2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：8.5 双曲线 Word版含答案
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：8.2 圆的方程 Word版含答案
§8.2圆的方程Ａ组基础题组1.(2021课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.102.(2021浙江嘉兴一中阶段测试)若P(2,-1)为圆M:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.x-y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=03.(2021浙江湖州德清高级中学月考)已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( )A. B.1 C. D.4.(2021黑龙江大庆铁人中学月考,4,5分)已知圆C的方程为x2+y2+2x-2y+1=0,当圆心C到直线kx+y+4=0的距离最大时,k的值为( )A. B. C.- D.-5.(2021河北衡水中学一调,5)假如直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分且l不通过第四象限,则l的斜率的取值范围是( )A.[0,2]B.[0,1]C. D.6.(2022福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )A.5B.+C.7+D.67.(2021浙江六校联考文,10,6分)已知点M(2,1)及圆x2+y2=4,则过M点的圆的切线方程为,若直线ax-y+4=0与该圆相交于A、B两点,且|AB|=2,则a= .8.(2022山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C 的标准方程为.9.(2021湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .10.(2021湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.11.(2021黑龙江双鸭山一中期中,20)已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+4=0与圆C相切.(1)求圆C的方程;(2)若过点(0,-3)的直线l与圆C交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2+y1y2=3,求三角形AOB的面积. B组提升题组1.(2021宁波十校联考,4,5分)直线x+y-2=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对的圆心角的大小为( )A. B. C. D.2.(2021山东烟台诊断)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若线段PA长度的最小值为2,则k的值为( )A.3B.C.2D.23.(2022陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.4.(2021诸暨高中毕业班检测,12,6分)已知圆C:(x-1)2+y2=25与直线l:mx+y+m+2=0,若圆C关于直线l对称,则m= ;当m= 时,圆C被直线l截得的弦长最短.5.(2021浙江冲刺卷五,14)过点A(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于M,N两点,若|MN|=8,则l的方程为.6.(2021浙江模拟训练冲刺卷一,14)已知圆的方程为x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0,若过点A(1,-2)的圆的切线有两条,则实数m的取值范围是.7.(2022重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .8.(2021宁波高考模拟文,12,6分)已知实数a,b,c满足a+b=2c,则直线l:ax-by+c=0恒过定点,该直线被圆x2+y2=9所截得的弦长的取值范围为.9.(2021山东济南模拟)已知P是直线3x+4y-10=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x+4y+4=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为.10.(2021湖北华中师大附中期中,14)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围是.11.(2021河南六市一联)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对相互垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求全部满足条件的点P的坐标.12.(2021重庆一中期中,21)已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴正半轴上,点M在PQ所在直线上,且满足·=0,=-.(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;(2)给定圆N:x2+y2=2x,过圆心N作直线l,此直线与圆N和(1)中的轨迹C共有四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,假如线段AB,BC,CD的长按此挨次构成一个等差数列,求直线l的方程.Ａ组基础题组1.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b==-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|==5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2,则|MN|=|(-2+2)-(-2-2)|=4.2.B 依题意知圆心M(1,0),MP⊥AB,而k MP==-1,所以k AB=1,由于直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.故选B.3.C 圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线3x+4y-2=0的距离,依据点到直线的距离公式得d==,故点N到点M的距离的最小值为d-1=.故选C.4.D 圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=1,圆心为C(-1,1).又直线kx+y+4=0恒过定点A(0,-4),所以当圆心C到直线kx+y+4=0的距离最大时,直线CA垂直于直线kx+y+4=0,而k CA=-5,则由-5×(-k)=-1,得k=-.5.A 圆的方程x2+y2-2x-4y=0可化为(x-1)2+(y-2)2=5,其圆心坐标为(1,2),经过圆心和原点的直线的斜率为2,由题意知直线l过圆心且不过第四象限,则斜率k的取值范围是0≤k≤2.6.D 设Q(cosθ,sinθ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|= ===≤5当sinθ=-时取等号,故|PQ|max =5+=6.7.答案x=2或3x+4y-10=0;±解析若过M点的圆的切线斜率不存在,则切线方程为x=2,阅历证满足条件.若切线斜率存在,可设切线方程为y=k(x-2)+1,由圆心到切线的距离等于半径得=2,解得k=-,故切线方程为y=-(x-2)+1,即3x+4y-10=0.综上,过M点的圆的切线方程为x=2或3x+4y-10=0.由=得a=±.8.答案(x-2)2+(y-1)2=4解析由于圆心在直线x-2y=0上,且圆C与y轴相切,所以可设圆心坐标为(2a,a),则(2a)2=a2+()2,解得a=±1.又圆C与y轴的正半轴相切,所以a=1,故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.9.答案 2解析过O作OC⊥AB于C,则OC==1,在Rt△AOC中,∠AOC=60°,则r=OA==2.10.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2(2)--1解析(1)记AB的中点为D,在Rt△BDC中,易得圆C的半径r=BC=.因此圆心C的坐标为(1,),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)由于点B的坐标为(0,+1),C的坐标为(1,),所以直线BC的斜率为-1,所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y=x++1,故切线在x轴上的截距为--1.11.解析(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则圆C的方程为(x-a)2+y2=4.由于圆C与直线3x-4y+4=0相切,所以=2,解得a=2或a=-(舍),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.(2)依题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-3,由得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,∵l与圆C相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),∴Δ=[-(4+6k)]2-4(1+k2)×9>0,且x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2·x1x2-3k(x1+x2)+9=-+9,又∵x1x2+y1y2=3,∴+-+9=3,整理得k2+4k-5=0,解得k=1或k=-5(不满足Δ>0,舍去). ∴直线l的方程为y=x-3.∴圆心C到l的距离d==,易得|AB|=2=,又△AOB的边AB上的高h==,所以S△AOB=|AB|·h=××=.B组提升题组1.C 以直线x+y-2=0与圆x2+y2=4的两个交点及圆心为顶点的三角形为等腰三角形.圆x2+y2=4的圆心为原点,由点到直线的距离公式,得原点到直线x+y-2=0的距离为=,所以直线被圆截得的弦长为2=2,所以该三角形为等边三角形,所以劣弧所对的圆心角的大小为.故选C.2.D 圆C:x2+(y-1)2=1,圆心C(0,1),半径r=1,由题意得=,解得k=2或k=-2(舍去),故选D.3.答案x2+(y-1)2=1解析点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.4.答案-1;1解析当圆C关于l对称时,圆心(1,0)在直线mx+y+m+2=0上,得m=-1.直线l:m(x+1)+y+2=0恒过圆C内的点M(-1,-2),当圆心到直线l的距离最大,即MC⊥l时,圆C被直线l截得的弦长最短,k MC==1,由(-m)×1=-1,得m=1.5.答案x=-4或5x+12y+20=0解析当直线l的斜率不存在时,其方程为x=-4,可得交点坐标为(-4,6),(-4,-2),此时|MN|=8,符合题意. 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+4),圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,则圆心到直线l的距离d=,由|MN|=2=8,得25-=16,解得k=-,故l的方程为5x+12y+20=0.综上,直线l的方程为x=-4或5x+12y+20=0.6.答案解析将圆的方程配方得(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,则有-m2+3m+4>0;由题意知点A(1,-2)在圆外,则(1+m)2+(-2+2)2>-m2+3m+4,即2m2-m-3>0.由得故实数m的取值范围是<m<4.7.答案4±解析易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为,即=,解得a=4±.经检验均符合题意,故a=4±.8.答案;[,6]解析依题意,c=,故ax-by+c=0⇔ax-by+=0,即(2x+1)a-(2y-1)b=0,可知直线l过定点.圆心到直线的距离d=,故弦长为2≥2=,当且仅当a=b时等号成立.又弦长≤6,故弦长的取值范围为[,6].9.答案 2解析圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1,其圆心为C(1,-2),半径为1,且直线与圆相离,如图所示,四边形PACB的面积等于2S△PAC,而S△PAC=|PA|·|AC|=|PA|=,又|PC|min==3,∴(S△PAC)min==,故四边形PACB面积的最小值为2. 10.答案(3-2,3-2]∪[3+2,3+2)解析圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,则圆心C(m,2),半径r=4,S△ABC=r2sin∠ACB=16sin∠ACB,∴当∠ACB=90°时,S△ABC取得最大值16,此时△ABC为等腰直角三角形,∴AB=8,则C到AB的距离为4,∴4≤PC<4,即4≤<4,∴16≤(m-3)2+4<32,即12≤(m-3)2<28,∴解得3-2<m≤3-2或3+2≤m<3+2.故实数m的取值范围是(3-2,3-2]∪[3+2,3+2).11.解析(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,由于直线l被圆C1截得的弦长为2,所以d==1.由点到直线的距离公式得d=,从而=1,化简得k(24k+7)=0,所以k=0或k=-,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-(x-a).由于圆C1和C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即=,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,由于k的取值有无穷多个,所以或解得或这样点P的坐标为或.经检验,上述坐标均满足题目条件.12.解析(1)设M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)(x'>0),∵·=0,=-,∴(3,y')·(x,y-y')=0,(x,y-y')=-(x'-x,-y),∴3x+y'y-y'2=0,x'=x,y'=-y,将y'=-y代入3x+y'y-y'2=0,整理得y2=4x,又由x'>0得x>0,∴点M的轨迹C的方程为y2=4x(x>0).(2)圆N:(x-1)2+y2=1,直径为2,圆心为N(1,0),由题意设l的方程为x=my+1,将x=my+1代入y2=4x(x>0),得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,则|AD|=·=4(m2+1),∵线段AB,BC,CD的长按此挨次构成一个等差数列,∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,∴|AD|=3|BC|,又|AD|=4(m2+1),|BC|=圆N的直径=2,∴4(m2+1)=6,解得m=±,∴直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.。
浙江省嘉兴市2021 2021学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解
浙江省嘉兴市2021 2021学年高考数学二模试卷（理科） Word版含解浙江省嘉兴市2021-2021学年高考数学二模试卷（理科）word版含解2021-2021学年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分后，共40分后）1．在△abc中，sina＞sinb是a＞b的（）a．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件2．一个几何体的三视图例如图，则该几何体的体积为（）a．πb．3．排序：（log43+log83）（log32+log92）=（）a．b．c．5d．15c．d．4．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）a．2b．1c．d．5．若sinθ+cosθ=，θ∈[0，π]，则tanθ=（）a．b．c．2d．26．未知圆x+y4x5=0的弦ab的中点为q（3，1），直线ab交x轴于点p，则|pa|?|pb|=（）a．4b．5c．6d．8227．设f1、f2分别为双曲线c：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，a为双曲线的左顶点，以f1f2为直径的圆交双曲线某条渐过线于m，n两点，且满足用户∠man=120°，则该双曲线的距心率为（）a．8．设f（x）=，其中a∈r，若对任一的非零b．c．d．实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为（）a．rb．[4，0]c．[9，33]d．[33，9]二、填空题（9-12题每小题6分，13-15题每小题6分，共36分）29．已知全集u=r，集合a={x|1≤x≤1}，b={x|x2x≥0}，则a∩b=，a∪（?ub）=．10．在等差数列{an}中，a1=3，a1+a3=14，则公差d=，an=．11．若向量与满足||=|+|=．12．未知函数f（x）=a=．13．已知实数x，y＞0且xy=2，则14．抛物线y=4x的焦点为f，过点（0，3）的直线与抛物线处设a，b两点，线段ab 的垂直平分线交x轴于点d，若|af|+|bf|=6，则点d的横坐标为．2，||=2，（），则向量与的夹角等同于，，则f（2）=，若f（a）=1，则的最小值就是．15．正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，底面abcd的对角线bd在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．三、答疑题22216．三角形abc中，未知sina+sinb+sinasinb=sinc，其中，角a，b，c面元的边分别为a，b，c．（ⅰ）求角c的大小；（ⅱ）求的值域范围．17．如图，在三棱锥pabc中，pa⊥平面abc，2ac=pc=2，ac⊥bc，d，e，f分别为ac，ab，ap的中点，m，n分别为线段pc，pb上的动点，且有mn∥bc，（ⅰ）求证：mn⊥平面pac（ⅱ）探究：与否存有这样的动点m，使二面角emnf为的直二面角？若存有，谋cm的长度，若不存有，表明理由．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过点p（0，1）的动直线l与椭圆交于a，b两点，当l∥x轴时，|ab|=（ⅰ）求椭圆的方程（ⅱ）当|ap|=2|pb|，谋直线l的方程．19．如图，在平面直角坐标系xoy中，设a1=2，有一组圆心在x轴正半轴上的圆an（n=1，2，…）与x轴的交点分别为a0（1，0）和an+1（an+1，0），过圆心an作垂直于x轴的直线ln，在第一象限与圆an交于点bn（an，bn）（ⅰ）试求数列{an}的通项公式（ⅱ）设曲边菱形an+1bnbn+1（阴影右图）的面积为sn，若对任一n∈n，恒设立，试求实数m的值域范围．*++…+≤m20．已知函数f（x）=x+4，g（x）=kx+3（ⅰ）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的值域范围（ⅱ）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）||f（x2）|＜g（x1）g（x2），对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2021年浙江省嘉兴市中考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分后，共40分后）1．在△abc中，sina＞sinb是a＞b的（）a．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推论．专题：计算题．分析：由正弦定理言可得结论．答疑：求解：若sina＞sinb设立，由正弦定理=2r，，由sina＞sinb，言a＞b，所以a＞b，反之亦然，故所以a＞b，所以a＞b．反之，若a＞b设立，所以a＞b，因为a=2rsina，b=2rsinb，所以sina＞sinb，所以sina＞sinb就是a＞b的充要条件．故挑选c．点评：本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．2．一个几何体的三视图例如图，则该几何体的体积为（）a．πb．c．d．考点：由三视图谋面积、体积．专题：空间边线关系与距离．。
2020-2021学年浙江省高考数学二模试卷（理）及答案解析
2020-2021学年浙江省⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析浙江省⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（?U B）=（）A．{2} B．{2，3} C．{3} D．{1，3}2．设l，m是两条不同的直线，α是⼀个平⾯，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．“”是“tanθ=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．5．已知{a n}是等差数列，公差为2，{b n}是等⽐数列，公⽐为2．若{b n}的前n项和为，则a1+b1等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，⼩于90°的⼆⾯⾓α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝⾓，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）A．∠A′OB′为钝⾓ B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π7．如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，点p是双曲线右⽀上⼀点，PF1交左⽀于点Q，交渐近线y=x于点R，M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM ⊥PF1，则双曲线的离⼼率是（）A．B．C．2 D．8．已知0＜x＜y，2＜x2，则下列不正确的是（）A．sinx2＜sin（﹣y）B．sinx2＞sin（2﹣y）C．sin（2﹣x2）＜siny D．sinx2＜cos（y﹣1）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ= ，f（x）的最⼩值为．10．已知函数，则= ，⽅程f（x）=2的解为．11．某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm），则该⼏何体的体积为cm3，表⾯积为cm2．12．已知x，y∈R且满⾜不等式组，当k=1时，不等式组所表⽰的平⾯区域的⾯积为，若⽬标函数z=3x+y的最⼤值为7，则k的值为．13．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx，x∈[0，2]，则f（x）所有的零点之和为．14．设，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最⼩值为．15．如图，设正△BCD的外接圆O的半径为R（＜R＜），点A在BD下⽅的圆弧上，则（﹣﹣）?的最⼩值为．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，设边a，b，c所对的⾓为A，B，C，且A，B，C都不是直⾓，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC⾯积的最⼤值．17．如图，长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，点P是CD上的⼀点，PC=λPD．（Ⅰ）若A1C⊥平⾯PBC1，求λ的值；（Ⅱ）设λ1=1，λ2=3所对应的点P为P1，P2，⼆⾯⾓P1﹣BC1﹣P2的⼤⼩为θ，求cosθ的值．18．已知m∈R，函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m．（1）若0＜m≤，求|f（x）|在[﹣1，1]上的最⼤值g（m）；（2）对任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最⼤值为h（m），求h（m）的最⼤值．19．已知椭圆C1：=1，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标为，求m的值；（Ⅱ）过原点O作l1的平⾏线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最⼩值．20．已知点列P n（x n，）与A n（a n，0）满⾜x n+1＞x n，⊥，且||=||，其中n∈N*，x1=1．（I）求x n+1与x n的关系式；（Ⅱ）求证：n2＜++…+≤4n2．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（?U B）=（）A．{2} B．{2，3} C．{3} D．{1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进⾏计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．2．设l，m是两条不同的直线，α是⼀个平⾯，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平⾯平⾏的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线⾯垂直的判定定理判断．C：根据线⾯平⾏的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线⾯垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线⾯垂直的判定定理，要垂直平⾯内两条相交直线才⾏，不正确；C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异⾯，故不正确．D：平⾏于同⼀平⾯的两直线可能平⾏，异⾯，相交，不正确．B：由线⾯垂直的性质可知：平⾏线中的⼀条垂直于这个平⾯则另⼀条也垂直这个平⾯．故正确．故选B3．“”是“tanθ=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由tanθ=1，解得θ=（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：由tanθ=1，解得θ=（k∈Z），∴“”是“tanθ=1”的充分不必要条件．故选：A．4．函数（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=﹣x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．5．已知{a n}是等差数列，公差为2，{b n}是等⽐数列，公⽐为2．若{b n}的前n项和为，则a1+b1等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知写出等差数列和等⽐数列的通项公式，得到，再写出等⽐数列的前n项和，列等式求得a1+b1的值．【解答】解：由题意可得a n=a1+2（n﹣1），，∴=，{b n}的前n项和，由，得，∴a1+b1=2．故选：B．6．如图，⼩于90°的⼆⾯⾓α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝⾓，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）A．∠A′OB′为钝⾓ B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【考点】与⼆⾯⾓有关的⽴体⼏何综合题．【分析】由题意画出图形，由已知⼆⾯⾓α﹣l﹣β⼩于90°，∠AOB为钝⾓，结合余弦定理可得∠A′OB′是钝⾓，由此可得答案．【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平⾏线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂⾜为A′，过B作BB′垂直于β，垂⾜为B′，连接A′B′，则有AB∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝⾓，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝⾓．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．7．如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，点p是双曲线右⽀上⼀点，PF1交左⽀于点Q，交渐近线y=x于点R，M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM ⊥PF1，则双曲线的离⼼率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设PF1的⽅程为y=k（x+c），k＞0，联⽴渐近线⽅程求得R的坐标，代⼊双曲线的⽅程，运⽤韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得k=，代⼊化简整理，再由离⼼率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设PF1的⽅程为y=k（x+c），k＞0，联⽴渐近线⽅程y=x，可得R（，），由直线y=k（x+c）代⼊双曲线﹣=1，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点M（，），由A（a，0），F2（c，0），RF2⊥PF1，可得==﹣，即有bk2+2ak﹣b=0，解得k=（负的舍去），由AM⊥PF1，可得k AM==﹣，即为（c3+a3）k2=a（c2﹣a2），即有（c3+a3）（c﹣a）2=ab2（c2﹣a2）=a（c2﹣a2）2，化为c=2a，即e==2．故选：C．8．已知0＜x＜y，2＜x2，则下列不正确的是（）A．sinx2＜sin（﹣y）B．sinx2＞sin（2﹣y）C．sin（2﹣x2）＜siny D．sinx2＜cos（y﹣1）【考点】正弦函数的图象；基本不等式．【分析】利⽤基本不等式的性质和正弦函数的单调性得出答案．【解答】解：∵0＜x＜y，2＜x2+y＜，∴1＜y，∴x2＜﹣y＜，∴sinx2＜sin（）．故A正确．∵2＜x2，∴x2＜，y＜，∴＞＞x2＞2﹣y，∴sinx2＞sin（2﹣y），故B正确．∵2＜x2，∴x2＜＜=＜．∴sinx2＜sin（）=cos（y﹣1）．故D正确．故选：C．⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ= 0 ，f（x）的最⼩值为．【考点】三⾓函数中的恒等变换应⽤．【分析】由函数为偶函数求得φ值，得到f（x）=cos2x+cosx，展开⼆倍⾓余弦，然后利⽤配⽅法求得最值．【解答】解：∵函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）﹣f（x）=cos（﹣2x）+cos（﹣x+φ）﹣cos2x﹣cos（x+φ）=0恒成⽴，即cos（﹣x+φ）﹣cos（x+φ）=﹣2sinφ?sin（﹣x）=2sinφ?sinx=0恒成⽴，∵φ∈[0，π），∴φ=0；f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=．∴f（x）的最⼩值为．故答案为：0，．10．已知函数，则= 0 ，⽅程f（x）=2的解为﹣2或4 ．【考点】函数的值．【分析】由，利⽤分段函数的性质能求出的值；由⽅程f （x）=2，得到当x＞0时，log2x=2；当x≤0时，x2+x=2．由此能求出结果．【解答】解：∵，∴f（）==﹣1，∴=f（﹣1）=（﹣1）2+（﹣1）=0，∵⽅程f（x）=2，∴当x＞0时，log2x=2，解得x=4；当x≤0时，x2+x=2，解得x=﹣1或x=1（舍）．∴x=﹣2或x=4．故答案为：0；﹣2或4．11．某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm），则该⼏何体的体积为cm3，表⾯积为cm2．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体是由⼀个半球去掉后得到的⼏何体．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体是由⼀个半球去掉后得到的⼏何体．∴该⼏何体的体积==cm3，表⾯积=++=cm2．故答案分别为：；．12．已知x，y∈R且满⾜不等式组，当k=1时，不等式组所表⽰的平⾯区域的⾯积为，若⽬标函数z=3x+y的最⼤值为7，则k的值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，根据z的⼏何意义，利⽤数形结合即可得到k的值．然后即可得到结论．【解答】解：若k=1，则不等式组对应的平⾯区域如图：则A（1，﹣1），B（1，3），由得，即C（，），不等式组所表⽰的平⾯区域的⾯积为S=×4×（﹣1）=2×=，由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最⼤，此时z最⼤，为3x+y=7由，解得，即A（2，1），此时A在kx﹣y﹣k﹣1=0上，则2k﹣1﹣k﹣1=0，得k=2．故答案为：；2；13．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx，x∈[0，2]，则f（x）所有的零点之和为 2 ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】x=1，，时，f（x）≠0，因此都不是函数f（x）的零点．由f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx=0，化为：tanπx=，（x≠1）．分别作出函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象，则此两函数的图象都关于（1，0）成中⼼对称，即可得出．【解答】解：x=1时，f（1）=acosπ=﹣a＜0，因此1不是函数f（x）的零点．同理x=，，也不是函数f（x）的零点．由f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx=0，化为：tanπx=，（x≠1，，）．作出函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象，则此两函数的图象都关于（1，0）成中⼼对称，由函数的单调性与对称性可得：x∈[0，2]，两函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象有且仅有两个交点，并且关于（1，0）成中⼼对称，不妨设交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=2．故答案为：2．14．设，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最⼩值为．【考点】函数的最值及其⼏何意义．【分析】由题意可得F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，相加，由绝对值不等式的性质和配⽅⽅法，可得最⼩值．【解答】解：F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}，可得F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，即有2F≥|x2﹣4y+m|+|y2﹣2x+n|≥|x2﹣4y+m+y2﹣2x+n|=|x2﹣2x+y2﹣4y+6|=|（x﹣1）2+（y﹣2）2+1|≥1，即有2F≥1，即F≥，可得x=1，y=2时，F取得最⼩值．故答案为：．15．如图，设正△BCD的外接圆O的半径为R（＜R＜），点A在BD下⽅的圆弧上，则（﹣﹣）?的最⼩值为﹣．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】先根据三⾓形为正三⾓形，再设∠CAO=θ，得到AC=2Rcosθ，根据向量的数量的运算得到（﹣﹣）?得到2R2cos2θ﹣2Rcosθ，再构造函数y=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣，即可求出最值．【解答】解：∵△BCD为正三⾓形，∴∠CAD=∠CAB=∠DAB=∠CBD=60°，设∠CAO=θ，∴AC=2Rcosθ，∴（﹣﹣）?=?﹣?﹣=2R2cos2θ﹣×2Rcosθ﹣×2Rcosθ=2R2cos2θ﹣2Rcosθ，设Rcosθ=t，∵＜R＜，0°≤θ＜60°，即＜cosθ≤1，∴＜t＜则y=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣∴当t=，y有最⼩值，即为﹣，故答案为：﹣．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，设边a，b，c所对的⾓为A，B，C，且A，B，C都不是直⾓，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC⾯积的最⼤值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利⽤余弦定理化简已知等式可得，⼜△ABC不是直⾓三⾓形，解得bc=4，⼜b+c=5，联⽴即可解得b，c的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利⽤三⾓形⾯积公式即可得解三⾓形⾯积的最⼤值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直⾓三⾓形，∴bc=4，⼜∵b+c=5，∴解得或…（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，∴，∴，所以．∴△ABC⾯积的最⼤值是，当时取到…17．如图，长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，点P是CD上的⼀点，PC=λPD．（Ⅰ）若A1C⊥平⾯PBC1，求λ的值；（Ⅱ）设λ1=1，λ2=3所对应的点P为P1，P2，⼆⾯⾓P1﹣BC1﹣P2的⼤⼩为θ，求cosθ的值．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法⼀：若A1C⊥PB，则A1C⊥平⾯PBC1，只要AC⊥PB即可，由此能求出结果．法⼆：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系O﹣xyz，利⽤向量法能求出结果．（Ⅱ）过C作CH⊥BC1交BC1于H，连接P1H，P2H，则∠P1HP2就是所求⼆⾯⾓的⼀个平⾯⾓θ，由此能求出cosθ．【解答】解：（Ⅰ）解法⼀∵A1C⊥BC1若A1C⊥PB，则A1C⊥平⾯PBC1，只要AC⊥PB即可，在矩形ABCD中，，解得，；解法⼆：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建⽴如图空间直⾓坐标系O﹣xyz，B（1，2，0），C1（0，2，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），设，若A1C⊥平⾯PBC1，=（﹣1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（﹣1，﹣2，0），则，解得．（Ⅱ）过C作CH⊥BC1交BC1于H，连接P1H，P2H，∵长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，∴BH=C1H，P1B=P1C1，P2B=P2C1，∴P2H⊥BC1，P1H⊥BC1，则∠P1HP2就是所求⼆⾯⾓的⼀个平⾯⾓θ∵P1C=1，，∴，tanα=tan（∠P2HC﹣∠P1HC）=，所求余弦值cosθ=．。
2021年浙江高三二模数学试卷(金丽衢十二校联考)-学生用卷
2021年浙江高三二模数学试卷（金丽衢十二校联考）-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第1题4分设集合A={x∈R|x<x2}，集合B={x∈R||x−1|<1}，则A∩B=（）．A. (0,2)B. (1,2)C. (−∞,0)∪(1,+∞)D. ∅2、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第2题4分已知点A，B在平面α的两侧，则点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为（）．A. 4 B. 3 C. 2 D. 13、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第3题4分已知双曲线x2−5y2=25上一点P到其左焦点F的距离为8．则PF的中点M到坐标原点O的距离为（）．A. 9B. 6C. 5D. 44、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第4题4分若实数x，y满足约束条件{4y−3x⩾04x−3y⩾0x+y⩾7，则z=10x+11y的最小值为（）．A. 74B. 73C. 70D. 05、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第5题4分过原点O作曲线16a2+(6x−8y)a+x2+y=0(a≠0)的切线OA，OB，则cos∠AOB=（）．A. 35B. 45C. 725D. 24256、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第6题4分已知a>0，b>0，则“ab⩾100”的一个充分不必要条件是（）．A. 1a +1b⩽15B. a+b⩾20C. a−blna−lnb⩽10D. a2+b2⩾2007、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第7题4分已知函数f(x)的大致图象如下，下列答案中e为自然对数的底数，则函数f(x)的解析式可能为（）．A. xe xB. x+1e xC. 2e x−e−xD. e x+e−xe x−e−x8、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第8题4分正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）．A. 2√5B. 2√6C. 2√7D. 59、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第9题4分如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为平面AB1D1内一动点，P到底面ABCD的距离与到直线AD1的距离相等，则P点的轨迹是（）．A. 直线B. 圆C. 抛物线D. 椭圆10、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第10题4分设集合S={−20,21,5,−11,−15,30,a}，我们用f(S)表示集合S的所有元素之和，用g(S)表示集合S的所有元素之积，例如：若A={2}，则f(A)=g(A)=2；若B={2,3}，则f(B)=2+3，g(B)=2×3．那么下列说法正确的是（）．A. 若a=0，对S的所有非空子集A i，f(A i)的和为320B. 若a=0，对S的所有非空子集B i，f(B i)的和为−640C. 若a=−1，对S的所有非空子集C i，g(C i)的和为−1D. 若a=−1，对S的所有非空子集D i，g(D i)的和为0二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第11题4分设复数z满足：|z|=z+1+3i（i是虚数单位），则|z|=．12、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第12题6分已知(x+1)4(1−2x)3=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a0+a1+⋯+a7=，a6=．13、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第13题6分函数f(x)=√3cosx−sinx，x∈(0,π)的值域为，若f(x)=−√2，x∈(0,π)，则cos2x=．14、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第14题6分老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为，设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有ξ篇，则随机变量ξ的期望E(ξ)为．15、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第15题4分在梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=2CD=3，AD=2，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则CE→⋅CF→的最小值为．16、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第16题6分函数f(x)={xe x，x⩾ax,x<a，若存在实数x0，使得对于任意x∈R，都有f(x0)⩾f(x)，则实数a的取值范围是；若存在不相等的x1，x2，x3，满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则实数a的取值范围是．17、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第17题4分设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足：a3<0，且S5S6+ 16=0，则S11的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第18题14分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1) 若1+2cosAcosB=2sinAsinB，求角C．(2) 若b2(1+tanA)=(c2−a2)(1−tanA)，求角C．19、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第19题15分如图，在四棱锥P−ABCD中，M，N分别是AB，AP的中点，AB⊥BC，MD⊥PC，MD//BC，BC=1，AB=2，PB=3，CD=√2，PD=√6．(1) 证明：PC//平面MND．(2) 求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．20、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第20题15分对任意非零数列{a n}，定义数列{f(a n)}，其中{f(a n)}的通项公式为f(a n)=(1+1a1)(1+1a2)⋯(1+1a n)．(1) 若a n=n，求f(a n)．(2) 若数列{a n}，{b n}满足{a n}的前n项和为S n，且f(a n)=2n(n+1)，b n⋅a n+1=S n．求证f(b n)<43．21、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第21题15分如图，设P (0,t )，t ∈R ，已知点F 是抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点（AF <BF ），点C （不同于原点）在抛物线上，PC 不平行于x 轴，且PC 与抛物线上，PC 不平行于x 轴，且PC 与抛物线有且只有一个公共点．当t =2√2时，AF →=12FB →．(1) 求p 的值．(2) 若CA ，CB 分别与x 轴交于D ，E ，设△ADF ，△BEF 和△ABC 的面积分别为S 1，S 2，S ，求S 1⋅S 2S 2的最大值．22、【来源】 2021年浙江高三二模（金丽衢十二校联考）第22题15分设a ∈R ，已知函数f (x )=e x +(x −6)(x −a )，函数g(x)=e x −ln x x −1x． (1) 若a =−5，求函数f (x )的最小值．(2) 若对任意实数x 1和正数x 2，均有f (x 1)+g (x 2)⩾4a −8，求a 的取值范围．（注：e 为自然对数的底数）1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;10 、【答案】暂无;11 、【答案】5;12 、【答案】−16;−20;13 、【答案】[−2,√3);−√32;14 、【答案】23;9 5 ;15 、【答案】154;16 、【答案】(−∞,1e];(0,1);17 、【答案】88;18 、【答案】 (1) π3．;(2) 3π4．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √105．;20 、【答案】 (1) n+1．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 2．;(2) 1．16;22 、【答案】 (1) −29．;(2) [−5,e3]．;。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：8.6 抛物线 Word版含答案
§8.6抛物线Ａ组基础题组1.(2022安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-22.(2021浙江杭州六中期末)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是( )A. B. C.2 D.-13.(2022课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.4.(2021浙江嘉兴桐乡第一中学调研卷一,9,5分)抛物线y2=x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,点A,则的最小值是( )A. B. C. D.5.(2022四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.6.(2021陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .7.(2021浙江名校(镇海中学)沟通卷一,14)过抛物线y2=2x的焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,且|AB|=4,则AB的中点的横坐标是.8.(2021浙江模拟训练冲刺卷一,11)已知点F为抛物线x2=4y的焦点,O为坐标原点,点M是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=2,则|OA|= ;|MA|+|MO|的最小值是.9.(2021浙江新高考争辩卷四(舟山中学),11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为的点到焦点的距离为3.(1)p= ;(2)点M在抛物线C上运动,点N在直线x-y+5=0上运动,则|MN|的最小值等于.10.(2022超级中学原创猜测卷七,11,6分)已知正六边形ABCDEF的边长是2,抛物线y2=2px(p>0)恰好经过该正六边形的四个顶点,,过抛物线的焦点Q的直线交抛物线于M,N两点.若焦点Q是弦MN靠近点N的三等分点,则该抛物线的标准方程是,直线MN的斜率k等于.11.(2021浙江冲刺卷一,14,4分)已知直线x=my+2与抛物线y2=8x交于A,B两点,点C(-1,0),若∠ACB=90°,则m= .12.(2021浙江名校(绍兴一中)沟通卷五,14)已知M(a,4)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,N 为y轴上的动点,当sin∠MNF的值最大时,△MNF的面积为5,则p的值为.13.(2021浙江七校联考,18)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 14.(2021福建,19,12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.15.(2021浙江,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.16.(2021浙江模拟训练冲刺卷一,19)已知抛物线C1:x2=4y的焦点为F,过点F且斜率不为零的直线l与抛物线C1相交于不同的两点A,C,并与曲线C2:x2=-4(y-2)相交于不同的两点B,D,其中A,B两点在y轴右侧.(1)求A,B两点的横坐标之积;(2)记直线OA,OB,OC,OD的斜率分别为k1,k2,k3,k4,是否存在常数λ,使得k1+k3=λ(k2+k4)?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.B组提升题组1.(2021陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)2.(2022课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.83.(2021宁波高考模拟考试,5,5分)已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.4B.5C.6D.114.(2021河南焦作期中,11)已知点P在抛物线y2=4x上,点M在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,点N的坐标为(1,0),则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5B.4C.3D.+15.(2022课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )A. B.6 C.12 D.76.已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴相切于点Q,则( )A.Q点位于原点的左侧B.Q点与原点重合C.Q点位于原点的右侧D.以上均有可能7.(2021四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)8.(2021稽阳联考,13,6分)过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B,若|AF|=3|BF|,则l的斜率是.9.(2021浙江六校联考,13,4分)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点,设|FA|>|FB|,则= . 10.(2021杭州二中高三仿真考,13,4分)已知点A在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,点M,N在抛物线C上,且位于x轴的两侧,O是坐标原点,若·=3,则点A到动直线MN的最大距离为.11.(2021嘉兴教学测试二,14,4分)抛物线y2=4x的焦点为F,过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点D,若|AF|+|BF|=6,则点D的横坐标为.12.(2022超级中学原创猜测卷五,14,6分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,则点F的坐标为,若A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,且线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(4,0),则|AB|的最大值为.13.(2021稽阳联考文,19,15分)点P是在平面坐标系中不在x轴上的一个动点,满足:过点P可作抛物线x2=y 的两条切线,切点分别为A,B.(1)设点A(x1,y1),求证:切线PA的方程为y=2x1x-;(2)若直线AB交y轴于R,OP⊥AB于点Q,求证:R是定点并求的最小值.14.(2021浙江五校二联文,19,15分)已知抛物线y2=2x上有四点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),点M(3,0),直线AB、CD都过点M,且都不垂直于x轴,直线PQ过点M且垂直于x轴,交AC于点P,交BD于点Q.(1)求y1y2的值;(2)求证:MP=MQ.15.(2021浙江冲刺卷一,22)已知点M(0,-1),抛物线E:x2=4y,过点N(-4,1)的直线l交抛物线E于A,B两点,点A在第一象限.(1)若直线MA与抛物线相切,求直线MA的方程;(2)若直线MA交抛物线E于另一点C,问直线BC是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.16.(2022浙江,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若||=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值. Ａ组基础题组1.A 由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.2.D 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1,易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.3.D 易知直线AB的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.S△OAB=|OF|·|y1-y2|=×==.故选D.4.C 点A是抛物线的准线与x轴的交点,过P作抛物线准线的垂线,记垂足为B,则由抛物线的定义可得==sin∠PAB,当∠PAB最小时,的值最小,此时,直线PA与抛物线相切,可求得直线PA的斜率k=±1,所以∠PAB=45°,的最小值为,故选C.5.B 依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),·=2⇒x1x2-=2⇒=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2+=;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=×2×(+)+×=+≥2=3当且仅当=时取“=”,而>3.故选B.6.答案 2解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.7.答案解析由已知得AB为抛物线的焦点弦,则|AB|=x A+x B+1=4,∴x A+x B=3,故AB的中点的横坐标是.8.答案;解析易知F(0,1).设A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,∴y=1,代入x2=4y得x=±2,所以A(±2,1),则|OA|=.设B(0,-2),因点M在抛物线准线上,则|MO|=|MB|,从而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因A,B为定点,则|MA|+|MB|的最小值即为|AB|=,故|MA|+|MO|的最小值是.9.答案(1)1 (2)解析(1)依题意得+=3,解得p=1.(2)设M(x,y),则y2=2x.则|MN|的最小值等于点M到直线x-y+5=0的距离d的最小值.而d====,则当y=1时,d min=,故|MN|的最小值等于.10.答案y2=x;±2解析如图所示,依据对称性,可设正六边形ABCDEF的顶点A,B,C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,A(x1,1),F(x2,2),则即x2=4x1,又|AF|==2,即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3,所以=,x1=,则p===,则抛物线的方程是y2=x,则Q,设直线MN的方程为x=my+.将直线MN的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-my-=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),所以y3+y4=m①,y3y4=-②,由于焦点Q是弦MN靠近点N的三等分点,所以=2,所以y3=-2y4③,联立①②③消去y3,y4,得m=±,所以直线MN的斜率k=±2.11.答案±解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消去x得y2-8my-16=0,则有y1+y2=8m,y1y2=-16.由∠ACB=90°,知·=0,即有(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,则有(my1+3)(my2+3)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=0,则-16(m2+1)+24m2+9=0,解得m=±.12.答案2或8解析设N(0,n),当sin∠MNF的值最大时,有∠MNF=,从而有·=0,得ap+n2-4n=0.又2ap=16,所以n2-4n+4=0,所以n=2,所以N的坐标为(0,2)时,sin∠MNF的值最大.过M作MM'⊥y轴,垂足为M',则梯形OFMM'的面积为10,10=·4,又ap=8,得p=2或8.13.解析(1)直线AB的方程是y=2,由消去y得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2), 由=8x3,得[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.14.解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.由于|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:由于点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.由于点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.15.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标x M===.同理,点N的横坐标x N=.所以|MN|=|x M-x N|==8=.令4k-3=t,t≠0,则k=.当t>0时,|MN|=2>2.当t<0时,|MN|=2≥.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.16.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0.又易知F(0,1),则由A,B,F三点共线得=,即x2=x1,得(x1+x2)x1x2=4(x1+x2),∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴x1x2=4,故A,B两点的横坐标之积为4.(2)存在.明显直线l的斜率存在,且不为零,故可设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得x2-4kx-4=0.设C(x3,y3),则有x1+x3=4k,且x1x3=-4.则k1+k3=+=+=+==k.由得x2+4kx-4=0.设D(x4,y4),则有x2+x4=-4k,且x2x4=-4.则k2+k4=+=+=+--=+k=+k=3k,∵k≠0,∴k1+k3=(k2+k4).故存在常数λ=,使得k1+k3=λ(k2+k4).B组提升题组1.B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.2.A 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.3.B 记A,B在抛物线准线x=-1的投影分别为A',B',故|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=12,由中位线定理可得所求距离d=-1=5,故选B.4.C 由于抛物线y2=4x的焦点为N(1,0),所以|PM|+|PN|的最小值等于点M到抛物线的准线x=-1的距离的最小值.而点M在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,则点M到准线x=-1的距离的最小值等于圆心(3,1)到准线的距离减去半径1,即(|PM|+|PN|)min=4-1=3,故选C.5.C 焦点F的坐标为,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=, 即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12,故选C.6.B 如图,设直线l,x轴分别与抛物线的准线交于C,D两点,由抛物线的定义知|PC|=|PF|,由圆的切线性质知|PA|=|PB|,于是|AC|=|BF|.又|AC|=|DO|,|BF|=|FQ|,所以|DO|=|FQ|,而|DO|=|FO|,得O,Q两点重合.故选B.7.D 明显0<r<5.当直线l的斜率不存在时,存在两条满足题意的直线,所以当直线l的斜率存在时,存在两条满足题意的直线,设直线l的斜率为k,由抛物线和圆的对称性知,k>0、k<0时各有一条满足题意的直线.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),k====.记圆心为C(5,0).∵k CM=,k·k CM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+>4(y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中点为M,知B(6-x1,2y0-y1),∴(2y0-y1)2=4(6-x1),又∵=4x1,∴-2y0y1+2-12=0.∴Δ=4-4(2-12)>0,即<12.∴r2=(3-5)2+=4+<16,∴r<4.综上,r∈(2,4).故选D.8.答案±解析由题意设l:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).将x=ty+1代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,∴y1+y2=4t,y1y2=-4.又=3,∴y1=-3y2,∴∴t2=,即k=±.9.答案3+2解析过抛物线C的焦点,斜率为1的直线方程为y=x-,代入抛物线C的方程,整理得4x2-12px+p2=0.又由题意可得x A>x B,解得x A=p,x B=p,所以====3+2.10.答案解析由题意知抛物线的准线方程为x=-=-,解得p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.设直线MN的方程为x=ty+m,M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN与x轴的交点为D(m,0),联立直线MN与抛物线的方程,得y2-2ty-2m=0,所以y1y2=-2m.由于·=3,所以x1x2+y1y2=3,即(y1y2)2+y1y2-3=0.由于M,N位于x轴的两侧,所以y1y2=-6,所以m=3,则直线MN恒过点D(3,0).当直线MN绕定点D(3,0)旋转时,旋转到AD⊥MN时,点A到动直线MN的距离最大,且为=.11.答案 4解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-3=kx(k<0),即y=kx+3,联立直线AB的方程与抛物线方程消去y,得k2x2+(6k-4)x+9=0,所以x1+x2=.又p=2,依据抛物线的定义有|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2=6,所以x1+x2==4,解得k=(舍)或k=-2,所以y1+y2=-2(x1+x2)+6=-2,所以线段AB的中点坐标为(2,-1),所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-2),即x-2y-4=0,令y=0,得x=4,所以点D的横坐标为4.12.答案(1,0);6解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由于线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(x1-4)2+=(x2-4)2+,又A,B是抛物线上两点,所以=4x1,=4x2,代入上式并化简得-=4x1-4x2,又x1≠x2,所以x1+x2=4,所以|AB|≤|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=6(当且仅当A,B,F三点共线时取等号),所以|AB|的最大值为6.13.解析(1)证明:设以A(x1,)为切点的切线方程为y-=k(x-x1),与x2=y联立得x2-kx+kx1-=0,由Δ=k2-4kx1+4=(k-2x1)2=0得k=2x1,所以切线PA的方程为y=2x1x-.(2)设B(x2,y2),由(1)知点P的坐标为,设直线AB的方程为y=kx+m,与x2=y联立得x2-kx-m=0,所以P,由题意知k·k OP=k·=-2m=-1⇒m=,即R.|PQ|=,|QR|==,所以==|k|+≥2,当且仅当|k|=时,的最小值为2.14.解析(1)设直线AB的方程为x=my+3,与抛物线联立得:y2-2my-6=0,∴y1y2=-6.(2)证明:直线AC的斜率为=,∴直线AC的方程为y=(x-x1)+y1,∴点P的纵坐标为y P===,同理,点Q的纵坐标为y Q=,∴y P+y Q=0,又PQ⊥x轴,∴MP=MQ.15.解析(1)设A(x1,y1)(x1>0),则直线MA的方程为y=x-1,与x2=4y联立消去y,得x1x2-(+4)x+4x1=0,由Δ=-16=0,得=4,而x1>0,故x1=2,即有A(2,1).则直线MA的方程为y=x-1.(2)明显直线BC的斜率存在,设直线BC的方程为y=kx+n,与x2=4y联立消去y,得x2-4kx-4n=0.设B(x2,y2),C(x3,y3),则有x2+x3=4k,x2x3=-4n.由(1)知x1,x3是方程x1x2-(+4)x+4x1=0的两根,且x1≠2.则有x1x3=4,即x1=,从而y1==.由于N,A,B三点共线,所以===+,即有-1=+x2++,化简得x2+x3+x2x3+4=0,即有4k-4n+4=0,得n=k+1.从而直线BC的方程为y=kx+k+1=k(x+1)+1,故直线BC过定点,且定点坐标为(-1,1). 16.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0,于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又由于|AB|=4·,点F(0,1)到直线AB的距离为d=,所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.。
浙江省杭州二中2021届高三数学仿真考试试题 理
2021年杭州二中高三仿真考数学（理科）试题卷一、选择题一、已知(1)3,Z i i +=-那么复数Z = （ ） A.12i + B.12i - C.2i + D.2i -二、设集合{}{}236,450S x x T x x x =<≤=--≤，那么()R C S T ⋂=（ ） A.(]3-∞⋃∞，（6，+） B.(]3-∞⋃∞，（5，+） C.∞⋃∞（-，-1）（6，+） D.∞⋃∞（-，-1）（5，+）3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且744S S π-=，那么6tan a =（ ） A.1 B.333 D.2 4、在ABC ∆中，“30A ∠<”是“1cos 2A >”的（ ） A.充分没必要要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也没必要要条件 五、假设，那么函数()2f x x'的图象是（ ） 六、程序框图如右图所示，其输出结果是63，那么a 的初始值,(0)m m >有多少种可能 A.3 B.4 C.5 D.67、如图，点P 在双曲线22221x y a b-=的右支上，12F F 别离是双曲线的左右核心，212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，那么双曲线的离心率e =（ ）A.43 B.533．2 八、设,a b 为单位向量，假设向量c 知足()c a b a b -+=-，那么c 的最大值是（ ）A.222 D ．1九、假设0,2x y π<<，且sin cos x x y =，那么（ ）A.4x y <B.42x x y <<C.2xy x << D ．x y < 10、已知函数222()(1)2(11)f x a x bx b b a =--+-<-<，用()card A 表示集合A 中元素的个数，假设使得()0f x >成立的充分必要条件是x A ∈，且()4card A Z ⋂=，那么实数a 的取值范围是（ ）A.（-1，2）B.（1，2）C.（2，3） D ．（3，4） 二、填空题1一、已知31()(12)()()n f x x x n N x*=-+∈的展开式中没有常数项，且26n <<，那么展开式中含2x 的系数是 。
浙江省2021版高考数学三模试卷(理科)(I)卷
浙江省2021版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·合肥月考) 若复数满足，其中是虚数单位，则复数的模为（）A .B .C .D . 33. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2017，σ2），则P（ξ＜2017）等于（）A .B .C .D .4. （2分）“”是“直线与直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）执行右面的程序框图．若输入n=7,则输出的值为A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组46﹣50号，若在第三组中抽得号码为12，则在第八组中抽得号码为（）A . 37B . 38C . 39D . 407. （2分）下列函数中，图象关于点（， 0）对称的是（）A . y=sin（x+）B . y=cos（x﹣）C . y=sin（x+）D . y=tan（x+）8. （2分） (2016高二上·乐清期中) 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A . 4和3B . 4和2C . 3和2D . 2和09. （2分） (2020高一下·荆州期末) 方程的解的个数是（）.A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个10. （2分）(2020·嘉兴模拟) 分别将椭圆的长轴、短轴和双曲线的实轴、虚轴都增加m个单位长度（），得到椭圆和双曲线．记椭圆和双曲线的离心率分别是，则（）A . ，B . ，与的大小关系不确定C . ，D . ，与的大小关系不确定二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2017高一上·西安期末) 与圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4相切于点（4，﹣1）且半径为1的圆的方程是________．12. （1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________13. （1分）公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________14. （1分） (2019高二下·景德镇期中) 已知函数则 =________．15. （2分） (2016高一上·湖州期中) 已知函数f（x）=（x﹣a）（x+2）为偶函数，若g（x）= ，则a=________，g[g（﹣）]=________三、解答题 (共6题；共45分)16. （15分） (2017高一上·吉林期末) 已知函数f（x）=2sin（3ωx+ ），其中ω＞0（1）若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；（2）若f（x）在（0， ]上是增函数，求ω的最大值；（3）当ω= 时，将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．17. （5分）(2017·山西模拟) 已知如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的菱形，面PBC⊥面A BCD，点E是AD 的中点，PQ∥面ABCD且点Q在面ABCD上的射影Q′落在AB的延长线上，若PQ=1，PB= ，且（）• =0， =2（Ⅰ）求证面PBC⊥面PBE（Ⅱ）求平面PBQ与平面PAD所成钝二面角的正切值．18. （10分）(2013·江西理) 正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令b ，数列{bn}的前n项和为Tn ．证明：对于任意n∈N* ，都有．19. （5分）(2017·怀化模拟) 为了政府对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房心理预测调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表：买房不买房纠结城市人515农村人2010已知样本中城市人数与农村人数之比是3：8．（Ⅰ）分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；（Ⅱ）从参与调研的城市人中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计城市人的某项收入指标，假设一个买房人的指标算作3，一个纠结人的指标算作2，一个不买房人的指标算作1，现在从这6人中再随机选取3人，令X=再抽取3人指标之和，求X的分布列和数学期望．20. （5分）(2020·南昌模拟) 已知函数（，且，e为自然对数的底）.（I）求函数的单调区间（Ⅱ）若函数在有两个不同零点，求a的取值范围.21. （5分）(2017·四川模拟) 已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共45分)16-1、16-2、16-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：8.4 椭圆 Word版含答案
§8.4椭圆Ａ组基础题组1.(2021广东,8,5分)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )A.2B.3C.4D.92.(2022湖北荆门元月调考,11,5分)已知θ是△ABC的一个内角,且sinθ+cosθ=,则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示( )A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆3.(2022超级中学原创猜测卷八,7,5分)已知a>0,椭圆+y2=1与双曲线2x2-ay2=1共焦点,过点M(-2,0)的直线l与椭圆交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2的值为( )A.2B.-2C.D.-4.(2021温州二模,13,4分)若椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,),且椭圆的长轴长是焦距的两倍,则a= .5.(2022江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.6.(2021浙江宁波十校联考,13)设P为椭圆+=1上的点,F1,F2为其左,右焦点,且△PF1F2的面积为6,则·= .7.(2022领航高考冲刺卷一,9,6分)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为.8.(2021浙江模拟训练冲刺卷四,15)已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F2,点P是两曲线的一个交点,且=,其中F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,则椭圆的离心率e= .9.(2021浙江杭州学军中学第五次月考,21)设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,=2.(1)求椭圆C的离心率;(2)假如|AB|=,求椭圆C的方程.10.(2021陕西,20,12分)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2. 11.(2021宁波一模,18,15分)如图,设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l交椭圆于P,Q 两点,若圆O:x2+y2=b2过F1,F2,且△PF1F2的周长为2+2.(1)求椭圆C和圆O的方程;(2)若M为圆O上任意一点,设直线l的方程为4x-3y-4=0,求△MPQ面积S△MPQ的最大值.12.(2021衢州二模,18,15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记△F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最大值时直线l的方程,并求出最大值.13.(2022北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试推断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.14.(2021陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.B组提升题组1.(2021课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.122.(2021浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在其次、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )A. B. C. D.3.(2021衢州二模,7,5分)设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)上的动点,且满足+≤2,则a+b的取值范围为( )A.[2,+∞)B.[1,2]C.[1,+∞)D.(0,2]4.(2021温州一模,12,6分)已知F1,F2是椭圆C:+=1的左,右焦点,过右焦点F2的直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,M是弦AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,则△ABF1的周长等于,斜率k= .5.(2021浙江,15,4分)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.6.(2022课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 7.(2021金华十校联考,19,15分)已知椭圆C:+=1的左顶点为A(-3,0),左焦点恰为圆x2+2x+y2+m=0(m∈R)的圆心M.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A且与圆M相切于点B的直线交椭圆C于点P,P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q,若B,M,Q三点共线,求实数m的值.8.(2021浙江湖州中学期中,21)已知A、B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,点D在椭圆C上,且直线DA与直线DB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P,Q是椭圆C上不同于顶点的两点,直线AP与QB交于点M,直线PB与AQ交于点N.若直线PQ 过椭圆的右焦点F2,求直线MN的方程.9.(2021浙江宁波十校联考,19)设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,其中一个顶点为P(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设等腰Rt△PAB是椭圆C的内接三角形,∠APB=90°,点A、P、B按顺时针方向排列,求直线AP的方程.10.(2022超级中学原创猜测卷三,19,15分)如图,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆C1和圆心在坐标原点的圆C2都经过点M(0,-3),且椭圆C1的离心率为.(1)求椭圆C1和圆C2的方程;(2)过点M引两条斜率分别为k1,k2的直线分别交C1,C2于点P、Q,若PQ⊥y轴,则是否存在正常数l使得k1=lk2?若存在,求出l;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,求△MPQ的面积的最大值. 11.(2022广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.12.(2022陕西,20,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连结而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值;(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.13.(2021浙江名校(衢州二中)沟通卷二,18)如图,已知圆O:x2+y2=1的一条切线与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,且切线AB与圆O的切点Q在y轴的右侧,F为椭圆C的右焦点.(1)求△ABF的周长;(2)求△OAB面积的最大值.14.(2021浙江冲刺卷一,21)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率e=.点P是椭圆C上位于第一象限内的点,满足cos∠F1PF2=,△F1PF2的面积为.(1)求椭圆的方程及点P的坐标;(2)经过点P斜率为k和-k的两直线l1,l2分别与椭圆交于点M,N.①试问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;②当1≤k≤2时,求直线MN在y轴上的截距的取值范围. Ａ组基础题组1.B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.故选B.2.D 由于(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-<0,又sinθ+cosθ=>0,且θ是△ABC的内角,所以sinθ>-cosθ>0,故>>0,而x2sinθ-y2cosθ=1可化为+=1,所以方程x2sinθ-y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆.3.D 将双曲线2x2-ay2=1化为标准方程为-=1,由题意得a-1=+,解得a=2或a=-(舍去),故椭圆的方程为+y2=1.易知直线l:y=k1(x+2),把y=k1(x+2)代入椭圆的方程并化简得(1+2)x2+8x+8-2=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=-,故P,所以k2=×=-,所以k1k2=-.4.答案 2解析椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,),则b=,由于椭圆的长轴长是焦距的两倍,则a=2c,又由于a2=b2+c2,所以有a2=3+,解得a=2.5.答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②.①、②两式相减并整理得=-·.把已知条件代入上式得,-=-×,∴=,故椭圆的离心率e==.6.答案 5解析设P(x0,y0),∵F1(-,0),F2(,0),∴=×2×|y0|=6,得=,则=16-=,∴·=-7+=5.7.答案2;解析依据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,由于|PF1|=4,所以|PF2|=2.又|F1F2|=2c=2,在△F1PF2中,依据余弦定理得cos∠F1PF2==-,所以∠F1PF2=.8.答案或解析由=和|PF1|+|PF2|=2a,得|PF2|=.设P(x,y),则有|PF2|=x+=x+c=a,解得x=a-c.又|PF2|====a-ex,则a-ex=a,从而有a-e=a,则-e=0,解得e=或e=.9.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0.(1)由已知得直线l的方程为y=(x-c),其中c=.由得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0,解得y1=,y2=.由于=2,所以-y1=2y2,即=2·,整理得离心率e==.(2)由于|AB|=|y2-y1|,所以·=.由=得b=a.所以a=,得a=3,所以b=.故椭圆C的方程为+=1.10.解析(1)由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知可知Δ>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=.从而直线AP,AQ的斜率之和k AP+k AQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.11.解析(1)由已知得解得b=c=1,a=.故椭圆C:+y2=1,圆O:x2+y2=1.(2)设点P(x1,y1),点Q(x2,y2).将直线l的方程代入椭圆方程得41y2+24y-16=0,故y1+y2=-,y1y2=-,所以|PQ|=·|y1-y2|==.为使S△MPQ最大,则使点M到直线l的距离最大.最大距离等于圆心到直线l的距离与圆半径之和,即h=+1=,所以(S△MPQ)最大值=|PQ|·h=.12.解析(1)由题意得+=1,=,a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,则椭圆C的标准方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),△F1MN的内切圆半径为r,则=(|MN|+|F1M|+|F1N|)·r=·8r=4r,所以要使S取最大值,只需最大,=|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|.设直线l的方程为x=ty+1,将x=ty+1代入+=1可得(3t2+4)y2+6ty-9=0(*),∵Δ>0恒成立,∴方程(*)恒有解,∴y1+y2=,y1y2=,==,记m=(m≥1),则==,在[1,+∞)上递减,当m=1,即t=0时,()max=3, 此时l:x=1,S max=.13.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.由于OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,直线AB与圆x2+y2=2相切.14.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率k AB==.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.B组提升题组1.B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),由于离心率e==,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|==2×=6.故选B.2.D 焦点F1(-,0),F2(,0),在Rt△AF1F2中,|AF1|+|AF2|=4,|AF1|2+=12,所以可解得|AF2|-|AF1|=2,故双曲线的离心率e==,选D.3.A 由于满足+=2的点(x,y)的轨迹为椭圆,且a=,c=1,b=1,所以椭圆的方程为+x2=1,+≤2表示椭圆的内部和椭圆上的点.又a|x|+b|y|=1表示的曲线在椭圆的内部,所以其顶点,在椭圆的内部或椭圆上,得≤1,≤,所以a ≥1,b≥1,a+b≥2,故选A.4.答案8;-3解析依题意得|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,|AF1|+(|AF2|+|BF2|)+|BF1|=8,即|AF1|+|AB|+|BF1|=8,△ABF1的周长为8.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则有两式相减得+=0,即+=0.又===,因此+(x1-x2)=0,即=-3,k=-3.5.答案解析设Q的坐标为(x0,y0),FQ的中点为M,由点M在直线y=x上得bx0-cy0+bc=0①.又由于直线FQ垂直于直线y=x,所以=-,即cx0+by0-c2=0②,联立①②得点Q,把点Q的坐标代入+=1并化简得a6=4c6+a4c2,两边同除以a6得4e6+e2-1=0,令t=e2,则0<t<1,则4t3-t+2t-1=0,则[t(2t+1)+1](2t-1)=0,解得t=,由于0<e<1,所以e=. 6.解析(1)依据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为. (2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.7.解析(1)圆M方程化为(x+1)2+y2=1-m,可得M(-1,0),∴c=1.又∵顶点为A(-3,0),∴a=3.∴b2=a2-c2=8, 故椭圆C的方程为+=1.(2)设AP的方程为x=ty-3(t≠0),代入8x2+9y2-72=0,得(8t2+9)y2-48ty=0,解得y A=0,y P=,从而x P=ty P-3=.又右焦点坐标为(1,0),所以PQ的方程为x=y+1,代入8x2+9y2-72=0,得y2+y-64=0,所以y P y Q=,得y Q=,从而x Q=y Q+1=.由B,M,Q三点共线,知MQ⊥AP,故k MQ k AP=-1,即·=-1,解得t=±.所以AP的方程为x=±y-3.故圆心M到AP的距离为1,即圆的半径为=1,从而m=0.8.解析(1)由于点D在椭圆C上,故+=1①,又直线DA与直线DB的斜率之积为-,所以·==-②,由①②解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线PQ的方程为x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以y1+y2=,y1y2=.由条件知直线AP的方程为x=y-2,直线BQ的方程为x=y+2,联立,解得x M=4,同理得x N=4,所以直线MN的方程为x=4.9.解析(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则b=1,设椭圆的焦距为2c,由于e==,所以c2=a2=a2-b2=a2-1,所以a2=5,所以椭圆C的方程为+y2=1.(5分)(2)设直线PA的斜率为k,则k>0,直线PB的斜率为-.直线PA的方程为y=kx+1(k>0),代入椭圆C的方程+y2=1得(5k2+1)x2+10kx=0,所以x A=,所以|PA|2=(1+k2)=.(8分)同理,|PB|2==,又由于|PA|=|PB|,所以=(k>0),(10分)解得k=1或k=2±.(14分)所以直线PA的方程为y=x+1或y=(2±)x+1.(15分)10.解析(1)设椭圆C1为+=1(a>b>0),由于椭圆C1经过点M(0,-3),∴b=3,又e=,a2-c2=b2,∴c=4,a=5.∴椭圆C1的方程为+=1,设圆C2的方程为x2+y2=r2,∵圆C2经过点M(0,-3),∴r=3,∴圆C2的方程为x2+y2=9.(2)存在.由题意知,直线MP的方程为y=k1x-3,直线MQ的方程为y=k2x-3.联立消去y,整理得(9+25)x2-150k1x=0,∴x P=,则P.同理,由得Q,由于PQ⊥y轴,∴=,化简得=,∴l=±,∵l>0,∴l=.(3)由(2)知,|PQ|==,∴S△MPQ=|PQ||y Q-y M|=··=.下面求的最大值,令|k2|=tanα,其中α∈,则==sin3αcosα,依据基本不等式,得3=sin2α+sin2α+sin2α+3cos2α≥2sin2α+2=2(sin2α+sinαcosα)≥4,∴sin3αcosα≤,当且仅当sin2α=3cos2α,即|k2|=tanα=时,取“=”.此时,S△MPQ取得最大值,且最大值为.11.解析(1)由题意得c=,∵e==,∴a=3,∴b==2,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,∴k1k2=(x0≠±3),由已知得k1k2=-1,∴=-1,∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13(x0≠±3).综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.12.解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得x P=,从而y P=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意, 故直线l的方程为y=-(x-1).13.解析(1)设A(x,y)(0<x<2),由已知得F(,0),|AF|====2-x.连结OQ,则OQ⊥AB,∴|AQ|===x,故|AQ|+|AF|=2.同理,|BQ|+|BF|=2,故△ABF的周长为4.(2)设Q(cosθ,sinθ),θ∈∪,则直线AB的方程为xcosθ+ysinθ=1,代入椭圆方程,得(1+3cos2θ)y2-2ysinθ+1-4cos2θ=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,∴|AB|=·==,又O到直线AB的距离为1,∴S=.设t=cosθ,0<t≤1.f(t)=+3t.∵f(t)=+3t(0<t≤1)在t=时取得最小值,∴f(t)≥f=2,∴S≤1,即△OAB面积的最大值为1.14.解析(1)由e=,得a=2c,∵a2=b2+c2,∴b=c.设|PF1|=m,|PF2|=n,则有又m>n,解得∵cos∠F1PF2=,∴sin∠F1PF2=,∴=mnsin∠F1PF2=×c·c·=c2.∵=,∴c=1,∴a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1.设P(x,y),则有·2y=,得y=,代入椭圆方程得x=1,即点P的坐标为.(2)①直线MN的斜率是定值.理由如下:直线l1的方程为y=kx-k+,代入椭圆方程+=1中, 整理得(4k2+3)x2-4(2k2-3k)x+4k2-12k-3=0.此方程的两根为点P,M的横坐标,即1与x M.∵1×x M=,∴x M=,代入直线l1的方程得y M=-,故M.以-k代替k,得点N的坐标为,∴k MN==,即直线MN的斜率为定值.②直线MN的方程为y=-,令x=0,得y=--=-=-2+,∵1≤k≤2,∴-≤-2+≤-.故直线MN在y轴上的截距的取值范围为.。
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§8.5双曲线Ａ组基础题组1.(2021安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )A.x2-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-y2=12.(2022广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等3.(2021广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.(2021四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )A. B.2 C.6 D.45.(2021课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( )A. B.C. D.6.(2021课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A. B.2 C. D.7.(2021浙江冲刺卷四,6)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A和B是以坐标原点O为圆心,以|OF2|为半径的圆与该双曲线的渐近线在y轴右侧的两个交点,且△AF1B是正三角形,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.8.(2021绍兴一模,6,5分)曲线x2-3y2=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的四个交点与C的两个虚轴顶点构成一个正六边形,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.9.(2021杭州二中仿真考,7,5分)已知点P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,且|F1F2|=,I为三角形△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为( )A. B.2-1 C.+1 D.-110.(2021浙江名校(柯桥中学)沟通卷三,6)若双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B,点P是第一象限内双曲线上的点,若直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,则α+β的值是( ) A. B. C. D.11.(2021浙江测试卷,6)已知双曲线x2-=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点( )A.(3,0)B.(1,0)C.(-3,0)D.(4,0)12.(2021哈三中二模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,)B.(1,+1)C.(+1,)D.(,)13.(2021江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.14.(2022领航高考冲刺卷五,15,4分)若等轴双曲线C的左,右顶点A,B分别为椭圆+y2=1(a>0)的左,右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,则k PA·k PB= .15.(2022超级中学原创猜测卷十,13,4分)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使点P在以F1F2为直径的圆上,且|PF1|=|PF2|,则该双曲线的离心率为.16.(2021浙江镇海中学测试卷二,14)双曲线x2-y2=2021的左、右顶点分别为A1、A2,P为其右支上不同于A2的一点,且∠A1PA2=4∠PA1A2,则∠PA1A2= .B组提升题组1.(2021福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.11B.9C.5D.32.(2021浙江名校(绍兴一中)沟通卷五,6)已知双曲线-=1的右焦点为F,左顶点为P,上,下虚轴端点为M,N,若FM与PN交于点A,已知|AF|=|AP|,则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3.(2021杭州一模,7,5分)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F且斜率为-1的直线l与双曲线C 的两条渐近线分别交于A,B两点,若=-3,则双曲线C的离心率e=( )A. B. C. D.4.(2022领航高考冲刺卷六,7,5分)设A1、A2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若在双曲线C上存在点M,使得·<2,则双曲线C的离心率的取值范围是( )A.(,3)B.(1,)C.(,+∞)D.(1,3)5.(2022山西八校联考,12,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C.3 D.26.(2021温州二模,8,5分)如图所示,A,B,C是双曲线-=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是( )A. B. C. D.37.(2021浙江六校联考,7,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上任一点,且·最小值的取值范围是,则该双曲线的离心率的取值范围为( )A.(1,]B.[,2]C.(1,2]D.[2,+∞)8.(2021浙江名校(衢州二中)沟通卷二,7)过双曲线-=1(b>a>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P,O为坐标原点,若E为FP的中点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.9.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线左支上一点,M为双曲线渐近线上一点(渐近线的斜率大于零),则|PF2|+|PM|的最小值为( )A.2-B.2C.2+D.2+210.(2021湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e211.(2021浙江测试卷,10,5分)设动点A,B均在双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支上,O为坐标原点,双曲线C的离心率为e,则( )A.若e>,则·存在最大值B.若1<e≤,则·存在最大值C.若e>,则·存在最小值D.若1<e≤,则·存在最小值12.(2021太原二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点O为双曲线的中心,点P在双曲线右支上,△PF1F2内切圆的圆心为Q,圆Q与x轴相切于点A,过F2作直线PQ的垂线,垂足为B,则下列结论成立的是( )A.|OA|>|OB|B.|OA|<|OB|C.|OA|=|OB|D.|OA|与|OB|大小关系不确定13.(2021湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为. 14.(2021山东文,15,5分)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.15.(2022山东,15,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.Ａ组基础题组1.A A选项中,渐近线方程为x2-=0,即y=±2x.故选A.2.A ∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.∴-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,故选A.3.C 由已知得解得故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.4.D 双曲线x2-=1的右焦点为F(2,0),其渐近线方程为x±y=0.不妨设A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故选D.5.A 若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则解得=.可知:·<0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒<⇒y0∈.故选A.6.D 设双曲线E的标准方程为-=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,a),又M点在双曲线E上,于是-=1,解得b2=a2,∴e==.7.C 设点A(x,y)在第一象限,由得即得A(a,b).同理得B(a,-b).由|AB|=|AF1|,得2b=,即(c+a)2=3b2=3(c2-a2).又c+a≠0,从而c+a=3(c-a),即c=2a,故离心率e==2.8.B 设曲线x2-3y2=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)在第一象限的交点为A(x A,y A),则正六边形的边长为2|y A|=b.又由曲线方程与双曲线方程联立消去x得|y A|2=,所以|y A|2==⇒5a2=3b2,所以=,所以双曲线C的离心率为==,故选B.9.D 设△PF1F2的内切圆半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,=r|PF1|,=r|PF2|,=r·2c=cr.由题意得r|PF1|=r|PF2|+λcr,所以λ==.由于|F1F2|=,所以2c==,即+-1=0,解得=-1或=--1(舍去),故选D.10.D 双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点为B(a,0).设P(m,n)(m>a,n>0),则直线PA的斜率k PA=,直线PB的斜率k PB=,∴k PA·k PB=①.∵P(m,n)是双曲线x2-y2=a2上的点,∴m2-n2=a2,将n2=m2-a2代入①式得k PA·k PB=1.∴α+β=.11.A 明显直线AP,AQ的斜率存在,且不为0,设直线AP的斜率为k,k≠±.则AP的方程为y=k(x+1).由得(k2-2)x2+2k2x+k2+2=0,则-1·x P=,故x P=,则有P.以-代替k,得Q.当k≠±1且k≠±时,k PQ=,直线PQ的方程为y=(x-3),此时直线PQ过点(3,0).当k=±1时,有x P=x Q=3,直线PQ的方程为x=3,此时,直线PQ也过点(3,0).故选A.12.D 由题意可得2<<3,则双曲线的离心率e===∈(,),故选D.13.答案解析双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x,明显直线y=x与直线x-y+1=0平行,且两直线之间的距离为=.由于点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点,所以点P到直线y=x的距离恒大于0,结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于,结合已知可得c的最大值为.14.答案 1解析由题意得,等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),∴双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点为B(a,0),设P(m,n),则直线PA的斜率为k PA=,直线PB的斜率为k PB=,∴k PA·k PB=①,∵P(m,n)是双曲线x2-y2=a2(a>0)上的点,∴m2-n2=a2,∴n2=m2-a2,代入①式得k PA·k PB=1.15.答案+解析由点P在以F1F2为直径的圆上,可知PF1⊥PF2.在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.由已知|PF1|=|PF2|,得|PF1|=c,|PF2|=c.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,即c-c=c=2a,所以双曲线的离心率e===+.16.答案解析设∠PA1A2=α,则∠PA2x=5α.又设P(x0,y0),则-=2021.tan5α==,tanα==,∴tan5α·tanα=·==1,从而sin5αsinα=cos5αcosα,即cos6α=0,∴α=.B组提升题组1.B |PF1|=3<a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.2.C 设双曲线的左焦点为F',连结NF',则必有FM∥F'N,所以==⇒=⇒3c2=4a2⇒e=.3.D F(c,0),直线l的方程为y=-x+c,而渐近线的方程是y=±x,由得A,由得B.∴=,=.由=-3,得=-,得5a=3b,结合c2=a2+b2得c2=a2+a2,解得e=.4.B 由题意知A1(-a,0),A2(a,0),设M(x,y),则=,=,∴·=(*).∵M(x,y)在双曲线-=1上,∴y2=b2,代入(*)式得,=,则<2,即=e2-1<2,又e>1,故1<e<.5.A 解法一:设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),离心率为e1,双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)cos60°=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,∴+=a·b≤|a|·|b|=×=×=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+===.∴===,易知-+1的最小值为.故=.故选A.6.A 如图所示,设左焦点为F',由OA=OB,OF=OF',BF⊥AC以及双曲线的对称性可知四边形AFBF'为矩形,设AF=m,则|FC|=|FB|=|AF'|=2a+m,|CF'|=4a+m.在Rt△ACF'中,|AF'|2+|AC|2=|CF'|2,即(2a+m)2+(2a+2m)2=(4a+m)2,整理得m=a.在Rt△FAF'中,|AF|2+|AF'|2=|F'F|2,即a2+(3a)2=(2c)2,整理得4c2=10a2,故e=,故选A.7.B 设P(x,y),则·=(x+c,y)·(x-c,y)=x2-c2+y2=x2-c2-b2,|x|≥a,所以当|x|=a时,(·)min=a2-c2∈,则即所以离心率e=∈[,2],故选B.8.D 设右焦点为F2,连结F2P,OE,则F2P⊥FP,且|PF2|=2|OE|=2a,∴|EF|=b.∴|PF|=2b.过点P作直线x=-c的垂线,垂足为M,则|PM|=|PF2|=2a.∴|MF|==2.在Rt△FPF2中,2=|PF|·|PF2|=|FF2|·|MF|,即2b·2a=2c·2,平方整理得a2c2=(c2-a2)b2=(c2-a2)2,即有ac=c2-a2,∴e2-e-1=0,∴e=,故选D.9.C 由题意,知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),符合题意的渐近线方程为y=x,即x-y=0.作出符合题意的几何图形如图所示,连结PF1,F1M,由双曲线的定义,可知|PF2|-|PF1|=2,所以|PF2|+|PM|=|PF1|+|PM|+2.由图形可知|PF1|+|PM|≥|F1M|,所以当F1,P,M三点共线时,|PF1|+|PM|的值最小,即|F1M|最小,故依据点到直线的距离公式可得此时的最小值为d==,故所求的最小距离为2+.10.D 依题意有e1==,e2==.而-=,∵a>0,b>0,m>0,∴当a>b时,<,有e1<e2;当a<b时,>,有e1>e2.故选D.11.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≥a,x2≥a,则·=x1x2+y1y2=x1x2±.若·=x1x2+,明显没有最大值,而当x1=x2=a时,·有最小值a2.若·=x1x2-=x1x2-,由+≥2x1x2,得·≥x1x2-·=x1x2-(x1x2-a2),即·≥x1x2+b2,若a2≥b2,即1<e≤,则·≥·a2+b2=a2. 当x1=x2=a时,·有最小值a2.故若1<e≤,则·存在最小值.12.C 由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心,故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N,易知垂足B为F2N的中点,连结OB,则|OB|=|F1N|=(|F1P|-|F2P|)=a.设内切圆与PF1,PF2分别切于G,H,则由内切圆性质可得|PG|=|PH|,|F1G|=|F1A|,|F2A|=|F2H|,故|F1P|-|F2P|=|F1A|-|F2A|=2a,设|OA|=x,则有x+c-(c-x)=2a,解得|OA|=a,故有|OA|=|OB|=a,故选C.13.答案解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,由于线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,∴-=1,∴=5,∴e==.14.答案2+解析如图,F1,F2为双曲线C的左,右焦点,将点P的横坐标2a代入-=1中,得y2=3b2,不妨令点P的坐标为(2a,-b),此时==,得到c=(2+)a,即双曲线C的离心率e==2+.15.答案x±y=0解析c2=a2+b2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知,双曲线过点,即-=1.②由|FA|=c,得c2=a2+,③由①③得p2=4b2.④将④代入②,得=2.∴=2,即=1,故双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.。