高考模拟信息卷--河北省石家庄市第二中学2018届高三1.5模数学(理)试题(A)扫描版含答案
2018届石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试 理科数学
2018届石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知i 是虚数单位，则|2i1＋i|＝ ( )A ．1B ．2 2C ．2D ． 22、已知集合M ＝{x ｜x 29＋y 24＝1|}，N ＝{y ｜x 3＋y2＝1}，则M ∩N ＝ ( )A ．B ．{(3,0)，(0,2)}C ．[－2，2]D ．[－3，3]3、某种电路开关闭和后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．124、已知双曲线C 过点(2，3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线C 的方程为( )A.7x 216－y 212＝1B.y 23－x 22＝1 C. x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．16(π＋1)3B ．8(2π＋1)3C. 8(2π＋1)D ．16(π＋1)6、若执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为4，则判断框内应填入的条件是( )A．k＜18 B．k＜17C．k＜16 D．k＜157、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)( x∈[－π12，2π3]，0＜φ＜π2)的图象如图所示，如果f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则f(x1＋x2)＝()A.0 B．1C. 2 D． 38、现有四个函数：①y＝x sin x，②y＝x cos x，③y＝x|cos x|，④y＝x2x的部分图像如图，但顺序被打乱，则按照图像从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()OyxA．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①9、已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝7，S6＝63，则数列{na n}的前n项和为( )A．－3＋(n＋1)×2n B．3＋(n＋1)×2nC．1＋(n＋1)×2n D．1＋(n－1)×2n10、已知(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4a1＋a3等于()A．－6160B．－122121C．－34D．－9012111、已知△ABC的顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为32R，AB＝BC＝AC＝3，则球O的体积为()A ．163πB.16π C ．323πD.32π12、设实数λ＞0，若对任意的x ∈(0，＋∞)，不等式e λx －ln xλ≥0恒成立，则λ的最小值为( )A ．1eB ．12eC ．2eD ．e 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国百强校】河北省石家庄市第二中学2018届高三1.5模理数(A)试题
2018届高三1.5模数学（理）试题（A ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =（ ）A ．{}|14x x -<<B ．{}|03x x <<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2.设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12i -C ．32-D ．32i -3.欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A ．2πB ．1πC ．2π1 D ．14π4.已知向量(3,1)a =-，(1,2)b =-，若||5a b λ-=，则实数λ=（ ） A ．1或3-B ．1-C ．3-D ．1-或35.已知双曲线C ：22194x y -=的两条渐近线是1l ，2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 的距离是3，则点M 到渐近线2l 的距离是（ ） A ．1213B ．1C ．3613D ．36.若4cos()cos sin()sin 5αβααβα-+-=-，3(,)2πβπ∈，则cos 2β=（ ） A ．1010B ．31010C ．1010-D ．31010-7.如图是为了求出满足122222018n+++>…的最小整数n ， 和 两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018?S >，输出1n -B ．2018?S >，输出nC ．2018?S ≤，输出1n -D ．2018?S ≤，输出n8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积等于（ ）A ．2(486)cm π+B ．2(642428)cm π++C ．2(6424214)cm π++ D ．2(722428)cm π++9.已知01b a <<<，1c >，则下列各式中成立的是（ ） A ．baa b <B ．b ac c >C ．log log a b c c >D ．log log c c b a a b >10.如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，6DA DC ==，现沿对角线AC 折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A ．92π B ．823π C ．272π D ．12π11.若焦点为F ，准线为l 的抛物线C ：22x py =（0p >）上一点A （点A 在第一象限），过点A 作直线1AA l ⊥，垂足为1A ，三角形1AA F 是等边三角形，且三角形1AA F 的面积为43，过点A 作互相垂直的直线AM ，AN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，点P 在直线MN 上，且0AP PM ⋅=，点P 的轨迹为（ ） A ．抛物线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线12.已知函数221,0,()ln(),0,x ax a x f x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩2()12g x x a =+-，若函数(())y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．51(,1)(1,)2-+∞ B ．51(,)2-+∞ C ．51(,1)2- D ．(,1)-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++…，则128a a a +++…的值是 ．14.已知实数x ，y 满足10,210,0,y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 的值为 ．15.已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当(0,)x e ∈，()ln f x x =，若在区间[],3e e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则正数k 的取值范围是 ．16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3AC =，2BC =，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某届数学青年教师优质课展评活动有96位教师进行优质课展示（每位教师展示1节课），现将96节课分为三类：教师主讲只有极少数学生参与的为A 类，多数学生参与的为B 类，全体学生参与的为C 类，且A 、B 、C 三类课的节数比例为8:5:3．（1）为便于研究分析，中学数学专业委员会的教育专家们将A 类归为传统课堂模式，B 、C 类归为新课改课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，并得到22⨯列联表如表：（单位：节）高效 非高效 总计 新课改课堂模式 30 18 48 传统课堂模式16 32 48 总计465096请根据统计数据回答有没有99.5%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由；（2）中学数学专业委员会采用分层抽样的方法从现场展示的96节课中选出16节课作为样本，然后对担任这16节课的16位授课教师作进一步调查，现从样本中B 类和C 类的课堂中随机抽取3位授课教师，记抽到C 类课堂授课教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且224AD BC AB ===，AB AD ⊥，侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，且四边形11ABB A 是菱形，13B BA π∠=，M 为1A D 的中点.（1）证明：//CM 平面11AA B B ； （2）求二面角1A CD A --的余弦值．20.已知1F 、2F 为椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点，过椭圆长轴上一点(,0)M m （不含端点）作一条直线l ，交椭圆于A 、B 两点．（1）若直线2AF ，AB ，2BF 的斜率依次成等差数列（公差不为0），求实数m 的取值范围；（2）若过点1(0,)3P -的直线交椭圆C 于E 、F 两点，则以EF 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．21.已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈．（1）若函数()y f x =依次在x a =，x b =，x c =（a b c <<）处取到极值． ①求t 的取值范围；②若22a c b +=，求t 的值．（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1C ：cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换'3,'2x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(2cos sin )8ρθθ-=． （1）求曲线2C 和直线l 的普通方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|23|1f x x =-+．（1）求不等式()|31|f x x ≥+的解集； （2）若不等式13()||222t f x x x ≤++-的解集非空，求实数t 的取值范围．2018届高三1.5模数学（理）试题（A ）答案一、选择题1-5:BCDAA 6-10:CABDA 11、12：BA二、填空题13.3- 14.5 15.11[,)3e e16.7 三、解答题17.解：（1）当1n =时，11321S a =+，可得11a =，当2n ≥时，由11321,321,n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩得113()22n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=-，从而1(2)n n a -=-．（2）由(1)n n b n a =+，得1(1)(2)n n b n -=+⨯-，则01212(2)3(2)4(2)(1)(2)n n T n -=⨯-+⨯-+⨯-+++⨯-…，①1212 2(2)3(2)(2)(1)(2)n n n T n n --=⨯-+⨯-++⨯-++⨯-…，②由①-②得012132(2)(2)(2)(2)(1)(2)n n n T n -=⨯-+-+-++--+⨯-…1(2)1(1)(2)1(2)nn n --=+-+⨯---44()(2)33n n =-+⨯-， 从而434(2)99n n n T +=-⨯-．18.解：（1）由列联表中的统计数据计算得，2296(30321816)8.1817.87948484650K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 由临界值表知2(7.879)0.005P K >=，所以有99.5%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关． （2）易知样本中担任B 类和C 类课堂的教师分别有5人和3人， 故随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则3053385(0)28C C P C ξ===，21533815(1)28C C P C ξ===，12533815(2)56C C P C ξ===，0353381(3)56C C P C ξ===，因此ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P528 1528 1556 156所以5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19.（1）证明：取1AA 的中点N ，连接MN ，BN ． 在1ADA ∆中，//MN AD 且12MN AD =， 又//BC AD 且12BC AD =，所以//MN BC 且MN BC =， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而//CM BN ，又BN ⊂平面11AA B B ，MC ⊄平面11AA B B ，所以//CM 平面11AA B B ． （2）解：取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ， 因为在菱形11AA B B 中，13B BA π∠=，所以1111AB AA AB A B ===， 所以11AP A B ⊥， 又11//AB A B ， 所以AP AB ⊥，又侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，侧面11ABB A 平面ABCD AB =，所以AP ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示），则(0,0,0)A ，(0,4,0)D ，(2,2,0)C ，(0,0,3)P ，1(1,0,3)A -，(2,2,0)CD =-，1(3,2,3)CA =--． 因为AP ⊥平面ABCD ，所以(0,0,3)AP =为平面ABCD 的一个法向量．设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =，由1,,n CD n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即220,3230,x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩取53(1,1,)3n =为平面1A CD 的一个法向量，所以2225335313cos ,31||||5331+1+()3AP n AP n AP n ⨯⋅<>===⋅⨯． 设二面角1A CDA --大小为θ，(0,)2πθ∈，531cos 31θ=．20.解：（1）由题意知1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()y k x m =-（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11()y k x m =-，22()y k x m =-， 因为1212211y y k x x +=--，即()2112()211k x m k x m k x x --+=--，整理得12()(1)2(1)x x m m +-=-，公差不为0，所以122x x +=，由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=，由2122412k m x x k +=+，得2102(1)k m =>-，所以1m >． 又点(,0)M m 在椭圆长轴上（不含端点），所以12m <<，即实数m 的取值范围为(1,2)．（2）假设以EF 为直径的圆恒过定点．当EF x ⊥轴时，以EF 为直径的圆的方程为221x y +=； 当EF y ⊥轴时，以EF 为直径的圆的方程为22116()39x y ++=，则两圆的交点为(0,1)Q ． 下证当直线EF 的斜率存在且不为0时，点(0,1)Q 在以EF 为直径的圆上，设直线EF 的方程为013y k x =-（00k ≠），代入2212x y +=，整理得2200416(21)039k x k x +--=， 设33(,)E x y ，44(,)F x y ，则0342043(21)k x x k +=+，3420169(21)x x k -=+， 33(,1)QE x y =-，44(,1)QF x y =-，所以343434030444(1)(1)()()33QE QF x x y y x x k x k x ⋅=+--=+--2034034416(1)()39k x x k x x =+-++20002200416416(1)09(21)33(21)9k k k k k -=+⋅-⋅+=++， 所以点(0,1)在以EF 为直径的圆上． 综上，以EF 为直径的圆恒过定点(0,1)Q ．21.解：（1）①23232'()(3123)(63)(393)xxxf x x x e x x x t e x x x t e =-++-++=--++， ∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个根a ，b ，c ， 令32()393g x x x x t =--++，2'()3693(1)(3)g x x x x x =--=+-，()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，(1,3)-上递减，∵()g x 有3个零点，∴(1)0,(3)0,g g ->⎧⎨<⎩∴824t -<<．②∵a ，b ，c 是()f x 的三个极值点，∴32393()()()x x x t x a x b x c --++=---32()()x a b c x ab bc ca x abc =-+++++-，∴3,9,3,a b c ab ac bc t abc ++=⎧⎪++=-⎨⎪+=-⎩∴1b =或32b =-（舍去），∴123,1,123,a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩∴8t =．（2）不等式()f x x ≤，即32(63)xx x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-，转换为存在实数[]0,2t ∈，使对任意[]1,x m ∈，不等式3263xt xex x x -≤-+-恒成立，即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立，即不等式2063x e x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立．设2()63xx ex x ϕ-=-+-，则'()26x x e x ϕ-=--+，设()'()26x r x x e x ϕ-==--+，则'()2x r x e -=-，因为1x m ≤≤，有'()0r x <，故()r x 在区间[]1,m 上是减函数，又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，3(3)0r e -=-<，故存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0r x x ϕ==．当01x x ≤<时，有'()0x ϕ>，当0x x >时，有'()0x ϕ<，从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减，又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<，所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<，故使命题成立的正整数m 的最大值为5．22.解：（1）由已知有'3cos ,'2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得22''134x y +=，将sin ,cos ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的方程得l ：28x y -=，∴曲线2C 的方程为22''134x y +=，直线l 的普通方程为l ：28x y -=．（2）由（1）可设点(3cos ,2sin )P θθ，[0,2)θπ∈，则点P 到直线l 的距离为：|4sin()8||23cos 2sin 8|355d πθθθ-+--==， 故当sin()13πθ-=，则56πθ=时d 取最大值1255，此时点P 的坐标为3(,1)2-．23.解：（1）由()|31|f x x ≥+，可得|31||23|1x x +--≤， 则当32x ≥时，31231x x +-+≤，即3x ≤-，不符合题意； 当1332x -<<时，31231x x ++-≤，即35x ≤，∴1335x -<≤；当13x ≤-时，31231x x --+-≤，即5x ≥-，∴153x -≤≤-． 综上不等式()|31|f x x ≥+的解集诶3|55x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）符合题意的t 的取值范围为13()||222t f x x x >++-恒成立的补集； 13()||222t f x x x >++-恒成立等价于|23|10x tx --+>恒成立， 3(2)2,,2()|23|13(2)4,,2t x x g x x tx t x x ⎧--≥⎪⎪=--+=⎨⎪-++<⎪⎩ 若满足题意需20,20,3()0,2t t g ⎧⎪-≥⎪+≥⎨⎪⎪>⎩解得322t -≤<，所以t 的取值范围是2(,2)[,)3-∞-+∞．若。
(解析版)河北省石家庄市2018届高三高中毕业班模拟考试(二)数学(理)试题
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据条件求出集合等价条件，结合集合的补给和交集的定义进行求解即可.详解：由，或，则，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，求出集合的等价条件是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.2.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设复数，利用相等，求得，进而可求复数的模.详解：设复数，则，则，所以，所以，故选C.点睛：本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.3.已知命题：，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据题意，求得，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.详解：由题意可得，解得，则“”是“”成立的充分不必要条件， 即“”是“”成立的充分不必要条件，故选A.点睛：本题考查了充分不必要条件的判定，其中正确求解命题，利用集合之间的大小关系是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 4.函数的部分图象可能是（ ）A. B. .C. D.【答案】A 【解析】分析：由函数的解析式，求得函数为奇函数，再根据特殊点的函数值，即可作出选择.详解：由，可得，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、C ，又由，排除D ，故选函数的大致图象为选项A ，故选A.点睛：本题考查了函数的图象的识别，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数值的估算等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. 5.已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】分析：求出椭圆的焦点坐标，得到，再由双曲线的渐近线方程可得，解方程求得的值，进而得到双曲线的方程.详解：曲线的一条渐近线的方程为，即又椭圆的焦点坐标为，即，所以，解得，所以双曲线的方程为，故选D.点睛：本题考查了双曲线方程的求法，解答中注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点坐标的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据程序的运算功能是计算的前项的和，利用数列求和即可求解.详解：由题意，执行如图所示的程序框图，可知该程序的运算功能是计算的前项的和，又由，所以输出，故选B.点睛：本题考查了循环结构的程序的运算功能和结果的输出问题，其中正确的理解题意，读懂程序框图的功能和计算的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知为正方形，其内切圆与各边分别切于，，，，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设设正方形的边长为，分别求解圆和正方形的面积，得到在圆内且在内的面积，即可求解相应的概率.详解：设正方形的边长为，则圆的半径为，其面积为，设正方形的边长为，则，其面积为，则在圆内且在内的面积为，所以，故选C.点睛：本题考查了条件概率的计算，其中解答中设出正方形的边长，求解出解圆和正方形的面积，得到在圆内且在内的面积是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根据三视图得到原几何体为一个三棱锥，即可求解该三棱锥的体积. 详解：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥， 其中三棱锥的底面（俯视图）的面积为，高为，所以该三棱锥的体积为，故选B.点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 9.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】分析：根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可.详解：将函数图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，然后向左平移，得到，因为，所以，当时，，函数的最大值为，要使在上有两个不相等的实根，则，即实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中求出函数的解析式以及利用整体转换法是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题.10.若函数，分别是定义在上的偶函数，奇函数，且满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：运用奇偶性的定义，将换为，解方程可得，计算可得所求大小关系.详解：函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，其满足，可得，解得，可得，，，，所以，故选D.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中求出函数的解析式，利用函数的奇偶性和作差比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】分析：由题意可得为等腰直角三角形，设，运用椭圆的定义可得，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率.详解：由且，可得为等腰直角三角形， 设，即有，则,在直角三角形中，可得，化为，可得，故选D.点睛：本题考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的应用，及椭圆的离心率的求解，其中解答中运用椭圆的定义，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.12.为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：在高度处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，解得椎体所得面积为，，，求出，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可. 详解：在高度处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，可得，，由，可得，则，所以该牟合方盖的体积为，故选B.点睛：本题考查了不规则几何体的体积的求法，解答中由截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，解得椎体所得面积为，求出，再由定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能，属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式各项系数之和为256，则展开式中含项的系数为__________．【答案】28【解析】分析：由已知求得，写出二项式展开式的通项，由的指数为求得的值，即可求解.详解：由题意，，解得，所以，其展开式的通项为，取，得展开式中含项的系数为.点睛：本题考查了指定项的二项式系数的求解，其中熟记二项展开式的通项是解答关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题.14.设等差数列的前项和为，若，，则公差__________．【答案】【解析】分析：利用等差数列的通项公式与求和公式，即可求解.详解：在等差数列中，由，则，所以.点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，其中数据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，，其面积为3，设点在内，且满足，则__________．【答案】【解析】分析：由三角形的面积公式，求得，再利用平面向量的数量积的运算公式，进而可求解的值.详解：由中，，其面积为，则，则，又由，即，所以，设，则.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量数量积的坐标运算，即可求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．16.对，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据二次函数的性质计算的最小值，从而得出与之间的关系，分类讨论得出，求出右侧函数的最大值，即可得出的范围.详解：由，得，所以当时，取得最小值，所以，因为，所以，因为，所以的最大值为，所以.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，函数存在性问题与函数最值的关系，其中解答中熟记二次函数的性质和函数存在性问题与函数最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角、、的对边分别为、、，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得的值.详解：(1)由已知及正弦定理得：，，(2)又所以，．点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．附表：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）根据已知数据得到列联表，求出，从而有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对冰球由兴趣的学生频率是，由题意知，由此能求出的分布列，期望和方差.详解：（1）根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为，.点睛：本题主要考查了独立性检验和二项分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确利用二项何分布的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．（1）证明：平面平面；（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由四边形为矩形，可得，再由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，利用线面垂直的判定定理可得面，即可证得平面；（2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解得. 进而求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD.（2）设BC中点为,连接，，又面面，且面面，所以面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，可得所以由题得，解得.所以设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线与轨迹交于，两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】分析：（1）设，则，利用，即可求解轨迹的方程；（II）设的方程为，联立方程组，求得，又由，得到点，在利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可表达的面积，求得的值，进而得到直线的方程；详解：（1）设，则，，，，，即轨迹的方程为.（2）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为，由，消去可得：，设，，，，，即，，即，，即，，到直线的距离，，解得，直线的方程为或．法2：（Ⅱ）设,AB的中点为则直线的方程为，过点A,B分别作，因为为AB 的中点，所以在中，故是直角梯形的中位线，可得，从而点到直线的距离为：因为E点在直线上，所以有，从而由解得所以直线的方程为或．点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.设函数．（1）求证：当时，；（2）求证：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：当时，等价于，构造函数，则，记，利用到函数求解函数的极值，转化为求解判断函数的单调性，即可得到结果；（2）由（1）可知，当时，，于是，转化证明求解即可.详解：(1)当时，等价于，构造函数,.则，记，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.于是，，即当时，，为上的增函数，所以，，即.于是，当时，.(2)由(1)可知，当时，.于是，.所以，.解不等式，可得，取.则对任意给定的正数，，当时，有，即.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．（1）写出曲线的参数方程；（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】分析：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程.（2）将直线的参数方程化为标准形式代入曲线，得到，进而可求解结论.详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为，整理得，曲线的参数方程（为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），将参数方程带入得整理得.，，．点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.已知函数，为不等式的解集.（1）求集合；（2）若，，求证：.【答案】（1）.（2）见试题解析.【解析】分析：（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出的范围；（2）由，即可证得求证的不等式.详解：（1）当时，，由解得，；当时，，恒成立，；当时，由解得，综上，的解集（2）由得.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，着重考查了的转化为转化能力和计算能力，属于中档试题，对于绝对值不等式的解法有三种：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题(A)含答案
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题（A ）含答案石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}2.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=（ ）A ．B C ．2 D ．43.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．234.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．32C ．3D ．4 6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤ D．5?i ≥7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：S =a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．83π+B ．84π+C ．85π+D ．86π+9.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ） A ．2[1,]3- B ．1[1,]3- C ．[1,1]- D ．1[,1]310.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC +的最大值为（ ）A B ．．．11.过抛物线214y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线1y =-上，若ABC ∆为正三角形，则其边长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1412.设xOy ，''x Oy 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox 正方向到'Ox 正方向的角度为θ，那么对于任意的点M ，在xOy 下的坐标为(,)x y ，那么它在''x Oy 坐标系下的坐标(',')x y 可以表示为：'cos sin x x y θθ=+，'cos sin y y x θθ=-.根据以上知识求得椭圆223'''5'10x y y -+-=的离心率为（ ）A ．3．4．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.命题p ：01x ∃≥，200230x x --<的否定为 ．14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．16.已知函数31()1x x f x x -+=-，ln ()xg x x =，若函数(())y f g x a =+有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则1232()()()g x g x g x ++的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()n n S m m R +=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求二面角A SB C --的余弦值.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元. （Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在2(1)2(,]1010n n-(1,2,3,4,5)n =时，日平均派送量为502n +单.若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由. （参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA 二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙 15. 22,0e e ⎛⎫-⎪-⎝⎭三、解答题 17解：(1) 法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()nn S m m R -=+∈，当当2n ≥时，12222n n n n a S S -=-=，即12(2)n n a n -=≥， 又1122ma S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=. 法二：由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩，从而有2213322,4a S S a S S =-==-=， 所以等比数列公比322a q a ==，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=. （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-，1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+，12111111(1)2335212121n n nT b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形， 又CD AB 2=,所以M 为AB 的中点. 因为λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ， 则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中， 因为SA SD =，所以AE DE ===，又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===， 以下建系求解.以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y 轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,0,1)SA =-，(0,2,0)AB =，(0,2,1)SC =-，(1,0,0)CB =，设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =，则110n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以020x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量，同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量，12121210cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==⋅，因为二面角A SB C --为钝角， 所以二面角A SB C --余弦值为5-.19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ， （2）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲，()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，所以X 乙的分布列为：所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙，()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，②答案一：由以上的计算可知，虽然()()E X E X <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出，()()E X E X <乙甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF 的斜率不存在时，设2(1,)2A -，则2(1,)2B --， 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --= 275x ∴=，210y =-，则7(,510D -∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k -==--，直线OA的斜率为22k =-121(626k k ∴⋅=-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=， 又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---， ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+， 直线OA 的斜率为020y k x =， ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e'-=-=-+， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=， 设)(x f 在(-1，0)处的切线方程为)(x h ， 易得，()1()11h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =- 即()()()1()1111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()1()2x F x x e e '=+-， 当2x ≤-时，()11()20x F x x e e e '=+-<-< 当2x >-时，设()1()()2x G x F x x e e'==+-， ()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故0)1()(=-≥F x F ，11()()f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则111me x e'=-+-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =，令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-<-<，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 0)0()(=≥T x T ，22()()f x t x ≥ ，设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥， 又11x x '≤，2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为22((1)4x y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， 即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>）6πS MON =∆. 当12πθ=时, 32+≤∆MON S ，所以△MON 面积的最大值为2.23. 【解析】（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-， 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。
高三数学河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试试题(A卷)理科数学及参考答案及参考答案
河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学试题（理）（A卷）【参考答案】1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 16. 22,0e -e ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解：(1)法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m -=+∈R ,当当2n ≥时,12222n n n n a S S -=-=,即12(2)n n a n -=≥, 又1122m a S ==+,当2m =-时符合上式,所以通项公式为12n n a -=, 法二： 由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ,从而有2213322,4a S S a S S =-==-=, 所以等比数列公比322a q a ==,首项11a =,因此通项公式为12n n a -=, （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-,1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+, 12111111(1)2335212121n n n T b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.解：（1）因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM 平面ABCD =DM ,所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又,CD AB 2=,所以M 为AB 的中点,因为AB AM λ=,12λ∴=； （2）因为BC ⊥SD , BC ⊥CD ,所以BC ⊥平面SCD ,又因为BC ⊂平面ABCD ,所以平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD 平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ,则SE ⊥平面ABCD ,在Rt SEA 和Rt SED 中,因为SA SD =,所以AE DE ==,又由题知45EDA ∠=,所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===,以下建系求解.以点E 为坐标原点,EA 方向为X 轴,EC 方向为Y 轴,ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系,则(0,0,0)E ,(0,0,1)S ,(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,0,1)SA =-,(0,2,0)AB =,(0,2,1)SC =-,(1,0,0)CB =,设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =,则1100n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以020x z y -=⎧⎨=⎩, 令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量,同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量, 12121210cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅,因为二面角A SB C --为钝角,所以二面角A SB C --余弦值为5-. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ,乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y . ①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲, ()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44.S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲所以X 乙的分布列为： 所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙.()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64.S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙②答案一： 由以上的计算可知,虽然()()E X E X <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出,()()E X E X <乙甲,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r cr r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x y C x y , 当直线1AF 的斜率不存在时,设(1,2A -,则(1,2B --, 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --= 275x ∴=,210y =-则7(,510D - ∴直线BD的斜率为1(1027(1)5k -==--,直线OA的斜率为22k =-121(6k k ∴⋅==-, 当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得： 22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=,又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++ 设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x --- , ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+, 直线OA 的斜率为020y k x =, ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭, 又()()1x f x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e'-=-=-+, 若1a e=,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=, 设)(x f 在(-1,0)处的切线方程为)(x h ,易得,()1()11e h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令()()()F x f x h x =-即()()()1()1e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭,()1()2e ex F x x '=+-, 当2x ≤-时,()11()2e 0e ex F x x '=+-<-< 当2x >-时,设()1()()2e ex G x F x x '==+-, ()()3e 0x G x x '=+>, 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增,又(1)0F '-=,所以当(),1x ∈-∞-时,()0F x '<,当()1,x ∈-+∞时,()0F x '>,所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,-+∞上单调递增, 故0)1()(=-≥F x F ,11()()f x h x ≥,设()h x m =的根为1x ',则1e 11em x '=-+-, 又函数()h x 单调递减,故111()()()h x f x h x '=≥,故11x x '≤,设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =,易得()t x x =令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--,()()2e 2xT x x '=+-, 当2x ≤-时,()()2220x T x x e '=+-<-<当2x >-时,故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0T '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0T x '<,当()0,x ∈+∞时,()0T x '>,所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增, 0)0()(=≥T x T ,22()()f x t x ≥ ,设()t x m =的根为2x ',则2x m '=,又函数()t x 单调递增,故222()()()t x f x t x '=≥,故22x x '≥,又11x x '≤,2121e (12e)111e 1e m m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22.解：（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为2y =+, 曲线C是圆心为,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得：2r =；可知曲线C的方程为22((1)4x y +-=,所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=, 即4sin()3ρθπ=+ ； (2)由（1）不妨设M （1,ρθ）,)6,(2πθρ+N ,（120,0ρρ>>）6πS MON =∆ ,, 当12πθ=时, 32+≤∆MO N S , 所以△MON面积的最大值为2+.23. 解：（1）由题意可知32x x m --≥恒成立,令3()2x g x x -=-, 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=,222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥= 当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立, 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。
河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试(二)数学(理)试卷(扫描版)
ʯ¼Ò¡Á¯ÊÐ2017-2018Ñ¡ìĨº¸ßÖСÀÏÒµ¡ã¨¤µÚ¶þ´ÎÄ£Ä⿼ÊÔÊÔÌâ理科数学答案一. 选择题:1-5BCAAD 6-10BCBCD 11-12DB 二.填空题:13. 28 14. 52-15. 3m ≤ 三、解答题：17.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=…………………………….(2分) sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=………….(4分)sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=…………………….(6分)(Ⅱ)11sin 2242ABCSbc A bc ===∴= ………………….(8分) 又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-……………….(10分)所以，2……………………………………………….(12分)根据列联表中的数据，得到...............4分所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。
.....6分（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是43，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是43， 由题意知），（35~B X ，从而X 的分布列为415435)(=⨯==np X E ， ..........................................10分3315()(1)5(1)4416D X np p =-=⨯⨯-=. ..........................................12分19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC .∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ， ┈┈┈┈┈2分 ∴CD ⊥PB . ┈┈┈┈3分 ∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD . ┈┈┈┈4分 ∵PB ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD . ┈┈┈┈┈5分 （2）设BC 中点为O ,连接,PO OE ，,PB PC PO BC =∴⊥，又面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC 面ABCD BC =，所以PO ⊥面ABCD 。
河北省石家庄是2018年高三毕业班第二次模拟考试试卷数学(理科)
河北省石家庄市2018年高三毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）2018年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学理科答案一、选择题1—5：DBACA 6—10：BABAD 11—12：BC 二、填空题13. 5 14.20x y -+= 15. (1,3]三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分） 17. 解：（Ⅰ）：由已知的等差中项和是A c a B b cos C cos cos 得 2bcosB=acosC+ccosA …………………………2分 代入a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,化简得2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ，………………………4分 所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在三角形ABC 中，sinB ,0≠3,21cos π==B B 所以.………………………6分（Ⅱ）当△ABC 的外接圆面积为π时，则R=1，所以直径2R=2， b=2RsinB=3，……………………8分由余弦定理，b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号。
所以得到ac ≤3，………………………10分 则433ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC .…………………12分 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品的频率为6.05040.05080.0=⨯+⨯，二级品的频率为4.05.06.05020.0=⨯+⨯，三级品的频率为0所以，在A 型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件D ，恰好有n 个一级品为事件n D ，则=)(2D P 213101426=C C C ，=)(3D P 6131036=C C ……………………………2分因为事件32D D 、为互斥事件，所以，=+=)()()(32D P D P D P 326121=+ 即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为32……………………………4分（Ⅱ）设投资A 、B 两种型号节能灯的利润率分别为1X 、2X ，由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为53、52，0B 型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为107、41、201所以1X 、2X 的分布列分别是：……………………………………………………………….6分 则1X 、2X 的期望分别是：53255253)(221a a a a X E +=⨯+⨯=，10720262045107)(2222a a a a a X E +=++⨯=所以，a a X E X E 1012014)()(221-=-71()107a a =-………………………………8分因为61101<<a ，所以从长期看 当71101<<a 时，投资B 型号的节能灯的平均利润率较大 6171<<a 时，投资A 型号的节能灯的平均利润率较大 71=a 时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等…………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）因为,AE EF ⊥所以,PE EF ⊥ 又因为PE EB ⊥，且,FEEB B =所以PE ⊥平面FEB ，即PE ⊥平面BCDFE …………………….4分 （Ⅱ）在梯形ABCD 中，易求得2AB =． 设AE t =(02)t <<，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)E ，(,0,0)A t -，(0,0,)P t ，(2,0,0)B t -，(4C t -，所以BC =，(2,0,)PB t t =--，设平面PBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则1100BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20(2)0x t x tz ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，xz令1y =得12)(3,1,)t n t-=-为平面PBC 的一个法向量， 易知2(1,0,0)n =为平面PEF 的一个法向量，…………………8分 所以(121212cos ,||||nn n n n n <>===，…………..10分因为平面PEF 与平面PBC4=23t =或2t =-（舍）. 此时点E 为线段AB 的三等分点（靠近点A ）。
2018届河北省石家庄高三教学质量检测(二)数学(理)试题(解析版)
河北省石家庄2018届高三教学质量检测（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】,故选.2. 已知复数满足，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,虚部为,即,故对应点在第一象限.3. 在等比数列中，2，，则( )A. 28B. 32C. 64D. 14【答案】B【解析】,故选.4. 设且，则“”是“”的( )A. 必要不充分条件B. 充要条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必要条件【答案】C【解析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.5. 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值，如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的值为( )(参考数据：，，)A. 24B. 36C. 48D. 12【答案】C【解析】,判断否,,判断否,,判断否,,判断是,输出,故选.6. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据向量运算的几何性质可知,以为邻边的平行四边形对角线相等,所以该四边形为矩形,两个向量相互垂直,且且对角线与的夹角为,与的夹角为,故选.7. 在的展开式中，含项的系数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意有,故系数为,选.8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B. C. 8 D.【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体为下图所示的四棱锥,故体积为.9. 某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差④B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班成绩的标准差其中正确结论的编号为( )A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③【答案】A【解析】班平均值,标准差.班平均值,标准差,故班平均值高,标准差小,故选.10. 已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,所以,右移的到,将选项代入验证可知选项正确.11. 倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线的参数方程为,代入椭圆方程并化简得,所以,由于,即,代入上述韦达定理,化简得,即.故选.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程的设法,考查直线参数方程参数的几何意义.由于本题直线过焦点,而且知道它的倾斜角为,在这里可以考虑设直线方程的点斜式,也可以考虑设直线的参数方程,考虑到,即,所以采用直线参数方程,利用参数的几何意义,可以快速建立方程,求出结果.12. 已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且(为函数的导函数)，若且，则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】构造函数,,所以是上的减函数.令,则,由已知,可得,下面证明,即证明,令,则,即在上递减,,即,所以,若,则.故选.【点睛】本小题主要考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,关键在于构造函数法.问题的关键点在于利用好,这是一个含有原函数和它的导函数的式子,故考虑用构造函数法构造函数,构造函数后,就可以用上已知条件来判断单调性了.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用，，，，分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_____________.【答案】【解析】基本事件的总数为.中间最大,只能放,即,其它位置的方法数为种,故概率为.14. 设变量满足约束条件，则的最大值为_____________.【答案】3【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.15. 已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】当时,,当时,,所以,当时,当为大于的偶数时,为递减数列;当为大于的奇数时为负数,且为递增数列,即的长度不断减小,要使得成立,则需,故填.【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法,考查数列的单调性和一元二次不等式的解法.由于题目给定的表达式,故可利用公式求得数列的通项公式为.这个数列奇数项为负数,偶数项为正数,并且分别趋向于零,所以最外面的两个数即是的取值范围.16. 在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为_____________.【答案】【解析】画出图象如下图所示.由于,所以平面,所以三点共线.以分别为轴建立平面直角坐标系,则,设直线的方程为,则直线的方程为.令求得,而.联立解得.由点到直线的距离公式可计算得,所以.即最小值为.【点睛】本小题主要考查空间点线面的位置关系,考查线面垂直的证明,考查三点共线的证明,考查利用坐标法解决有关线段长度比值的问题,是一个综合性很强的题目.首先考虑折叠问题,折叠后根据线线垂直关系推出三点共线,将问题转化为平面问题来解决,设好坐标系后写出直线的方程即直线的方程,根据点到直线距离公式写出比值并求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角的对边长分别为，且.(1)求角的大小；(2)设为边上的高，，求的范围.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】(1)利用切化弦化简题目所给方程,可求得,由此求得角的大小.(2)利用三角形的面积公式求得,利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围,进而求得的取值范围.【试题解析】（1）在△ABC中（2）18. 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：(1)根据数据可知与具有线性相关关系，请建立关于的回归方程(系数精确到)；（2）已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以 (单位：件)表示日销量，，则每位员工每日奖励100元；，则每位员工每日奖励150元；，则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量服从正态分布，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位).参考数据：，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，.参考公式：对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.若随机变量服从正态分布，则，.【答案】(1)；(2)元.【解析】【试题分析】(1)利用回归直线方程计算公式计算出回归直线方程.(2)根据正态分布概率可计算得销售量在,,上的概率,用奖金乘以对应的概率然后相加,再乘以,可求得总奖金额.【试题解析】（1）由题可知，将数据代入得所以关于的回归方程（2）由题6月份日销量服从正态分布，则日销量在的概率为，日销量在的概率为，日销量的概率为，所以每位员工当月的奖励金额总数为元.19. 如图，三棱柱中，侧面为的菱形，.(1)证明：平面平面.(2)若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【试题分析】(1)连接交于，连接,根据菱形的几何性质与等腰三角形的几何性质可知,,由此证得平面,故平面平面.(2) 以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系,通过计算直线的方向向量与平面的法向量,来求得直线与平面所成角的正弦值.【试题解析】（1）连接交于，连接侧面为菱形，，为的中点，又，平面平面平面平面.（2）由，，，平面，平面从而，，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系直线与平面所成的角为，设，则，又，△是边长为2的等边三角形，设是平面的法向量，则即令则设直线与平面所成的角为则直线与平面所成角的正弦值为.20. 已知圆的圆心在抛物线上，圆过原点且与抛物线的准线相切. (1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别在点处作抛物线的两条切线交于点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】【试题分析】(1)写出圆心/半径,焦点坐标和准线方程,根据原点在圆上及圆心到抛物线的距离建立方程,解方程组求得的值,由此得到抛物线方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和抛物线线的方程,写出韦达定理,利用导数求出切线的方程,求出交点的坐标,利用弦长公式和点到直线距离公式写出三角形面积的表达式,并由此求得最小值.【试题解析】（1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线因为圆C与抛物线F的准线相切，所以，且圆C过焦点F，又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，即所以，即，抛物线F的方程为（2）易得焦点，直线L的斜率必存在，设为k，即直线方程为设得，，对求导得，即直线AP的方程为，即，同理直线BP方程为设，联立AP与BP直线方程解得，即所以，点P到直线AB的距离所以三角形PAB面积，当仅当时取等号综上：三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【试题分析】(1)当时,,故函数在上单调递增.当或时,利用导数求得函数的单调区间.(2) 由（Ⅰ）可知若函数存在极大值，则，且，解得，由此求得函数的表达式.将所要证明的不等式转化为证.构造函数,利用二阶导数求得函数的最小值大于或等于零......................【试题解析】（Ⅰ）由题意，当时，，函数在上单调递增；当时，函数单调递增，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增；当时，函数单调递减，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数存在极大值，则，且，解得，故此时，要证，只须证，及证即可，设，．，令，所以函数单调递增，又，，故在上存在唯一零点，即．所以当，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，故，所以只须证即可，由，得，所以，又，所以只要即可，当时，所以与矛盾，故，得证．（另证）当时，所以与矛盾；当时，所以与矛盾；当时，得，故成立，得，所以，即．【点睛】本题主要考查导数与单调性,考查利用导数证明不等式. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线、的极坐标方程；(2)射线与曲线、分别交于点(且均异于原点)当时，求的最小值.【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为；(2).【解析】【试题分析】(1)利用消去参数得到圆的直角坐标方程,在转化为极坐标方程,直接利用公式将的直角坐标方程转化为极坐标方程.(2)联立射线和圆的极坐标方程,求得,联立射线的方程和椭圆的极坐标方程求得,再用基本不等式求得最小值.【试题解析】（1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为的极坐标方程为（2）联立与的极坐标方程得，联立与的极坐标方程得，则= ==（当且仅当时取等号）.所以的最小值为23. 已知函数.(1)当时，求的解集；(2)若，当，且时，，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】(1)当时,利用零点分段法去绝对值,将函数化为分段函数,进而求得不等式的解集.(2)化简,即,求得函数的最大值,解不等式组可求得的取值范围.【试题解析】当时，当时，无解；当时，的解为；当时，无解；综上所述，的解集为当时，所以可化为又的最大值必为、之一即即又所以所以取值范围为。
河北省石家庄市第二中学2018届高三1.5模数学(理)试题(A)(Word版含答案)
2018届高三1.5模数学（理）试题（A ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =I （ ） A ．{}|14x x -<< B ．{}|03x x << C ．{}|02x x << D ．{}|01x x <<2.设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12i -C ．32-D ．32i -3.欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A ．2πB ．1πC ．2π1 D ．14π4.已知向量(3,1)a =-r ，(1,2)b =-r ，若||5a b λ-=r r，则实数λ=（ ）A ．1或3-B ．1-C ．3-D ．1-或35.已知双曲线C ：22194x y -=的两条渐近线是1l ，2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 的距离是3，则点M 到渐近线2l 的距离是（ ） A ．1213B ．1C ．3613D ．36.若4cos()cos sin()sin 5αβααβα-+-=-，3(,)2πβπ∈，则cos 2β=（ ） A ．1010B ．31010C ．1010-D ．31010-7.如图是为了求出满足122222018n+++>…的最小整数n ， 和 两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018?S >，输出1n -B ．2018?S >，输出nC ．2018?S ≤，输出1n -D ．2018?S ≤，输出n8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积等于（ ）A ．2(486)cm π+B ．2(6428)cm π+C ．2(64214)cm π+ D ．2(7228)cm π+9.已知01b a <<<，1c >，则下列各式中成立的是（ ） A ．baa b <B ．b ac c >C ．log log a b c c >D ．log log c c b a a b >10.如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，6DA DC ==，现沿对角线AC 折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A ．92π B ．823C ．272π D ．12π11.若焦点为F ，准线为l 的抛物线C ：22x py =（0p >）上一点A （点A 在第一象限），过点A 作直线1AA l ⊥，垂足为1A ，三角形1AA F 是等边三角形，且三角形1AA F 的面积为43过点A 作互相垂直的直线AM ，AN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，点P 在直线MN上，且0AP PM ⋅=u u u r u u u u r，点P 的轨迹为（ ）A ．抛物线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线12.已知函数221,0,()ln(),0,x ax a x f x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩2()12g x x a =+-，若函数(())y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,1)(1,)2+∞U B ．51,)2+∞ C ．51,1)2D ．(,1)-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++…，则128a a a +++…的值是 ．14.已知实数x ，y 满足10,210,0,y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 的值为 ．15.已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当(0,)x e ∈，()ln f x x =，若在区间[],3e e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则正数k 的取值范围是 ． 16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3AC =，2BC =，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某届数学青年教师优质课展评活动有96位教师进行优质课展示（每位教师展示1节课），现将96节课分为三类：教师主讲只有极少数学生参与的为A 类，多数学生参与的为B 类，全体学生参与的为C 类，且A 、B 、C 三类课的节数比例为8:5:3．（1）为便于研究分析，中学数学专业委员会的教育专家们将A 类归为传统课堂模式，B 、C 类归为新课改课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，并得到22⨯列联表如表：（单位：节）高效 非高效 总计 新课改课堂模式 30 18 48 传统课堂模式16 32 48 总计465096请根据统计数据回答有没有99.5%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由； （2）中学数学专业委员会采用分层抽样的方法从现场展示的96节课中选出16节课作为样本，然后对担任这16节课的16位授课教师作进一步调查，现从样本中B 类和C 类的课堂中随机抽取3位授课教师，记抽到C 类课堂授课教师的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且224AD BC AB ===，AB AD ⊥，侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，且四边形11ABB A 是菱形，13B BA π∠=，M 为1A D 的中点.（1）证明：//CM 平面11AA B B ； （2）求二面角1A CD A --的余弦值．20.已知1F 、2F 为椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点，过椭圆长轴上一点(,0)M m （不含端点）作一条直线l ，交椭圆于A 、B 两点．（1）若直线2AF ，AB ，2BF 的斜率依次成等差数列（公差不为0），求实数m 的取值范围； （2）若过点1(0,)3P -的直线交椭圆C 于E 、F 两点，则以EF 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 21.已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈．（1）若函数()y f x =依次在x a =，x b =，x c =（a b c <<）处取到极值． ①求t 的取值范围；②若22a c b +=，求t 的值．（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1C ：cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换'3,'2x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(2cos sin )8ρθθ-=．（1）求曲线2C 和直线l 的普通方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|23|1f x x =-+．（1）求不等式()|31|f x x ≥+的解集； （2）若不等式13()||222t f x x x ≤++-的解集非空，求实数t 的取值范围．2018届高三1.5模数学（理）试题（A ）答案一、选择题1-5:BCDAA 6-10:CABDA 11、12：BA 二、填空题13.3- 14.5 15.11[,)3e e三、解答题17.解：（1）当1n =时，11321S a =+，可得11a =， 当2n ≥时，由11321,321,n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩得113()22n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=-，从而1(2)n n a -=-．（2）由(1)n n b n a =+，得1(1)(2)n n b n -=+⨯-，则01212(2)3(2)4(2)(1)(2)n n T n -=⨯-+⨯-+⨯-+++⨯-…，①1212 2(2)3(2)(2)(1)(2)n n n T n n --=⨯-+⨯-++⨯-++⨯-…，②由①-②得012132(2)(2)(2)(2)(1)(2)n n n T n -=⨯-+-+-++--+⨯-…1(2)1(1)(2)1(2)nn n --=+-+⨯---44()(2)33n n =-+⨯-， 从而434(2)99n n n T +=-⨯-． 18.解：（1）由列联表中的统计数据计算得，2296(30321816)8.1817.87948484650K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，由临界值表知2(7.879)0.005P K >=，所以有99.5%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关．（2）易知样本中担任B 类和C 类课堂的教师分别有5人和3人， 故随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则3053385(0)28C C P C ξ===，21533815(1)28C C P C ξ===，12533815(2)56C C P C ξ===，0353381(3)56C C P C ξ===， 因此ξ的分布列为：所以()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19.（1）证明：取1AA 的中点N ，连接MN ，BN ． 在1ADA ∆中，//MN AD 且12MN AD =， 又//BC AD 且12BC AD =，所以//MN BC 且MN BC =， 所以四边形MNBC 是平行四边形，从而//CM BN ，又BN ⊂平面11AA B B ，MC ⊄平面11AA B B ，所以//CM 平面11AA B B ． （2）解：取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ， 因为在菱形11AA B B 中，13B BA π∠=，所以1111AB AA AB A B ===， 所以11AP A B ⊥， 又11//AB A B ， 所以AP AB ⊥，又侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，侧面11ABB A I 平面ABCD AB =， 所以AP ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz-（如图所示），则(0,0,0)A ，(0,4,0)D ，(2,2,0)C ，(0,0,3)P ，1(1,0,3)A -，(2,2,0)CD =-u u u r ，1(3,2,3)CA =--u u u r．因为AP ⊥平面ABCD ，所以(0,0,3)AP =u u u r为平面ABCD 的一个法向量．设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =r ，由1,,n CD n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u rr u u u r 即220,3230,x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 取53(1,1,)n =r 为平面1A CD 的一个法向量， 所以2225335313cos ,31||||5331+1+()3AP nAP n AP n ⨯⋅<>===⋅⨯u u u r ru u u r r u u ur r ． 设二面角1A CD A --大小为θ，(0,)2πθ∈，531cos θ=．20.解：（1）由题意知1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()y k x m =-（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11()y k x m =-，22()y k x m =-，因为1212211y y k x x +=--，即()2112()211k x m k x m k x x --+=--，整理得12()(1)2(1)x x m m +-=-，公差不为0，所以122x x +=，由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=，由2122412k m x x k +=+，得2102(1)k m =>-，所以1m >． 又点(,0)M m 在椭圆长轴上（不含端点），所以1m <<，即实数m的取值范围为．（2）假设以EF 为直径的圆恒过定点．当EF x ⊥轴时，以EF 为直径的圆的方程为221x y +=； 当EF y ⊥轴时，以EF 为直径的圆的方程为22116()39x y ++=，则两圆的交点为(0,1)Q ． 下证当直线EF 的斜率存在且不为0时，点(0,1)Q 在以EF 为直径的圆上，设直线EF 的方程为013y k x =-（00k ≠），代入2212x y +=，整理得2200416(21)039k x k x +--=，设33(,)E x y ，44(,)F x y ，则0342043(21)k x x k +=+，3420169(21)x x k -=+， 33(,1)QE x y =-u u u r ，44(,1)QF x y =-u u u r，所以343434030444(1)(1)()()33QE QF x x y y x x k x k x ⋅=+--=+--u u u r u u u r2034034416(1)()39k x x k x x =+-++20002200416416(1)09(21)33(21)9k k k k k -=+⋅-⋅+=++， 所以点(0,1)在以EF 为直径的圆上． 综上，以EF 为直径的圆恒过定点(0,1)Q ．21.解：（1）①23232'()(3123)(63)(393)xxxf x x x e x x x t e x x x t e =-++-++=--++， ∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个根a ，b ，c ， 令32()393g x x x x t =--++，2'()3693(1)(3)g x x x x x =--=+-，()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，(1,3)-上递减，∵()g x 有3个零点，∴(1)0,(3)0,g g ->⎧⎨<⎩∴824t -<<．②∵a ，b ，c 是()f x 的三个极值点，∴32393()()()x x x t x a x b x c --++=---32()()x a b c x ab bc ca x abc =-+++++-， ∴3,9,3,a b c ab ac bc t abc ++=⎧⎪++=-⎨⎪+=-⎩∴1b =或32b =-（舍去），∴11,1a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩∴8t =． （2）不等式()f x x ≤，即32(63)xx x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-， 转换为存在实数[]0,2t ∈，使对任意[]1,x m ∈，不等式3263x t xex x x -≤-+-恒成立，即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立，即不等式2063x e x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立．设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则'()26x x e x ϕ-=--+，设()'()26x r x x e x ϕ-==--+，则'()2x r x e -=-，因为1x m ≤≤，有'()0r x <，故()r x 在区间[]1,m 上是减函数，又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，3(3)0r e -=-<，故存在0(2,3)x ∈，使得00()'()0r x x ϕ==．当01x x ≤<时，有'()0x ϕ>，当0x x >时，有'()0x ϕ<，从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减，又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<，所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<，故使命题成立的正整数m 的最大值为5．22.解：（1）由已知有','2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得22''134x y +=， 将sin ,cos ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的方程得l ：28x y -=， ∴曲线2C 的方程为22''134x y +=，直线l 的普通方程为l ：28x y -=．（2）由（1）可设点,2sin )P θθ，[0,2)θπ∈，则点P 到直线l 的距离为：|4sin()8|d πθ-+==， 故当sin()13πθ-=，则56πθ=时d取最大值5，此时点P 的坐标为3(,1)2-． 23.解：（1）由()|31|f x x ≥+，可得|31||23|1x x +--≤， 则当32x ≥时，31231x x +-+≤，即3x ≤-，不符合题意； 当1332x -<<时，31231x x ++-≤，即35x ≤，∴1335x -<≤； 当13x ≤-时，31231x x --+-≤，即5x ≥-，∴153x -≤≤-． 综上不等式()|31|f x x ≥+的解集诶3|55x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）符合题意的t 的取值范围为13()||222t f x x x >++-恒成立的补集； 13()||222t f x x x >++-恒成立等价于|23|10x tx --+>恒成立， 3(2)2,,2()|23|13(2)4,,2t x x g x x tx t x x ⎧--≥⎪⎪=--+=⎨⎪-++<⎪⎩ 若满足题意需20,20,3()0,2t t g ⎧⎪-≥⎪+≥⎨⎪⎪>⎩解得322t -≤<， 所以t 的取值范围是2(,2)[,)3-∞-+∞U ．。
河北省石家庄二中2018届高三8月模拟数学(理)试题含答案
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2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知集合{}21A x x =<，113xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂= ( )A ．∅B ．{}10x x -<<C ．{}01x x <<D ．{}11x x -<< 2. 已知命题()0:0,,ln 1p x xx ∃∈+∞=- ，则命题p 的真假及p ⌝依次为（ ）A ．真；()00,,ln 1x xx ∃∈+∞≠- B ．真；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-C ．假；()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-D ．假；()000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-3。
设复数z 满足()12i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4。
在平面直角坐标系中，A ∠的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点)P a,若660A ∠=︒，则a = ( ）A ．3-B ．3C 。
1-D ．15. 已知点D 是ABC ∆所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+，则λμ-=( ）A ．6B ．6-C 。
32- D ．23错误!未定义书签。
6.已知函数()1xx f x e x =++，则12x x+>是()()()()1212f x f x f x f x +>-+-的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件7。
已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ )A ．79B ．79- C 。