九年级数学下册 第2章 圆 2.7 正多边形与圆练习 (新版)湘教版
湘教版九年级数学XJ版下册补充优质题库 第2章 圆 2.7 正多边形与圆 2.7正多边形与圆
2.7 正多边形与圆
1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°
B
D
C A
(1) (2) (3)
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．
A．36° B．60° C．72° D．108°
3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）
A．18° B．36° C．72° D．144°
4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．
5．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC=6，则AD的长为________．
6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．
7.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角
为α的方向折向行走。
按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（）。
A、52°
B、60°
C、72°
D、76°
8.如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．
（1）求证：四边形CDEM是菱形；。
【教学专用】九年级数学下册 第2章 圆 2.7 正多边形与圆练习 (新版)湘教版
2.7 正多边形与圆知|识|目|标1．通过对多边形的边角比较，归纳出正多边形的概念及相关性质．2．通过回顾尺规作图，掌握画圆的内接正多边形的方法．3．通过操作与讨论，理解正多边形的对称性，并能进行相关计算．目标一理解正多边形的有关概念例1 教材补充例题下列说法正确的是( )A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形【归纳总结】正多边形及其有关概念：(1)正多边形的定义包含了正多边形的基本性质：①各边相等；②各角相等．(2)正多边形的判定方法：同时满足条件：①各边相等；②各角相等的多边形是正多边形．目标二会画正多边形例2 教材补充例题已知⊙O和⊙O上的一点A，如图2－7－1所示．(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题所作的图中，如果点E在劣弧AB上，试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边．图2－7－1【归纳总结】等分圆周画正多边形的工具和方法：(1)只用量角器：用量角器把360°圆心角n等分，相应圆周也n等分，顺次连接各分点得到正n边形．(2)用量角器和圆规：先用量角器画出360°圆心角的n分之一，从而得到圆周的n分之一，再用圆规顺次截取，便得圆周的n等分点，顺次连接各分点得到正n边形．(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊正多边形．目标三 能进行正多边形的有关计算例3 教材补充例题如图2－7－2，G ，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC ，CD 上的点，且AG ＝5，BG ＝CH ，AG 交BH 于点P .(1)求BH 的长；(2)求∠APH 的度数．图2－7－2【归纳总结】正n 边形中存在的“三个角”“三条线段”“一个周长”和“一个面积”：(1)与正n 边形有关的角：①中心角：每个中心角的度数为360°n； ②内角：每个内角的度数为（n －2）·180°n ； ③外角：每个外角的度数为360°n. (2)正多边形的半径R 、边心距r 、边长a 间的关系：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋r 2＝R 2. (3)正n 边形的周长l 与边长a ，面积S 与边长a 、边心距r 间的关系：周长l ＝na ；面积S ＝12arn .知识点一 正多边形的有关概念正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形．将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．知识点二正多边形的画法基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，画正多边形．常用方法：(1)用量角器等分；(2)用圆规等分．知识点三正多边形的对称性正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有____条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的______．当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线所在的直线；当n为偶数时，正n边形有____条对称轴是过顶点与中心的直线，有____条对称轴是过中心与边垂直的直线．正偶数边形都是中心对称图形，它的对称中心是这个正多边形的中心．判断：正多边形都是中心对称图形．( )答案：√以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] C 通过举反例可以知道菱形的各边相等，但它不是正多边形，可以排除选项A ，矩形各角相等，但它不是正多边形，可以排除选项B ，D .例2 [解析] (1)根据正方形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)通过计算EB 所对的圆心角的度数来证明．解：(1)在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD(如图所示)；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH.(2)证明：连接OE.∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°. ∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°， ∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，解得n ＝12， ∴EB 是⊙O 内接正十二边形的一边．例3 解：(1)在正六边形ABCDEF 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝120°.在△ABG 与△BCH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BG ＝CH ，∴△ABG ≌△BCH ，∴BH ＝AG ＝5.(2)由(1)知△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG ＝∠CBH ，∴∠BPG ＝∠ABG ＝120°，∴∠APH ＝∠BPG ＝120°.【总结反思】[小结] 知识点三 n 中心 n 2 n 2[反思] 不正确．因为只有正偶数边形才是中心对称图形．反思：正偶数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；正奇数边形仅是轴对称图形．。
湘教版数学九年级下册 第2章 圆 2.7 正多边形和圆 同步练习
第2章圆 2.7 正多边形与圆1. 下面图形中，是正多边形的是( ).A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形2.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是()A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正七边形3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有()①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个4. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是()A. R2－r2＝a2B. a＝2Rsin36°C. a＝2rtan36°D. r＝Rcos36°5. 小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A.23cmB.43cmC.63cmD.83cm6. 已知等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是()A.1∶2∶ 3B.2∶3∶4C.1∶3∶2D.1∶2∶37. 下列命题：①正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；⑤正n边形的中心角是a n＝360°n，且正多边形的中心角与其每一个外角相等.其中真命题有()A.2个B.3个C.4个D.5个8. 如图正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为.9. 已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为cm.10. 如图，已知⊙O的周长等于6πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为cm.11.圆内接正六边形的边心距为23，则这个正六边形的周长为cm.12. 已知正六边形的边长为4，如图，求这个正六边形的边长a6，周长P6，面积S6.13. 如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M，求证：(1) AC∥DE；(2) ME＝AE.14. 如图，点E、D分别是三角形ABC，正方形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点.(1) 求图①中，∠APD的度数；(2) 图②中，∠APD的度数为________，图③中，∠APD的度数为________；(3) 根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形中？若能，写出推广问题与结论；若不能，请说明理由.答案：1---7 CDCAB DA 8. π 9. 2 10. 3 11. 2412. 解：过O 作OG⊥AB 于G ，连接OA 、OB ，∴∠AOB＝360°6＝60°.∵OA＝OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴a 6＝4.P 6＝4×6＝24.在Rt △OAG 中，OA ＝4，AG ＝BG ＝2，∴OG ＝42－22＝23，∴S 6＝12×4×23×6＝24 3.答：这个正六边形的边长是4，周长为24，面积为24 3.13. （1） 证明：∵正五边形，∴AB＝CB ，∴∠BAC＝∠BCA.∵∠BAC＋∠BCA＋∠ABC ＝180°，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝36°.∵∠EAC＋∠BAC＝∠EAB＝108°，∴∠EAC ＝72°.∵∠AED＝108°，∴∠EAC＋∠AED＝180°，∴AC∥DE.（2） 证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠EAB＝108°，EA ＝AB ，∴∠BEA＝∠ABE ＝36°，同理∠MAB＝36°，∴∠EMA＝72°，∠EAM＝72°，∴EM＝EA.14. 解：(1) 正三角形ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC＝∠C＝60°，又BE ＝CD ，∴△ABE≌△BCD，∴∠BAE＝∠CBD.∵∠ABD＋∠DBC＝60°，∴∠ABD＋∠BAE＝60°，即∠APD＝60°； (2) 90°；108°；(3)能.推广的问题与结论为点E 、D 分别为正n 边形中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE ＝CD ，BD 与AE 交于点P ，则∠APD 的度数为n －2·180°n .。
2022春九年级数学下册 第2章 圆2.7 正多边形与圆2.7.1正多边形与圆习题课件湘教版
在 Rt△ BQC 中，∠ABC＝30°， ∴BC＝2QC≈19.6. ∴GC＝BC－BG＝BC－AC≈19.6－10＝9.6.
11．作图与证明： 如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务： (1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
4.【中考·自贡】图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将 正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一 个圆形桌面(可近似看成正方形的外接圆)，正方形桌面与 翻折成的圆形桌面 的面积之比最接近( C ) 4321 A.5 B.4 C.3 D.2
*5.【2020·凉山州】如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于⊙O，则 AD：AB 等于( ) A.2 2： 3 B. 2： 3 C. 3： 2 D. 3：2 2
(2)已知 FG＝2 3，求图中阴影部分的面积． 解：连接 AO，如图． ∵A︵B＝A︵F＝E︵F， ∴∠AOF＝60°，∠AFB＝∠FBE. ∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形． ∴∠AFO＝60°.
∵∠GFO＝90°，∴∠AFG＝30°. ∵FG＝2 3，∴AF＝4. ∴AO＝4.∵∠AFB＝∠FBE， ∴AF∥BE.∴S△ ABF＝S△ AOF. ∴图中阴影部分的面积为603·π6×042＝83π.
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数的关系．(直接写 答案) 解：∠APN＝(n－2n)·180°．
探究培优 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一2022/3/212022/3/212022/3/21
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/212022/3/212022/3/213/21/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/212022/3/21March 21, 2022
九下第2章圆2-7正多边形与圆习题新版湘教版
如图，⊙O 的半径为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形
面积近似估计⊙O 的面积，可得 π 的估计值为323，若用圆 内接正十二边形作近似估计，可得 π 的估
计值为( )
A． 3
B．2 2
C．3
D．2 3
【点拨】 如图，AB 是正十二边形的一条边，点 O 是正十二边形的
中心，OA＝OB＝1. 过 A 作 AM⊥OB 于 M，在正十二边形中， ∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝12OA＝12，∴S△AOB＝ 12OB·AM＝12×1×12＝14. ∴正十二边形的面积为 12×14＝3，∴3≈12×π.∴π≈3. ∴π 的估计值为 3. 【答案】C
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再 依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【解】连接 OD，如图． ∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝ON＝144°－120°＝24°. ∴360°÷24°＝15，即 n 的值是 15.
如图，延长HC交AD于B， ∵多边形是正六边形， ∴∠ACB＝60°. ∵BC∥直线l， ∴易得∠ABC＝90°. ∴∠α＝30°.
(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为___2__3___(结果保 留根号)．
【点拨】 如图，取中间正六边形的中心为O，过点O作ON垂直
直线l于点N，交CH于点M，延长AD 交直线l于E，延长CH交GK于点F， 连接AG，易得AG∥BF，AB∥GF， ∠GFH＝90°，
2.7 正多边形与圆
1 [2023·河北]如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若 △P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下 列正确的是( ) A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较
【点拨】
2019届九年级数学下册第二章2.7正多边形与圆练习新版湘教版
2.7 正多边形与圆基础题知识点1 认识正多边形1．正八边形的每个内角为(B)A．120°B．135°C．140°D．144°2．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 (B)A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(C)①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．A．3个B．4个C．5个D．6个知识点2 正多边形的有关作图4．用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆四等分，再将直角平分，最后依次连接各分点即可得正八边形．5．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：(1)如图，作直径AD；(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；(3)连接AB，AC，则△ABC为所求的三角形．请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．解：两位同学的方法正确．连接BO，CO，设BC交AD于点E.∵BC垂直平分OD，∴在Rt △OEB 中，cos ∠BOE ＝OE OB ＝12. ∴∠BOE ＝60°.由垂径定理，得∠COE ＝∠BOE ＝60°.∵AD 为直径，∴∠AOB ＝∠AOC ＝120°.∴AB ＝BC ＝CA ，即△ABC 为等边三角形．知识点3 正多边形与圆的有关计算6．(2017·滨州)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A) A. 2 B ．2 2 C.22 D ．17．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB ＝(A)A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°8．如图，已知正n 边形边长为a ，边心距为r ，求正n 边形的半径R 、周长P 和面积S.解：∵正n 边形边长为a ，OM ⊥AB ，OA ＝OB ，∴AM ＝12AB ＝12a. ∵边心距为r ，∴正n 边形的半径R ＝OM 2＋AM 2＝r 2＋（a 2）2＝124r 2＋a 2. ∴周长P ＝na.∴面积S ＝nS △OAB ＝n ×12a ×r ＝12nar.中档题9．(2017·达州)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A) A.22 B.32 C. 2 D. 310．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为(A)A ．2a 2B ．3a 2C ．4a 2D ．5a 211．(教材P86习题T3变式)如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为3的⊙O ，则劣弧AB 的长度为π．12．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM ＝48°．13．如图，正六边形ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，连接AE.已知⊙O 的半径为2 cm.(1)求∠AED 的度数和AB ︵的长；(2)求正六边形ABCDEF 与⊙O 的面积之比．解：(1)连接OA ，OB.∵ABCDEF 为正六边形，∴∠F ＝120°，∠AEF ＝30°.∴∠AED ＝120°－30°＝90°.∴∠AOB ＝360°×16＝60°， AB ︵的长为60π×2180＝2π3cm. (2)过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，∵∠AOH ＝30°，OA ＝2 cm ，∴由勾股定理得OH ＝ 3 cm ，S △AOB ＝12AB ·OH ＝12×2×3＝3(cm 2)． ∴正六边形ABCDEF 的面积为6S △AOB ＝6 3 cm 2，⊙O 的面积为π·22＝4π cm 2.∴正六边形ABCDEF 与⊙O 的面积之比＝63∶4π＝33∶2π.14．如图，已知正五边形ABCDE 中，BF 与CM 相交于点P ，CF ＝DM.(1)求证：△BCF ≌△CDM ；(2)求∠BPM 的度数．解：(1)证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠CDM.在△BCF 和△CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠CDM ，CF ＝DM ，∴△BCF ≌△CDM(SAS)．(2)∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BCF ＝180°×（5－2）5＝108°. ∴∠CBF ＋∠CFB ＝180°－∠BCF ＝72°.∵△BCF ≌△CDM ，∴∠MCD ＝∠CBF.∴∠MCD ＋∠CFB ＝72°.∴∠BPM ＝∠CPF＝180°－(∠MCD ＋∠CFB)＝108°.综合题15．如图1，2，3，…，m 中，M ，N 分别是⊙O 的内接正△ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON.(1)求图1中∠MON 的度数；(2)图2中∠MON 的度数是90°，图3中∠MON 的度数是72°；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系．(直接写出答案)解：(1)连接OB ，OC.∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OBN ＝∠OCN ＝30°.∴∠BOC ＝120°.而BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN(SAS)．∴∠BOM ＝∠CON.∴∠MON ＝∠BOC ＝120°.(3)∠MON ＝360°n.。
九年级数学下册第2章圆2.7正多边形与圆同步练习新版湘教版
2．7 正多边形与圆知识点 1正多边形的定义和作正多边形1．以下命题中，是真命题的有()①各边相等的多边形是正多边形；②各内角分别相等的多边形是正多边形；③各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图 2－7－ 1 所示，六边形 ABCDEF是⊙ O的内接正六边形，且OA＝4，则这个正六边形的边长是 ()图 2－ 7－1A．24B．6C．4D．233．在图 2－ 7－ 2 中，试分别按要求画出圆的内接正多边形．图 2－ 7－2知识点 2正多边形的性质4．正六边形的对称轴有()A．3条B．6条C．9条D．12条5．对于一个正多边形，以下说法错误的选项是()A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直均分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补6．假如一个正多边形绕它的中心旋转36°和本来的图形重合，那么这个正多边形可能是 ()A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形7．正七边形有________条对称轴．知识点 3正多边形的有关计算8．如图 2－ 7－ 3，正方形ABCD内接于⊙ O，它的边长为4，则⊙ O的半径是 ()图 2－ 7－3A．22B．42C．2D．49．2017·株洲以下圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是() A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形10．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A．互余B．互补C．互余或互补D．不可以确立11．2017·玉林如图2－ 7－ 4，在边长为 2 的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长订交获得一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ________．图 2－ 7－412．如图 2－ 7－ 5，六边形 ABCDEF是半径为 8 的⊙ O的内接正六边形，求它的周长和面积． ( 结果保留根号 )图 2－7－513．2017·滨州若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()2A.2B．22C.2D．1︵14．如图 2－ 7－ 6，半径为 1 的⊙ O与正六边形ABCDEF相切于点 A，D，则 AD的长为 ()图 2－ 7－61125A.6πB.3πC.3πD.6π15．如图 2－ 7－ 7，正方形 ABCD内接于⊙ O，其边长为 4，则⊙ O的内接正三角形 EFG的边长为 ________．图 2－ 7－716．如图2－7－ 8，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还需________个正五边形．图 2－ 7－817．2017·岳阳我国魏晋期间的数学家刘徽创立了“割圆术”，他以为圆内接正多边形的边数越多时，其周长就越凑近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内L 6r接正 n 边形的周长为L，圆的直径为 d，如图 2－ 7－ 9 所示，当 n＝ 6 时，π≈d＝2r＝ 3，那Lsin 15°＝cos75°≈ 0.259)么当 n＝ 12 时，≈＝ ________．( 结果精确到 0.01 ，参照数据：πd图 2－ 7－918．如图 2－ 7－ 10，在正五边形ABCDE中，对角线 AC，BD订交于点F.(1)判断△ ABF的形状，并说明原由；(2)求证：四边形 AFDE为菱形．图 2－7－10︵19 ．(1) 已知：如图①，△ABC是⊙ O的内接正三角形， P 为BC上一动点，求证：P A＝ PB ＋PC；︵(2)如图②，四边形 ABCD是⊙ O的内接正方形， P 为 BC上一动点，求证： PA＝ PC＋2PB；︵(3)如图③，六边形 ABCDEF是⊙ O的内接正六边形， P 为 BC上一动点，请研究 PA， PB，PC三者之间有何数目关系，并恩赐证明．图 2－7－11教师详解详析1． B 2.C 3. 略4． B [解析] 以以以下图，正六边形的对称轴有 6 条．5． B6 ． D [ 解析 ] A 项，正三角形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是120° .B 项，正方形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是 90° .C 项，正六边形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是 60° .D 项，正十边形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是36° . 应选 D.7． 78．A[解析]过点 O 作 OE ⊥AD 于点 E ，连接 OD ，则 AE ＝ DE ＝ 2，OE ＝ 2. 在 Rt △ ODE 中，OD ＝ 222.ED ＋ OE ＝ 29．A[解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是 360°÷ 3＝ 120°，正方形一条边所对的圆心角是 360°÷ 4＝ 90°，正五边形一条边所对的圆心角是 360°÷ 5＝ 72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷ 6＝ 60°， ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．应选A.10． B[解析] 设正多边形的边数为n ，则正多边形的中心角为360° ，正多边形的一个n360°外角等于n，因此正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的内角互补，因此正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．应选 B.211． 8＋ 82[ 解析] 由题意，可得＝ 2＋2×2＝2＋22 ，∴四边形的周AD2ABCD长是 4×(2 ＋ 2 2) ＝8＋8 2.12．解：连接 ， .OB OC∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠ BOC ＝ 60°， ∴△ OBC 是等边三角形， ∴ BC ＝ OB ＝8，∴正六边形 ABCDEF 的周长＝ 6× 8＝ 48. 过点 O 作 OG ⊥ BC 于点 G .∵△ OBC 是等边三角形， OB ＝8，∴∠ OBC ＝ 60°，3∴ OG ＝ OB ·sin ∠ OBC ＝8× 2 ＝4 3，∴1 1 3＝ 16 3，△ OBC ＝· ＝ ×8×4S 2BC OG 2∴S 六边形 ABCDEF ＝6 △ OBC ＝ 6× 163＝ 963.S13． A [ 解析] 如图，由“正方形的外接圆半径为2”可得＝ 2，∠ ＝ 45°，由切OB OBC线的性质可得∠＝ 90°，因此△ 为等腰直角三角形，因此 ＝ 2 ＝ 2.OCB OBCOC2 OB14． C [ 解析 ] 连接 OA ， OD ，∵⊙ O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A ， D ，∴∠＝∠＝ 90°.OAFODE∵∠ E ＝∠ F ＝ 120°，︵ 120π× 1 2π∴∠ AOD ＝ 540°－ 90°－ 90°－ 120°－ 120°＝ 120°，∴ AD 的长为180 ＝3 .应选C.15． 26 [ 解析 ] 连接 AC ， OE ， OF ，过点 O 作 OM ⊥ EF 于点 M .∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝ BC ＝4，∠ ABC ＝ 90°，∴ AC 是⊙ O 的直径， AC ＝42，∴ OE ＝ OF ＝2 2.∵ OM ⊥ EF ，∴ EM ＝ MF . ∵△ EFG 是等边三角形， ∴∠ GEF ＝ 60° .1在 Rt △ OME 中，∵ OE ＝ 2 2，∠ OEM ＝ 2∠ GEF ＝30°， ∴ OM ＝ 2， EM ＝ 6，∴ EF ＝ 2 6.故答案为 26.16．7 [ 解析 ] ∵多边形是正五边形， ∴内角是 1×(5 － 2) × 180°＝ 108°，∴∠ ＝ 180°5 O－ (180 °－ 108° ) － (180 °－ 108°) ＝ 36°，36°的圆心角所对的弧长为圆周长的 1，即 1010 个正五边形能围成这一圆环，因此要完成这一圆环还需 7 个正五边形．17．3.11 [ 解析 ]如图，圆的内接正十二边形被半径分成12 个以以以下图的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝ 30°，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝ 15°. ∵AO＝BO＝r，Rt△中，sin∠＝AH AH＝× sin15 °，＝ 2 ＝ 2r× sin15 °，∴，即 sin15 °＝，∴AOH AOH A O r AH r AB AHL24r× sin15 °L＝12×2r ×sin15°＝24r ×sin15°.又∵ d＝2r ，∴π≈d＝2r≈ 3.11.18．解： (1) △ABF是等腰三角形．原由：∵在正五边形ABCDE中，对角线BD， AC订交于点 F，∴∠ ABC＝∠ BCD＝108°，AB＝BC，BC＝ CD，∴∠ BAC＝∠ ACB＝36°，∠ CDB＝∠ CBD＝36°，∴∠ ABD＝∠ ABC－∠ CBD＝108°－36°＝72°，∴∠ AFB＝180°－36°－72°＝72°，∴∠ ABD＝∠ AFB，∴△ ABF为等腰三角形．(2)证明：∵五边形 ABCDE是正五边形，∴ AB＝ BC＝CD＝ DE＝AE.∵∠ ABD＋∠ BAE＝72°＋108°＝180°，∴BD∥ AE，同理， AC∥ DE，∴四边形 AFDE是平行四边形．∵ AE＝ DE，∴四边形 AFDE是菱形．19．解： (1) 证明：延长BP至 E，使 PE＝ PC，连接 CE，如图①.∵△ ABC是等边三角形，∴∠ BAC＝60°.∵ A， B， P， C四点共圆，∴∠ BAC＋∠ BPC＝180°.∵∠ BPC＋∠ EPC＝180°，∴∠ BAC＝∠ EPC＝60°.又∵ PE＝ PC，∴△ PCE是等边三角形，∴CE＝ PC，∠ E＝60°.又∵∠ BCE＝60°＋∠ BCP，∠ ACP＝60°＋∠ BCP，∴∠ BCE＝∠ ACP.∵△ ABC，△ ECP为等边三角形，∴CE＝ PC，AC＝ BC，∴△ BEC≌△ APC(SAS)，∴PA＝ BE＝PB＋ PC.(2)证明：过点 B 作 BE⊥ BP交 PA于点 E，如图②.∵∠ 1＋∠ 2＝∠ 2＋∠ 3＝ 90°，∴∠ 1＝∠ 3.易知∠ APB＝45°，∴ PB＝ BE，∴ PE＝2PB.又∵ AB＝ BC，∴△ ABE≌△ CBP，∴AE＝ PC.∴PA＝ AE＋PE＝ PC＋2PB.(3)PA＝ PC＋3PB.证明：过点 B 作 BM⊥ AP，在 AP上截取 AQ＝ PC，连接 BQ，如图③.∵∠ BAP＝∠ BCP， AB＝ BC，∴△ ABQ≌△ CBP，∴ BQ＝ BP，∴ PM＝ QM.PM又易知∠ APB＝30°，cos∠ APB＝，PB3∴PM＝2 PB，∴ PQ＝3 PB，∴PA＝ PQ＋AQ＝3PB＋ PC.。
2018_2019学年九年级数学下册第2章圆2.7正多边形与圆练习(新版)湘教版
2.7 正多边形与圆知|识|目|标1．通过对多边形的边角比较，归纳出正多边形的概念及相关性质．2．通过回顾尺规作图，掌握画圆的内接正多边形的方法．3．通过操作与讨论，理解正多边形的对称性，并能进行相关计算．目标一理解正多边形的有关概念例1 教材补充例题下列说法正确的是( )A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形【归纳总结】正多边形及其有关概念：(1)正多边形的定义包含了正多边形的基本性质：①各边相等；②各角相等．(2)正多边形的判定方法：同时满足条件：①各边相等；②各角相等的多边形是正多边形．目标二会画正多边形例2 教材补充例题已知⊙O和⊙O上的一点A，如图2－7－1所示．(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题所作的图中，如果点E在劣弧AB上，试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边．图2－7－1【归纳总结】等分圆周画正多边形的工具和方法：(1)只用量角器：用量角器把360°圆心角n等分，相应圆周也n等分，顺次连接各分点得到正n边形．(2)用量角器和圆规：先用量角器画出360°圆心角的n分之一，从而得到圆周的n分之一，再用圆规顺次截取，便得圆周的n等分点，顺次连接各分点得到正n边形．(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊正多边形．目标三 能进行正多边形的有关计算例3 教材补充例题如图2－7－2，G ，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC ，CD 上的点，且AG ＝5，BG ＝CH ，AG 交BH 于点P .(1)求BH 的长；(2)求∠APH 的度数．图2－7－2【归纳总结】正n 边形中存在的“三个角”“三条线段”“一个周长”和“一个面积”：(1)与正n 边形有关的角：①中心角：每个中心角的度数为360°n； ②内角：每个内角的度数为（n －2）·180°n ； ③外角：每个外角的度数为360°n. (2)正多边形的半径R 、边心距r 、边长a 间的关系：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋r 2＝R 2. (3)正n 边形的周长l 与边长a ，面积S 与边长a 、边心距r 间的关系：周长l ＝na ；面积S ＝12arn .知识点一 正多边形的有关概念正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形．将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．知识点二正多边形的画法基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，画正多边形．常用方法：(1)用量角器等分；(2)用圆规等分．知识点三正多边形的对称性正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有____条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的______．当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线所在的直线；当n为偶数时，正n边形有____条对称轴是过顶点与中心的直线，有____条对称轴是过中心与边垂直的直线．正偶数边形都是中心对称图形，它的对称中心是这个正多边形的中心．判断：正多边形都是中心对称图形．( )答案：√以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] C 通过举反例可以知道菱形的各边相等，但它不是正多边形，可以排除选项A ，矩形各角相等，但它不是正多边形，可以排除选项B ，D .例2 [解析] (1)根据正方形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)通过计算EB 所对的圆心角的度数来证明．解：(1)在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD(如图所示)；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH.(2)证明：连接OE.∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°. ∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°， ∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，解得n ＝12， ∴EB 是⊙O 内接正十二边形的一边．例3 解：(1)在正六边形ABCDEF 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝120°.在△ABG 与△BCH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BG ＝CH ，∴△ABG ≌△BCH ，∴BH ＝AG ＝5.(2)由(1)知△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG ＝∠CBH ，∴∠BPG ＝∠ABG ＝120°，∴∠APH ＝∠BPG ＝120°.【总结反思】[小结] 知识点三 n 中心 n 2 n 2[反思] 不正确．因为只有正偶数边形才是中心对称图形．反思：正偶数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；正奇数边形仅是轴对称图形．。
湘教版九年级下册数学 第2章 正多边形与圆
【点拨】当n是偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；当n 是奇数时，正n边形只是轴对称图形，不是中心对称图形，选项A错误．
【答案】A
2．【中考·河池】如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是(
)
3 A．1B. C. D．2
D
2
3
【点拨】过点B作BG⊥AC于点G. 由题意可知∠ABC＝120°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°，AG＝ AC＝ ，∴AB＝2，即边长为2.
∴MN＝2MH＝2PH＝8－4 ≈1.1.
3
3 3
14.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48， 试求正六边形的周长．
3
解：如图，连接 OA，作 OH⊥AC 于点 H，易知∠OAH＝30°. 在 Rt△OAH 中，设 OA＝R，则 OH＝12R， 由勾股定理，得 AH＝ OA2－OH2＝ R2－12R2＝ 23R. 易知△ACE 的面积是△OAH 面积的 6 倍， 即 6×12×23R×12R＝48 3，解得 R＝8(负值舍去)， 易得 AF＝OA＝8，所以正六边形的周长为 6×8＝48.
＝40°，∴∠AOD＝ ＝20°，
2 在Rt△AOD中，AD＝OA·sin ∠AOD＝Rsin 20°，∴AB＝2AD＝2Rsin 20°. 360°
9 40°
2
【答案】C
6．【中考·广元】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是上的一点，则
∠CPD的度数是( )
A．30° B．A3︵6E°
360° n.
2．将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内 接正多边形，这个圆是这个正多边形的________，正多边形的外接圆 的________叫作正多边形的中心．
九年级数学下册第2章圆2、7正多边形与圆2、7、2用三角函数解圆中的计算问题习题新版湘教版
11．【中考·广安】如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延 长 线 上 一 点 ， PC 切 ⊙ O 于 点 C ， CG 是 ⊙ O 的 弦 ， CG⊥AB，垂足为D.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC. 证明：连接OC. ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠PCA＋∠OCA＝90°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 即∠OCB＋∠OCA＝90°. ∴∠PCA＝∠OCB.
(2)求⊙O的半径r及∠3的正切值． 解：在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得 AB ＝ BC2＋AC2＝ 82＋62＝10. ∵OD∥AC， ∴OACD＝OABB，即6r＝101－0 r，∴r＝145.
在 Rt△ BDO 中 ， BD ＝ OB2－OD2 ＝ 10－1452－1452＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3. 在 Rt△ ACD 中，tan∠2＝CADC＝36＝12. ∵∠3＝∠2，∴tan∠3＝tan∠2＝12.
10.【中考·镇江】如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延 长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以 点O为圆心，OD长为半径的圆过点B.
(1)求证：直线AB与⊙O相切． 证明：证明：连接OB，如图所示． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD. ∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°， ∴∠D＋∠OCD＝90°.∴∠D＋∠ABC＝90°.
12．【中考·随州】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的 延长线上，且∠BAC＝2∠CBF.
(1)求证：BF是⊙O的切线．
证明：连接AE，如图． ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°. ∴∠1＋∠2＝90°，AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴2∠1＝∠BAC. ∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF. ∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°.∴AB⊥BF.
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2.7 正多边形与圆
知|识|目|标
1．通过对多边形的边角比较，归纳出正多边形的概念及相关性质．
2．通过回顾尺规作图，掌握画圆的内接正多边形的方法．
3．通过操作与讨论，理解正多边形的对称性，并能进行相关计算．
目标一理解正多边形的有关概念
例1 教材补充例题下列说法正确的是( )
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
【归纳总结】正多边形及其有关概念：
(1)正多边形的定义包含了正多边形的基本性质：①各边相等；②各角相等．
(2)正多边形的判定方法：同时满足条件：①各边相等；②各角相等的多边形是正多边形．目标二会画正多边形
例2 教材补充例题已知⊙O和⊙O上的一点A，如图2－7－1所示．
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题所作的图中，如果点E在劣弧AB上，试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边．
图2－7－1
【归纳总结】等分圆周画正多边形的工具和方法：
(1)只用量角器：用量角器把360°圆心角n等分，相应圆周也n等分，顺次连接各分点得到正n边形．
(2)用量角器和圆规：先用量角器画出360°圆心角的n分之一，从而得到圆周的n分之一，再用圆规顺次截取，便得圆周的n等分点，顺次连接各分点得到正n边形．
(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊正多边形．
目标三能进行正多边形的有关计算
例3 教材补充例题如图2－7－2，G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且AG ＝5，BG＝CH，AG交BH于点P.
(1)求BH的长；
(2)求∠APH的度数．
图2－7－2 【归纳总结】正n 边形中存在的“三个角”“三条线段”“一个周长”和“一个面积”：
(1)与正n 边形有关的角：
①中心角：每个中心角的度数为360°n
； ②内角：每个内角的度数为
（n －2）·180°n ； ③外角：每个外角的度数为360°n
. (2)正多边形的半径R 、边心距r 、边长a 间的关系：⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
＋r 2＝R 2. (3)正n 边形的周长l 与边长a ，面积S 与边长a 、边心距r 间的关系：周长l ＝na ；面积S
＝12
arn .
知识点一 正多边形的有关概念
正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形．
将一个圆n(n ≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．
知识点二正多边形的画法
基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，画正多边形．
常用方法：(1)用量角器等分；
(2)用圆规等分．
知识点三正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有____条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的______．当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线所在的直线；当n为偶数时，正n边形有____条对称轴是过顶点与中心的直线，有____条对称轴是过中心与边垂直的直线．
正偶数边形都是中心对称图形，它的对称中心是这个正多边形的中心．
判断：正多边形都是中心对称图形．( )
答案：√
以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] C 通过举反例可以知道菱形的各边相等，但它不是正多边形，可以排除选项A ，矩形各角相等，但它不是正多边形，可以排除选项B ，D .
例2 [解析] (1)根据正方形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；
(2)通过计算EB 所对的圆心角的度数来证明．
解：(1)在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD(如图所示)；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH.
(2)证明：连接OE.
∵AE 是正六边形的一边，
∴∠AOE ＝360°6
＝60°. ∵AB 是正方形的一边，
∴∠AOB ＝360°4
＝90°， ∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.
设EB 是⊙O 内接正n 边形的一边，
则360°n
＝30°，解得n ＝12， ∴EB 是⊙O 内接正十二边形的一边．
例3 解：(1)在正六边形ABCDEF 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝120°.在△ABG 与△BCH 中，
∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BG ＝CH ，
∴△ABG ≌△BCH ，∴BH ＝AG ＝5.
(2)由(1)知△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG ＝∠CBH ，∴∠BPG ＝∠ABG ＝120°，∴∠APH ＝∠BPG ＝120°.
【总结反思】
[小结] 知识点三 n 中心 n 2 n 2
[反思] 不正确．因为只有正偶数边形才是中心对称图形．
反思：正偶数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；正奇数边形仅是轴对称图形．。