3.1.2复数的几何意义
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3.1.2 复数的几何意义
|a+bi|(a,b∈R).
(2)求法:|z|=|������������|= ������2 + ������2(a,b∈R).
(3)模的几何意义:复数 z 的模就是复数 z=a+bi(a,b∈R)所对应
的点 Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
名师点拨 1.实数 0 与零向量对应,故复数 0 的模为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
数形结合思想在复数中的应用(1) 典例 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
解:法一:∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|= 32 + ������2,
由已知得 32+a2<42,
∴a2<7, ∴a∈(- 7, 7).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
所以������������=(1,7),������������=(2,3),
由平行四边形的性质得������������ = ������������ + ������������=(3,10),而������������=(0,-3),
于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
3.1.2 复数的几何意义
-1-
学习目标
思维脉络
1.了解复平面的概念,理解复数的 几何意义. 2.理解复数、复平面内的点、复
平面内的向量之间的对应关系.
3.掌握复数模的概念,会求复数的 模.
课前篇自主预习
1.复平面 (1)复平面:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; (2)实轴:坐标系中的x轴叫实轴,在它上面的点都表示实数; (3)虚轴:坐标系中的y轴叫虚轴,除去原点外,在它上面的点都表示 纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)复数与复平面内的点一一对应:
3.1.2复数的几何意义
三、新课学习
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由什么唯 一确定？
（一）复数的几何意义－1
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a
b
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复平面
（课本第54页练习1）. y
G
A
C
F
D H B
E
x
（二）复数的几何意义－2
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
y
z=a+bi
Z(a,b)
a b
o
x
规定： 相等向量表示同一复数
做课本第54页练习3.
（三）复数的模
向量OZ的模r叫做复数z=a+bi 的模,记作 | z | 或|a+bi|
y
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点有 无数个，它们在复 平面上构成一个圆 –5 以原点为圆心，半 径为5的圆。
5
5 O x
–5
| z || a bi | r a b r 0, r R
2 2
z =a +b i Z (a,b)
O
y
x
练习：求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=4-3i
(4)z4=1+mi(m∈R）
拓展
例： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
课件2：3.1.2 复数的几何意义
y
= +
Z(,b)
b
平面向量
a
o
x
现在我们就用平面向量来表示复数，如图所示：
y
设复平面内的点Z表示复数 = +
Z： +
,连接OZ,显然向量
b
定；反过来，点Z(相对于原点来说)也
可以由向量
o
由点Z唯一确
OZ
a
x
唯一确定.
OZ
由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一
那取虚轴上点（0，2）对应
（C）充要条件
的复数来理解，即用具体
（D）不充分不必要条件
例子套一下。
课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对；
2.用平面直角坐标系表示复平面，其中轴叫做实轴，轴
叫做虚轴；实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上
的点都表示纯虚数；
2.复数的两个几何意义：
复数 = +
纯虚数(a 0，b 0)
虚数(b. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C
纯虚数集
实数集R
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两
个复数相等．
a c
b d
a bi c di
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
（2）“ = ”是“复数 + ( , ∈ )所对应的点在虚轴上
”的（ C ）
（A）必要不充分条件
同学们如果此题觉得抽象，
（B）充分不必要条件
= +
Z(,b)
b
平面向量
a
o
x
现在我们就用平面向量来表示复数，如图所示：
y
设复平面内的点Z表示复数 = +
Z： +
,连接OZ,显然向量
b
定；反过来，点Z(相对于原点来说)也
可以由向量
o
由点Z唯一确
OZ
a
x
唯一确定.
OZ
由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一
那取虚轴上点（0，2）对应
（C）充要条件
的复数来理解，即用具体
（D）不充分不必要条件
例子套一下。
课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对；
2.用平面直角坐标系表示复平面，其中轴叫做实轴，轴
叫做虚轴；实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上
的点都表示纯虚数；
2.复数的两个几何意义：
复数 = +
纯虚数(a 0，b 0)
虚数(b. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C
纯虚数集
实数集R
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两
个复数相等．
a c
b d
a bi c di
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
（2）“ = ”是“复数 + ( , ∈ )所对应的点在虚轴上
”的（ C ）
（A）必要不充分条件
同学们如果此题觉得抽象，
（B）充分不必要条件
3.1.2 复数的几何意义
探究 [讨论]实轴上的点与实数是一一对应的,虚轴上的点与虚数是一一对应的吗? 解:虚轴上的点与虚数并不是一一对应的,因为除了原点外虚轴上的点只与 纯虚数一一对应.
������������
探究 复数的几何意义 知识点二 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(a,b) 及以原点为起点,点Z(a,b)为 终点的向量 ������������ 是一一对应的(如图3-1-3所示).
[答案] D [解析] z=(m+1)+(m-1)i对应的 点为(m+1,m-1), ∵0<m<1, ∴1<m+1<2,-1<m-1<0, ∴点(m+1,m-1)位于第四象限.
考点类析
[小结] 由复数的几何意义知,复数与复平面内的点及平面向量一一对应,这 样可以把复数问题转化为点的坐标问题来解决.
解:(1)不一定,复数的模是非负数,即|z|≥0.当z=0时,|z|=0;反之,当|z|=0时,必有 z=0. (2)点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的一个圆.
������������
探究 [讨论] 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么? 解:向量的起点是原点.
对复数几何意义的理解及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量������������相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ ������������.
第三章
数系的扩充与复数的引 入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
新课导入
[导入] 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
探究
知识点一 复平面的定义
1.如图所示,点Z的横坐标为a,纵坐标为b,复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫作 复平面 ,x轴叫作 实轴 ,y轴叫作 虚轴 .
3.1.2 复数的几何意义
y 5
3
O O
3
5 x
9 x y 25
2 2
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
1.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一 对应的，即 复数z＝a＋bi 一一对应 复平面内的点 Z （a ，b ）
2.复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一
一对应的，即 复数z＝a＋bi 一一对应 复平面内的向量 OZ
2 2
|z|=r=|OZ|
a b
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
题型探究
类型一 复数与复平面内的点的关系
重点难点 个个击破
例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限； (3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
解析答案
跟踪训练1 实数m取什么值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)对应的点在x轴上方； 解 由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5， 所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方. (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
易知 z = a + b
0 a
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
这是复数的又一种几何意义.
探究点3 实数绝对值的几何意义:
实数a在数轴上所对应的
点A到原点O的距离. a
O
A
x
|a| = |OA|
a(a ≥ 0) a(a 0)
探究点4 复数的模的几何意义:
复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. y z= a + b i Z(a,b) O x
课件3：3.1.2 复数的几何意义
3.1.2复数的几何意义
和第 复三
数章
的：Biblioteka 概数念系的
扩
充
一、复习回顾
1、复数的代数形式为：z = a + bi(a R, b R) 2、a = 0是复数z = a + bi(a R, b R）为纯
虚数的什么条件？
3、b = 0是复数z = a + bi(a R, b R）为实 数的什么条件？
五、对复数的再认识
1．复平面内一个向量的终点对应的复数就是该 向量对应的复数吗？ 提示：不一定，只有向量的起点在原点时，其终 点对应的复数才是该向量对应的复数，否则，二 者不相同． 2．若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|表示怎样的意 义？ 提示：|z|＝ a2＋b2，表示点 Z(a，b)到 原点的距离．
五、对复数的再认识
3、复数z、z与 z 之间有何关系？ 4、向量OZ满足OZ 2 = OZ 2 ，
复数z是否也满足z2 = z 2 ？
六、知识应用
问题4、z C, 满足下列条件的点Z的集合 是什么图形？
（1）z = 2;(2)4 z 9;(3) z - 2 = 1
复数z = a + bi(a, b R) 一一对应向量OZ
三、复数的加减法的几何意义探讨
问题2、在复平面内分别用点和向量表示下列复数 （1）z 1= 2 + i；（2）z2 = 1 - 3i； （3）z3 = 0； （4）z4 = -i
并对（1）、（2）进行加减运算，从中探讨 复数加减法具有怎样的几何意义.
四、复数的模的概念
向量OZ =（a，b）的模 OZ = a2 + b2
复数z = a + bi(a, b R)的模 z = a + bi = a2 + b2
和第 复三
数章
的：Biblioteka 概数念系的
扩
充
一、复习回顾
1、复数的代数形式为：z = a + bi(a R, b R) 2、a = 0是复数z = a + bi(a R, b R）为纯
虚数的什么条件？
3、b = 0是复数z = a + bi(a R, b R）为实 数的什么条件？
五、对复数的再认识
1．复平面内一个向量的终点对应的复数就是该 向量对应的复数吗？ 提示：不一定，只有向量的起点在原点时，其终 点对应的复数才是该向量对应的复数，否则，二 者不相同． 2．若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|表示怎样的意 义？ 提示：|z|＝ a2＋b2，表示点 Z(a，b)到 原点的距离．
五、对复数的再认识
3、复数z、z与 z 之间有何关系？ 4、向量OZ满足OZ 2 = OZ 2 ，
复数z是否也满足z2 = z 2 ？
六、知识应用
问题4、z C, 满足下列条件的点Z的集合 是什么图形？
（1）z = 2;(2)4 z 9;(3) z - 2 = 1
复数z = a + bi(a, b R) 一一对应向量OZ
三、复数的加减法的几何意义探讨
问题2、在复平面内分别用点和向量表示下列复数 （1）z 1= 2 + i；（2）z2 = 1 - 3i； （3）z3 = 0； （4）z4 = -i
并对（1）、（2）进行加减运算，从中探讨 复数加减法具有怎样的几何意义.
四、复数的模的概念
向量OZ =（a，b）的模 OZ = a2 + b2
复数z = a + bi(a, b R)的模 z = a + bi = a2 + b2
3.1.2复数的几何意义
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相 一般来说，
等，而不能比较大小了. 而不能比较大小了
注：1)
知识引入
实数可以用数轴上的点来表示。 实数可以用数轴上的点来表示。 实数 (数) 数 直线
一一对应
数轴上的点 (形) 形 数轴
(几何模型 几何模型) 几点 单位长度
∴m∈(−3, −2) ∪(1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题 几何问题) (代数问题 代数问题) 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想： 一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m +m+m-2)i 变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2) 在复平面内 所对应的点在直线x 2y+4=0上 求实数m的值。 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
已知复数z=(m +m+m-2)i在复平面内所 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2) 在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
−3 < m < 2 m2 + m− 6 < 0 得 解 由 2 ： m < −2或m >1 m + m− 2 > 0
o
1
x
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
一个复数由什么 唯一确定？ 唯一确定？
Z=a+bi(a, b∈R) ∈
实部! 虚部!
有序实数对(a,b) 有序实数对 复数z=a+bi 复数 （数）
等，而不能比较大小了. 而不能比较大小了
注：1)
知识引入
实数可以用数轴上的点来表示。 实数可以用数轴上的点来表示。 实数 (数) 数 直线
一一对应
数轴上的点 (形) 形 数轴
(几何模型 几何模型) 几点 单位长度
∴m∈(−3, −2) ∪(1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题 几何问题) (代数问题 代数问题) 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想： 一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m +m+m-2)i 变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2) 在复平面内 所对应的点在直线x 2y+4=0上 求实数m的值。 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
已知复数z=(m +m+m-2)i在复平面内所 例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2) 在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
−3 < m < 2 m2 + m− 6 < 0 得 解 由 2 ： m < −2或m >1 m + m− 2 > 0
o
1
x
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
一个复数由什么 唯一确定？ 唯一确定？
Z=a+bi(a, b∈R) ∈
实部! 虚部!
有序实数对(a,b) 有序实数对 复数z=a+bi 复数 （数）
3.1.2 复数的几何意义
• 这种对应关系架起了联系复数与解析几何 之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方 法解决，而几何问题也可以用复数方法解 决(即数形结合法)增加了解决复数问题的 途径．
• (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标 为(a，b)，而不是(a，bi)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量O→Z是以原点 O
• [解析] (1)如图所示，是以原点O为圆心，半径 分别为2个和3个单位长度的两个圆所夹的圆环 ，不包括大圆的圆周，包括小圆的圆周．
• (2)如图所示，是以原点O为圆心，半径为3 个单位长度的扇形OAB的内部，不包括和半 径OA，OB.
为正，虚部为负．即mm22－－32mm＋－28><00 ，
解之得－2<m<1 或 2<m<4.
所以所求 m 的取值范围为(－2,1)∪(2,4)．
• [点评] 复数实部、虚部的符号与其对应点所在 象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在 实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复 数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正 ，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚 部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为 正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此 外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出 代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x＝1 上，则z＝1＋bi(b∈R)；对应点在直线y＝x上， 则z＝a＋ai(a∈R)，这在利用复数的代数形式解 题中能起到简化作用．
• 实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋ 5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
• (1)实数； • (2)虚数； • (3)纯虚数； • (4)对应点在x轴上方； • (5)对应点在直线x＋y＋9＝0上．
[解析] (1)由 m2－2m－15＝0，得 m＝5 或 m＝－3 时，z 为实数；
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【解析】 (1)错误．若 b＝0，则 z＝a＋bi 为实数． (2)错误．当 a＝－1 时，(a＋1)i 不是纯虚数． (3)正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题． ③当 x＝1，y＝i 时， x2＋y2＝0 成立，所以③是假命题．
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(2)对于①，当 z∈R 时，z2≥0 成立，否则不成立，如 z＝i，z2＝－1<0，所 以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为 2，不是 2i，所以②为假命题； 对于③，2i＝0＋2i, 其实部是 0，所以③为真命题． 【答案】 (1)A (2)B
【导学号：19220034】
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【解析】 若 a＋bi 为纯虚数，则必有 a＝0，故为充分条件；但若 a＝0 且 b＝0 时，a＋bi＝0 为实数，故不是必要条件．
【答案】 充分不必要
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复数的分类
已知复数 z＝a2－a27－a＋ 1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数 a 分别取 什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
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复数的有关概念
[小组合作型]
(1)下列命题中，正确命题的个数是( )
①若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1；
②若 a，b∈R 且 a>b，则 a＋i>b＋i；
③若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
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(2)给出下列三个命题：
【精彩点拨】 根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等 式)组求解．
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【自主解答】 (1)当 z 为实数时，则a2－5a－6＝0， a2－1≠0， ∴a＝－1或a＝6， a≠±1， ∴当 a＝6 时，z 为实数． (2)当 z 为虚数时， 则a2－5a－6≠0， a2－1≠0， ∴a≠－1且a≠6， a≠±1， ∴当 a≠±1 且 a≠6 时，z 为虚数．
的值为( )
A．－2
2 B.3
C．－23
D．2bi 的实部为 2，虚部为－b，由题意知 2＝－(－b)，所以 b＝
2. 【答案】 D
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2．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则 m＋n＝________.
【解析】 由复数相等的条件，得2m－5n＝3n， m＝－8， n＝－2， ∴m＋n＝－10.
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正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正 确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个 反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定， 后肯定”的方法进行解答.
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[再练一题] 1．复数 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是 a＝0 的________条件.
【答案】 －10
＝－m＋5， 解得
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教材整理 2 复数的分类 阅读教材 P51“思考”以下至例题以上内容，完成下列问题． 1．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
实数
虚数
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2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
图 3-1-1
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( ) (2)若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( )
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(3)当 z 为纯虚数时， 则a2－5a－6≠0， a2－1≠0， a2－7a＋6＝0， ∴a≠－1且a≠6， a≠±1， a＝6或a＝1， ∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数．
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利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部 应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面.
①若 z∈C，则 z2≥0；
②2i－1 虚部是 2i；
③2i 的实部是 0.
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
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【精彩点拨】 首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部 与虚部的概念确定实部、虚部．
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【自主解答】 (1)①由于 x，y∈C，所以 x＋yi 不一定是复数的代数形式， 不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．
教材整理 1 复数的有关概念及复数相等的充
要条件
阅读教材 P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题． 1．复数
(1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝ －1 ，a 叫做复数的 实部 ，b 叫做复数的 虚部 ．
(2)表示方法：复数通常用 字母z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R) ，这一表
阶
阶
段
段
一
三
3.1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．了解数系的扩充过程. 2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点) 3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念．(难点、易混点)
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[基础·初探]
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[再练一题] 2．若把上例中的复数 z 改为“z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i”，如何求 解相应的问题？
示形式叫做复数的代数形式．
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2．复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母 C 表示． 3．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d ，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0 .
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1．(2016·济南高二检测)若复数 2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则 b