2018-2019学年高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和课件新人教B版必修
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等比数列的前n项和公式 (课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，即162＝S12－17，
所以S12＝273.
【类题通法】等比数列前n项和性质应用的关注点
(1)在解决等比数列前n项和问题时，当条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如
果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解．
的值．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
由题意可知，a1＝1，a2＋a4＝1＋d＋1＋3d＝6，解得，d＝1，
所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.由(1)中结论，可得a16＝16，所以b2·b4＝q·q3＝16，
所以q2＝4，所以{b2n－1}是以1为首项，以q2＝4为公比的等比数列，通项公式为
a1（1－q5）
a1（1－q10）
所以
＝10，
＝50，
1－q
1－q
两式相除可得1＋q5＝5，
a1
10
所以q ＝4，
＝－ 3 ，
1－q
5
a1（1－q20）
10
S20＝
＝－ 3 ·(1－256)＝850.
1－q
【补偿训练】各项都是正数的等比数列{an}，前 n 项和
记为 Sn，若 S10＝10，S30＝70，求 S40.
②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相
同的项，可得
Sn-qSn＝a1-a1qn，
即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）.
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式
a1 (1 q n )
Sn
(q 1).(1)
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，即162＝S12－17，
所以S12＝273.
【类题通法】等比数列前n项和性质应用的关注点
(1)在解决等比数列前n项和问题时，当条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如
果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解．
的值．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
由题意可知，a1＝1，a2＋a4＝1＋d＋1＋3d＝6，解得，d＝1，
所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.由(1)中结论，可得a16＝16，所以b2·b4＝q·q3＝16，
所以q2＝4，所以{b2n－1}是以1为首项，以q2＝4为公比的等比数列，通项公式为
a1（1－q5）
a1（1－q10）
所以
＝10，
＝50，
1－q
1－q
两式相除可得1＋q5＝5，
a1
10
所以q ＝4，
＝－ 3 ，
1－q
5
a1（1－q20）
10
S20＝
＝－ 3 ·(1－256)＝850.
1－q
【补偿训练】各项都是正数的等比数列{an}，前 n 项和
记为 Sn，若 S10＝10，S30＝70，求 S40.
②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相
同的项，可得
Sn-qSn＝a1-a1qn，
即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）.
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式
a1 (1 q n )
Sn
(q 1).(1)
等比数列的前n项和公式(共2课时)高二数学教材配套教学精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)
探究4：根据以上计算判断国王能否实现他的诺言.
新知探究
①
②
①-②得：
①×q 得
思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？
新知探究
①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得
②当1-q＝0，即q＝1时，
注意：分类讨论
新知探究
等比数列前n项和公式
课堂小结
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
⇔
S偶＝qS奇
⇔
新知探究
例4.已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
注意：
新知探究
思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？
03
等比数列前n项和公式的应用
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
B
新知探究
例2.在等比数列中，公比为，前项和为.(1)若，求；(2)若，，求及.
新知探究
新知探究
新知探究
方法总结
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
新知探究
①
②
①-②得：
①×q 得
思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？
新知探究
①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得
②当1-q＝0，即q＝1时，
注意：分类讨论
新知探究
等比数列前n项和公式
课堂小结
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
⇔
S偶＝qS奇
⇔
新知探究
例4.已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( )A. B. C. D.
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
注意：
新知探究
思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？
03
等比数列前n项和公式的应用
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
B
新知探究
例2.在等比数列中，公比为，前项和为.(1)若，求；(2)若，，求及.
新知探究
新知探究
新知探究
方法总结
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列的前n项和公式+课件—高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
S3n S2n a2n1 a2n2 a3n a1q2n a1q2n1 a1q3n1 a1q2n (1 q q2 qn1），
因为
1 q q2 qn1 0，
所以
S2n Sn S3n S2n qn.
Sn
S2n Sn
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 an 的公比 q 1 ，前 n 项和为 Sn.
q0
所以
S8
27
1
1 3
8
1
1 3
பைடு நூலகம்
1640 . 81
例题讲解，学以致用
例1. 已知 an 是等比数列.
（2）若
a1
27，a9
1 ，q 243
0，求
S8；
S8
a1
1 q8 1 q
a1, q
S8
S8
a1 a8q 1 q
S8
a1 a9 1 q
a1, a9
例题讲解，学以致用
例1. 已知 an 是等比数列.
qSn
a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn，
③
②③两式的右边有很多相同的项，由②-③可得
Sn qSn a1 a1qn，
即
（1 q）Sn a（1 1 qn）.
探索新知，推导公式
当 q 1时，我们就得到等比数列的前 n 项和公式
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q 1).
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了. 由a1 1，q 2，n 64，
可得
S64
1 (1 264 ) 1 2
264
1
1.84 1019.
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
因为
1 q q2 qn1 0，
所以
S2n Sn S3n S2n qn.
Sn
S2n Sn
例题讲解，学以致用
例2. 已知等比数列 an 的公比 q 1 ，前 n 项和为 Sn.
q0
所以
S8
27
1
1 3
8
1
1 3
பைடு நூலகம்
1640 . 81
例题讲解，学以致用
例1. 已知 an 是等比数列.
（2）若
a1
27，a9
1 ，q 243
0，求
S8；
S8
a1
1 q8 1 q
a1, q
S8
S8
a1 a8q 1 q
S8
a1 a9 1 q
a1, a9
例题讲解，学以致用
例1. 已知 an 是等比数列.
qSn
a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn，
③
②③两式的右边有很多相同的项，由②-③可得
Sn qSn a1 a1qn，
即
（1 q）Sn a（1 1 qn）.
探索新知，推导公式
当 q 1时，我们就得到等比数列的前 n 项和公式
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q 1).
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了. 由a1 1，q 2，n 64，
可得
S64
1 (1 264 ) 1 2
264
1
1.84 1019.
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
等比数列前n项和的性质及应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
63
________.
【思路分析】 (1)运用等比数列的性质 am·an＝ak·al＝a2t(m，n，k，l，t∈N*) 求
解．
(2)由 S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列求解．
【解析】
(1)方法一：由等比中项的性质知 a1a2a3＝a32＝5，a7a8a9＝a38＝10，
a4a5a6＝a35＝( a2a8)3＝5 2，故选 A.
的等比数列，则
1 − 1250 + 2 − 1250 + 3 − 1250 + ⋯ + 10 − 1250
−50 × 1 − 1.0810
=
≈ −724.8
1 − 1.08
所以
10 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10
≈ 1250 × 10 − 724.3 = 11 775.7 ≈ 11 776 .
1
1
1
1
1
1
∴Tn＋
－
＋…＋ n
－ ＋
＝
2 －1 22－1 22－1 23－1
2 －1 2n 1－1
1
1
1
－
＝1－ n＋1 .
21－1 2n＋1－1
2 －1
二、等比数列前n项和的性质
1 数列{ }是等比数列 ⇔ = − ( ≠ 0)
2 若等比数列{ }的前n项和为 ，则
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形
的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那
么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：
可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这
是一个等比数列.
________.
【思路分析】 (1)运用等比数列的性质 am·an＝ak·al＝a2t(m，n，k，l，t∈N*) 求
解．
(2)由 S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列求解．
【解析】
(1)方法一：由等比中项的性质知 a1a2a3＝a32＝5，a7a8a9＝a38＝10，
a4a5a6＝a35＝( a2a8)3＝5 2，故选 A.
的等比数列，则
1 − 1250 + 2 − 1250 + 3 − 1250 + ⋯ + 10 − 1250
−50 × 1 − 1.0810
=
≈ −724.8
1 − 1.08
所以
10 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10
≈ 1250 × 10 − 724.3 = 11 775.7 ≈ 11 776 .
1
1
1
1
1
1
∴Tn＋
－
＋…＋ n
－ ＋
＝
2 －1 22－1 22－1 23－1
2 －1 2n 1－1
1
1
1
－
＝1－ n＋1 .
21－1 2n＋1－1
2 －1
二、等比数列前n项和的性质
1 数列{ }是等比数列 ⇔ = − ( ≠ 0)
2 若等比数列{ }的前n项和为 ，则
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形
的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那
么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：
可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这
是一个等比数列.
必修5第二章数列章末复习课件人教新课标
1．裂项求和 3．错位相减
2．分组求和 4．倒序相加
1．裂项求和
把通项公式分成若干个已知数列的和，分别用公
式求这些数列的和，从而求出原数列的和.
例 : 求Sn
22 13
42 35
(2n
(2n)2 1)(2n 1)
an
1
1 (2n 1)(2n
1)
1
1 2
1 2n 1
1 2n
1
Sn
n
1 2
2．利用前n项和与通项的关系求通项公式
an
S1 ( n Sn
1) Sn1
(n
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
3．利用递推关系，构造新数列。
①an an1 f (n)型
（叠加）
2 22
3 23
n 2n
1 2
Sn
1 22
2 23
n 2n
1
n 2n1
相减得：(1
1 2
)
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
1 2
Sn
1 2
1
1 2n
1 1
n 2n1
2
Sn
2
1 2n1
n 2n
4．倒序相加求和
仿推导等差数列和的方法，把某些数列首尾 对称的项对应相加，有时也可得到不错的效果.
其实关键还是"理解"...多做题,多总结 规律!...
要点总结
定义
项、通项
数列基础知识
数列表示法
数
等比数列的前n项和公式(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
列，{ }是公比为的等比数列，我们可以用错位相减法求{ }的前项和.
错位相减法求和的注意点：
宋老师数学精品工作室
1.在写“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准
确写出“ − ”的表达式.
2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于
n
420
1.05
n
n 420.
4
4
1 1.05
2
当n 5时,S5 63.5.
∴从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后
每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出
100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数
2
∴所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式
处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，
通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，
请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今
室
Sn (a1 b1 ) (a2 b2 ) (an bn ) (a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
3 2 27
20 1.05 (1 1.05n ) n(7.5 1.5n 6)
1
1
1
1
1
{
}
= [
−
]
( + 1)( + 2)
最新-2018高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和课件 必修5 精品
解得 k＝8.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
等比数列及其前n项和_课件
【训练2】 (2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前 n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝－1(舍去)或 q＝32.
答案
3 2
考向三 等比数列的性质及应用
【例3】►(1)等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128， 前n项和Sn＝126，则公比q＝________.
(2)等比数列{an}中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝ ________. [审题视点] (1)利用等比数列的性质：“若m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”； (2)把前99项分三组，再转化为a3＋a6＋…＋a99.
为非零常
数且 n≥2)，则{an}是等比数列；
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈ N*)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是 不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为 常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
在解决有关等比数列的计算问题时，要 注意挖掘隐含条件，充分利用其性质 ，特别是性质 “若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算 量，提高解题速度．
【训练3】 (2012·北京东城区一模)已知x，y，z∈R，若－ 1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ( )．
A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3 解析 由等比中项知 y2＝3，∴y＝± 3， 又∵y 与－1，－3 符号相同，∴y＝－ 3，y2＝xz，
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式 课件
由题意，得 an＋1＝45an.
因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列．
热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
4
a111－－qqn＝25×1－1－4
5
n
＝125×
1－
4 5
n
<125.
5
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.
例题解析
1
1
例 8．已知在等比数列{an}中，a2＝9，a3a4＝2 187.
例题解析
解析：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1，n∈N* ∴an＋1＝a，
an ∴数列{an}是等比数列． 答案：B
例题解析
S6
S9
例 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S3＝4，则S6＝( A )
因为等比数列{an}共有 2n＋1 项，所以等比数列中偶数项有 n 项，奇数项有 n＋1 项．由题意得 q≠±1，所
a1q（1－q2n）
q2－q2n＋2
a1（1－q2n＋2）
1－q2n＋2
以偶数项和为 1－q2
＝84，∴ 1－q2 ＝42q，奇数项和为
1－q2
＝170，∴ 1－q2 ＝85，
2×2（1－4n）
例题解析
(2)由于 an＝13n，所以 bn＝nan＝n·13n，所以 Tn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，① 13Tn＝1×132＋2×133＋…＋(n－1)·13nn·13n＋1，② ①－②得，23Tn＝13＋132＋…＋13n－1＋13n－n·13n＋1＝1311－－1331n－n·13n＋1，解得 Tn＝34－34＋n2·13 n.
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一
二
3.做一做:在等比数列{an}中,若q=-2,S5=44,则a1的值为( A.4 B.-4 C.2 D.-2
)
解析:把 q=-2,S5=44 代入
答案:A
������1 (1-������������ ) Sn= ,得 1-������
������1 (1+25 ) 44= , 1+2
∴33a1=132,∴a1=4.故选 A.
所以 2q2-q-1=0,所以 q=1 或 q=- . 当
1 2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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反思感悟在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素; 有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题 过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)利用等比数列的有关性质;(3) 注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.
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1 63 (1)a1=8,an=4,Sn= 4 ,求 n; 7 63 (2)S3=2,S6= 2 ,求 an 及 Sn;
变式训练 1 在等比数列{an}中,公比为 q,前 n 项和为 Sn.
(3)a6-a4=24,a3· a5=64,求 S8.
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(2)由 S6≠2S3 知 q≠1, 由题意,得
2.3.2
等比数列的前n项和
课 标 阐 释 思 1.理解等比数列的前 n 项和 公式的推导过程. 2.掌握等比数列的前 n 项和 公式,并能用它解决有关等 比数列问题. 3.熟练掌握等比数列的五个 量 a1,q,n,an,Sn 的关系.
维 脉 络
一
二
一、等比数列的前n项和公式 【问题思考】 1.填空:
已知量 选用 公式
首项、公比与项数 na1 (q = 1), Sn= a 1 (1-q n ) (q ≠ 1)
1-q
首项、末项与公比 na1 (q = 1), Sn= a 1 -a n q (q ≠ 1)
1-q
2.利用等比数列求和公式求和时需注意什么? 提示:(1)在求等比数列{an}的前n项和公式时,应分q=1和q≠1两种 情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论. (2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量,即 a1,an,q,n,Sn,通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为 “知三求二”.
一
二
3.做一做:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2, S3n=14,则S4n等ห้องสมุดไป่ตู้( ) A.80 B.30 C.26 D.16 解析:若q=1,由Sn=na1=2,知S3n=3na1=6≠14,
故 q≠1.则 解得 所以
答案:B
n
������������ =
������1 (1-������������ ) 1-������
思维辨析
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解:(1)显然 q≠1,Sn= 即
8-4������
1
������1 -������������ ������ , 1-������
= 4 ,∴q=2. 1-������
n-1
63
1
又 an=a1q ,即 8×
������1 (1-������3 ) 1-������ ������1 (1-������6 ) 1-������
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等比数列前n项和公式的应用 【例1】 在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=2,求a6,S6; (2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4; 3 9 (3)已知 a3=2,S3=2 ,求a1,q. 思路分析:在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn, 只要已知任意三个,就可以求出其他两个.
=
(3)由题意,得
������3 = ������1 ������2 = , ������3 = ������1 (1 + ������ + ������2 ) = , ②
9 2
3 2
①
1+������+������2 ②÷①,得 ������2 =3, 3 q=1 时,a1= ;当 2 1 q=- 时,a1=6. 2
= 2, = 14.
������3������ =
������1 q =2, =-2. 1-������ ������ S4n= 1 (1-q4n)=(-2)×(1-24)=30. 1-������
������1 (1-������3������ ) 1-������
一
二
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打 “×”. (1)已知数列{an}的前n项和为Sn=2· 3n-1,则数列{an}是等比数列. ( ) (2)已知{an}是等比数列,Sn为其前n项和,则S10,S20,S30,…构成一个新 的等比数列. ( ) (3)已知数列{an}是等比数列,则{an+k}(k为常数)也为等比数列. ( ) (4)一个等比数列{an}的前n项和为Sn,则{Sn}一定不能构成等比数列. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
一
二
二、等比数列前n项和的常用性质 【问题思考】 1.填空: 性质(1):在等比数列{an}中,若项数为2n项,公比为q,奇数项之和 ������偶 为S奇,偶数项之和为S偶,则 ������ =q. 奇 性质(2):数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sn+qn· Sm. 2.在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则依次每k项的和Sk,S2kSk,S3k-S2k,…一定构成等比数列吗? 提示:不一定.若{an}的公比q≠-1,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…能构成等比 数列,其公比为qk;若{an}的公比q=-1,k为偶数,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 不能构成等比数列.
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解:(1)a6=a1q5=3×25=96.
������1 (1-������6 ) S6= 1-������
=
3× (1-26 ) =189. 1-2 -1-64× (-4) =51. 1-(-4)
(2)∵a4=a1q3,∴64=-q3.∴q=-4,
∴S4=
������1 -������4 ������ 1-������