排列组合的应用

排列组合的应用
张兵
教学目的
1.熟悉解决排列组合问题的基本方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应用题的解题技巧;
3.学会应用数学思想分析解决排列组合问题. 教学过程 一 复习引入 1.排列的定义:
从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义:
从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 3.排列数公式:
4.组合数公式:
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题. 二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧.
一. 运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C n 0
种结果；1个人通过，有C n 1种结果，……；n 个人通过，有C n n 种结果。

所以一共有C C C n n n n n 012+++= 种可能的结果。

解法2：用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。

所以一共有2n 种可能的结果。

例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种
解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：
)!
(!!
!)1()2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m
m
n m
n -=
+---=
= )!
(!)
1()2)(1(m n n m n n n n P m
n -=
+---=
（1）乙取a ，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，
（2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有3129⨯+=()种分配方式。

二. 特殊元素（位置）优先
例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？
解：个位选0，有P 94个，个位不选0且万位不能选0，有C C P 418183
个，所以一共可以得到P C C P 9441818313775+=个偶数。

注 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。

例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？
解：先排甲，有P 41种排法。

再排乙，有P 51种排法，再排其余的人，又有P 66种排法，所以一共有
P P P 41516614400=种排法。

三. 捆绑法
例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
解：把甲、乙、丙先排好，有P 22种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有P 66种排法，所以一共有P P 2266=1440种排法。

四. 插入法
例6：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：先排5个不是小品的节目，有P 55种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有P 53种排法，所以一共有P P 5553=7200种排法。

注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。

五. 排除法
例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

解：从8个点中取4个点，共有C 84
种方法，其中取出的4个点共面的有6612+=种，所以符合条件的四面体的个数为C 841258-=个。

例8：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。

现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
解：从100件产品中取5件产品，有C 1005
种取法，从不含次品的95件中取出5件产品有C 955种取法，所以符合题意的取法有C C 100595517347001-=种。

例9：8个人站成一排，其中A 与B 、A 与C 都不能站在一起，一共有多少种排法？
解：无限制条件有P 88种排法。

A 与B 或A 与C 在一起各有P P 2277种排法，A 、B 、C 三人站在一起且A 在中间有P P 2266种排法，所以一共有P 882-P P 2277+P P 2266=21600种排法。

六. 机会均等法
例10：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？ 解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为
16
6048001010
P =。

例11：用1，4，5，x 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求x 。

解：若x 不为0，在每一个数位上1，4，5，x ，出现的机会是均等的。

由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到： 64145288⨯⨯+++=()x ，解得x =2。

若x 为0，无解。

七. 转化法
例12：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。

显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。

记每次走1级台阶为A ，记每次走2级台阶为B ，则原问题就相当于在8个格子中选2个
填写B 。

其余的填写A ，这是一个组合问题，所以一共有C 82
28=种走法。

例13：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？ 解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”，这也是一个组合
的问题，于是得到一共有C 146
3003=种走法。

八. 隔板法
例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一种隔法对应了一种分法，每一种
分法对应了一种隔法，于是分法的总数为C 212
210=种方法。

注：本题可转化成求方程x y z ++=20的非负整数解的个数。

三、综合练习
练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？ 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？
练习3 马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？
练习4 A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边，那么不同的站法有多少种？ 四、小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中注意掌握.。