目可把我这个小学生难住啦！什么是移动最小二乘法呀？曲线曲面拟合又是什么东西？我一点儿都不明白！老师在课堂上讲这些的时候，我就像在听天书一样。
我看看周围的同学，有的皱着眉头，有的一脸迷茫，估计和我差不多。
我心里忍不住想：“这东西怎么这么难呀，难道是要故意为难我们吗？”我回家问爸爸妈妈，他们看着我，也是一脸无奈。
爸爸说：“孩子，这对爸爸来说也太复杂啦！”妈妈接着说：“宝贝，妈妈也搞不懂呢。
”后来在学校，我和同桌小明一起讨论。
我问他：“小明，你懂移动最小二乘法的曲线曲面拟合吗？”小明摇摇头说：“不懂，感觉像外星语言。
” 我们俩你看看我，我看看你，都忍不住笑了。
我就一直在想，这就好像是一个超级大的迷宫，我们怎么都找不到出口。
数学的世界有时候真的好奇怪呀，一会儿是简单的加减乘除，一会儿又冒出这么难的东西。
这移动最小二乘法的曲线曲面拟合，难道是数学王国里的大怪兽，专门来拦住我们前进的路？老师为了让我们明白，在黑板上画了好多图，讲了好多遍。
可我还是似懂非懂的。
我多希望能有一把神奇的钥匙，一下子就能打开这个知识的大门，让我清楚地看到里面到底是怎么回事。
我又去问班上的数学小天才小刚，我说：“小刚，你给我讲讲呗。
”小刚很耐心地跟我说：“其实吧，就是用一种特别的方法去把一些曲线和曲面弄明白。
” 我着急地问：“那到底怎么弄明白呀？”小刚挠挠头说：“哎呀，我也说不太清楚。
”我觉得吧，学习这个就像爬山，我们一直在努力往上爬，可这座山好高好高，爬得好累呀！但我可不会轻易放弃，我一定要弄明白这个移动最小二乘法的曲线曲面拟合到底是怎么回事！我相信，只要我一直努力，总有一天能征服这座知识的大山！示例文章篇二：哎呀呀，这题目可把我难住啦！什么是移动最小二乘法的曲线曲面拟合呀？对于我这个小学生来说，简直就像是外太空的神秘语言！老师在课堂上讲这个的时候，我看好多同学都一脸懵。
我心里就在想：“这东西难道比孙悟空的七十二变还难？” 我瞪大眼睛，努力想听明白，可那些复杂的公式和概念就像调皮的小猴子，在我脑子里上蹿下跳，就是不让我抓住它们。
几种最小二乘法递推算法的小结
一、 递推最小二乘法递推最小二乘法的一般步骤：1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵ϕ：] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=ϕ没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ϕ。
2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。
一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。
3. 按照下式计算增益矩阵G ：)()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ϕϕϕ-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ：)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k y k G k k T θϕθθ5. 按照下式计算新的协方差阵P ：)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ϕ6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准那么。
如满足，那么不再递推；如不满足，那么从第三步开场进展下一次地推，直至满足要求为止。
停机准那么：εϑϑϑ<--)(ˆ)1(ˆ)(ˆmax k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准那么。
7. 别离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中别离出来。
8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪声， 辨识结果为，，，b ，与真实值2，5，，b5相差无几。
程序5-7-2-1在计算模拟观测值时参加了白噪声序列，由于噪声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。
辨识结果为a1 =， a2 =，756，b378。
程序5-7-2-2在计算模拟观测值时参加了有色噪声，有色噪声为E(k)+1.642E(k-1)+0.715E(k-2)，E(k)是白噪声序列，由于有色噪声的影响，此时的辨识结果变动范围远比白噪声时大，任取一组结果作为辨识结果。
最小二乘的解
最小二乘的解
最小二乘法是一种常见的数学方法，用于解决线性回归问题。
它的基本思想是通过求解最小化误差平方和的问题，找到最接近观测数据的数学模型。
在最小二乘法中，我们首先需要有一组观测数据，通常表示为一系列的点。
我们假设这些观测数据可以由一个线性模型表示，该模型可以用一条直线的方程来描述。
我们的目标是找到一条直线，使得观测数据点到这条直线的距离之和最小。
为了达到这个目标，我们先定义一个误差函数，它是观测数据点到直线的距离的平方和。
然后我们通过对误差函数求导，将问题转化为求解一个线性方程组的问题。
最终，我们可以得到一组系数，这些系数可以用来表示最佳拟合直线的方程。
最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以使用最小二乘法来分析需求和供应关系。
在物理学中，最小
二乘法可以用来拟合实验数据，从而找到实验结果的数学模型。
在工程学中，最小二乘法可以用来解决信号处理和图像处理的问题。
总而言之，最小二乘法是一种强大的数学工具，用于解决线性回归问题。
通过最小化观测数据与数学模型之间的误差平方和，我们可以找到最佳拟合模型的系数。
这种方法在实际应用中具有重要的意义，并且被广泛应用于各个领域。
最小二乘法
数值分析作业最小二乘法最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得最佳”结果或最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y= a+ bx,对其进行n(n> 2)次观测而获得n对数据。
若将这n对数据代入方程求解a，b之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法，其基本思想就是寻找最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。
正如美国统计学家斯蒂格勒(S.M. Stigler)所说,最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”最小二乘法创立的历史过程充满着丰富的科学思想,这些对今日的数学创造仍有着重要的启示意义。
本文旨在全面认识最小二乘法的历史系统发育过程以及创立者的思路。
一先驱者的相关研究天文学和测地学的发展促进了数理统计学及其他相关科学的发展。
丹麦统计史家哈尔德曾指出天文学在数理统计学发展中所起的作用。
“天文学自古代至18 世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子,在此种意义下,天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均,以及参数模型中的种种估计方法,以最小二乘法为顶峰。
” 这也说明了最小二乘法的显著地位。
有关统计计算思想记载的著作要首推天文学家罗杰柯茨的遗作,即1715年其所发论文中所蕴含的统计方法,亦即对各种观测值赋予加权后求其加权平均。
尽管当时得到认可,然而事实证明如此计算的结果不太精确。
1749年,欧拉(L. Euler,1707—1783)在研究木星和土星之间相互吸引力作用对各自轨道影响时,最后得到一个含8个未知量75个方程的线性方程组。
欧拉的求解方法繁杂而奇特,只能看作是一次尝试。
曲线拟合方法浅析
曲线拟合方法概述工业设计 张静 1014201056引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。
现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
1 曲线拟合的概念在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。
但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。
曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。
即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。
2 曲线拟合的方法2.1最小二乘法最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。
该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：δ=∑-=n i y x f i i 02))((对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。
2.2 移动最小二乘法移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数 从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
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移动最小二乘法是形成无网格方法逼近函数的方法之一。已在无网格方法中得 到广泛应用。其优点是有很好的数学理论支持，因为基于最小二乘法，所以数 值精度较高。对于每个固定点，移动最小二乘法即为通常的最小二乘法。最小 二乘法的缺点也是移动最小二乘法的缺点，即易形成病态或奇异的方程组。 移动最小二乘法原理 假设待求函数u(x)在求解区域Ω中的N个节点xi(i=1,2,...,N)处的函数值ui=u(xi)是 已知的，我们的目的是在区域Ω中构造待求函数u(x)的全局近似函数uh(x)，待求 函数在计算点x的领域Ωx内可以局部近似为
h
( x, x ) 在这些节点 x xi 处的误
J ( x xi )[u h ( x, xi ) u( xi )]2 ( x xi )[ pi ( xi )ai ( x) u( xi )]
i 1 i 1 i 1
N
N
m
2
上式可用矩阵形式表示为： J ( Pa u)T W ( x)(Pa u) 式中：
u (x,x ) pi(x )ai(x) pT (x)a(x)
h i 1
m
式中： x [ x, y, z ]T 是计算点x的领域Ωx内各点的空间坐标，
pT ( x ) [ p1 ( x ), p2 ( x ),, pm ( x )]
pi (x ) 是基函数；m是基函数个数；a( x) [a1 ( x), a2 ( x),, am ( x)]T , ai ( x)是待定系数 .
式中A(x)和B(x)分别为：
A( x) PTW ( x) P B( x ) P T W ( x ( x)u
这样逼近函数uh(x)的表达式为：
u ( x) p ( x)a( x) ( x)u i ( x)ui
h T i 1
uT (u1 , u2 ,, uN )
p1 ( x1 ) p (x ) P 1 2 p1 ( xn ) p2 ( x1 ) p 2 ( x2 ) p 2 ( xn ) pm ( x1 ) p m ( x2 ) p m ( xn )
二维空间中单项式基函数分类
线性基：
二次基：
pT ( x ) [1, x, y], m 3. pT ( x ) [1, x, y, x 2 , xy, y 2 ], m 6.
紧支集：定义域为D的函数f(x)具有紧支集是说集合{x|f(x)≠0}属于D内部，f(x)=0在D 的边界达到. 将求解区域Ω用N个节点离散，在每个节点xi(i=1,2,...N)处定义一个权函数 i ( x xi ) 权函数ωi只在节点xi周围的有限区域Ωi中大于零，而在该领域外均为零即该函数式 紧支的，区域Ωi称为权函数ωi(x)的支撑域也称为节点xi的支撑域或节点xi的影响域. 设计算点x的邻域Ωx包括N个节点，近似函数 u 差的加权平方和如下：
N
式中Φ(x)为形函数：
( x) [1 ( x), 2 ( x),, N ( x)] pT ( x) A1 ( x)B( x)
最小二乘法与移动最小二乘法比较 （1）拟合函数的建立不同。移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项 式或其它函数，而是由一个系数向量a(x)和基函数p(x)构成，这里a(x)不是常数， 而是坐标x 的函数。 （2）引入紧支（Compact Support）概念，认为点x 处的值y 只受x 附近子 域内节点影响，这个子域称作点x 的影响区域（支撑域），影响区域外的 节点对x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数ω(x)，如果权函数 在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。
优势：移动最小二乘法的这些改进能够带来许多优点，减缓或解决传统曲线曲面 拟合过程中存在的困难。可以取不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权 函数以改变拟合曲线(曲面)的光滑度，这是其它拟合方法无法做到的。
0 0 ( x x1 ) 0 ( x x2 ) 0 W ( x) 0 0 ( x xn )
为了得到a(x) 对J取极值即得：
J A( x) a ( x) B ( x)u 0 a
即：
A( x)a( x) B( x)u