2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题3(数学)
2009届高考数学名校试题精选圆锥曲线专项训练
2009届高考数学名校试题精选圆锥曲线专项训练一、填空题1、椭圆的中心在原点，有一个焦点F (,)01-，它的离心率是方程25202x x -+=的一个根，椭圆的方程是 ；2、若椭圆xk ye 2289112++==的离心率,则实数k 的值是 ；3、过椭圆xyF 22136251+=的焦点作直线交椭圆于A 、B 二点，F 2是此椭圆的另一焦点，则∆ABF 2的周长为 ；4、椭圆372122x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是；5、抛物线292y x =上一点M 到准线的距离为738，则点M 到抛物线顶点的距离是 。
6、焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为 。
7、抛物线y Px 22=上一点M m (,)4到焦点距离等于6，则m = 。
8、一动点到y 轴的距离比到点( 2,0 )的距离小2，这动点的轨迹方程是 。
9、抛物线y a x a =<402()的焦点坐标为 。
10、在抛物线y x 22=上求一点P ，使点P 到直线x y -+=30的距离最短。
11、若抛物线的准线方程为2310x y +-=，焦点为(,)-21，则抛物线的对称轴方程是 12、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。
13、双曲线x y 222591-=上一点P ，到一个焦点的距离为12，则P 到另一个焦点的距离为14、以230x y ±=为渐近线，且经过点(1 , 2)的双曲线是 。
15、双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 。
16、双曲线x y2231-=的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为17、已知双曲线的渐近线方程为340x y ±=，一条准线的方程为5330y +=，求这双曲线方程 18、与双曲线xy223641-=共轭的双曲线方程是 ，它们的焦点所在的圆方程是 。
2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题3数学
2009届全国名校真题模拟专题训练 08圆锥曲线三、解答题(第三部分)--- (2 分) 当直线I _x 轴时，直线I 的方程是：x =1，根据对称性可知 当直线I 的斜率存在时，可设直线I 的方程为y =k(x -1)51、F , (河北省正定中学 2008年高三第五次月考)已知直线I 过椭圆E ：x 2・2y 2=2的右焦点 且与E相交于P,Q 两点. 1 (1)设OR (OP OQ) ( O 为原点)，求点 R 的轨迹方程； 2解: 1 1 ⑵若直线I 的倾斜角为60°,求—— ——的值. |PF| |QF| (1)设 P(X 1,yJ, Q(X 2,y 2), R(x, y) OR 」(OP OQ)二(x,y)」[(x i ,y i ) 区』2)]= 2 2 儿X 2x = 2 〉目222由 x?，2y2=2： —+=1 ,易得右2焦 占 八'、 八、、 F(1,0)代入 E 有(2k 2 1)x 2 —4k 2x - 2k 2 -2^0 \ =8k 28 0; 4k 2 x1 x 二亍 (5分)于是 R(x,y): x ，x 2 其 2 2 k 2 +1消去参数k 得x 2，2y 2 -x =0而R(1,0)也适上式，故 R 的轨迹方程是x 22y^^0- (8分) (2)设椭圆另一个焦点为 F ', 在.PF'F 中.PFF' =120°,| F'F | = 2,设 | PF |二 m ，则 |PF'|=2； 2 -m _ 2 由余弦定理得(2 . 2-m)2 =22 m 2-2 2 m cos120° = m =—=—— 2血+1 y = k(x -1) 同理，在 QF 'F ，设 |QF | = n ，则 |QF'^2.2 -m 也由余弦定理得(22 -n)^22 - n 2 -2・2・n cos60° = n 22^2—1 于是」 — |PF| |QF| 分) U 厶•注―迁m n 2 (1252、(河南省开封市 2 22008届高三年级第一次质量检)双曲线笃-每 a b =1(a 0,b 0)的左、F 1、F a , O 为坐标原点，点 A 在双曲线的右支上，点F 2O 二 AB, OF 2 OA = OA OB.右焦点分别为 B 在双曲线左准线上,(1) 求双曲线的离心率 e ;(2) 若此双曲线过 C (2, .3 )，求双曲线的方程;R(1,0)（3）在（2）的条件下，D、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过 D 的直线l交双曲线M N, D2M丄D2N,求直线1的方程。
09高考辽宁省第一学期期末模拟试题分类汇编第8部分圆锥曲线
辽宁省期末模拟试题分类汇编第8部分：圆锥曲线一、选择题1.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若,2131<<k 则椭圆离心率的取值范围是 A ．)49,41( B ．)1,32( C ．)32,21( D ．)21,0(答案：C.2.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）已知P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，若021=⋅PF ，21tan 21=∠F PF ，则此椭圆的的离心率为 A ．21 B ．32 C ．31 D ．35 答案：D.3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）双曲线12222=-by a x 的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2的直径的两圆一定（ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离答案：B.4.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A. 16322=-y xB. 132322=-y xC.1964822=-y x D. 1241222=-y x 答案：A.5.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟） 在正△ABC 中，D ∈AB ，E ∈AC ，向量21=，则以B ，C 为焦点，且过D ，E 的双曲线的离心率为（ ）A ．35 B ．13-C ．12+D ．13+答案：D.二、填空题1.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）已知抛物线22x py =（p 为常数，0p ≠）上不同两点A 、B 的横坐标恰好是关于x 的方程2640x x q ++=（q 为常数）的两个根，则直线AB 的方程为 .答案：320x py q ++=；2.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）已知抛物线22x py =（p 为常数，0p ≠）上不同两点A 、B 的横坐标恰好是关于x 的方程2650x x ++=的两个根，则直线AB 的方程为__________________答案：6250x py ++=3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 已知4)21(:),0,21(22=+--y x F B A 是圆（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交于BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 答案：13422=+y x4.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）如图所示，底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 . 答案：38cm 12cm215.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率的取值范围是]2,332[∈e ，则两渐近线夹角的取值范围是 ． 答案：]2,3[ππ6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 . 答案：（1，2].7.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）已知抛物线x y 42=上两上动点),(),,(221y x B y x A 及一个定点M （1，2），F 是抛物线的焦点，若|||,||,|BF MF AF 成等差数列，则21x x += 。
2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---圆锥曲线解答题(二)
2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编《圆锥曲线》（二）71.记平面内动点M 到两条相交于原点O 的直线12l ,l 的距离分别为12,,d d 研究满足下列条件下动点M 的轨迹方程C ．（1）已知直线12l ,l 的方程为：2y x =±， （a ）若22126d d +=，指出方程C 所表示曲线的形状；（b ）若124d d +=，求方程C 所表示的曲线所围成区域的面积； （c ）若1212d d =，研究方程C 所表示曲线的性质，写出3个结论．（2）若222122d d d +=，试用a,b 表示常数d 及直线12l ,l 的方程，使得动点M 的轨迹方程C恰为椭圆的标准方程12222=+by a x （0>>b a ）．【解】（1）（a ）2229x y +=（b y x y -+= 方程C 所表示的曲线所围成区域为正方形面积为（c ）22236x y -=， 范围：6,x y ≤≤,x y 和原点对称；渐近线为：y = （2）设直线12l ,l 的方程为：bxy a=±（0>>b a ），则由222122d d d +=得 ，222222211()x y d a b a b +=+ 令d =，即得椭圆的标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）．72.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。
（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（I ）由0)42(:4222=+-+⎩⎨⎧=+=b x b x y xy bx y 得消去 因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(22=--=∆∴b b 1=∴b2222221,,22c a b e a b c a a a -===+∴=∴=.1222=+y x（II ） 当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222)34()31(=++y x当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：122=+y x ,由⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=++101)34()31(22222y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。
2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题1(数学)
2009届全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得 依题意25520(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。
2009届福建高三数学模拟试题分类圆锥曲线
2009届福建省高三数学模拟试题分类圆锥曲线一、选择题 1、（2009福州八中）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 BA．B．C．D ．122、（2009福建省）9.已知抛物线x y 42=的焦点为F,准线与x 轴的交点为M,N 为抛物线上的一点,且||23||MN NF =,则NMF ∠=( )AA.6πB4πC.3π D.125π 3、（2009福建省）定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系xOy 中,若21ye xe +=(其中1e 、2e 分别是斜坐标系x 轴、y 轴正方向上的单位向量,x 、y ∈R,O 为坐标系原点),则有序数对(x,y)称为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系xOy 中,若xOy ∠=120°,点M 的斜坐标为(1,2),则以点M 为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A A. 02322=+--+y xy y x B. 044222=+--+y x y xC. 02322=-+-+y xy y xD. 044222=-+-+y x y x4、（2009福州市）若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）．C A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 5、（2009泉州市）221169sin -sin sin x y ABP A B C P A BC P∆-=已知的顶点、分别为双曲线：的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于4. 5AB 54CD6、（2009厦门一中）如果直线2244ax by x y +=+=与圆有两个不同的交点，则点P （,a b ）与圆的位置关系是 AA 、P 在圆外B 、P 在圆上C 、P 在圆内D 、不能确定二、填空题 1、（2009泉州市）24 .F y x M N NF C =已知点为抛物线的焦点，过此抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为若以线段为直径的圆恰M C 好过点，则圆的标准方程是 ()2212x y +±=2、（2009厦门一中）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1212F F F F 、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为______________1三、解答题1、（2009点O ．A ，直线(01)x t t =<≤与曲线1C ．求证:曲边四边形ABOD 面积()S f t =3221()(06f t t at a t t =-+<(2)求函数()S f t =在区间(解：(1)由222y x y x ax ⎧=⎨=-+⎩2分故201(2)22tS x ax dx =-+-⋅⎰63221()(01)6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分222211(2)()2()0,2022:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t ''=-+=-+===≤ 令即解得或由舍去) 8分若(21a a ≥≥即,01,()0t f t '<≤∴≥ 21()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分2(212a a +≤≤≤若即, 0<t1,(2t a ∴<<当0时,()0f t '>()]f t a ∴在区间上单调递增当(21,()0a t f t '<≤<时(),1]f t a ∴在区间上单调递减32()[(2]1)3f t f a a ∴=的最大值是 13分综上所述[]2max31,6()21),13a a a f t a a ⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩ 14分 2、（2009福建省）如图,椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点在直线l ：x=1上,离心率e=21. (I)求椭圆方程；(Ⅱ)如果P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,试证：x 轴上存在定点R,对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|；(III)在(Ⅱ)的条件下,△PQR 能否为等腰直角三角形?证明你的结论.解:(I)椭圆12222=+by a x (a>b>0)的一个焦点在直线l:x=1上,故c=1.………1分 又e=21,∴a=2.…………………………………………………………………………2分由222c b a +=得b=3.……………………………………………………………3分∴椭圆方程为13422=+y x .…………………………………………………………4分 (II)当直线PQ 的斜率存在时,设弦PQ 所在的直线方程为y=kx+b. 若k=0,则PQ 垂直于y 轴,此时PQ 中点的横坐标为0,不符合题意. y=kx+b,若k ≠0,由 得01248)34(222=-+++b kbx x k .…………5分13422=+y x ,设P(11,y x )、Q(22,y x ),则348221+-=+k kbx x .∵PQ 中点在直线x=1上,∴3482+-k kb=2,从而k k k k b 434342--=--=.………6分kb k b kx b kx y y 23222121-=+=+++=+.……………………………………7分 假设x 轴上存在定点R(m,0),对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|,由|RP|=|RQ|得22222121)()(y x m y x m +-=+-,………………………………8分 ∴21222221)()(y y x m x m -=---,又ky y x x 23,22121-=+=+, ∴)(23))(22(1212y y k x x m --=--, 即)(23))(22(1212x x x x m --=--.∵21x x ≠,∴m=41,即R 点坐标为(41,0).当直线PQ 的斜率不存在时,直线PQ 垂直于x 轴,此时|RP|=|RQ|显然成立. 综上,x 轴上存在定点R(41,0),对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|.…9分 (III)假设△PQR 能为等腰直角三角形,则∙=0,……………………………10分即),41(),41(2211y x y x -∙-=O, ∴2121)41)(41(y y x x +--=0,0))((161)(41212121=+++++-b kx b kx x x x x ,∴22122167)1(b kb x x k ++-+=0,∴2222)43()43(21673412)43(4)1(k k k k k k k k k --+--+-+---∙+=0, ∴22222216)1)(916(3412)43(4)1(k k k k k k k +--+---∙+=0, 化简得0)1)(712(22=+-k k ,解得621±=k .………………………………………………………………………13分 又由△>0得0)124)(34(4642222>-+-b k b k , ( * ) 把k k b 43--=代入( * ),并整理得412>k .所以621±=k 符合题意,即在(II)的条件下△PQR 能为等腰直角三角形.……14分 3、（2009福州市）设A 、B 是椭圆223x y λ+=上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）若以线段AB 为直径的圆过线段CD 中点M ,求这个圆的方程．【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ+--+--=． ① ---------------------2分 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴224[(3)3(3)]0k k λ∆=+-->， ② ----------------4分 且1222(3)3k k x x k -+=+，由(1,3)N 是线段AB 的中点，得1212x x +=，∴2(3)3k k k -=+． 解得1k =-，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）． --------------6分 于是，直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-= --------------7分 法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ --------2分依题意，12x x ≠，∴12123()AB x x k y y +=-+． ---------------------4分∵(1,3)N 是AB 的中点，∴122x x +=，126y y +=，从而1AB k =-．又由(1,3)N 在椭圆内，∴2231312λ>⨯+=，∴λ的取值范围是(12,)+∞． ----------------6分 直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=． ----------------7分 （Ⅱ）∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为31y x -=-，即20x y -+=，代入椭圆方程，整理得24440x x λ++-=． ③ -----------------9分 又设3344(,),(,)C x y D x y ，CD 的中点为00(,)M x y ，则34,x x 是方程③的两根， ∴3403400113131,(),2,(,)22222x x x x x y x M +=-=+=-=+=-且即．-----12分 13(,)22M -到直线AB的距离2d ==CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为：22139()()222x y ++-=．-----------14分4（2009泉州市）已知中心在原点、焦点在x 轴上椭圆，离心率为3，且过点A （1,1） （Ⅰ）求椭圆方程；()∏如图，B 为椭圆右顶点，椭圆上点C 与A 关于原点对称，过点A 作两条直线交椭圆P 、Q （异于A 、B ），交x 轴与,,P Q AP AQ ''''=若,求证：存在实数PQ BC λλ=，使得解：（Ⅰ）设椭圆方程为()222210.x y aba b+=2232c c a a ==由得 ① 点A(1,1)在椭圆上，22111a b ∴+= ② 又222a b c =+ ③故所求椭圆方程为223144x y += （Ⅱ）由A(1,1)得C(-1,1)则()()011213BC k --==--易知AP 的斜率k 必存在，设AP ；()11,y k x =-+则():11,AQ y k x =--+由()()()2222231136136104411x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪+--+--=⎨⎪=-+⎩得 由A(1,1)得()()222113613610x k x k k x k k =+--+--=是方程的一个根由韦达定理得：22361113p p k k x x k --=⋅=+ 以-k 代k 得2236113Q k k x k +-=+ P Q PQ P Qy y k x x -=-故()k 21 ==3P Q P Qx x kx x +-- 故BC PQ即存在实数,PQ BC λλ=使得 5、（2009厦门一中）如图所示，点(1,0).T N A R y x 点在轴上运动，在轴上，为动点，且0,0,RT RA RN RT →⋅=+=（1）设动点N 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）过点B （-2，0）的直线l 与曲线C 交于点P 、Q ，若在曲线C上存在点M ，使得MPQ PQ l ∆为以为斜边的直角三角形，求直线 的斜率k 的取值范围，解：（1）设(,)N x y ，由0RN RT -+=知：R 是TN 的中点，…………………1分 则(,0),(0,),0(,)(1,)0222yy y T x R RT RA X -⋅=⇔---=………………3分 则24y x =就是点N 的轨迹曲线C 的方程：……………5分（2）设直线l 的方程为2x my =-，代入曲线C 的方程24y x =，得 2480,y m y -+=此方程有两个不等实根，2216320,2m m ∆=->>即M 在曲线C 上，P 、Q 是直线l 与曲线C 的交点，设21122(,),(,),(,),4t M t P x y Q x y 则1214,8y y m y y +==，ΔMOQ 是以PQ 为斜边的直角三角形，2212120,()()()()044t t MP MQ MP MQ x x y t y t ∴⊥∴⋅=--+--=即………………………………………………………………………………………………8分22222212121211,,()()()04416y y x x y t y t y t =∴--+-=，显然120,0y t y t -≠-≠，21212212()160,()()160,84160y y y y t t y t y t mt t ⋅++++=∴+++=∴+++=……………10分t 为点M 的坐标，∴关于t 的方程24240t mt ++=有实根，216960m ∴∆=-≥。
2009高考数学模拟试题13套数学8
数学(理科)说明：本试卷共6页，21小题，满分150分•考试用时120分钟. 参考公式：如果事件 A, B 互斥，那么P(A B) = P(A) P(B) • 如果事件A, B 相互独立，那么 P(A B)二P(A)・P(B) •2x + y W 40, x +2y W 50,4.若变量x , y 满足则z=3x ・2y 的最大值是()x > 0, J 》0，A .①②B .①③C .①④D .②④6.已知命题p:所有有理数都是实数， 命题q:正数的对数都是负数， 则下列命题中为真命题的是 ()普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷)2009. 5. 18一、选择题：本大题共 项是符合题目要求的. 8小题，每小题 5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有1.1 -i 1 i2 2(1 i) (1-i)B . —i C. 1 D. —12. 3.设x o 是方程In x ，x=4的解，贝U x o 属于区间(A. ( 0，1)B. (1，2)C. (2, 3)3.为了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频 率分布直方图所示，且从左到右第一小组的频 数是100,则n = ___________ 0.0)6- 0XH2■十— 0.008-A . 1000B . 10000 C. 2000 D. 3000D. (3，4)49.5 74J 99.3 124.5 1495⑵(3)⑷ ⑸C • （—p ） （—q ）D •R 有大于零的极值点，则（10.已知（1 kx 2）6 （ k 是正整数）的展开式中， x 8的系数小于120，贝U k = _______ 11.抛物线y =-x 2与直线y =5围成的图形的面积是 12 •如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（ 2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推•设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ,则a 6 =A • (—p) qB • p q 7.设 a R ，若函数 y =e ax3x , (—p) (—q)) A . a I 、「3B . a ：： -32&已知曲线C : y =2x ，点A (0, 1 D. a :: 一3—2）及点B （3, a ）,从点A 观察点B ,要使视线不被 住，则实数a 的取值范围是（ ）A . (4,+^)B . ( — 8, 4)C . (10,+^)D .(―汽 10)二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5 分, 满分30分.（—）必做题（9--12题）9.执行右边的程序框图，若 p = 4，则输出的S =/输入（注：框图中的赋值符号 也可以写成 ”或“== I 11旳二越+ 1/输出31 r—£ +丄结束218£ —I~a3a4(二)选做题(13—15题，考生只能从中选做两题)13. 以知圆的直径AB=13cm,C是圆周上一点(不同于A, B点)，CD _AB于D, CD =6cm,则BD =14、点M ,N分别是曲线Psin日=2和P = 2cos日上的动点，贝U |MN|的最小值是_________ 。
广东省2009届高三模拟试题分类汇总--圆锥曲线
广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——圆锥曲线一、选择题1、（2009揭阳）若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）AA. 212x y =B.212y x =C.24x y =D.26x y = 2、（2009吴川）若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ ）C A ．-2或2B2321或 C ．2或0 D ．-2或03、（2009广东四校）设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（ ）C (A) 14(B) 1(C) 2(D) 2 24、（2009珠海）经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ A ）A.0346=--y xB. 0323=--y xC.0232=-+y xD. 0132=-+y x5、（2009惠州）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） DA ．2-B ．2C ．4-D ．46、（2009汕头）如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）B A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=7、（2009广东六校）以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）DA ．1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.116422=+y x8、（2009广州）已知双曲线19222=-y ax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D A.54 B. 55558 C. 45 D. 774二、解答题1、（2009珠海二中）已知点M 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上, 以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .(1)若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；(2)若圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 解：(1)设),(00y x M ，圆M 的半径为. 依题意得||00y r c x ===将c x =0代入椭圆方程得：ab y 20=，所以c a b =2，又222c a b -= 从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012=-+e e解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 215-=e .(2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，M 到圆y 轴的距离3=d 又由(1)知：ab r 2=，c d =所以，3=c ，22=ab 又因为 222c b a =-,解得：3=a , 622==a b 所求椭圆方程是：16922=+y x2、（2009吴川）已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分 （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y …………………… 7分∵OQ OM ON =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =……………………9分 又∵42020=+y x ，∴4422=+y x …………………………… 10分 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠，…………………… 12分轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。
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2009届全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线三、解答题(第三部分)51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.(1)设1()2O R O P O Q =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；(2)若直线l 的倾斜角为60°，求11||||PF Q F +的值. 解：(1)设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22O R O P O Q x y x y x y =+⇒=+ 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩由22222212xx y y +=⇒+=，易得右焦点(1,F ----------（2分）当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ∆=+>; 2122421kx x k +=+----（5分）于是(,):R x y x =21222221x x kk +=+; (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=-（8分）(2)设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ∆中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|22PF m =- 由余弦定理得2220(22)222cos120m m m -=+-⋅⋅⋅2221m ⇒=+同理，在'QF F ∆，设||QF n =，则|'|22Q F m =- 也由余弦定理得2220(22)222cos 60n n n -=+-⋅⋅⋅2221n ⇒=-于是111122122122||||22PF Q F m n +-+=+=+= ---------（12分）52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，点A 在双曲线的右支上，点B 在双曲线左准线上， .,22OB OA OA OF AB O F ⋅=⋅=（1）求双曲线的离心率e ；（2）若此双曲线过C （2，3），求双曲线的方程；PQo xyF（3）在（2）的条件下，D 1、D 2分别是双曲线的虚轴端点（D 2在y 轴正半轴上），过D 1的直线l 交双曲线M 、N ，l N D M D 求直线,22⊥的方程。
解：（1）⇒=,2AB O F 四边形F 2ABO 是平行四边形0,0)(22=⋅=-BF OA OB OF OA 即,2BF OA ⊥∴∴四边 形F 2ABO 是菱形. ∴.||||||22c O F A F AB === 由双曲线定义得||||,2||11AB AF e c a AF =+=,122+=+=ecc a,022=-∴-ee)1(2舍去-==∴e e（2）,2ac e ==223,2a ba c ==∴，双曲线方程为,132222=-ayax把点C )3,2(代入有,3.1334222=∴=-a aa∴双曲线方程.19323=-yx（3）D 1（0，－3），D 2（0，3），设l 的方程为),(),,(,32211y x N y x M kx y -=则由0186)3(19332222=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=kx x k yx kx y 因l 与与双曲线有两个交点，.3±≠∴k 221221318,36k x x kk x x --=⋅--=+99)(3,3186)(212122122121=++-=⋅--=-+=+∴x x k x x k y y kx x k y y,),3,(),3,(22222112N D M D y x N D y x M D ⊥-=-=09)(3112121=+--⋅+⋅⇒y y y y x x,5.0931839318222==+---+--∴kkk即.5±=∴k 故所求直线l 方程为3535--=-=x y x y 或53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB 过抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F ，并与其相交于A 、B 两点，Q 是线段AB 的中点，M 是抛物线的准线与y 轴的交点，O 是坐标原点．(1)求MN ²M B的取值范围；(2)过A 、B 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N 点．求证：MN ²O F ＝0，N Q∥O F ．54、设圆满足:（1）截直线y=x 所得弦长为2;（2）被直线y=－x 分成的一段劣弧所在的扇形面积是圆面积的14倍．在满足条件（1）、（2）的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程．解：设所求圆的圆心为P （a,b ）,半径为r,则P 到直线y=x 、直线y=－x 的距离分别为2b a -、2b a +．………（2分）由题设知圆P 截直线y=－x 所得劣弧所对圆心角为90°,圆P 截直线y=－x 所得弦长为2r,故r 2=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛222r （2b a +）2， 即r 2=（a+b ）2，……………………（4分） 又圆P 截直线y=x 所得弦长为2，所以有r 2=1+2)(2b a -,从而有2262a ab b ++=．……………………（6分）又点P 到直线x+3y=0的距离为d=103b a +,所以10d 2=|a+3b|2=a 2+6ab+9b 2=8b 2+2≥2……………………（8分） 当且仅当b=0时上式等号成立,此时5d 2=1,从而d 取得最小值,由此有a=±2,r=2．…………（10分）于是所求圆的方程为（x －2）2+y 2=2或（x －2）2+y 2=2…………（12分）55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆＋y 2＝l 的左焦点为F ，O 为坐标原点．( I )求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线x ＋y ＝0上，求直线AB 的方程．56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知)0,3(-P ,点R 在y 轴上，点Q 在x 的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且0=⋅RM PR MQ RM 23,-=.（1）当R 在y 轴上移动时，求M 点轨迹C ；（2）若曲线C 的准线交x 轴于N ，过N 的直线交曲线C 于两点AB ，又AB 的中垂线交x 轴于点E ，求E 横坐标取值范围； （3）在（2）中，ABE ∆能否为正三角形. 解：(1)设MQ RM y x M 23),(11-=则由得)28,0(-R 又由0=⋅RM PR 得 .0)23,).(28,3(=-y x即x y 42=…………………………4分 (2)由(1)知N （－1，0）设得：)1(+=x k y由0)2(2)1(.422222=+-+⎩⎨⎧+==k x k x k x k y x y 得 由0102≠<>∆k k且得设),(),,(2211y x B y x A对kx x k y y kk k x x 4)2(221212221-++=+-=+∴AB 的中点为)2,2(22kkk -∴AB 的中点为)2(1222kk x kky ---=-令312020>+==kx y 得即x 0＞3.57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B 是抛物线()220x py p =>上的两个动点，O 为坐标原点，非零向量,OA OB满足OA OB OA OB +=-．（Ⅰ）求证：直线A B 经过一定点； （Ⅱ）当AB 的中点到直线20y x-=的距离的最小值为255时，求p 的值．解：O A O B O A O B +=-, O A O B ∴⊥.设A,B 两点的坐标为（11,x y ），（22,x y ）则2211222,2x py x py ==.（1）经过A ，B 两点的直线方程为211211()()()().x x y y y y x x --=-- 由221212,22x x y y pp==，得22212111()()()().22x x x x y y x x pp--=--211211()2x x x x y y x x p+≠∴-=- . 令0x=，得2111()2x x y y x p+-=-, 122x x y p∴=-.12120,OA OB x x y y ⊥∴+= 从而22121224x x x x p+=. 120x x ≠ (否则, ,OA OB有一个为零向量),2124x x p∴=-. 代入①，得 2yp= ，AB ∴始终经过定点()0,2p . ……………（6分）（2）设AB 中点的坐标为(,x y)，则12122,2,x x x y y y+=+= 22121212222()x x py py p y y ∴+=+=+.又2222212121212()2()8x x x x x x x x p +=+-=++, 22484x p py∴+=，即 212yx pp =+.……………①AB 的中点到直线20y x-=的距离25y x d-=.将①代入，得22211122()()555x p xx p px p ppppd+--+-+===.因为d 的最小值为2525,,2555p p ∴=∴=. ……………（12分）（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.）58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆)0(422≥=+y y x ，动圆M 与此半圆相切且与x 轴相切。
（1）求动圆圆心M 的轨迹方程。
（2）是否存在斜率为31的直线l ，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A 、B 、C 、D 四个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由。
（1）设动圆圆心),(y x M ，作MN ⊥x 轴于点N ①若两圆外切： 2||||+=MN MO ，则222+=+y y x 化简得：44222++=+y y y x ⇒ )1(42+=y x )0(>y ……………3分②若两圆内切： ||2||MN MO -=，则y y x -=+222⇒ 22244y y y x +-=+⇒ )1(42--=y x )0(>y ……………5分综上，动圆圆心的轨迹方程是)1(42+=y x )0(>y 及)1(42--=y x )0(>y ………6分其图象为两条抛物线位于x 轴上方的部分，如图所示。