2015-2016年四川省宜宾市高一上学期数学期末试卷带答案

2015-2016学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）设U=R，集合A={x|x＞0}，集合B={x|lgx＞0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}2．（5.00分）已知函数y=，其定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]D．[2，3）∪（3，+∞）3．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（）A．y=|x|B．y=lnx C．y=x D．y=x﹣34．（5.00分）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=sin （x+）5．（5.00分）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．（5.00分）已知函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．B=4 D．φ=﹣7．（5.00分）设f（x）=，则f（f（e））的值为（）A．0 B．C．2 D．38．（5.00分）已知＜θ＜，sinθ+co sθ=，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5.00分）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O 为圆心，OA⊥OB，设∠AOB=θ，把面积y表示为θ的表达式，则有（）A．y=50cos2θB．y=25sinθC．y=25sin2θD．y=50sin2θ10．（5.00分）函数y=x3cosx，x∈（﹣，）的大致图象是（）A．B．C．D．11．（5.00分）已知f（x）在R上是以3为周期的偶函数，f（﹣2）=3，若tanα=2，则f（10sin2α）的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．812．（5.00分）设函数f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上为增函数，又f（1）=0，则函数F（x）=f（x）•xln的图象在x轴上方时x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在题中横线上.13．（5.00分）sin43°cos2°+cos43°sin2°的值为．14．（5.00分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（﹣3）=．15．（5.00分）函数f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M（cosθ0，sinθ0）关于坐标原点对称的点坐标是．16．（5.00分）关于函数有如下四个结论：①函数f（x）为定义域内的单调函数；②当ab＞0时，是函数f（x）的一个单调区间；③当ab＞0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则；④当ab＜0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则．其中正确的结论有．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）（Ⅰ）计算：；（Ⅱ）若tanx=2，求值：．18．（12.00分）已知函数f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）．（Ⅰ）求证：函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）求的值．19．（12.00分）已知A、B是单位圆O上的点，且点B在第二象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，若△AOB为正三角形．（Ⅰ）若设∠COA=θ，求sin2θ的值；（Ⅱ）求cos∠COB的值．20．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．21．（12.00分）已知函数的图象经过三点，在区间内有唯一的最小值．（Ⅰ）求出函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标．22．（12.00分）已知点A（﹣a，2a）关于y轴对称的点为B，点B关于点M（1，m）对称的点为C，且m＞2，a∈（0，1]．（Ⅰ）设△ABC的面积S，把S表示为关于a的解析式S=f（a）；（Ⅱ）若f（a）＜m2﹣k﹣1恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）设U=R，集合A={x|x＞0}，集合B={x|lgx＞0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}【解答】解：由B中不等式变形得：lgx＞0=lg1，解得：x＞1，即B={x|x＞1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x≤1}，∵A={x|x＞0}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}，故选：B．2．（5.00分）已知函数y=，其定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]D．[2，3）∪（3，+∞）【解答】解：∵函数y=，∴，解得，即x≤2且x≠﹣3；∴函数y的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]．故选：C．3．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（）A．y=|x|B．y=lnx C．y=x D．y=x﹣3【解答】解：A．y=|x|为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；B．根据y=lnx的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；C.，，∴该函数为奇函数；x增大时，y增大，∴该函数为在定义域R上的增函数，∴该选项正确；D．y=x﹣3，x＞0，x增大时，减小；∴该函数在（0，+∞）上为减函数，在定义域上没有单调性；∴该选项错误．故选：C．4．（5.00分）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=sin （x+）【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+），故选：B．5．（5.00分）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选：A．6．（5.00分）已知函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．B=4 D．φ=﹣【解答】解：根据函数y=Acos（ωx+φ）+B的一部分图象，可得B=2，A=4﹣2=2，•=﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=0，求得φ=﹣，∴y=2cos（2x﹣）+2，故选：D．7．（5.00分）设f（x）=，则f（f（e））的值为（）A．0 B．C．2 D．3【解答】解：∵f（x）=，∴f（e）==，f（f（e））=f（）==2．故选：C．8．（5.00分）已知＜θ＜，sinθ+cosθ=，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵＜θ＜，sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1，sinθ＞cosθ，∴sinθ=，cosθ=，则sinθ﹣cosθ=，故选：A．9．（5.00分）把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O 为圆心，OA⊥OB，设∠AOB=θ，把面积y表示为θ的表达式，则有（）A．y=50cos2θB．y=25sinθC．y=25sin2θD．y=50sin2θ【解答】解：由题意可得矩形的长为2OA=2×5cosθ=10cosθ，矩形的宽为2AB=2×5sinθ=10sinθ，∴矩形的面积y=10cosθ×10sinθ=50sin2θ故选：D．10．（5.00分）函数y=x3cosx，x∈（﹣，）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）=x3cosx，故f（﹣x）=（﹣x）3cos（﹣x）=﹣x3cosx=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，又∵当x∈（0，）时，f（x）＞0，故选：A．11．（5.00分）已知f（x）在R上是以3为周期的偶函数，f（﹣2）=3，若tanα=2，则f（10sin2α）的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．8【解答】解：∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα====，则10sin2α=10×=8，∵f（x）在R上是以3为周期的偶函数，∴f（10sin2α）=f（8）=f（8﹣6）=f（2），∵f（﹣2）=3，∴f（2）=3，即f（10sin2α）=f（2）=3，故选：C．12．（5.00分）设函数f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上为增函数，又f（1）=0，则函数F（x）=f（x）•xln的图象在x轴上方时x的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴对应的图象如图：∵ln＜0，∴由F（x）=f（x）•xln＞0，得f（x）•x＜0，即或，即0＜x＜1或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填在题中横线上.13．（5.00分）sin43°cos2°+cos43°sin2°的值为．【解答】解：sin43°cos2°+cos43°sin2°=sin（43°+2°）=sin45°=，故答案为：．14．（5.00分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（﹣3）=8．【解答】解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），其图象过点（﹣2，4），∴a﹣2=4，解得a=；∴f（x）=，f（﹣3）==8．故答案为：8．15．（5.00分）函数f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M（cosθ0，sinθ0）关于坐标原点对称的点坐标是（，）．【解答】解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（cosθ+sinθ）=13sin（θ+φ），其中sinφ=，cosφ=，∴当θ+φ=时，函数f（θ）取最小值﹣13，此时θ=θ0=﹣φ，故cosθ0=cos（﹣φ）=﹣sinφ=﹣，sinθ0=sin（﹣φ）=﹣cosφ=﹣，即M（﹣，﹣），由对称性可得所求点的坐标为（，），故答案为：（，）．16．（5.00分）关于函数有如下四个结论：①函数f（x）为定义域内的单调函数；②当ab＞0时，是函数f（x）的一个单调区间；③当ab＞0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则；④当ab＜0，x∈[1，2]时，若f（x）min=2，则．其中正确的结论有②．【解答】解：∵f（x）=ax+，∴f′（x）=a﹣==，（1）当ab＜0时，当a＞0，b＜0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[1，2]单调递增，∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，当a＜0，b＞0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴f（x）在[1，2]单调递减，∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，（2）当ab＞0时，令f′（x）=0，解得x=±，当a＞0，b＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，0），（0，）单调递减，当＜1时，即＜1时，∴f（x）在[1，2]单调递增，∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，当＞2时，即＞4时，∴f（x）在[1，2]单调递减，∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，当1≤≤2时，即1≤≤4时，∴f（x）在[1，]单调递减，在（，2]上单调递增，∴f（x）min=2=f（）=a•+=2，即b=，当a＜0，b＜0时，f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递减，在（﹣，0），（0，）单调递增，当＜1时，即＜1时，∴f（x）在[1，2]单调递减，∴f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，当＞2时，即＞4时，∴f（x）在[1，2]单调递增，∴f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，当1≤≤2时，即1≤≤4时，∴f（x）在[1，]单调递增，在（，2]上单调递减，∵f（1）=a+b，f（2）=2a+，当1≤≤2时，f（1）≥f（2），f（x）min=2=f（2）=2a+，即b=4﹣4a，当2＜≤4，f（1）≤f（2），f（x）min=2=f（1）=a+b，即b=2﹣a，综上所述：②正确，①③④其余不正确故答案为：②三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）（Ⅰ）计算：；（Ⅱ）若tanx=2，求值：．【解答】（Ⅰ）解：=1﹣+=1．（Ⅱ）解：∵tanx=2，∴=．18．（12.00分）已知函数f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）．（Ⅰ）求证：函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）求的值．【解答】证明：（Ⅰ）解得﹣2＜x＜2∴f（x）的定义域为（﹣2，2）又当x∈（﹣2，2）时，有﹣x∈（﹣2，2），f（﹣x）=log2（2﹣x）+log2（2+x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．（Ⅱ）f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）=log2（4﹣x2），∴f（）=log2（4﹣3）=0．19．（12.00分）已知A、B是单位圆O上的点，且点B在第二象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，若△AOB为正三角形．（Ⅰ）若设∠COA=θ，求sin2θ的值；（Ⅱ）求cos∠COB的值．【解答】解：（1）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知cosθ=，sinθ=，…（3）分∴sin2θ=2sinθcosθ=．…（6）分（2）因为三角形AOB为正三角形，所以∠AOB=60°，cos∠COA=，sin∠COA=，所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos∠COAcos60°﹣sin∠COAsin60°=．…（12）分20．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）证明：y=f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（k，k+1）（k∈Z）内，求k的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵x∈R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=，∵x1＜x2，且a＞1，∴．又，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）为增函数．（Ⅱ）解：令g（x）=f（x）+2x﹣1，当a=2时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是R上的增函数，∴函数g（x）是R上的增函数且连续，又g（0）=f（0）﹣1=﹣1＜0，g（1）=＞0，所以，函数g（x）的零点在区间（0，1）内，即方程f（x）=﹣2x+1的根在区间（0，1）内，∴k=0．21．（12.00分）已知函数的图象经过三点，在区间内有唯一的最小值．（Ⅰ）求出函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0，∴Asin（2π×+ϕ）=0即sin（+ϕ）=0结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，再由题意当x=0时，y=，∴Asin=，∴A=∴；（Ⅱ）由2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可解得k﹣≤x≤k+∴函数的单调递增区间为[k﹣，k+]（k∈Z）当2πx+=kπ时，f（x）=0，解得x=﹣，∴函数的对称中心为22．（12.00分）已知点A （﹣a ，2a ）关于y 轴对称的点为B ，点B 关于点M （1，m ）对称的点为C ，且m ＞2，a ∈（0，1]．（Ⅰ）设△ABC 的面积S ，把S 表示为关于a 的解析式S=f （a ）； （Ⅱ）若f （a ）＜m 2﹣k ﹣1恒成立，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知有B （a ，2a ）；…（1）分 C （2﹣a ，2m ﹣2a ）．…（2）分所以△ABC 的高为2m ﹣2a ﹣2a=2m ﹣4a ，底为2a ，…（3）分 ∴S=f （a ）=×2a ×（2m ﹣4a ）=﹣4a 2+2ma …（5）分（Ⅱ）由f （a ）=﹣4a 2+2ma 的图象是开口朝上，且以直线a=为对称的抛物线， ①当2＜m ＜4时，对称轴a=∈（，1）， 所以函数在（0，1]上的最大值为，∵f （a ）＜m 2﹣k ﹣1恒成立，即恒成立．∵2＜m ＜4∴k ≤﹣1=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（※） …（9）分②当m ≥4时，对称轴为a=≥1所以函数在（0，1]上的最大值为﹣4+2m ，∵f （a ）＜m 2﹣k ﹣1恒成立，即k ≤m 2﹣2m +3恒成立．∵m ≥4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（※※）， ∴m 2﹣2m +3≥11，即k ≤11，…（11）分 由（※），（※※）求交得，k ≤2．…（12）分赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =yxa y =y定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。