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(完整版)除法中的巧算
除法中的巧算（一）学习方法指导我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。
一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=⨯÷⨯或 ()()()=÷÷÷≠a n b n n 0如：()()123122322464÷=⨯÷⨯=÷=或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷=例1. 用简便方法计算下列各题。
（1）82525÷ （2）47700900÷分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。
（1）82525÷ ()()=⨯÷⨯=÷=8254254330010033想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。
（2）47700900÷()()=÷÷÷=÷=47700100900100477953看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。
在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。
一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷()a b c a c b c -÷=÷-÷如：()126212262639+÷=÷+÷=+=()126212262633-÷=÷-÷=-=这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。
例2. 用简便方法计算。
（1）()2501655+÷（2）()7022134143--÷分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。
乘除法中的巧算数学四年级上册全国通用
=（2013÷2013）×（2012÷2012）×（2011÷2011）
一、带符号搬家 （只适用于同级运算）
如果有些数凑在一起时，会使计算简便，就可以交换数的位置， 改变运算顺序， 在交换数的位置时，它前面的符号一定要带走。
=（31＋32＋33＋34）÷5
（
）÷3
练习：简便计算下列算式
=16×45÷8
如果题中没有包含能够凑整的好朋友数呢？
例题2：简便计算。
4×6 24×25×7 观察！ =4×6×25×7
=4×25×6×7
=（4×25）×（6×7）
=100×42
=4200
8×8 25×64×125 观察！ =25×8×8×125 =（25×8）×（8×125） =200×1000
=200000
二、拆数凑整 （整十、整百、整千）
乘法中可以凑整的数： （好朋友数） 2×5 =10 4×25=100 8×125 =1000
8×25 =200
25×7×4 =25×4×7 =100×7 =700
125×15×8 =125×8×15 =1000×15 =15000
需要拆分其它乘数，找到好朋友数 再进行凑整计算。
=54÷6 ＋30÷6 ＋ 36÷6 － 48÷6 =（31＋32＋33＋34）÷5
=9＋5 ＋6 －8
=130÷5
=12
=26
187÷12－63÷12－52÷12
莫为一身之谋，而有天下之志。
有志者能使石头长出青草来。 有志者，事竟成。 无所求则无所获。
=（187－63－52）÷12
丈夫清万里，谁能扫一室。
古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有坚忍不拨之志。
a÷m＋b÷m＋c÷m=(a＋b＋c)÷m 古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有坚忍不拨之志。
乘除法中的速算与巧算
乘除法中旳速算与巧算知识储藏整数乘除法旳速算与巧算,一条最基本旳原则就是“凑整”。
要达到“凑整”旳目旳，就要将某些数分解、变形,再运用乘法旳互换律、结合律、分派律以及四则运算中旳某些规则，把某些数组合到一起，使复杂旳计算过程简便化。
1、乘法旳运算定律乘法互换律：a×ｂ=b×ａ乘法结合律：(a×ｂ)×c=a×(ｂ×c）乘法分派律:(a+b）×c=ac＋bc2、除法旳运算性质（1)a÷b＝(a×c)÷(b×c)ﻩ（ｃ≠0)（2）ａ÷ｂ=(a÷c)÷（ｂ÷c)(c≠0)（3）ａ÷b÷c=a÷（b×ｃ)（4)ａ÷(ｂ÷ｃ）＝a÷ｂ×c3、乘除分派性质(1）(a+ｂ)×c=a×c＋ｂ×c（２）(a-b）×c=a×ｃ－b×c(3）（ａ+b)÷c＝a÷c+b÷ｃ(4)(a-b)÷c=ａ÷ｃ－b÷c注意:除数不能为零。
4、两数之和乘以这两数之差旳积等于这两个数旳平方差。
（a＋b)×(a-ｂ)=ａ2－b25、乘法凑整法：这是运用特殊数旳乘积特性进行速算,如5×2=10,25×4=100，125×8＝１00０,625×8=50０0，６25×16＝１000０等等。
大伙要记住这些成果。
思维引导例1、计算：ﻩ(１）9９9＋999×999 (2)1111×9９9９（3)125×２5×3２ﻩ(4)５76×4２２+５7６＋5７7×５76跟踪练习:计算:(1)9９99＋9９9９×9９99ﻩ（２)1４0×２９9（３）80８×1２5ﻩﻩ (4）46１＋５×46１0＋461×49例2、计算：３４×1７2-17×７１×2－３4跟踪练习：计算：4２×6８+61×2×3４－3×68例3、用简便措施计算:8700÷２５÷4跟踪练习：96０0÷２5÷4例4、用简便措施计算:625÷25跟踪练习：４２80０÷2５例５、简算：２9×3１跟踪练习:简算:6８×7２例６、计算：11111×11111跟踪练习:计算：２22２２×２2222例７、计算:６3×2７５÷7÷11跟踪练习:计算：123×456÷７89÷45６×７8９÷123例8、计算:１÷(2÷３)÷（３÷４)÷（4÷5）÷（5÷6)跟踪练习:计算：15÷(９÷1１）÷(１１÷３４）÷（3４÷63)例9、计算：99999×22222+3333３×3３334跟踪练习:计算：9９９9×7778+33３3×66６6例1０、计算:9８９8９8９8×99９99９9９÷10101010÷1１111１１1跟踪练习：计算：×22÷１8÷例１1、计算:19９81９9９×1999199８-19９819９8×１９991999跟踪练习:计算:1９97×199９－199６×例１2、 末尾有几种零？跟踪练习:计算:能力对接1、 将相应旳序号填入括号中。
三年级奥数乘除法中的巧算
第二讲速算与巧算（二）一、乘法中的巧算1. 两数的乘积是整十、整百、整千的，殊的等式：5X 2=1025 X 4=100125X 8=1000例 1 计算① 123X 4X 255X 4解：=123X( 4X 25)X(5X 2)=123 X 100 = 1230010=10000002. 分解因数，凑整先乘。
例 2 计算①24 X 25③125X 5X 32X 5=6 X(4X 25) =7X 5X 4X 8X 5=6 X 100 =7 ( 125X 8)X( 5X 5X 4)=600=1000X 100=100000 要先乘. 为此，要牢记下面这三个特②125 X 2X 8X 25X= ( 125X 8)X( 25X 4)=1000 X 100X②56 X 125X 8X 125=7X(8X125) =125X 1000 ==70003. 应用乘法分配律。
例 3 计算① 175 X 34+ 175X 66 35＋67X 52+6解：=175 X（34+66）=67 35+52+ 1）=175X 100=17500 ②67 X12+67XX（12+=67 X100 =6700例 4 计算① 123 X 101 99解：=123 X（100+1）=123X 100+ 123 （100-1 ）②123 X =123 X=12300+ 123 =12300-123=12423 =121774. 几种特殊因数的巧算。
例5 一个数X 10,数后添0;一个数X 100,数后添00；一个数X 1000,数后添000；以此类推。
女口：15X 10=15015X 100=150015X1000=15000例6 一个数X 9,数后添0,再减此数；一个数X 99,数后添00,再减此数;一个数x 999,数后添000,再减此数；以此类推。
如:12X 9= 120-12 = 10812X 99= 1200- 12= 118812X 999= 12000-12=11988例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。
乘除法的速算与巧算
练习1
计算下面各题：
1、450÷25 2、525÷25 3、3500÷125 4、10000÷625 5、49500÷900 6、9000÷225
计算25×125×4×8
分析与解答： 经过仔细观察可以发现：在这道连乘算 式中，如果先把25与4相乘，可以得到100； 同时把125与8相乘，可以得到1000；再把 100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用 乘法交换律和结合律使计算简便。 25×125×4×8 =（25×4）×（125×8） =100×1000 =100000
小数除法的简便运算9056905690303一个数连续除以两个数等于除以这两个数的积5635567556758516abcabc把除数分成两个因数的积然后用被除数分别除以这两个因数除法的性质abcabc182518425472100072被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变商不变的规律5635905061825仔细观察你发现了什么
例11 计算①110÷5
②3300÷25
③ 44000÷125
解：①110÷5=（110×2）÷（5×2）＝220÷10=22
②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）
＝13200÷100＝132
③ 44000÷125=（44000×8）÷（125×8）
＝352000÷1000＝352
习题11 计算①120÷5 ②150÷25 ③ 40000÷125
1.在除法中，利用商不变的性质巧算
商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数 （零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、 整百、整千的数，再除。
计算：325÷25
分析与解答： 在除法里，被除数和除数同时扩大或缩 小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可 以使这道计算题简便。 325÷25 =（325×4）÷（25×4） =1300÷100 =13
除法中的巧算
82÷2= 273÷39= 108÷12= 96÷6=
例1：商பைடு நூலகம்变性质
（1）825÷25（2）47700÷900
自我尝试
老师解析
摘星自评
（1）725÷25 （2）48900÷300
例2：除法分配律
（1）（250＋165）÷5 （2）（702－213－414）÷3
自我尝试
老师解析
摘星自评
（1）（360+108）÷36 （2）（420-216-18）÷3
（1）（700-105）÷35 （2）73÷36+105÷36+146÷36
（3）4059÷41（4）1818÷18
（5）2500÷125 （6）325÷25
A．强化自我
（1）1700÷25 （2）477000÷9000
B．挑战自我
（1）（495+155）÷5 （2）（1000-100-10）÷10
在除法的巧算中,我们仍然要善于观察那些特殊的数,看看它们能不能利用性质、规律去改变运算方法,使计算简便。前面讲的性质,我们既可以顺着用,也可以倒着用。在利用这些性质、规律时,要注意将计算时的数字化繁为简,才有意义。要特别注意的是,一个数除以两个数的和(或差),不能仿照乘法分配律去运用这个规律。
例3：带着符号“搬家”
（1）525÷7÷5 （2）128×5÷8
自我尝试
老师解析
摘星自评
（1）1625×12÷5 （2）125×85×8
（1）（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7
（2）9×17+91÷17-5×17+45÷17（3）195÷15-45÷15
四年级乘法除法速算巧算.docx
第2讲；乘除法巧算速算本讲，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。
这些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便。
对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化。
实际进行乘法、除法以及乘除法混合运算时，可利用以下性质进行巧算：①乘法交换律：AXB=BXA②乘法结合律：AXBXUAX(BXC)③乘法分配律:(A+B)XC=AXC+BXC 由此可以推出：AXB+AXC=AX(B+C)(A-B) XC=AXC-BXC④除法的性质：A-rB-rC=A-rC-rB=A-r(BXC)利用乘法、除法的这些性质，先凑整得10、100、1000……会使计算更简便。
例1：计算236X37X27分析：在乘除法的计算过程屮，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数。
例如，可以将27变为“3X9”，将37乘3得口1,这是一个特殊的数，这样就便于计算了。
解：原式=236X (37X3X9)=236X (111X9) =236X999=236X (1000-1) =236000 — 236 =235764随堂小练：计算下面各题：(1) 132X37X27 (2) 315X77X13例2：计算333X334 + 999X222分析：表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算。
解：原式=333X334 + 333X (3X222)=333X (334 + 666)=333X1000=333000随堂小练：计算下面各题：(1) 9999X2222 + 3333X3334 例 3:计算 20012001X 2002 一 20022002 X 2001分析：仔细观察每一个数，找出它们的共同特点，20102010可分解成201010001 这是四 位数的复写如10001 XabcdNbcdabcd,三位数的复写1001Xabc=abcabc,二位数的复写101 Xab=abab o 这个规律在简便运算中经常用到。
第七讲 乘除法中的巧算
6 × （ 6 + 1） 2× 8
31 × 39= 12 09
3 × （ 3 + 1） 1× 9
128 × 122= 156 16
12 × （ 12+1 ） 2× 8
首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中 去。例如256×254=[25×（25+1）]×100+6×4 =[25×26]×100+24 =65024 ⑵ 末同首合十的两位数相乘公式 若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c， 则它们的积为：用两个十位数字的积加上一个个位数字所得的 和作为积的千位、百位；积的末两位是个位数的平方。 即 （10a+c）（10b+c）=（ab+c）×100+c×c。
下面我们就介绍几种巧算的方法 1、拆并扩整法 如果一个因数是5、25、125、625，另一个因数可拆成2n、4n、8n、16n的形 式，这样可先拆分再合并最后扩整。 72×125×3＝8×9×125×3＝（8×125）×（9×3) 例题 1、125×48= 25×32×125=
2012-6-22
3
2、提公因数法（即乘法分配率的逆应用） 把相同因数提在外面将几个积的和写成几个因数相乘的形式就叫提公因数法。 125×64＋125×36＝125×（64＋36） 8888＋9999＋6666＋7777 30×15＋96.6×1.5＋34×0.15＝30×15＋9.66×15＋0.34×15＝（30＋ 9.66＋0.34）×15 例题 2、 50×15＋49×15＋15 44×18＋52×18＋4×位置，它们的积不变。这叫“乘法的交 换律”。即ab＝ba 例如: 807×13865=13865×807=11189055 【乘法结合律】三个数相乘，先把前面两个数相乘，再与第三个数相乘；或者先 把后面两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。这叫 做“乘法的结合律”。即（a· c=a· c） b）· （b· 例如: （427×125）×8=427×（125×8）=427×1000=427000 【乘法分配律】两个数的和乘以一个数（或者一个数乘以两个数的和），等于每 一个加数分别乘以这个数（或者这个数分别乘以每一个加数） 所得的两个积之和。这叫做“乘法对于加法的分配律”，简称 “乘法分配律”。即（a+b)c=ac+bc；或者是a 2012-6-22 4 （b+c)=ab+ac。
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45、125 等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数， 达到速算的效果。
如：910÷35＝(910×2)÷(35×2)＝1820÷70＝26 2400÷25＝(2400×4)÷(25×4)＝9600÷100＝96 87200÷160＝(87200÷8)÷(160÷8)＝10900÷20＝545
象 230÷24，因为 24×10＝240，比 230 多 10。而 10 比除数 24 小，
所以商 9，这时余数是 24-10＝14，即有 230÷24＝9……14。
再如 200÷24，因为 24×10＝240，比 200 多 40。而 40 比除数 24
大，所以只能商 8，这时余数是40-24＝16，24-16＝8 即有 200÷24＝8……8。
即在“同头无除”除法中，如果除数的 10 倍与被除数的相差量比除
数小（或相等）时，商 9；余数就是除数减去这个相差量的差。
如果除数的 10 倍与被除数的相差量比除数大一些（但不足 2 倍），
这时只能商 余数为除数减去“相差量与除数的差”所得的差。
同学们，你们学会了这类题的口算方法吗？下面这组题就请同学们
口算看看！
(1)240÷26
(2)210÷24
(3)220÷26
(4)230÷26
(5)228÷26
(6)214÷25
(7)270÷29
(8)225÷25
小知识：
神奇的弃九验算
“弃九验算”是我国古代数学中的一枝奇葩。运用弃九法可以验算加、 减、乘、除法的计算结果是否正确。神奇吧！
要想学会这种神奇的验算方法，首先必须理解“弃九数”。因为“弃 九法”的一个基本原理就是：先将参与计算的数的各个数位上的数字相加，
如：4500÷25÷4＝4500÷(25×4)＝4500÷100＝45(添括号) 4500÷(9×4)＝4500÷9÷4＝500÷4＝125(去括号)
需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或 者去括号都不需要改变运算符号。
如：324×36÷9＝324×(36÷9)＝324×4＝1296(添括号) 48×(2700÷12)＝48×2700÷12＝48÷12×2700＝4×2700＝
思考过程可简写或心算如下（见题后括号内）
(1)456÷47＝9……33（470-456＝14，47-14＝33）
(2)420÷47＝8……44（470-420＝50，50-47＝3，47-3＝44）
(3)645÷66＝9……51（660-645＝15，66-15＝51）
(4)325÷38＝8……21（380-325＝55，55-38＝17，38-17＝21）
同样，如果“被减数的弃九数－减数的弃九数＝差的弃九数”，计算 一般正确。需要注意的是，如果出现了被减数的弃九数比减数的弃九数小， 那就要先将被减数加上 9，再减去减数的弃九数。
正确掌握这几种方法，并在学习过程中注意合理使用，可以使自己 的计算越来越快捷。如 1260÷45 我们可以用以下多种方法速算。
① 1260÷45＝(1260×2)÷(45×2)＝2520÷90＝28(双扩) ② 1260÷45＝(1260÷9)÷(45÷9)＝140÷5＝28(双缩) ③ 1260÷45＝1260÷9÷5＝140÷5＝28(除变连除) 需要注意的是，如果是有余数的除法，余数也跟着同时扩大或同时 缩小相同的倍数，计算时要特别注意。
1
教你一招：
“同头无除”巧定商和余数
象 230÷24，被除数和除数的首位数字相同（都是 2），我们简称之
为“同头”，但被除数前两位 23 要比 24 小，不够商 1，就需要看被除数
的前三位，我们简称之为“无除”。象这种“同头无除”的除法题一般商
9 或者是 8。那么到底商 9 还是商 8，又怎样很快写好余数呢？
2
逢九舍弃，得到弃九数。比如说：1349 利用弃九法则有：1＋3＋4＋9＝ 17，1＋7＝8，因此，1349 的弃九数是 8。当然，也可以先舍去 9，算成 1 ＋3＋4＝8。也就是说，在计算出一个数的弃九数时，也可以先把这个数 中的 9 以及相加能得到 9 的数先行舍去，从而使得计算简便。
下面，先说说用弃九法验算加法。比如说验算 2476＋398＝2874，2476 的弃九数是 1（4＋6＝10，1＋0＝1，2＋7＝9 直接舍弃了），398 的弃九 数是 2（3＋8＝11，1＋1＝2，数字 9 先舍弃了）这时，等号左边两弃九 数相加有：1＋2＝3，而等号右边 2874 的弃九数正好是 3（8＋4＝12，1 ＋2＝3，2＋7＝9 同样先舍弃了），前后都是 3，说明计算正确。
也就是说，如果“两个加数的弃九数之和＝和的弃九数”，那么计算 正确。怎么样，方便吧！
再说用弃九法验算减法。比如说验算 4203－987＝3216。4203 的弃九 数是 0（4＋2＋3＝9，9－9＝0），987 的弃九数是 6（8＋7＝15，15－9 ＝6），这时，左边 0－6 不够减，要看成 9－6＝3；右边 3216 的弃九数 是 3（1＋2＝3，3＋6＝9 直接舍去了），两边相等，说明计算正确。
二、带号移动。没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号 移动，改变运算顺序，实现速算的目的。
如：7500÷4÷15＝7500÷15÷4＝500÷4＝125 2107×12÷7＝2107÷7×12＝301×12＝3612
三、添去号变号。有括号的乘除混合运算，如果括号前面是除号， 添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。
• 第六讲 简算与巧算(3)除法里的巧算
在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进 行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速 算方法。
一、除变连除。当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除 法为连除，达到口算的目的。
如：560÷35＝560÷7÷5＝80÷5＝16 1476÷18＝1476÷2÷9＝738÷9＝82 13156÷26＝13156÷13÷2＝1012÷2＝506