2020-2021学年福建省三明市高一(上)期末数学试卷(附详解)

2020-2021学年福建省三明市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0<x≤2}，B={x|x<1}，则A∩B=()A. (0,1)B. [2,+∞)C. (1,2]D. (−∞,2]2.下列各式中正确的是()A. π6rad=60° B. 3π4rad=120° C. 150°=5π6rad D. 180°=2πrad3.下列各组函数中表示同一函数的是()A. f(x)=x2+2xx，g(x)=x+2 B. f(x)=x2−3x，g(t)=t2−3tC. f(x)=(√x)2，g(x)=xD. f(x)=x2−4x−2，g(x)=x+24.若幂函数f(x)的图象过点(2,4)，则f(3)的值为()A. 5B. 6C. 8D. 95.函数y=4xx2+1的图象大致为()A. B.C. D.6.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直y=−√3x上，则4cosα−sin2α的值是()A. −114B. 54C. −114或54D. 114或548.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈[−2,0)时，f(x)=−2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≤34，则m的取值范围是()A. [23,+∞) B. [34,+∞) C. [12,+∞) D. [32,+∞)9.若a>b>0，则下列不等式成立的是()A. 1a <1bB. ba>b+1a+1C. a+1b>b+1aD. a+1a>b+1b10.已知函数f(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，下列关于f(x)的说法正确的是()A. f(x)的定义域是(−∞,1)B. f(x)的值域是RC. f(x)的图象过原点D. 当a>1时，f(x)在定义域上是增函数11.下列四个命题中为假命题的是()A. ∃x∈(0,1)，2x=1xB. 命题“∀x∈R，x2+x−1>0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1<0”C. 设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q的必要不充分条件D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件12.随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5，圆心角为2π3的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与AB⏜相切于点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH(垂足均不与O重合).在△OCD区域以内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则()A. ∠FOD的范围是(0,2π3)B. 新增步道CD的长度可以为20C. 新增步道FG、FH长度之和可以为7D. 当点F为AB⏜的中点时，草坪的面积为25√3−25π313. 函数f(x)=√x−1的定义域为______．14. 设函数f(x)={2−x ,x <1log 4x,x ≥1，则满足f(x)=12的x 的值是______．15. 若正实数a ，b 满足1a+1+1b+2=12，则ab +a +b 的最小值为______．16. 已知sin(α+π6)=−35(−π2<α<π2)，则cos(2α+π3)=______，sin(2α+π12)=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|x 2−3x +2≤0}，B ={x|a ≤x ≤a +2}．(1)求∁R A ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18. 已知sinα=−35，且α为第四象限角．(1)求sin(π2+α)sin(2π+α)tan(−α−π)cos(−π+α)的值；(2)求1+sin2α−cos2α1+sin2α+cos2α的值．19. 已知函数f(x)=2x−1x+1．(1)判断f(x)在[0,+∞)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断；(2)若x∈[1,m]，f(x)的最大值与最小值的差为1，求m的值．220.某市居民用电收费方式有以下两种，用户可自由选择其中一种方式一：阶梯式递增电价，即把居民用户每月用电量划分为三档，电价实行分档递增，具体电价如下表：方式二：阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价，即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费，然后高峰时段(8：00−22：00)用每度加价0.03元，低谷时段(22：00至次日8：00)每度降价0.20元，得出用户的总电费．(1)假设某居民用户月均电量为x度，按方式一缴费，月均电价为y元，求y关于x的函数解析式；(2)若该用户某月用电a度(0<a<420)，其中高峰电量占该月总电量的2，按方式3二缴费，电费为143元，求该月用电量．21.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位后得到函数g(x)的图象，讨论关于x的方程f(x)−√3⋅g(x)−m=0(−1<m≤1)在区间[−π2,π]上的实数解的个数．22.已知函数f(x)=e x−e−x2，g(x)=f(2x)2f(x)，F(x)=f(x)g(x)．(1)求g(x)、F(x)的解析式．(2)若存在x∈[1e,e2]，使得不等式F[(lnx)2−m]+F(3−lnx2)>0成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：设全集U=R，集合A={x|0<x≤2}，B={x|x<1}，A∩B=(0,1)．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∴πrad=180°，∴π6rad=16×180°=30°，3π4rad=34×180°=135°，5π6rad=56×180°=150°，故选：C．直接根据角度和弧度之间的换算公式判断即可．本题主要考查弧度和角度之间的相互转化以及计算能力，是基础题目．3.【答案】B【解析】解：对于选项A：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)的定义域为R，它们的定义域不同，所以它们不表示同一个函数，对于选项B：函数f(x)和函数g(x)的定义域、值域和解析式都相同，所以它们表示同一个函数，对于选项C：函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，函数g(x)的定义域为R，它们的定义域不同，所以它们不表示同一个函数，对于选项D：函数f(x)的定义域为{x|x≠2}，函数g(x)的定义域为R，它们的定义域不同，所以它们不表示同一个函数，故选：B．判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．4.【答案】D【解析】解：∵幂函数的一般解析式y=x a，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,4)，∴4=2a，解得a=2，∴y=x2，∴f(3)=32=9，故选：D．根据幂函数的一般解析式y=x a，因为其过点(2,4)，求出幂函数的解析式，从而求出f(3)．本题主要考查函数的值，以及幂函数的性质及其应用，是一道基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，以及函数的奇偶性，属于基础题．根据函数的奇偶性和x>0时函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y=f(x)=4xx2+1，定义域为R，则f(−x)=4(−x)(−x)2+1=−4xx2+1=−f(x)，则函数y=f(x)为奇函数，故排除C，D，当x>0时，y=f(x)>0，故排除B，故选：A．6.【答案】B【解析】解：∵a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，0<c=0.20.3<0.20=1，∴a<c<b．故选：B ．利用对数函数和指数函数的性质，即可求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】C【解析】解：∵α的终边落在直y =−√3x 上， ∴y x=−√3，即tanα=−√3，若α在第二象限，设P(−1,√3)，则sinα=√32，cosα=−12，则4cosα−sin 2α=−2−34=−114， 若α在第四象限，设P(1,−√3)，则sinα=−√32，cosα=12，则4cosα−sin 2α=2−34=54，综上4cosα−sin 2α的值是−114或54， 故选：C ．根据三角函数的定义设出点的坐标，利用三角函数的定义进行计算即可．本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义设出点的坐标是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】D【解析】解：当x ∈[−2,0)时，函数f(x)在(−2,−1)上递增，在(−1,0)上递减， 所以f(x)max =f(−1)=2， 由f(x −2)=2f(x)得到12f(x −2)=f(x)，可得当图象向右平移2个单位时， 最大值变为原来的12倍，最大值不断变小，由f(x −2)=2f(x)得到f(x)=2f(x +2)，可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断变大， 当x ∈[0,2)时，f(x)max =f(1)=1， 当x ∈[2,4)时，f(x)max =f(3)=12，设x ∈[0,2)，x −2∈[−2,0)，f(x −2)=−2x(x −2)=2f(x)， 即f(x)=−x(x −2)，由−x(x −2)=34，解得x =12或x =32， 根据题意，当m ≥32时，f(x)≤34恒成立， 故选：D ．由f(x −2)=2f(x)，判断函数值的变化情况，作出函数f(x)的图象，再确定m 所在的区间，求出临界点即可求出结果．本题考查函数类周期性的应用，分段函数求解析式，恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：∵a >b >0，∴1a <1b ，ba <b+1a+1，a +1b >b +1a ，a +1a −(b +1b )=(a−b)(ab−1)ab与0的大小关系不确定，因此a +1b >b +1a 不正确． 综上可得：AC 正确． 故选：AC ．不等式的基本性质及其作差法即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：函数f(x)=log a (1−x)(a >0,a ≠1)， ∵1−x >0，∴x <1，∴f(x)的定义域是(−∞,1)，故选项A 正确，由对数函数的性质可知，函数f(x)的值域为R ，故选项B 正确， 令1−x =1得x =0，此时y =log a 1=0， ∴函数f(x)的图象过定点(0,0)，故选项C 正确，令t=1−x，则t>0，当a>1时，函数y=log a t在(0,+∞)上单调递增，而y=1−x在(−∞,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f(x)=log a(1−x)在(−∞,1)上单调递减，故选项D错误，故选：ABC．由1−x>0可求出函数的定义域，可判断A，由对数函数的性质可判断B，求出函数f(x)的图象过定点(0,0)，可判断C，由复合函数的单调性可判断D．本题主要考查了指数型函数的定义域和值域，考查了复合函数的单调性，是基础题．11.【答案】BC【解析】解：对于A：∃x0∈(0,1)，设y=2x和y=1x，设存在x0∈(0,1)，故1<2x0<2，1<1x.由于在同一个定义域内，由相同的值，故A 正确；对于B：命题“∀x∈R，x2+x−1>0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1≤0”，故B 错误；对于C：设p：1<x<2，q：2x>1，即x>12，则p是q的充分不必要条件，故C错误；对于D：设a，b∈R，当“a≠0，b=0”时，“ab=0”成立，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选：BC．直接利用存在性问题，充分必要条件，命题的否定判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：存在性问题，充分必要条件，命题的否定，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：设∠FOD=θ，A.由题意可得{0<θ<π20<2π3−θ<π2，解得π6<θ<π2，A选项错误；B .∠FOC =2π3−θ,FD =5tanθ，FC =5tan(2π3−θ)，所以CD =FD +FC =5tanθ√3−tanθ)1−√3tanθ=5tanθ√3)√3tanθ−1设t =√3tanθ−1>0，则tanθ=3，可得CD =√35(t+1√3+√3)t=√3+4t+2)⩾√3⋅4t+2)=10√3，当且仅当t =2时，即当θ=π3时，等号成立， ∴新增步道CD 的长度可以为20，B 选项正确； C .FG =5sin(2π3−θ),FH =5sinθ， 所以FG +FH =5sin(2π3−θ)+5sinθ=5(√32cosθ+12sinθ+sinθ)=52(3sinθ+√3cosθ)=5√3sin(θ+π6)， ∵π6<θ<π2，∴π3<θ+π6<2π3，所以√32<sin(θ+π6)⩽1，所以FG +FH =5√3sin(θ+π6)∈(152,5√3], 而7∉(152,5√3],即新增步道FG 、FH 长度之和不可以为7，C 选项错误； D .当点F 为AB ⏜的中点时，θ=π3， 则∠ODF =π6，可得OD =2OF =10， 同理可得OC =10， 则S △OCD =12OC ⋅OD ⋅sin2π3=25√3， 扇形AOB 的面积为S 1=12×2π3×52=25π3，此时，当点F 为AB⏜的中点时， 草坪的面积为S =S △COD −S 1=25√3−25π3，D 选项正确．故选：BD ．设∠FOD =θ，由题意可得{0<θ<π20<2π3−θ<π2，解得θ的取值范围可判断A ，结合θ的取值范围利用解三角形及三角变换变换公式逐项计算后可判断其它的选项．本题考查了解三角形，三角恒等变换，三角函数的最值等问题，属于中档题．13.【答案】(1,+∞)【解析】解：由x −1>0，得x >1． ∴函数f(x)=x−1的定义域为(1,+∞)．故答案为：(1,+∞)．由分母中根式内部的代数式大于0求解不等式得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14.【答案】2【解析】解：根据题意，函数f(x)={2−x ,x <1log 4x,x ≥1，当x <1时，f(x)=2−x =12，解可得x =1，不符合题意， 当x ≥1时，f(x)=log 4x =12，解可得x =2，符合题意， 综合可得：x =2； 故答案为：2．根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论，求出x 的值，即可得答案． 本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】4√2+5【解析】解：因为正实数a ，b 满足1a+1+1b+2=12， 所以2(a +1)+2(b +2)=(a +1)(b +2)， 所以ab =b +4，则a =b+4b=1+4b，故ab +a +b =b +4+1+4b +b =2b +4b +5≥2√2b ⋅4b +5=4√2+5，当且仅当2b =4b ，即b =√2时取等号，此时取得最小值为4√2+5， 故答案为：4√2+5．先将已知关系式化简得ab =b +4，则a =b+4b=1+4b ，然后将所求关系式化为与b 有关的式子，再利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．16.【答案】725 −31√250【解析】解：∵sin(α+π6)=−35(−π2<α<π2)， 则cos(2α+π3)=1−2sin 2(α+π6)=1−2×925=725； 有sin(π6−2α)=cos(2α+π3)=725， ∴sin(2α−π6)=−725，∵−π2<α<π2，∴−π3<α+π6<2π3，又sin(α+π6)=−35<0， ∴−π3<α+π6<−π6，∴−π2<α<−π3，−7π6<2a −π6<−5π6，∴cos(2α−π6)=−2425， ∴sin(2α+π12)=sin[(2α−π6)+π4]=√22(sin(2α−π6)+cos(2α−π6))=−31√250， 故答案为：725，−31√250．依题意，利用同角三角函数间的关系式可求得cos(2α+π3)的值，化2α+π12=(2α−π6)+π4，利用两角和的正弦可求得sin(2α+π12)的值． 本题考查两角和与差的三角函数，考查二倍角公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)集合A ={x|x 2−3x +2≤0}={x|1≤x ≤2}，∴∁R A ={x|x <1或x >2}． (2)∵A ⊆B ， ∴{a ≤1a +2≥2，解得0≤a ≤1，即实数a 的取值范围为[0,1]．【解析】(1)利用补集的定义求解．(2)由A ⊆B 解出不等式组，即可求出a 的取值范围．本题主要考查了补集的定义，考查了集合间的基本关系，是基础题．18.【答案】解：(1)∵sinα=−35，且α为第四象限角，∴cosα=45，tanα=−34，则sin(π2+α)sin(2π+α)tan(−α−π)cos(−π+α)=cosαsinα−tanα[−cos(π−α)]=sinαcosα−tanαcosα=−cosα=−45．(2)1+sin2α−cos2α1+sin2α+cos2α=1+2sinαcosα−1+2sin 2α1+2sinαcosα+2cos 2α−1=2sinα(cosα+sinα)2cosα(sinα+cosα)=tanα=−34．【解析】根据同角的三角函数关系，利用三角函数的诱导公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的求解，根据三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，f(x)=2x−1x+1=2(x+1)−3x+1=2−3x+1，设0≤x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=(2−3x1+1)−(2−3x2+1)=3x 2+1−3x 1+1=3(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)，又由0≤x 1<x 2，则x 1−x 2<0，(x 1+1)(x 2+1)>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 故f(x)在[0,+∞)上单调递增；(2)由(1)可知，函数f(x)在[1,m]上单调递增，若x ∈[1,m]，f(x)的最大值与最小值的差为12，则有f(m)−f(1)=(2−3m+1)−(2−32)=12， 解可得：m =2， 故m =2．【解析】(1)根据题意，由作差法分析可得结论，(2)由函数的单调性可得f(m)−f(1)=(2−3m+1)−(2−32)=12，解可得m 的值，即可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．20.【答案】解：(1)由表可得，当0≤x ≤230时，y =0.5x ，当230<x ≤420时，y =230×0.5+0.6×(x −230)=0.6x −23，当x>420时，y=230×0.5+(420−230)×0.6+0.8×(x−420)=0.8x−107，故y={0.5x,0≤x≤2300.6x−23,230<x≤420 0.8x−107,x>420．(2)∵该用户月用电量为a度，高峰电量为23a，∴则当0<a≤230时，用电费用为0.3×13a+0.53×23a=143，解得a≈315.4>230，不符合题意，舍去，当230<a<420时，用电费用为(0.3×13+0.53×23)×230+(0.4×13+0.63×23)(a−230)=143，解得a≈300，故该月用电量约为300度．【解析】(1)根据表格的数据，分0≤x≤230，230<x≤420，x>420三种情况讨论，即可求解．(2)该用户月用电量为a度，高峰电量为23a，再分0<a≤230，230<a<420两种情况讨论，即可求解．本题主要考查函数函数的实际应用，掌握分段函数的思想是解本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)根据函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象，可得12×2πω=2π3−π6，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)=cos(2x+π6).(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位后得到函数g(x)=cos2x的图象，关于x的方程f(x)−√3⋅g(x)−m=0(−1<m≤1)，即cos(2x+π6)−√3cos2x−m=0，．在区间[−π2,π]上的实数解的个数，即直线y=m和曲线ℎ(x)=cos(2x+π6)−√3cos2x=−√32cos2x−12siin2x=−sin(2x+π3)的图象在区间[−π2,π]上的交点个数．∵在区间[−π2,π]上，2x+π3∈[−2π3,7π3].当−1<m≤−12时，交点个数为2，当−12≤m<12时，交点个数为3，当12≤m<1时，交点个数为4，当m=1时，交点个数为2．【解析】(1)由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式．(2)由题意，本题即求直线y=m和曲线ℎ(x)==−sin(2x+π3)的图象在区间[−π2,π]上的交点个数，再利用正弦函数的图象得出结论．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由周期求出ω，由五点作图求出φ，正弦函数的图象和性质，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题设可得g(x)=e 2x−e−2x2e x−e−x =e x+e−x2，因为f(x)≠0，故x≠0，所以g(x)=e x+e−x2，x≠0．又F(x)=e x−e−x2e x+e−x2=e x−e−xe+e(x≠0)．(2)因为F(x)=e x−e−xe+e(x≠0)，故其定义域关于原点对称，且F(x)=e −x−e xe−x+e x=−F(x)，故F(x)为(−∞,0)∩(0,+∞)的奇函数，又F(x)=e−x−e xe+e =1−e2x1+e=−1+21+e，因为y=1+e2x在(0,+∞)为增函数，故F(x)在(0,+∞)上为减函数，故F(x)在(−∞,0)上为减函数，因为当x>0时，F(x)<0，当x<0时，F(x)>0，故F(x)在其定义域为减函数．又F[(lnx)2−m]+F(3−lnx2)>0等价于F[(lnx)2−m]>F(lnx2−3)故(lnx)2−m<lnx2−3在[1e,e2]上有解x0，且(lnx0)2−m≠0，lnx02−3≠0，令t=lnx∈[−1,2]，故t2−m<2t−3在[−1,2]上有解t0且t02−m≠0，2x0−3≠0，从函数y=t2−m的图象和y=2t−3的图象看，因为它们都是连续不断的，故t2−m<2t−3在[−1,2]上有解t0等价于函数y=t2−m的图象有一部分在函数y=2t−3的图象的下方，故仅考虑t2−m<2t−3在[−1,2]上有解t0即可．故m>(t2−2t+3)min，因为t2−2t+3=(t−1)2+2≥2，故(t2−2t+3)min=2，所以m>2．综上可得，实数m的取值范围是{m|m>2}．【解析】(1)根据f(x)的解析式可求g(x)，F(x)的解析式．(2)可证F(x)为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数且为单调减函数，故原不等式等价于t2−m<2t−3在[−1,2]上有解t0，参变分离后可求m的取值范围．本题主要考查函数解析式的求解，利用导数研究不等式能成立的问题，利用导数研究函数的性质等知识，属于中等题．。