2017年甘肃省高三第二次高考诊断考试理科数学试题及答案

甘肃省2017届高三第二次高考诊断试卷
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足（1 +
）z =1 +i ，则|z|等于
A
B C D ．2
2．设全集U=N ，集合12{|11}A x N og x =∈≤-，则U A ð等于 A ．{1,2} B ．{1} C ．{0,1,2} D ．{0,l}
3．在△ABC
中，∠A =120°，.2AB AC =- ,则
BC
的最小值是 A ．2 B ．4 C ．
D ．12
4．某几何体的三视图如右图所示，正视图是面积为92
π的半圆，
俯视图是正三角形，此几何体
的体积为
B.
D.
5．若111(,1),1,()2
nx x e a nx b -∈==，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c>b>a B ．b >c>a C ．a>b>c D ．b >a>c
6.如图所示的计算机程序的输出结果为 A.2113
B.1321
C.2134
D.3421
7．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为y ∧
= -4x +a ．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
A ．16
B ． 13
C.12
D.23
8．已知,(0,)2
παβ∈，满足tan （αβ+） =4 tan β卢，则tan α的最大值是 A ．14
B ．34
C. 3
4
D.32
9．设等差数列{n a }的前n 项和为Sn,且满足．S 17 >0,S 18 <0，则151212
15
,,,S S S a a a 中最大的项为
A.77
S a
B.88
S a
C.99
S a
D.1010
S a
10．设定义域为R 的函数f （x ）满足以下条件：①对任意x∈R,f （x ）+f （-x ）=0；②对任意
12,[1,]x x a ∈,当12x x >时,21()()f x f x >．则下列不等式一定成立的是 ①()(0)f a f >
②1()2a f f +>③13()(3)1a f f a ->-+④13()()1a
f f a a
->-+ A ．①③ B ．②④ C ．①④ D．②③
11．双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>相交于
A ，
B 两点，公共弦
AB 恰过它们的公共焦点F ．则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在区间可能是 A ．(,32ππ）
B ．(,43ππ)
C ．（
,64
ππ
）
D ．（0,6
π）
12．已知函数2
1()2nx k
f x x e x
x
=--+有且只有一个零点，则k 的值为
A ．2
1
e e +
B ．21e e
+
C ．
22
1e e +
D ．
1e e
+
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设二项式21()x x
+，的展开式中常数项是k ，则直线y=kx
与曲线y=
2x 围成图形的面积为
14．关于函数以()cos(2)4
f x x π=-有以下命题： ①若12()()f x f x =，则12()x x k k Z π-=∈； ②函数()f x 在区间[5,8
8
ππ]上是减函数；
③将函数()f x 的图象向左平移8
π个单位，得到的图象关于原
点对称；
④函数()f x 的图象与函数()sin(2)4
g x x π=+的图象相同．
其中正确命题为____（填上所有正确命题的序号）． 15．用0，1，2，3，4五个数组成无重复数字的五位数，其中1与3不相邻，2与4也不相邻，则这样的五位整数共有 个．
16. 已知函数23
1(1)1,1,32,og x x k x x k x a
-+-≤<⎧⎨
-+≤≤⎩ 若存在k 使函数()f x 的值域
是[0,2]，则实a 的取值范围是____．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（本小题满分12分）
已知数列{a n }中，a 1 =2，且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈． （I ）求23,a a ，并证明{ n a n -}是等比数列；
（II ）设1
2n
n n a b -=
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
18．（本小题满分12分） Ⅳ
如图，正方形ADMN 与矩形ABCD 所在平面互相垂直， AB =2AD =6．
（I ）若点E 是AB 的中点，求证：BM∥平面NDE ； （Ⅱ）在线段AB 上找一点E ，使二面角D- CE -M 的大小为6
π时，求出AE 的长．
19．（本小题满分12分）
某工厂生产A ，B 两种产品，其质量按测试指标划分，指标大于或等于88为合格品，小于88为次品．现随机抽取这
两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：
（I ）试分别估计产品A ，B 为合格品的概率；
（Ⅱ）生产l 件产品A ，若是合格品则盈利45元，若是次品则亏损10元；生产1件产品B ，若是合格品则盈利60元，若是次品则亏损15元．在（I ）的前提下，（i ）X 为生产l 件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ii ）求生产5件产品B 所得利润不少于150元的概率．
20．（本小题满分12分）
椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，过椭圆右焦点
F 且斜
率为1的直线l 截椭圆所得弦长为247
．
（I ）求椭圆C 的方程；
（n ）已知A 、B 为椭圆长轴的两个端点，作不平行于坐标轴且不经过右焦点F 的割线PQ ，若满足∠AFP=∠BFQ，求证：割线PQ 恒经过一定点．
21．（本小题满分12分） 已知函数()13()f x a nx ax a R =--∈
（I ）若a= -1，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=()f x 的图象在点（2(2)f ）处的切线的倾斜
角为45°，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()['()]2
m g x x x f x =++在
区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围； （Ⅲ）求证：*12131411(2,)2
3
4
n n n nn n n N n
n
⨯⨯⨯⨯<≥∈
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作笞，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的
题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB =AC ，BD 为圆的弦，且
AC∥BD．过A 作圆的切线与DB 的延长线交于点F ，AD 与 BC 交于点E ．
（I ）求证：四边形ACBF 为平行四边形； （Ⅱ）若
BD =3
求线段BE 的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位．已知圆C 的参数方程是2cos ,
(12sin ,
x y ϕϕ
ϕ=⎧⎨
=+⎩为参数），直线l 的极坐标方程是
2cos sin 6ρδρδ+=．
（I）求圆C的极坐标方程；
（n）过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点Q，求｜PQ｜的最大值与最小值．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数()|2|3,0
=--≠．
f x x m x m
（I）当m=3时，求不等式()
f x≤1-2x的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集包含{x|x≥1}，求m的取值范围．。