【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：7.4(含答案)

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【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-4(含答案)

为“进口汽车 5 年关税达到要求 ”，所以 P(M)＝1－P( M )＝1－0.21＝ 0.79.
13．某战士射击一次，问： (1)若中靶的概率为 0.95，则不中靶的概率为多少？ (2)若命中 10 环的概率是 0.27，命中 9 环的概率为 0.21，命中 8 环的概率为 0.24，则至少命中 8 环的概率为多少？不够 9 环的概率为多少？
(2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率．
解析 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果
组成的基本事件空间
Ω＝ {( A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，
(A1， B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)， (A2， B2，C1)，(A2， B2，C2)，(A2， B3， C1)，(A2，B3， C2)， (A3， B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2， C1)， (A3， B2，
＝
14，
化简，得 7n2－11n－6＝0，
3 解得 n＝2 或 n＝－ 7(舍去 )，故 n＝2.
15．现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3 通晓日语， B1，B2，B3
通晓俄语， C1，C2 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，
组成一个小组．
(1)求 A1 被选中的概率；
号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后
再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是
红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是 ( )
1 A. 16
1 C.4
3 B.16

高考数学全套练习之习题7-4含答案和解析

习题7-41. 已知命题“若数列{}n a 为等差数列，且(),,,m n a a a b m n m nN +==≠∈，则.m n bn ama n m+-=-”现已知数列{}n b ()0,n b n N +>∈为等比数列，且(),,,m n b a b b m n m n N +==≠∈，若类比上述结论，则可得到m n b += .2.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集.下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是（写出所有真命题的序号） 3.,,,a b c d R ∈, 有以下三个论断：①0ab >；②bc ad <；③c dab<.若以其中两个为条件，余下一个为结论，写出所有正确的命题：_______________________________________________________. 4. 若规定{}1,210,...,E a a a =的子集{}12,...,ni i i a a a 为E 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则（1）{}1,3,a a 是E 的第_________个子集；（2）E 的第211个子集是____________. 5. ①在ABC 中，90B =的充分必要条件是cos c b A =；②函数2y =的最小值是52；③数列{}n a 的前项和为n S ，若21n S n =+，则数列{}n a 是等差数列； ④空间中，垂直于同一直线的两直线平行；⑤直线750x y +-=分圆221x y +=所成的两部分弧长之差的绝对值为π.其中正确的结论的序号为：___________.6．平面几何中的射影定理为：直角ABC ∆中，,90︒=∠A BC AD ⊥ 则有BC BD AB ⋅=2，如图1；将此结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中，AB 、AC 、AD 三边两两互相垂直，A 在面BCD 的射影为点O ，则得到的类比的结论中 , , ABC BOC BCD S S S ∆∆∆ 有怎样的关系 .习题7-41. n mn m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭提示：（探索型）猜想m nb +=n mn m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭.事实上，利用(),,,m n b a b b m n m n N +==≠∈也可求到数列的首项和公比，从而得到结果 2. ①②w_w w. k#s5_u.c o*m提示：（新定义型，多选型）直接验证可知①正确. 当S 为封闭集时，因为x y S -∈，取x ＝y ，得0∈S ，②正确对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集,③错误取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S T C ⊆⊆,但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误3. ①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①提示：（组合型）易知①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①三个命题均为真. 4. （1）5 （2）{}1,25,78,,,,a a a a a提示：（新定义型）（1）根据新定义113122=5k --=+.（2）要使得12111222=211n i i i k ---=++⋅⋅⋅+，需12111222=1+2+16+64+128ni i i ---++⋅⋅⋅+，即要使得1234511111i i i i i -----，，，，分别为1，2，16，64，128，故12345i i i i i ，，，，分别为1，2，5，7，8.5.①②⑤.提示：（多选型）①利用正弦定理边化角可证明正确.②不满足均值不等式条件，考虑对钩函数单调性证明正确.③等差数列前n 项和为关于n 的二次式，且常数项为0.④由正方体从一个定点出发的三条棱两两垂直可知错误⑤圆心到直线的距离2d =，半径1r =，劣弧所对圆心角为2π.6．BCD BO C ABC S S S ∆∆⋅=2提示：（探索型）类比猜测答案. 实际上，延长DO 交BC 于H ，则DH ⊥BC ,AH ⊥BC .1=, 2ABCS BC AH ∆⋅⋅1 , 2BOC S BC OH ∆=⋅⋅12BCD S BC DH ∆=⋅⋅而直角A H D ∆中，90D A H ∠=︒A O D ⊥则有2A H O H D H=⋅故BCD BO C ABC S S S ∆∆⋅=2B。

【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：7.2(含答案)

第七章 7.2第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为( ) A ．{x |1m ＜x ＜m } B ．{x |x ＞1m 或x ＜m } C ．{x |x ＞m 或x ＜1m } D ．{x |m ＜x ＜1m } 答案 D解析当0<m <1时，m <1m2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z }，N ＝{x ∈R |3x －1x －9≤1}，则M ∩N 的真子集的个数是( )A ．15B ．7C ．16D ．8 答案 B解析由N ＝{x |－4≤x <9}，M ∩N ＝{4,1,0} 真子集个数23－1＝7.3．函数y ＝log 12x 2－的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2) 答案 A解析由⎩⎨⎧x 2－1>0x 2－1≤1得[－2，－1)∪(1，2]．4．已知集合M ＝{x |x 2－2008x －2009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]，则( )A ．a ＝2009，b ＝－2010B ．a ＝－2009，b ＝2010C ．a ＝2009，b ＝2010D ．a ＝－2009，b ＝－2010 答案 D解析化简得M ＝{x |x <－1或x >2009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2009,2010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2010}，即－1,2010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2010＝－2010，－a ＝－1＋2010，即a ＝－2009.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3，且f (1)>0，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是 ( ) A ．m <32 B ．m <32且m ≠1C ．－1<m <32D ．m >32或m <－1答案 C解析由题意得f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<0，即2m －3m ＋1<0，∴－1<m <32，故选C.6.已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为 ( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析由导数图象知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即⎩⎨⎧x 2－6<0，x 2－6>－2或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案 B解析 ∵f (x 0)>1，∴⎩⎨⎧ x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎨⎧x 0<1x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．8．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式 (x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．(－12，32)B ．(－32，12) C ．(－1,1) D ．(0,2) 答案 A解析由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，∴4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.故选A .解法2：即y 2－y <x 2－x ＋1对x ∈R 恒成立，∴y 2－y <(x 2－x ＋1)min ＝34.∴y 2－y <34，解之得－12<y <32.二、填空题9．不等式2－xx ＋4>0的解集是________．答案 (－4,2)解析考查分式不等式的解法2－xx ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0，所以－4<x <2.10．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．答案－1<a <1解析 f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正一负根，则f (0)<0得a 2－1<0⇒－1<a <1. 11．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围________________________________________________．答案－2≤a <65解析当a 2－4＝0，即a ＝－2或a ＝2时，当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意．当a 2－4≠0时，需⎩⎨⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋2＋a 2－，解得－2<a <65.综上可知－2≤a <65.12．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a <0(a >0)的解集为________．答案 (1，a ＋1a )解析不等式可化为[x －(a ＋1a )](x －1)<0， ∵a >0，∴a ＋1a ≥2>1.∴该不等式的解集为(1，a ＋1a )．132答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．三、解答题14．关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧x 2－x －2>02x 2＋（k ＋）x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解析解x 2－x －2>0得x >2或x <－1 解2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0(有解集)得(2x ＋5)(x ＋k )<0由原不等式组，整数解为{－2}．得－52<x <－k ，∴－2<－k ≤3 ∴－3≤k <2.15．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.证明易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b－2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.16．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．解析由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对任意x ∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax －x 2<2－a 对于任意x ∈[0,1]都成立．即不等式x 2＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立．方法一令g (x )＝x 2＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可．g (x )＝x 2＋ax －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24－a ＋1.①当－a2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0⇒a <1，故0<a <1；②当0≤－a2≤1，即－2≤a ≤0时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋1>0⇒－2－22<a <－2＋22，故－2≤a ≤0；③当－a2>1，即a <－2时，g (x )min ＝g (1)＝2>0，满足，故a <－2.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．方法二由1－ax －x 2<2－a 得(1－x )a <x 2＋1， ∵x ∈[0,1]，∴1－x ≥0，∴①当x ＝1时，0<2恒成立，此时a ∈R ；②当x ∈[0,1)时，a <x 2＋11－x恒成立．求当x ∈[0,1)时，函数y ＝x 2＋11－x的最小值．令t ＝1－x (t ∈(0,1])，则 y ＝x 2＋11－x＝(－t )2＋1t ＝t ＋2t －2，而函数y ＝t ＋2t －2是(0,1]上的减函数，所以当且仅当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a <1，由①②得a <1.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．教师备选题1．(苏北四市调研)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为Ø，则实数a 的取值范围为________．答案 [24，＋∞)解析解法1：原命题可等价于不等式ax 2－|x |＋2a ≥0对于任意的实数x 均成立，即a (x 2＋2)≥|x |对于任意的实数x 均成立，由于x 2＋2>0且|x |≥0，故a >0，分别作出f 1(x )＝a (x 2＋2)和f 2(x )＝|x |的图象如图：根据图象的对称性，只需研究x ≥0时满足即可，当x ≥0，二者相切时，应有f 1′(x )＝2ax ＝1，此时x ＝12a ，所以，欲使原命题成立，只需满足f 1(12a )≥f 2(12a )，即a ×14a 2＋2a ≥12a ⇒8a 2≥1，解之得a ≥24(a ≤－24舍去)．解法2：令t ＝|x |≥0，原不等式可化为at 2－t ＋2a <0在t ≥0不存在，即at 2－t＋2a ≥0在t ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >012a <02a ≥0解之得a ≥242．设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值； (2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3) 如果x 1x 2∈[110，10]，试求a 的最大值．解析 (1)(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1a ＝1. (2)令f (x )＝ax 2＋x ＋1，由Δ＝1－4a ≥0，得0<2a ≤12，∴抛物线f (x )的对称轴x ＝－12a ≤－2<－1. 又f (－1)＝a >0，∴f (x )图象与x 轴的交点都在点(－1,0)的左侧，故x 1<－1，且x 2<－1.(3)由(1)，x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2.x 1x 2＝－11＋x 2∈[110，10]，所以－1x 2∈[111，1011]．所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 22＝－[(－1x 2)－12]2＋14.故当－1x 2＝12时，a 取得最大值为14.。

【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.3(含答案)

＝－ 2－2＋1＝－ 3，故选 D.
1＋ x
6．设 f(x)＝ 1－ x，又记 f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝ f(fk(x))，k＝ 1,2，…，则 f2011(x)＝ (
)
A
．－
1 x
B．x
x－1 C.x＋1 答案 C
1＋x D.1－x
解析
由题得
f2(
x)
1＋x ＝f(1－x)＝－
1x，f3(x)＝
答案 A
解析由 f(x)是偶函数知 b＝ 0，∴ g(x)＝ax3＋cx 是奇函数． 5．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数．当 x≥ 0 时，f(x)＝2x＋ 2x＋b(b 为常数 )，则
f(－1)＝( )
A．3
B．1
C．－ 1
D．－ 3
答案 D 解析令 x≤0，则－ x≥0，所以 f(－x)＝ 2－x－ 2x＋b，又因为 f(x)在 R 上是奇函数，所以 f(－ x)＝－ f(x)且 f(0)＝0，即 b＝－ 1，f(x)＝－ 2－x＋2x＋1，所以 f(－1)
是奇函数，则 f(x)在(－ 1,1)上单调递减，根据函数 f(x)的单调性，方程 f(x)＝－ 1 在
(－1,1)上有唯一的实根，根据函数 f (x)的对称性，方程 f(x)＝－ 1 在(1,3)上有唯一的
实根，这两个实根关于直线 x＝ 1 对称，故两根之和等于 2. －2x＋ b
16．已知定义域为 R 的函数 f 0
6．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋ 1)＝－ f(x)，且 f(x)＝
，则
－1 0<x≤ 1
f(3)＝________. 解析 ∵ f(x＋1)＝－ f(x)，则 f(x)＝－ f(x＋1)＝－ [－ f(x＋2)] ＝f(x＋2)，则 f(x)

【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：6.2(含答案)

第六章 6.2第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析依题意得a 1＋a 9＝2a 5＝10，a 5＝5，选A.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( )A.32B.12C ．－32D ．－12 答案 D解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D.3设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( )A ．2n －3B ．2n －1C ．2n ＋1D ．2n ＋3 答案 C解析由⎩⎨⎧ a 4＝9S 3＝15⇒⎩⎨⎧ a 1＋3d ＝93a 1＋3d ＝15⇒⎩⎨⎧a 1＝3d ＝2，所以通项a n ＝2n ＋1.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－2a 2m ＝0，S 2m －1＝39，则m ＝( )A ．38B ．39C ．20D ．19 答案 C解析 ∵a m －1＋a m ＋1＝2a 2m 又∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ∴a m ＝1或0(舍去)∵S 2m －1＝m －a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m∴(2m －1)a m ＝39，∴2m －1＝39 ∴m ＝20.5．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75 答案 B解析设公差为d 且d >0.由已知⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝15a 1a 2a 3＝80，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝5a 1a 1＋d a 1＋2d ＝80. 解得a 1＝2，d ＝3(∵d >0)．∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝1056．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b5等于( )A ．7 B.23 C.278 D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92a 1＋a 992b1＋b 9＝S 9T 9＝214.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2 D ．3 答案 C 解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2＝6a 1＋2d ＝4，解得d ＝2. 二、填空题8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)、Q (4，a 4)的直线的斜率是________．解析设数列{a n }的公差为d ，则依题意，得⎩⎨⎧ a 4＝a 1＋3d ＝15S 5＝5a 1＋10d ＝55⇒⎩⎨⎧a 1＝3d ＝4，故直线PQ 的斜率为a 4－a 34－3＝d1＝4.9．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11＝________.答案 0解析记b n ＝11＋a n，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112，∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0.10．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2010，S 20092009－S 20072007＝2，则S 2010的值为________．答案－2010解析在等差数列{a n }中，设公差为d ，则S n n ＝na 1＋n2(n －1)dn ＝a 1＋d2(n －1)，∴S 20092009－S 20072007＝a 1＋d 2×2008－a 1－d2×2006＝d ＝2，∴S 2010＝－2010×2010＋2010×20092×2＝－2010×2010＋2010×2009＝－2010. 11．方程(x 2－x ＋m )(x 2－x ＋n )＝0有四个不等实根，且组成一个公差为12的等差数列，则mn 的值为________．答案－15256解析设四个根组成的等差数列为x 1，x 2，x 3，x 4，根据等差数列的性质，则有x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝1∴2x 1＋3d ＝1，又d ＝12，∴x 1＝－14∴x 2＝14，x 3＝34，x 4＝54∴mn ＝(x 1x 4)(x 2x 3)＝－1525612．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，答案 n 2＋n解析第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .13．已知数列{a n }共有m 项，记{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )，若S (n )是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n <m 时，a n ＝________.答案－2n －1解析由题意得S (n )＝a n ＋…＋a m ＝n ×1＋n (n －1)2×2＝n 2，当n <m 时，S (n＋1)＝a n ＋1＋…＋a m ＝(n ＋1)2.故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1.三、解答题14．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米．(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？(2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？答案 (1)7 (2)8解析 1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{a n } (1)a 1＝11，S 9＝351，求得：d ＝7 (2)a 3＝23，S 9＝351，求得：d ＝8 15．(2010·浙江卷，文)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解析 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.16．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式．答案 (1)a n ＝22－2n(2)a n ＝12－n 和a n ＝13－n解 (1)由S 14＝98得2a 1＋13d ＝14，又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20.因此{a n }的通项公式是a n ＝22－2n ，n ＝1,2, 3，….(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 14≤77a 11>0a 1≥6，得⎩⎨⎧2a 1＋13d ≤11a 1＋10d >0a 1≥6，即⎩⎨⎧2a 1＋13d ≤11 ①－2a 1－20d <0， ②－2a 1≤－12 ③由①＋②得－7d <11，即d >－117.由①＋③得13d ≤－1，即d ≤－113.于是－117<d ≤－113. 又d ∈Z ，故d ＝－1.④ 将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1＝11或a 1＝12.所以所有可能的数列{a n }的通项公式是 a n ＝12－n 和a n ＝13－n ，n ＝1,2,3，….拓展练习·自助餐1．在数列{an }中，a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A ．a 21·a 22B ．a 22·a 23C ．a 23·a 24D ．a 24·a 25 答案 C解析由3an ＋1＝3an －2 ，得an ＋1＝an －23，即数列{an }是以a 1＝15为首项，－23为公差的等差数列，所以an ＝15－23(n －1)＝47－2n 3，可得a 23>0，a 24<0，即得a 23·a 24<0，故选C.2．(09·安徽)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 答案 B解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋(－34)＝1.3．已知A n ＝{x |2n <x <2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为( ) A ．792 B ．890 C ．891 D ．990 答案 C解析 ∵A 6＝{x |26<x <27且x ＝7m ＋1，m ∈N }， ∴A 6的元素x ＝71,78,85,92,99,106， (127)m ＝9各数成一首项为71，公差为7的等差数列，∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝8914．已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值是________．答案 25解析方法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意：20a 1＋20×192×d ＝100，即a 1＝5－9.5d ，又a 7·a 14＝(a 1＋6d )(a 1＋13d )＝ (6d ＋5－9.5d )(5－9.5d ＋13d )＝25－12.25d 2 所以a 7·a 14的最大值为25. 方法二 ∵a 7＋a 14＝10，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.5．在等差数列{an }中，Sn 是它的前n 项的和，且S 6<S 7，S 7>S 8.有下列四个命题：①此数列的公差d <0； ②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是Sn 中的最大值．其中正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 ∵S 6<S 7 ∴a 7>0 ∵S 7>S 8 ∴a 8<0∴d <0，∴S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0 n ＝7时，Sn 最大．6．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行．解析 a 1＝3，d ＝5，a n ＝33333，∴33333＝3＋(n －1)×5，∴n ＝6667，可得a n 在第25页，第9行．教师备选题1．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2003＋a 2004>0，a 2003·a 2004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4005B ．4006C ．4007D ．4008 答案 B解析解法一：S 4006＝a 1＋a 40062＝2003(a 2003＋a 2004)>0. ∵a 2003>0，a 2004<0. ∴S 4007＝4007a 2004<0.∴4006是S n >0的最大自然数．解法二：a 1>0，a 2003＋a 2004>0且a 2003·a 2004<0 ∴a 2003>0且a 2004<0.∴S 2003为S n 中的最大值． ∵S n 是关于n 的二次函数．∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小． ∴40072在对称轴右侧．∴4006在抛物线与x 轴右交点的左侧，4007、4008都在其右侧． ∴S n >0中最大的自然数是4006.2．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和．若S n 取得最大值，则n ＝________.答案 9解析设公差为d ，由题设，3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，解得d ＝－433a 1<0，解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)(－433a 1)>0，得n <374，则n ≤9.当n ≤9时，a n >0. 同理，可得当n ≥10时，a n <0.故当n ＝9时，S n 取得最大值．3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)．解析由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n .由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d . 故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)数列{a n }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由；解 (1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a 1＝1，所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a 3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n }不可能为等差数列．证明如下：由a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n 得a 2＝2－λ，a 3＝(6－λ)(2－λ)，a 4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n }为等差数列，则a 3－a 2＝a 2－a 1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a 2－a 1＝1－λ＝－2，a 4－a 3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{a n }为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n }都不可能为等差数列． 5．已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过公式b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }，若{b n }也是等差数列，求非零常数c ；(3)求f (n )＝b nn ＋b n ＋1(n ∈N *)的最大值．解析 (1){a n }为等差数列， ∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14，又a 2·a 3＝45.∴a 2，a 3是方程x 2－14x ＋45＝0的两实根．又公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9. ∴⎩⎨⎧ a 1＋d ＝5a 1＋2d ＝9⇒⎩⎨⎧a 1＝1d ＝4.∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n （n －）2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2.即2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n . 易知{b n }是等差数列，故c ＝－12.(3)f (n )＝2n （n ＋）（n ＋1）＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n ＋26≤1225＋26＝136.当且仅当n ＝25n ，即n ＝5时取等号，∴f (n )max ＝136.。

高考数学黄金配套练习4-7 理

高考数学黄金配套练习4-7 理一、选择题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A ＝( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．30° 答案 C解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°.故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.3．在△ABC 中，若sin A ·sin B <cos A ·cos B ，则此三角形的外心位于它的( ) A ．内部 B ．外部C ．一边上D ．以上都有可能答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0 ∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5 答案 D解析本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45，则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或32 答案 D解析如图，由正弦定理得sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C ．120° D．150° 答案 A解析由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，因此选A. 8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形答案 A解析∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．二、填空题9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案 3解析在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.10．已知a ，b ，c 分别是ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理得3sin 60°＝1sin A，∴sin A ＝12.11．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin A ＝a sin Bb＝2·sinπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)．12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形．③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B等于________．答案 54解析 A 、C 恰好为椭圆的两焦点，∠A 、∠C 所对的边之和BC ＋AB ＝2a ＝10，∠B 所对边AC ＝2c ＝8，由sin A BC ＝sin B AC ＝sin C AB 得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝54.三、解答题14．ΔABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .解析由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2.由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45.从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD.所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD ＝33×5133365＝25.15．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2.(2)AB ＝AC sin B·sin C ＝1022·55＝2. BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13. 讲评解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理asin A ＝csin C外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．16．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(Ⅰ)求锐角B 的大小；(Ⅱ)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析 (Ⅰ)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(Ⅱ)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.拓展练习·自助餐1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析c 2＝a 2＋b 2－2ab co s 120°⇒a 2－b 2－ab ＝0⇒b ＝－a ＋5a 5<a ，故选A.2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.3．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B .思路点拨本题已知b 2＋c 2－bc ＝a 2，从该式的结构特点及所求结论可以看出，可直接运用余弦定理求A .再由正弦定理，实现边角转化，即将c b 化为sin Csin B，再用A ＋B ＋C ＝π，得出C＝π－A －B ，从而求出tan B 的值．解析方法一 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )＝π－π3－B ＝2π3－B .由已知条件及正弦定理得12＋3＝c b ＝sin Csin B ＝sin 2π3－Bsin B＝sin 2π3cos B －cos 2π3sin Bsin B ＝32cot B ＋12.解得cot B ＝2，∴tan B ＝12.方法二 ∵b 2＋c 2－bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵A 为三角形一内角，∴A ＝π3.又∵b 2＋c 2－bc ＝a 2， ∴1＋(c b)2－c b ＝(a b)2，即1＋(12＋3)2－(12＋3)＝(a b)2.∴(a b )2＝154.∴a b ＝152. 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝15.又∵a >b ，∴A >B .∴B 为锐角．∴cos B ＝25.∴tan B ＝sin B cos B ＝12.4．设函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x 2，x ∈R . (1)求f (x )的值域；(2)记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f (B )＝1，b ＝1，c ＝3，求a 的值．解析 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1 ＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)由f (B )＝1得sin(B ＋5π6)＋1＝1，即sin(B ＋5π6)＝0，又因0<B <π，故B ＝π6.解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或2.解法二：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝32，C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，A ＝π2，从而a ＝b 2＋c 2＝2；当C ＝23π时，A ＝π6，又B ＝π6，从而a ＝b ＝1.故a 的值为1或2.教师备选题1．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A ．不能作出这样的三角形B ．作出一个锐角三角形C ．作出一个直角三角形D ．作出一个钝角三角形答案 D解析设三边分别为a ，b ，c ，利用面积相等可知 113a ＝111b ＝15c ，∴a ∶b ∶c ＝13∶11∶5 由余弦定理得cos A ＝52＋112－1322×5×11<0，所以角A 为钝角．2． E ，F 是等腰直角ΔABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627B.23C.33D.34 答案 D 解析设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECFcos ∠ECF＝1－45245＝34. 3．某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1 答案 A解析四个等腰三角形的面积之和为4×12×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.4．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C 2＝(2－1)cos B ，________，求角A . 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．分析本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C 2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°. 由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝60°或120°不合题意．若已知条件为c ＝2＋62，则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62. 5．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，∴12＝sin Asin B，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.。

【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：3.1(含答案)

第三章 3.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．若f′(x0)＝a≠0，则li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝()A．a B．－aC.1a D．－1a答案 A2．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为() A．sin1－1 B．1－sin1C．1＋sin1 D．－1－sin1答案 C解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1x＋sin x，∴f′(1)＝1＋sin1.3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在答案 B解析切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<04．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2答案 A解析由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得在点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C6．若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64 B．32C．16 D．8答案 A解析求导得y′＝－12x－32(x>0)，所以曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线l的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝－12a －32，由点斜式得切线l 的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.7已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π) 答案 D解析设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝－4e x ＋1e x ＋2，因为e x ＞0，所以由均值不等式得k ≥－42e x ×1e x ＋2，又k ＜0，∴－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π.8．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53答案 B解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a )2－1∴y ＝f ′(x )是开口向上，以x ＝－a 为对称轴(－a ，－1)为顶点的抛物线． ∴(3)是对应y ＝f ′(x )的图象∵由图象知f ′(0)＝0，对称轴x ＝－a >0. ∴a 2－1＝0，a <0 ∴a ＝－1∴y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋1∴f (－1)＝－13选B. 二、填空题9．曲线y ＝tan x 在x ＝－π4处的切线方程为______答案 y ＝2x ＋π2－1解析 y ′＝(sin x cos x )′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，所以在x ＝－π4处的斜率为2，曲线y ＝tan x 在x ＝－π4处的切线方程为y ＝2x ＋π2－1.10．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案－2解析由题意，得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2) ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.11．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1时y ＝－14 ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1) 即3x －y －11＝012．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝______答案 3解析在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，∴点M 在y ＝12x ＋2上．∴f (1)＝12·1＋2＝52.f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝3.13．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4. 三、解答题14．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，求点P 到直线y ＝x －2的最短距离．答案 2解析 y ＝x 2－2ln x ＝x 2－ln x (x >0)，y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，即2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y ＝x ，其到直线y ＝x －2的距离2即为所求．15．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．答案 y ＝－14x ，(32，－38)解析 ∵直线过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， ∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴在(x 0，y 0)处曲线C 的切线斜率应为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.∴x 20－3x 0＋2＝3x 20－6x 0＋2.整理得2x 20－3x 0＝0.解得x 0＝32(x 0≠0)．这时，y 0＝－38，k ＝－14.因此，直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标是(32，－38)．16．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，求二切线之间距离．答案 1627 2解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2xy ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1得x 1＝1或x 2＝－13∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0d ＝|1＋527|2＝16227拓展练习·自助餐1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2011(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 答案 D解析 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4. ∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析显然P 不在S 上，设切点为(x 0，y 0)，由y ′＝3－3x 2，得y ′|x ＝x 0＝3－3x 20切线方程为：y －(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(x －x 0) ∵P (2,2)在切线上∴2－(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(2－x 0) 即x 30－3x 20＋2＝0(x 0－1)(x 20－2x 0－2)＝0 由x 0－1＝0得x 0＝1由x 20－2x 0－2＝0得x 0＝1±3.∵有三个切点，∴由P 向S 作切线可以作3条．3．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围为________．答案 [2，2]解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)．∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]．4．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．解析当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.教师备选题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________．答案 0解析由题意得f ′(5)＝lim Δx →0 f (5＋Δx )－f (5)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝f ′(0)，且f ′(0)＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝－lim －Δx →0f (0－Δx )－f (0)－Δx＝－f ′(0)，f ′(0)＝0，因此f ′(5)＝0.2．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．答案 y ＝0或y ＝4x －4解析设直线l 与C 1切于(x 1，x 21)与C 2切于点(x 2，－(x 2－2)2)∴分别对应的切线方程为：y－x21＝2x1(x－x1)即：y＝2x1x－x21和y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)即y＝－2(x2－2)x＋(x2－2)(x2＋2)．∴∴x1＝0或x1＝2.∴l为：y＝0或y＝4x－4.。

【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.1(含答案)

第四章 4.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．集合M ＝{x |x ＝kπ2＋π4，k ∈Z }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝kπ4＋π2，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．MN D ．M ∩N ＝∅答案 C解析 x ＝kπ2＋π4＝2k ＋14·π， x ＝kπ4＋π2＝(k ＋2)π4，由于2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴MN .2．sin 2·cos 3·tan 4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2 ∴sin2>0，cos3<0，tan4>0 ∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.3．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( )A.55B.255C ．－55 D.255 答案 B解析 sin α＝y r ＝25＝255.4．已知点P (3，y )在角α的终边上，且满足y <0，cos α＝35，则tan α的值为( ) A ．－34 B.43 C.34 D ．－43 答案 D解析 ∵cos α＝39＋y2＝35，且y <0 ∴y ＝－4，∴tan α＝－43，选D.5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2 D ．cos2θ 答案 C解析 ∵θ为第一象限角 ∴θ2为第一象限或第三象限角 ∴tan θ2>0，选C.6．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 答案 D解析由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.7．若点(sin α，sin2α)位于第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析因为sin α>0，sin2α＝2sin αcos α<0，所以cos α<0，所以角α在第二象限． 8．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝12rl ＝2，解得⎩⎨⎧ r ＝1l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1 二、填空题9．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在 [0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案 25π，910π，75π，1910π解析由已知θ＝2kπ＋8π5(k ∈Z )， ∴θ4＝kπ2＋2π5(k ∈Z )，由0≤kπ2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165， ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2，，3， ∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.10．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4； ④sin|－1|，其中为负值的个数是________．答案 2解析确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．11．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．答案－43或－433解析解法一依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4， a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433.解法二 ∵sin α·cos α＝34>0，∴sin α·cos α同号 ∴角α在第三象限，即P (－4，a )在第三象限 ∴a <0.根据三角函数的定义a 16＋a 2·－416＋a 2＝34，解得a ＝－43或a ＝－433.12．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sinθ2＝1－sinθ，那么θ2所在象限为第________象限．答案三解析∵cos θ2－sinθ2＝1－sinθ＝|cosθ2－sinθ2|∴cos θ2≥sinθ2，∴2kπ－3π4≤θ2≤2kπ＋π4，k∈Z，又∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π，k∈Z∴kπ＋π4＜θ2＜kπ＋π2∴2kπ＋5π4＜θ2＜2kπ＋3π2故θ2为第三象限角．三、解答题13．(教材习题改编)若α的终边落在x＋y＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.解析若角α终边落在Ⅱ象限∴{α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z}若角α的终边落在Ⅳ象限内∴{α|α＝7π4＋2kπ，k∈Z}∴α终边落在x＋y＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z}∪{α|α＝7π4＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝3π4＋kπ，k∈Z}令－360°≤135°＋k·180°≤360°∴k＝{－2，－1,0,1}∴相应的角{－225°，－45°，135°，315°}14．在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝22x(x≥0)．求sin(α＋π6)的值；解由射线l的方程为y＝22x，可得sinα＝223，cosα＝13，故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.拓展练习·自助餐1．已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．答案10解析由题意知tanα＝－6x＝－35，∴x＝10.2．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ答案①②③解析由已知得sinα<α，sinβ<β，0<sinα<sinβ，因此sinα＋sinβ<α＋β，即选项①正确．α·sinα<β·sinβ，即选项③正确．构造函数f(x)＝x－sin x(其中x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，因此函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f(α)<f(β)，即α－sinα<β－sinβ，α＋sinβ<sinα＋β，选项②正确．对于选项D，当α＝π6，β＝π3时，β·sinα＝π6>π6·32＝α·sinβ，选项④不正确．3．(08·全国Ⅱ，文)若sinα<0且tanα>0，则α是() A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析当sinα<0且tanα>0得α是第三象限角，选C. 4．求函数f(x)＝sin x－cos x的定义域．答案{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}解析f(x)有意义，则sin x≥cos x∴sin(x－π4)≥0∴2kπ≤x－π4≤2kπ＋π∴2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4k∈Z5．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是()A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ答案 D解析∵π4<θ<π2，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝2sin(θ－π4)，∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sinθ>cosθ.。

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答案 20
解析
设每次购买该种货物
x 吨，则需要购买 2x00次，则一年的总运费为
200 x ×2
＝ 40x0，一年的总存储费用为
x，所以一年的总运费与总存储费用为
400 x
＋
400
400
x≥２ x ·x＝40，当且仅当 x ＝x，即 x＝ 20 时等号成立，故要使一年的总运费
与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物 20 吨．
在△ ABC
中，
x3＝4－4
y ，即
4x＋3y＝12，
3
xy＝
1 12·(4x)
·(3x)
1 4x＋ ≤12·( 2
3y)2＝
3，(当且仅当
4x＝3y，即
x＝ 2
y＝ 2
时等号成立 )，
∴ P 到 AC、BC 距离的乘积的最大值为 3.
2．已知关于
x 的不等式
2 2x＋x－
a≥７在
x∈ (a，＋ ∞）上恒成立，则实数
200 答案把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 π m 时，矩形区域面积最大
教师备选题
1．已知在△ ABC 中，∠ ACB＝90°，BC＝3，AC＝ 4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值是 ________________．
答案 3
解析设 P 到 AC、 BC 的距离分别为 x， y，则 0≤x≤3,0y≤≤４，
若 q 成立，则
2x2－x＋a≥０恒成立，解得
1 a≥8，∴
∴ p 是 q 的充分不必要条件．
6．已知二次函数
f(x)＝ ax2＋ 2x＋c(x∈R)的值域为
a＋1 c＋1 [0，＋ ∞），则 c ＋ a 的
最小值为 ( )
A．4
B．4 2
C． 8
D．8 2
答案 A 解析 ∵ f(x)＝ ax2＋ 2x＋c 的值域为 [0 ，＋ ∞），
答案 [3＋ 2 2，＋ ∞）
解析 (x－ 1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋ 1
≤xy－ 2 xy＋ 1
又 (x－1)(y－1) ≥２，即 xy－2 xy＋1≥２
∴ xy≥ 2＋1，∴ xy≥３＋ 2 2
11．若 a>0，b>0，a＋b＝1，则 ab＋a1b的最小值为 ________．
答案
17 4
设
x>0， y>0，不等式
1x＋
1y＋
m x＋
y≥０恒成立，则实数
m 的最小值是
________．
【解析】
原问题等价于
m x＋
y≥－(
1x＋
1 y)
恒成立，
∵ x>0，y>0，∴等价于 m≥－(1x＋1y)(x＋ y)的最大值，
而－
(1x＋1y)(
x＋y)＝－
2－(
yx＋
x y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ≤－
2－
2＝－
4，当且仅当
答案 D 解析 ∵ x<0，∴ 2x∈ (0,1)，2－x>1
∴ 2x＋2－x>2 2x·2－x＝ 2
∴ D 正确
而 A、B 首先不满足 “一正 ”，C 应当为 “≤”
1
2．函数 y＝log2(x＋ x－ 1＋ 5)(x>1)的最小值为 (
)
A ．－ 3
B．3
C． 4
D．－ 4
答案 B
解析
x＋x－1
a 的最
小值为 ________．
答案
3 2
2
2
2
解析因为 x>a，所以 2x＋ x－a＝2(x－a)＋ x－ a＋ 2a≥２ 2( x－a ) ·x－a＋
2a＝2a＋4，即 2a＋4≥７，所以 a≥32，即 a 的最小值为 32.
3．某公司一年需购买某种货物 200 吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用 (单位：万元 )恰好为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是 ________．
1＋5＝(x－1)＋
1 x－
1＋
6
1 ≥２ (x－1) x－1＋6
＝ 2＋ 6＝ 8
当且仅当 x－1＝x－1 1即 x＝2 时取 “＝”号
1 ∴ y＝ log2(x＋x－1＋5) ≥lo2g8＝ 3
3．若
a，
b∈
R
＋
，
a＋
b＝
2，则
1 a＋
1 b的最小值等于
(
)
A．1
B．3
C． 2 答案
D．4
解析
a，
二、填空题
9．已知 x＞0，y＞0,2x＋ y＝1，则 xy 的最大值为 __________．
答案
1 8
解析
2x＋ 2xy≤（2
y )
2＝
1 4，∴
1 xy≤8
(当且仅当 2x＝y 即 x＝14，y＝12时取 “＝”号． )
∴ xy 的最大值为
1 8.
10．设 x＞ 0， y＞ 0，且 (x－1)(y－1) ≥，２则 xy 的取值范围为 __________．
∴ y＝ x＋1 ＝
x＋1
)＋4
4 ＝ (x＋1)＋x＋1＋5≥2
4 x＋ x＋1＋5＝9.
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时，等号成立． x2＋7x＋ 10
∴当 x＝1 时，函数 y＝ x＋1 (x>－1)的最小值为 9.
15．某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可
b∈
R
＋
，
a＋
b＝
2，
1a＋
1b＝
a＋abb＝
2 ab≥
2 a＋ b
(2
＝ 2. )2
4．设 a>0，b>0.若
3是
3a 与
3b 的等比中项，则
11 a＋ b的最小值为
(
)
A．8
B．4
1
C． 1
D.4
答案解析
B
由题有 (
3)2＝3a·3b?
a＋b＝1，又
11 11 a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋ b)(a＋b)＝ 1
x＝y 时取 “＝ ”，故
m≥
－4.
【答案】－4
1 例 3 设函数 f(x)＝x－x.对任意 x∈[1，＋ ∞），f(mx)＋ mf(x)<0 恒成立，则实数
m 的取值范围是 ________．
【解析】
由题知，
mx－m1x＋
mx－
m x <0
在[1，＋ ∞）上恒成立，即
m1 ＋
m)1x，显然 m≠0当. m>0 时，即 m12＋mm>x2 在[1，＋ ∞）上恒成立，由于函数 g(x)＝x2
三、解答题
13．已知 a、b、c 都是正实数，且满足 log9(9a＋b)＝log3 ab，求使 4a＋b≥c 恒成立的 c 的取值范围．
答案 0<c≤25
解析因为 a、 b 都是正实数， log9(9a＋ b) ＝log3 ab，所以 log3(9a＋ b) ＝ log3(ab)，故 9a＋ b＝ab，故9b＋1a＝1，所以 4a＋ b＝ (4a＋ b)(9b＋1a)＝ 13＋3b6a＋ba≥ 13
D．4
解析
a2＋ a1b＋a
1 (a－ b)
＝ a2 ＋ b
1 (a－b
)≥a2＋a42≥４，当且仅当
b＝ a－ b
且
a2＝
4 a2，即
a＝
2 2， b＝ 2 时 “＝”都成立，故原式最小值为
4，选 D.
8．已知所有的点 An(n，an)(n∈N* )都在函数 y＝ ax(a>0，a≠ 1的) 图象上，则 a3
自助餐 ·恒成立问题
(1)f(x) ≤ 0或( ≥ 0恒) 成 ? f(x)max≤ 0或( f(x)min≥ 0)
(2)含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为 f(x) ≥a(或 ≤a)形式，
其次是数形结合．
x 例 1 若对任意 x>0，x2＋3x＋ 1≤a 恒成立，则 a 的取值范围是 ________．
x
x
【解析】若对任意 x>0，x2＋3x＋ 1≤a 恒成立，只需求得 y＝x2＋3x＋1的最
x
1
大值即可．因为 x>0，所以 y＝x2＋ 3x＋1＝ 1 ≤
x＋ x＋3 2
1 1
＝ 15，当且仅当 x＝
x·x＋3
1 时取等号，所以 a 的取值范围是 [ 15，＋ ∞）．
【答案】 [15，＋ ∞）
例2
＋2 3b6a·ba＝25，即 4a＋ b≥25，当且仅当 3b6a＝ba，即 b＝ 6a 时等号成立．而 c>0，
所以要使 4a＋b≥c 恒成立， c 的取值范围为 0<c≤25. x2＋ 7x＋10
14．求函数 y＝ x＋1 (x>－1)的最小值．
解析 ∵ x>－1，∴ x＋1>0.
x2＋7x＋10 (x＋ 1) 2＋ (x＋
＋a7 与 2a5 的大小关系是 ( )
A ． a3＋a7>2a5
B． a3＋a7<2a5
C． a3＋a7＝2a5
D． a3＋a7 与 2a5 的大小关系与 a 的值有关
答案 A 解析因为所有的点 An(n，an)(n∈N*)都在函数 y＝ax(a>0，a≠ 1的) 图象上，所以有 an＝an，故 a3＋a7＝ a3＋a7，由基本不等式得： a3＋a7>2 a3·a7＝2a5(因为 a>0， a≠１，从而等号不成立 )，又 2a5＝ 2a5，故选 A.