广义相对论之6v3_测地线方程与联络的计算共63页文档
2、广义相对论地引力场方程
2、广义相对论的引力场方程１９５５年，物理学家玻恩在一次报告中评价道：“对于广义相对论的提出，我过去和现在都认为是人类认识大自然的最伟大的成果，它把哲学的深奥、物理学的直观和数学的技艺令人惊叹地结合在一起。
”德布罗意（Louis de Broglie ，1892－1987）在《阿尔伯特·爱因斯坦科学工作概况》中谈到广义相对论时说：“依靠黎曼（G ·Riemann ，1826-1866）的弯曲空间理论，借助于张量运算，广义相对论提出一种万有引力现象的解释，这种解释的雅致和美丽是无可争辩的，它该作为20世纪数学物理学的一个最优美的纪念碑而永垂不朽。
” １９８３年诺贝尔物理学奖获得者昌德拉塞卡说得更清楚：爱因斯坦是“通过定性讨论一个与对于数学的优美和简单的切实感相结合的物理世界，得到了他的场方程。
” 相对论实在可以说是对麦克思韦和洛伦兹的伟大构思画了最后一笔，因为它力图把场物理学扩充到包括引力在内的一切现象。
爱因斯坦在1905年发表了狭义相对论公式之后的几十年内，他就对数学的各个领域烂熟于心了，而同时代的大多数物理学家则对这些领域知之甚少甚至一无所知。
在他迈向广义相对论的最终等式的过程中，在将这些数学结构同他的物理学直觉结合在一起这个方面，爱因斯坦展示出了罕见的天赋。
广义相对论理论的核心是新的引力场定律和引力场方程。
有人说，麦克斯韦在电磁场上做过什么工作， Einstein 在引力场也做过什么工作。
广义相对论引人注目的特征之一是将牛顿力学中的引力简化为四维时空中的弯曲，“宇宙图景”的新情景不再是“三维空间中一片以太海洋的受迫振动”，而是“四维空间世界线上的一个纽结”。
1914年，Einstein 与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Einstein —格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；Einstein —格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲。
课件4：15.3-15.4狭义相对论的其他结论 广义相对论简介
eU
eU=(m-m0)c2,解得m= c2 +m0
1.61019 106 = (3108)2
kg+9.11×10-31kg
=2.69×10-30kg。
由质量和速度的关系得m=
解得:v= c 1 ( m0 )2 m
=3×108×
1
(
9.111031 2.69 1030
由 ② 得 m 0.25 0.5， ① m0 0.511
故C正确。
2.电子的静止质量m0=9.11×10-31kg。 (1)试用焦和电子伏为单位来表示电子的静质能。 (2)静止电子经过106V电压加速后,其质量和速率各是多少?
【解析】(1)由质能方程得:
E=m0c2=9.11×10-31×(3×108)2J=8.2×10-14J = 8.21014 eV=0.51 MeV。
【解题探究】(1)电子经电场加速后的能量怎样变化? 提示:电场力对电子做正功,其动能增加。 (2)加速后电子的质量如何变化? 提示:由相对论质能关系知,电子的能量增大,其质量增大,即加 速后电子质量大于静止时电子的质量。
【规范解答】由动能定理,加速后电子增加的动能为:
ΔEk=eU=1.6×10-19×107J=1.6×10-12J
【微思考】 (1)当物体高速运动时物体的质量怎样变化? 提示:物体的质量会增大。 (2)一定量的质量与能量相对应,那么质量变化时其能量一定变化 吗? 提示:由质能方程ΔE=Δmc2可知,质量变化时,一定对应能量的变 化。
题组冲关
【示范题】现在有一个静止的电子,被电压为107V的电场加速后, 质量增大了多少?其质量为多少?(m0=9.1×1031kg,c=3× 108m/s)
课件6：15.3-15.4狭义相对论的其他结论 广义相对论简介
它们是促成广义相对论的前提。
(2)广义相对性原理和等效原理:
①广义相对性原理:在任何参考系中,物理规律都是相同的。
②等效原理:一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系
等价。
(3)广义相对论的几个结论:
①光线经过强引力场中发生弯曲。
②引力红移:引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出
的动能是多少?质量改变了百分之几?速度是多少?此时还能
否使用经典的动能公式?(m0=9.1×10-31 kg)
解析:由动能定理:
Ek=eU=1.6×10-19×100 J=1.6×10-17 J
根据质能方程:ΔE=Δmc2 得 Δm= ,
质量的改变是原来的
=
=
.×-
广义相对论所作出的以上预言全部被实验观测所证实。
还有其他一些事实也支持广义相对论。目前,广义相对论已
经在宇宙结构、宇宙演化等方面发挥了主要作用。
特别提醒：
（1）光线在引力场中弯曲，以及引力红移现象都是在引
力场很强的情况下产生的效应。
（2）光在同一种均匀介质中沿直线传播的现象在我们日
常生活中仍然成立。
.×
-
=0.02%
×(× )
上述计算表明,加速后的电子还属于低速,可以使用经典的动能公
式。
加速后的速度为 v=
答案:1.6×10-17J
×.×-
=
.×-
m/s=5.9×106 m/s。
0.02% 5.9×106 m/s 可以使用经典动能公式
车运动,那么这个人相对地面的速度 u=1+' 。
广义相对论之4协变导数、联络与度规的关系
03 协变导数、联络与度规的深入理解有助于揭示宇 宙的奥秘，推动物理学的发展。
06 结论
对广义相对论的贡献
深化了人们对引力本质的理解
协变导数、联络与度规的关系为理解引力提供了新的视角，深化了人们对引力本质的认识 。
提供了新的引力理论框架
计算曲率
联络与度规共同决定了曲率，曲率 是描述几何空间弯曲程度的量。
04 度规
度规的定义
度规是定义在流形上的一个二 阶对称、正定的张量场，它决 定了空间时间的几何性质。
在广义相对论中，度规是描 述时空结构的基本工具，它 决定了物体运动的轨迹和光
线的传播方向。
度规张量通常表示为g_{ab}， 其中a和b表示流形上的坐标，
寻找新的应用领域
随着协变导数、联络与度规的关系的深入研究和应用，未来可能会发现其在其他领域的 应用价值。
推动物理学与其他学科的进一步融合
协变导数、联络与度规的关系作为物理学与其他学科的交叉点，未来将进一步促进物理 学与其他学科的融合发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
广义相对论之4协变导数、联络与 度规的关系
目 录
• 引言 • 引言 • 协变导数 • 联络 • 度规 • 协变导数、联络与度规的关系 • 结论
01 引言
4协变导数与联络的关系
4协变导数描述了坐标变换对向量或张量的影响，而联络则描述了切向量在时空 中的平行移动。两者之间的关系在于，通过4协变导数可以推导出联络的几何性 质。
具体来说，联络的平行移动性质可以通过4协变导数的计算得到，这为研究时空 几何提供了重要的数学工具。
4协变导数与度规的关系
广义相对论之6v3_测地线方程与联络的计算页PPT文档
在RGTC.nb里面包含有详细的指导和大量的例子
RGTC软件包的符号约定如下（与本人课件的约定一致）：
38
OperatorPLT.nb是RGTC定义函数的 输入面板
NPsymbolPLT.nb是Newman-Penrose 符号和算符的输入面板
39
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之一 定义坐标参数 定义度规
47
用diffgeo计算RW度规的联络
48
diffgeo.m是一个可以从度规出发计算联络、黎曼曲率张量等 的Mathematica程序包 下载地址： /~headrick/Mathematica/index.html
diffgeoManual.nb
diffgeo的作者是 Matthew Headrick (Ph.D. in Physics at Harvard Univ., 2019) Asso. Prof. at Brandeis Univ., 2019--
40
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之二 定义简化的规则
41
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之三 用 RGtensors[度规,坐标] 算出所有东西
42
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之四
34
将下载的zip压缩包解压之后，可将RGTC目录放到如下路径：
RGTC目录 里面有 三个nb文件 和一个m文件
35
RGTC目录也可放到 Mathematica 的 $Path 命令显示的 任何一个目录下：
例如，上一页ppt说明所放置的路径就是划线的这个路径。
测地线方程求解
第一点（不要求掌握） 怎么得到测地线方程？
第1种：局域直线 第2种：弧长稳定值
第2种途径：变分原理
示范：运用指标法则书写公式
仿射参数
• 拉氏量=常数，但对路径x(τ)依赖
– 路径参数τ – 要利用到常数这一点！——仿射参数！
• 若不是仿射参数
第二点：测地线方程 协变形式
第三点：测地线方程 逆变形式
黎曼法坐标
• • • • • 黎曼法坐标：标准正交基＋测地线 构成了P点处的一个LIF 1. 因为是标准正交基，在P点处 2. 由测地线方程，在P点处 对所有单位矢量n成立，由克氏符号与度规 关系 • 例8.8
自由下落系FFF
• 更进一步，在足够短时间内，一个足够小 的自由下落实验室内，惯性运动 • 最接近牛顿和狭义相对论力学的惯性系 • 例如太空站、无拖曳卫星、矿井 • 沿一条测地线上所有点的克氏符号＝0 • =沿一条测地线上所有点的一个LIF • 但是仅在定义FFF的测地线上克氏符号为零
第六点：测地线方程求解 降阶
求解测地线方程－对称性和守恒律
• 任意度规下都有一个天然的初积分－－四 速度归一化，即线元
– 自由度 – 习题8.6
• 类似牛顿力学，守恒律给出运动方程的初 积分（运动常数），降阶到一阶常微分
第7点：测地线方程求解 循环坐标
第8点：对称性=变换不变性
第9点：对称性=》守恒律 守恒量、运动常数
利用测地线构造LIF的坐标系
• 1.在时空中任意一点P！ • 2.选取一组标准正交基，例如某个观者在P处的 实验室的标准正交基，这样就保证了LIF条件一 • 3.取从P点出发的某个方向上一个单位矢量n，在 n的方向发出一条测地线，类空x=sn,类时x=tn,类 零x=lambda*n • 4.在P点处的所有方向上重复3 • 5.这个坐标系唯一地标记了距离P点足够近(测地 线没有交叉，否则同一点有不同坐标值)的这些时 空点
广义相对论讲义_章德海
一根杆处于地球纬度为 θ 的位置，其方位角为 φ ，当赶东西向时取 φ = 0 。杆两端挂重物 A 与 B，杆中间悬
挂于垂线下。地球重力加速度
g = 980cm / s 2 向 下 指 向 球 心 ， 地 球 旋 转 离 心 加 速 度 垂 直 于 自 转 轴
g I = Rω 2 cos θ ≈ 3cm / s 2 << g ， 分 解 成 地 表 水 平 方 向 g 's = g I sin θ 向 南 ， 和 地 表 垂 直 方 向 g 'z = g I cos θ ，向上。让其水平方向平衡，有
[4] Will：“The Confrontation between General Relativity and Experiment”， /gr-qc/0103036。
“物理学并不是一个已经完成的逻辑体系。相反，它每时每刻都存在着一些观念上的巨大混乱，有些观念像 民间史诗那样，从往昔英雄时代流传下来；而另一些则是像空想小说那样，从我们对于会有的伟大综合理论 的向往中产生出来。”S. 温伯格。 1. 牛顿引力
A
interaction A , and η A is a dimensionless parameter that measures the strength of the violation of WEP induced by that interaction, and c is the speed of light. A measurement or limit on the fractional difference in acceleration between two bodies then yields a quantity called the “ Eotvos ratio” given by
16-17版：15.3-15.4狭义相对论的其他结论 广义相对论简介
A.若物体能量增大，则它的质量增大
B.若物体能量增大，则它的质量减小
C.若核反应过程质量减小，则需吸收能量
D.若核反应过程质量增大，则会放出能量 解析 由E＝mc2可知，若E增大，则m增大；若E减小，则m减小，A正
确，B错误；
若m减小，则E减小，若m增大，则E增大，C、D均错误.
解析答案
返回
四、对广义相对论的理解 知识梳理
解析答案
1234
2.(相对论质量)(多选)关于物体的质量，下列说法正确的是( ) A.在牛顿力学中，物体的质量是保持不变的 B.在牛顿力学中，物体的质量随物体的速度变化而变化 C.在相对论力学中，物体静止时的质量最小 D.在相对论力学中，物体的质量随物体速度的增大而增大
解析答案
1234
3.(质能方程)一电子(m0＝9.1×10－31 kg)以0.99c的速率运动.问： (1)电子的总能量是多大？
答案
【深度思考】
你能用相对论速度变换公式u＝1u＋′u＋′c2vv 来说明光速不变原理吗？ 答案 当u′＝v＝c时，u＝c，证明了光速是速度的极限，也反证了光 速不变原理.
答案
典例精析
例1 一粒子以0.05c的速率相对实验室参考系运动.此粒子衰变时发射 一个电子，电子相对于粒子的速度为0.8c，电子的衰变方向与粒子运动 方向相同.求电子相对于实验室参考系的速度. 解析 已知v＝0.05c，u′＝0.8c. 由相对论速度叠加公式得
D.广义相对论可以解释引力红移现象 解析 从广义相对论的两个基本假设可以得出：物质的引力使光线弯
曲；引力场的存在使得空间不同位置的时间进程出现差别，如在矮星
表面的引力很强，那里的时间进程变慢，从而导致引力红移，所以正
第三章广义相对论
第三章 广义相对论简介我们已经看到, 无论牛顿力学还是狭义相对论都以惯性原理为基石. 而这块基石并不很牢靠, 因为人们不知道除了测量质点的加速度之外如何判断质点是否受到引力的作用. 从理论上讲, 惯性系不是一个自然的概念. 爱因斯坦通过把惯性（加速度）和引力统一起来, 取消了惯性系的特殊地位, 使惯性系问题和引力问题一举得以解决. 但在宇宙学层面, 关于是否存在优越参考系仍然有争论1.在爱因斯坦广义相对论中, 引力场体现为空间的几何性质. 参考系的变换伴随着引力场（即空间几何性质）的变换, 在这种广义的参考系变换下, 物理规律在所有参考系中都一样. 时间和空间的几何性质由物质的存在及其运动决定；而物质的运动方式则由时间和空间的几何性质（即引力）所决定. 尽管广义相对论并非无懈可击, 但一个世纪以来爱因斯坦这个美妙思想一直指引着人们探索相互作用和运动的和谐理论, 使人们对时空的理解达到前所没有的高度.爱因斯坦广义相对论提供了研究宇宙学的理论框架. 但随着理论和实验研究的深入, 很多有趣的疑难问题相继出现. 例如视界疑难、平直性疑难、暗能量和宇宙常数疑难等等. 由于近年实验的进步, 人们已经看到宇宙学成为精确实验科学的可能性. 例如1998年发现的宇宙加速膨胀和2003年WMAP 首次公布的微波背景辐射涨落. 本章将粗略地给出广义相对论主要思想和理论结构, 并简单地提及引力波、引力红移和宇宙演化方程.3.1 等效原理第一章1.7节曾经提到, 牛顿万有引力可以用引力场来描述. 位于x 的质点感受到的引力决定于x 处的引力场)(x ϕ,)(x xf ϕ∂∂−=g grav m （3.1） 参数g m 称为引力质量, 描写质点对引力场响应的强弱. 当质点只受到引力作用而加速运动时, 称质点作自由落体运动. 例如断了线的升降机, 围绕地球转动的月亮等. 根据牛顿第二定律, 自由落体的加速度为)(1x f x ϕ∇−==Ig grav I m m m && （3.2） 参数I m 描写质点被加速的难易程度, 称为惯性质量. 实验指出, 在同样的引力场中, 引力使物体产生的加速度与物体的质量无关. 这意味着对任意两个物体A 和B 有普适的比例常数B I B g A I A g m m m m = （3.3）不妨令它等于1, 即 m m m I g == （3.4） 1郭汉英, 广义相对论和引力理论的变革——相对论百年札记之二, 《科学》第5期, 2005在牛顿力学中, 引力质量和惯性质量是两个性质完全不同的参数. 他们严格相等在牛顿力学中没有解释.设想一些彼此相距遥远而且和其他物体相距遥远的质点, 因而这些质点不受任何力的作用, 他们相对惯性系Σ没有加速度. 考虑一个相对Σ作匀加速运动的参考系Σ′. 相对于Σ′, 上述所有质点具有相等而且平行的加速度. 静止在Σ′的观测者看来, 好像参考系Σ′没有加速运动, 而质点受到一个均匀引力场作用一样（因为惯性质量等于引力质量, 所有在均匀引力场中自由落体质点的加速度一样）. 且不管产生这种引力的原因, 从效果上没有任何理由阻止我们认为Σ′是一个惯性系但存在真实的引力场. 爱因斯坦认为参考系Σ和Σ′在物理上完全等价.这种等效性使惯性系和非惯性系完全平等起来, 是观念上的极大进步. 现在再不用把物理定律限制在一种称为惯性系的特殊参考系中. 质点在不同参考系的不同行为被归结为引力场在不同参考系中的不同表现. 我们仍然认为引力场是一种客观实在, 但它在不同的参考系中表现出不同的强度. 类似于客观实在的尺子在不同惯性系可以表现出不同的长度. 我们稍后再讨论引力场和空间几何的关系, 以及引力场如何产生.显然不是任意引力场都可以被加速参考系抵消. 例如没有一个加速参考系能看到完全为零的地球引力. 引力和加速度的等效性是局域的. 爱因斯坦假设, 在质点所在的无穷小空间邻域中, 引力场被质点的自由落体运动完全抵消掉, 固定在该质点上的参考系对该质点附近的无穷小邻域而言是一惯性系, 其中引力强度等于零, 而且狭义相对论成立.等效原理：（1）均匀引力场等效于一个加速参考系中的惯性力场；（2）固定在自由落体上的参考系是一个局域惯性系, 其中狭义相对论成立.等效原理的实质是：在宇宙中任何时刻、任何地点都可以建立局域洛伦兹参考系, 在这类局域洛伦兹参考系中, 除了引力之外的一切物理规律形式上和狭义相对论中的规律一样. 这是广义相对论中最重要的原理.更强的假说是相对论局域化原理：在宇宙中, 时时处处存在局域闵可夫斯基时空, 其中除引力之外的物理规律, 都具有局域庞加莱不变性；亦即狭义相对论在时空局域地成立.3.2 弯曲空间◆爱因斯坦转盘在惯性系中制备的一些相同的尺子, 作为标准长度单位, 称每把尺的长度为0l 米. 分别沿半径和圆周摆放尺子.设圆盘相对地面静止时需要用n 把尺子摆满半径, m 把尺子摆满圆周. 按照欧几里德几何, 周长和半径之比为π200==nm nl ml （3.5）图3-1. 爱因斯坦转盘.当圆盘以角速度ω转动时, 圆周处的线速度为r ωυ=. 因为转盘是一非惯性参考系, 我们暂时还不知道非惯性参考系的时空几何学和其他所有自然定律, 只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律. 根据狭义相对论（参见第二章例2-2）, 圆周上随圆盘转动的尺子相对地面惯性系的长度为020)/(1)(l c r l r l <−=ω （3.6） 而沿半径摆放的转动尺子相对地面惯性系的长度不变2, 仍为0l , 即圆盘半径不变. 根据地面惯性系的欧几里德几何, 圆盘转动时的边缘和不转动时的边缘应该是重合的. 摆满半径所需的转动尺子数目仍为n , 但是因为沿圆周边缘摆放的转动尺子变短了, 在转动圆盘上需要多一些尺子才能摆满圆周, 即需要尺子的数目变成m ′(m m >′).对于转动圆盘上的人, 有两种观点可选择：1）仍然采用地面惯性系的长度标准, 以不转动的尺子为长度标准单位；认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度)(0r l l =′, 而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样, 即 00ml l m =′′；2）不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动, 坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度（把它作为转盘参考系中的长度标准单位）；因而圆盘转动时圆周的长度0l m ′和静止时的0ml 不一样. 对于转盘参考系, 按第一种观点, 本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度(因而不能作为长度单位), 转盘上的人做长度测量时需要用固定在另一个特定参考系的尺子作为长度单位. 而按第二种观点, 物理本质相同的尺子作为长度的标准单位, 与它所处的位置及运动状态无关, 长度的测量仅与单个参考系有关. 因为第二种观点避免了长度测量依赖于有优越性的特殊参考系, 所以显得自然一些.如果转盘上的人采用第二种观点, 即认为标准尺的长度是不变的, 就会得出周长和半径的比π200>′=′nm nl l m （3.7） 依这种观点, 转盘参考系的几何不是欧几里德几何. 在思考上述问题时, 要避免问这样的问题: “转动和不转动的圆盘, 他们的圆周长度到底相不相等?” 这是牛顿绝对空间概念导致的误区. 按照相对论, 长度没有绝对意义. 同样物理状态下物体的长度在两个参考系中可以是不同的. 而具有绝对意义的是摆放尺子的数目. 所以地面和转盘上的人记录的固定在转盘上沿圆周摆放的尺子数目都是m ′. 至于他们认为圆周的长度有多长, 则与他们选择的长度标准单位有关.再考虑两个相同的时钟, 一个放在圆心, 一个放在圆周. 按照狭义相对论（参见第二章例2-1）, 当圆盘转动时, 地面惯性系的观察者将看到圆周的时钟走得慢一些. 离圆心越远, 时钟越慢. 和前面关于尺子和长度测量的讨论相似, 转盘上的观察者可以自然地坚持时钟的一个运动周期为标准时间单位, 不管时钟放在那里都代表同样的时间间隔. 这样转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的时间流逝得变慢了.■2假定尺子的长度只依赖于尺子方向的速度, 而与尺子的加速度和垂直尺子方向的速度无关.在转盘上引入非欧几何不是必须的, 因为转盘相对一个惯性系转动, 一切时间和尺度都可以用惯性系中的时钟和尺子来测量, 时空几何以惯性系的欧几里德几何为准, 即同上两章那样赋予惯性系特殊优越的地位. 假如物理上存在欧几里德几何成立的称为惯性系特殊参考系, 原则上也不妨坚持以惯性系中静止的时钟和尺子为时间和长度的标准, 以此量度任何参考系的时间和长度. 但是等效原理告诉我们, 圆盘的加速运动等效于引力场. 由于实际上存在不能通过参考系变换使之处处为零的引力场, 因此物理上不存在真正的欧几里德几何成立的惯性系, 因此非欧几里德几何是必须的.为了容易想象弯曲空间, 我们假设空间是二维的. 图3-2是弯曲空间的一个例子. 把曲面镶嵌在高维欧几里德空间, 用高维空间（三维空间）的笛卡儿坐标描写曲面是可以的. 但高斯提出一种更漂亮的描写方法, 即在曲面上直接建立曲线坐标. 高斯的方法只使用曲面的内禀性质描写曲面的几何, 不需要人为地增加内容, 类似于广义相对论只在一个参考系描写时空结构（和物理规律）, 优越性是明显的.我们所讨论的曲面假定是连续可微的, 每一点附近的小邻域可以用一平面（图3-2b 中的M ）近似. 在数学上这种曲面称为二维微分流形. 图3-2a 的苹果如果没有破皮, 而且把蒂去掉, 其表面就很接近一个2维微分流形.B普遍地, 可以把流形想象为一个局部光滑的空间, 空间任一点的邻近区域均近似为欧几里德空间. 这意味着可以在流形的任一小区域中建立局域的笛卡儿坐标()d X X X ,,,21L , d 为流形的维数. 对小区域中的两点可以根据欧几里德几何引入距离的概念, 无穷小距离平方定义为()()∑==++=d d dX dXdX dX ds 12222212)()(ααL （3.8）对笛卡儿坐标作任意连续可微变换 ),,,(21d x x x X X L αα= （3.9）代入（3.8）得d 维流形的间隔平方可写成∑=ddx dx x g ds νµνµµν,2)( （3.10） 其中函数µνg 由流形的几何性质和所选坐标架所决定, 称为度规矩阵, 或简称度规,∑=∂∂∂∂=dx X x X x g 1)(αναµαµν （3.11） 图3-2.（a ）弯曲的二维曲面. AB 是曲面上的一条路径. （b ）曲面上的切平面M 和路径AB 的的切线.有了µνg 之后, 流形便有确定的形状和距离的概念, 即µνg 确定流形的度量性质. 具有度规的流形称为黎曼流形.◆例3-1 求球面流形的度规.【解】采用球坐标),(ϕθ, 设球的半径为a . 易见222222)(sin)(ϕθθd a d a ds += （例3.1）所以 211a g =, 02112==g g , θ2222sin a g = （例3.2）■物理四维时空流形有类似黎曼流形的性质. 观察者在引力场中作自由落体运动, 他附近的小邻域里好象不存在引力场一样. 因此总能将时空流形的一个小邻域近似为欧几里德区域, 在那里建立惯性参考系（自由落体参考系）, 其中狭义相对论成立. 根据狭义相对论, 两个无限接近事件的间隔, 即（3.10）式定义的2ds , 是一个不变量, 与局域惯性系的选择无关. 实际上, 按照度规的定义, 2ds 在任意连续可微坐标变换下都是不变的（习题【31】）. 因为任意物理的参考系变换都可以用连续可微坐标变换给出, 所以2ds 在任意局域参考系变换中不变. 这些变换可以是非线性的、非均匀的. 局域欧几里德并不意味有限范围空间的几何也是欧几里德的, 不同的几何结构由不同的度规张量场)(x g µν表现出来（所谓张量场就是时空点的一个张量函数）. 度规场反映了参考系的不同选择, 也反映了时空的几何结构. 最简单的度规矩阵为单位矩阵,µνµνδ=g （3.12）当度规矩阵为单位矩阵时, 参考系为局域惯性系, 在其适用的局域范围内引力强度为零. 经非线性坐标变换后, 单位度规矩阵变成非单位矩阵, 它对单位矩阵的偏离代表非零的引力强度. 但是某点引力强度等于零并不一定等价于该点没有引力场. 因为即使在该点µνµνδ=g , )(x g µν在该点的导数可能不等于零, 这就有别于无引力场的情形. 事实上空间的曲率（张图3-3. 球面流形. 对给定的半径, 球面上每点可以用坐标),(ϕθ表示.量）如果有非零元素, 就有引力场存在. 因此, 整个空间函数)(x g µν与引力场相联系, 而给定点某个点0x 的)(0x g µν与引力强度联系, 后者依赖于参考系.空间的整体拓扑性质是很有趣的. 例如, 存在非平庸拓扑的曲面, 它不可能通过连续可微坐标变换把整个曲面变成平坦的. 球面就是一个非平庸拓扑的曲面. 相反, 圆柱面是可以通过坐标变换变成平坦的. 根据引力和几何的关系, 如果空间是二维的球面, 则空间必须存在引力场, 不能让处处的引力强度都等于零；如果空间拓扑和圆柱面一样, 则整个空间原则上（数学上）可以没有引力场.3.3 弯曲空间的矢量分析（1）张量的定义考虑一般的连续可微坐标变换)(νµµx x x ′=′ （3.13）无限小位移µdx 在一般坐标变换下如下式变换： ννµµdx x x x d ∂′∂=′ （3.14） 重复指标均隐含求和, 以后不再特别声明.按定义, 反变矢量A 由四个分量组成, 它的分量在坐标变换下如（3.14）式一样变换ννµµA x x A ∂′∂=′ （3.15） （3.14）式本身说明µdx 是一个反变矢量. 曲线的切线（例如图3-2b 曲线AB 的切线）, 选择适当参数就是四维速度矢量 τµµd dx u = （3.16） 易见它是一个反变矢量（τd 在坐标变换下不变）.由四个分量组成的对象B , 其分量µB 在坐标变换下如下式变换：νµνµB x x B ′∂∂=′ （3.17） 则称它为协变矢量. 注意我们总是用上标表示反变矢量, 下标表示协变矢量. 本章不再用黑体强调矢量和张量. 变量的几何性质由指标安排或具体说明给出.反变矢量和协变矢量可以合起来构成一个标量µµφB A = （3.18） 易证, φ在坐标变换下不变.所有张量都通过它的分量的变换方式来定义. 例如µν⋅A 的变换方式为 αβνβαµµν⋅⋅′∂∂∂′∂=′A x x x x A （3.19） 可证, νµdx dx 是一个二阶反变张量.如果µνA 和αβγB 是两个张量, 而且µναβνγµαβγA RB = （3.20） 则αβνγµR 是一个张量. 这是一个普遍数学定理的特例.【定理】如果两个张量成正比, 每一个张量的反变（协变）指标对应比例因子的一个协变（反变）指标, 则比例因子是一个张量的分量.由于2ds 和νµdx dx 是张量, 根据这个定理从（3.10）式容易看出µνg 是张量.（2）基本张量——度规张量下面直接证明度规矩阵µνg 是对称的协变张量.◆【证明】ληλνηµµννµµνx d x d x x x x g dx dx g ds ′′′∂∂′∂∂==2 （3.21） 在新坐标中,ληηλx d x d g s d ′′′=′2 （3.22）因为2ds 是不变间隔, 所以22s d ds ′=. 比较（3.21）和（3.22）式得µνλνηµηλg x x x x g ′∂∂′∂∂=′ （3.23） 故µνg 是一个协变张量, 称为协变度规张量.（3.23）式可以写成νµνµµνµνdx dx g dx dx g ds ==2 （3.24）最右边的式子由中间的式子同时改变求和指标的名称而得到. 因此 νµνµµνdx dx g g )(0−=上式对任意小量µdx 成立, 故νµµνg g =, 即度规张量是对称的.■度规矩阵µνg 的逆矩阵αβg 由下式定义,⎩⎨⎧≠===µβµβδβµλβµλ,0,1gg (3.25) 因为αβg 的两个指标都按（3.15）式变换, 故称αβg 为反变度规张量. 易见它也是对称的.有了协变和反变度规张量, 我们可以把反变矢量（指标）和协变矢量（指标）一一对应起来,νµνµA g A =, νµνµB gB = （3.26） ναµανµT g T =, αβνβµαµνT g g T = （3.27）因此, 一个矢量既可以用反变矢量表示也可以用协变矢量表示, 分别称为矢量的两个表象：反变表象和协变表象. 例如, 我们把（3.26）式中的µA 和µA 看作同一个矢量的两种表示.（3）不变体积微元度规矩阵的行列式记为||µνg g =. 可证,g J g 2−=′ （3.28） 其中J 是从坐标x 变到坐标x ′的雅戈比行列式,νµx x J ∂′∂= （3.29） 右边指标µ是矩阵元的行指标, ν为列指标.雅戈比行列式也出现在体积微元d d dx dx dx x d L 21≡的变换中,x Jd x d d d =′ （3.30） 因此, x d g d 在坐标变换下不变, 称为不变体积微元.x d g x d g d d =′′ (3.31) （4）矢量平行移动与仿射联络如何比较空间不同点的两个矢量呢？这件事在平直的欧几里德空间是容易办到的：把其中一个矢量平行移动到另一个矢量的位置, 再按平行四边形法则求他们的差. 因为一个笛卡儿坐标架可以描写整个平直空间, 故所谓矢量的平行移动, 可以理解为矢量各个分量保持不变的移动.但在弯曲空间, 不同点的矢量之间不存在内禀的平行概念. 为了确定不同点的矢量平行与否, 必须规定一种平行移动的法则. 图3-4直观地说明一种可能的平行移动法则——仿射联络. 图3-4（a ）中, 一个与球面切于北极（a ）点的矢量沿大弧abc 移动, 在移动过程中矢量保持它的长度和与弧线abc 相切的特征. 可以合理地认为矢量在这个过程中作平行移动. 再看图3-4（b ）, 北极上同样的矢量, 沿另一条大弧adc 移动, 在移动过程中保持与球面相切并和弧线adc 的切线正交的特征. 可以同样合理地认为这个过程是对矢量的平行移动. 但是我们看到两个过程在南极c 点产生的矢量是不同的. 可见没有办法在整个球面一致地定义矢量的平行. 但是沿一条给定曲线平行移动矢量是可以无歧义地定义的. 粗略地说, 仿射联络是一种平行移动的法则, 矢量按此法则沿一条曲线移动时被认为不改变.c在无限小的区域, 弯曲空间近似平直, 因此和欧几里德空间的情形相似, 矢量的无限小平行移动由初始矢量)(x A 和位移矢量dx 所确定. 示意于图3-5.) 1ˆe考虑x 处一反变矢量)(x A µ, 利用x 处坐标架的单位方向矢量)(ˆx eµ可把矢量可写成 )()(ˆ)(x A x e x A µµ= （3.32）矢量)(x A 被平行移动到dx x +处, 成为该处的一个反变矢量B . ))()()((ˆx A x A dx x e B µµµδ++= （3.33）把平行移动引起的矢量分量的变化)(x A µδ写成νλµλνµδdx x A x x A )()()(Γ−= （3.34） 则))()()()((ˆνλµλνµµdx x A x x A dx x e B Γ−+= （3.35） 图3-4. 球面上矢量的平行移动. （a ）矢量沿abc移动. （b ）矢量沿adc 移动.图3-5. 矢量场的协变微分. 1ˆe和2ˆe 是局域坐标架. )(x A 和)(dx x A +分别是矢量场在x 和dx x +两点的矢量. B 由x 点的矢量)(x A 平移到dx x +点而成的矢量. 协变微分DA 定义为)(dx x A +和B 的差.其中带有三个指标的函数)(x αµνΓ称为仿射联络（克里斯托菲（Christoffel ）符号）. 矢量B 必须象矢量一样变换, 这要求)(x αµνΓ具有下面的变换性质, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∂′∂∂+Γ′∂∂′∂∂∂′∂=Γ′νµββηλνλµηβααµνx x x x x x x x x 2 （3.36） 可见, αµνΓ不是一个张量. 至此, αµνΓ除了（3.36）式的限制外, 没有其他限制. 易见, 如果原来的αµνΓ对两个下标是对称的, 经过任意变换后这种对称性仍然保持. 对平直的欧几里德空间, αµνΓ等于零, 所以对其下标一定是对称的. 我们假定物理时空每一局域都可以用欧几里德空间近似, 是所谓黎曼流形, 故只需考虑ανµαµνΓ=Γ的情形（数学上称为无挠性）. 物理时空是有距离概念的, 可以如（3.11）式那样引入度规张量场. 能够保证矢量的标积在平移时保持不变的αµνΓ唯一地被度规张量所确定3,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂=Γσµνµνσνµσασαµνx g x g x g g 21 （3.37） 上式的导出可以参见第四章(附4.23)式.（5）协变微分考虑反变矢量场)(x A µ. 普通导数νµx A ∂∂不是一个张量, 因为在坐标变换下, σλµνλσλσσµνλσσµλνλµλνλνµx x x x x A x A x x x x A x x x x x A x x x x A ∂∂′∂′∂∂+∂∂∂′∂′∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂′∂∂∂′∂∂=′∂∂′∂∂=′∂′∂2 （3.38） 第一项如张量一样变换, 但第二项不是.我们要在同一地点求矢量的差才能得到矢量. 为了反映矢量场局域空间变化, 用dx x +处的矢量)(dx x A +减B （由)(x A 从x 平移到dx x +所得的矢量, 见（3.35））,[]νλµλνµµνλµλννµµνλµλνµµµdx x A x x x A x e dx x A x x x A dx x e dx x A x x A dx x A dx x e Bdx x A DA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+∂∂+=Γ+−++=−+≡)()()()(ˆ)()()()(ˆ)()()()()(ˆ)( （3.39） 3 参见《相对论引论》, P.G .柏格曼著, 周奇、郝苹译, 人民教育出版社1961这是一个反变矢量, 称为反变矢量场)(x A 的协变微分. 在最后的等式中我们忽略了二阶以上的无限小量.（3.39）式最后一行的中括号定义为反变矢量的协变导数,λµλνµµνA x A A Γ+∂∂=⋅; （3.40） 右边两项分别都不是张量, 但合起来却是一个张量. 以后“分号”一般都表示协变导数. 如果空间是平坦的, 可以选取不随时空点变化的度规张量, 使得仿射联络等于零（见（3.37））, 此时协变导数和普通导数一样. 因为广义相对论中允许在不同时空点采用不同的参考系, 不同的坐标架, 而且在引力场下全空间原则上不存在一致的笛卡儿坐标, 所以需要（3.40）式右边的第二项才能保证（3.40）式具有张量的变换性质.协变微分可以表示为νµνµdx A e DA ;ˆ⋅= （3.41）如果0=DA , 则)(dx x A +是)(x A 平移得到的矢量.类似可以得到协变矢量的协变导数λλµννµνµA xA A Γ−∂∂=; （3.42） 注意（3.40）和（3.42）式第二项符号的差别.协变导数和普通导数一样有莱布尼兹求导公式νλµνµλλνµ;;;)(B A B A B A += （3.43）类似推理可以得到张量的协变导数,γνµγλµγγνλλµνµλνT T xT T Γ+Γ−∂∂=; （3.44） 对张量求协变导数的规律是：第一项是普通导数；然后张量的每一个指标都对应有一项, 由Γ和张量相乘得到, 下标为负, 上标为正. 注意上下指标的配合就可以写出正确的协变导数. 标量也服从这个规则, 因为标量没有指标, 故只有普通导数项.µϕϕx ∂∂=; （3.45） 一个重要的结果是, 度规张量的协变导数等于零（习题【3.2】）,0;=λµνg （3.46）（6）曲率张量如何知道空间在某一点附近是弯曲的呢？在平直空间, 把矢量沿一闭合回路平行移动一周, 矢量方向和大小都不变. 例如图3-6a 中的矢量沿路径ABCA 平行移动一周. 在弯曲空间, 如图3-6b, 矢量沿回路（图中的ABCA ）平行移动一周后, 和原来出发时的矢量不一样. 这是空间弯与不弯的根本差别.4321P P P 平行移动一周. 如图3-7. （3.47） 推广到任意回路 （3.48） 根据（3.20),(22113dx x dx x P ++即沿无限小回路平移一周后, 矢量的改变正比于原矢量以及回路所围的面积, 其比例系数µναβR 称为四阶黎曼曲率张量, 由仿射联络及其导数给出,γλαµγβγλβµγαβµλααµλβµλαβΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂−∂Γ∂=xx R （3.49） 它关于下标α和β是反对称的, µλβαµλαβR R −=．空间平坦的充分必要条件是四阶黎曼曲率张量等于零.四阶黎曼曲率张量满足一个重要的数学恒等式, 称为毕安基（Bianchi ）恒等式,0;;;=++µβλγαµαλβγµγλαβR R R （3.50） 图3-7. 矢量沿回路4321P P P P 平行移动一周.对αµβνR 的指标α和β缩并, 得到一个二阶里兹（Ricci ）张量βµβνµνR R ≡ （3.51） 总曲率（标量）等于里兹张量的缩并（先用度规张量把里兹张量的一个指标提起来）µνµνR g R = （3.52） ◆例3-2 在半径为a 的球面上, 采用球坐标θ和ϕ. 度规张量已在例3.1中给出. 求仿射联络和曲率标量.【解】仿射联络的非零分量有：θθθϕϕcos sin −=Γ, θθϕϕθϕθϕsin cos =Γ=Γ （例3.3）四阶黎曼曲率张量的非零分量有：1=−=ϕθθϕϕθϕθR R , θθϕϕθθϕθϕ2sin=−=R R （例3.4） 二阶里兹张量的非零分量有：1=θθR , θϕϕ2sin=R （例3.5）曲率标量为22aR g R g R =+=ϕϕϕϕθθθθ （例3.6） ■3.4 短程线以上3.2和3.3节基本上是数学内容. 现在回到物理问题：在引力作用下质点的运动. 根据爱因斯坦的设想, 当空间的几何知道后, 自由质点（除了引力之外, 不受其它力作用的质点）的运动便由空间的几何完全确定了, 它的轨迹必然是由空间几何内禀性质确定的一条线. 下面先介绍通过空间内禀性质定义的一种特别曲线——短程线.图3-8. 根据初始位置和初始速度画出的短程线. 从A 点坐标和速度矢量推知无穷接近的B 点坐标和速度矢量, 由B 点坐标和速度矢量再推知无穷接近的C 点坐标和速度矢量, 等等, 就可以确定短程线上所有的点.给定一个初始位置µx 和一个初始速度τµµd dx u /=,可以按以下规则在弯曲空间中画出一条唯一的曲线. 如图3-8, （1）从A 点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置B ；（2）沿速度方向将A 点的速度矢量平行移动到B 点, 得到B 点的速度矢量；（3）从B 点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置C ；如此类推便可得到图3-8的整条曲线. 这样通过空间几何（由仿射联络给定）自然定义的曲线称为短程线.A ：µµ0)(x A x =, µµ0)(u A u =B ：τµµµd u x B x 00)(+=, βαµαβµµdx u u B u 00)(Γ−=C ：τµµµd B u B x C x )()()(+=, βαµαβµµdx B u B u C u )()()(Γ−=若质点沿短程线运动, 则四维速度矢量作平行移动. 可以认为短程线上各点的速度是同一个矢量U （同一个矢量U 放在时空不同的位置可以有不同的分量, 因为坐标架变了）. 这种运动相当于平坦空间的惯性运动. 作为伽利略惯性定律的自然推广, 爱因斯坦设想, 自由落体沿短程线运动. 严格地说, 只有对引力场影响足够弱的自由落体才沿短程线运动. 实际上这是爱因斯坦场方程的一个推论（见3.5节与（3.67-68）式相关的讨论）.按照上面给出的短程线的图象, 自由落体质点位移无限小距离νdx 之后, 速度分量的改变µdu 等于速度矢量平行移动同样距离νdx 的分量变化µδu . 在（3.34）式中取A 为四维速度U , 即取µµu A =, 便得到νλµλνµµδdx u u du Γ−== （3.53）换而言之, 四维速度的协变导数等于零, 即0;=µνu . 设质点平移νdx 所需原时（固有时）为τd , 上式可写为0=Γ+ττνµαµναd dx u d du （3.54） 或022=Γ+τττνµαµναd dx d dx d x d (3.55) 此即短程线方程, 是仅受引力作用的质点的运动方程. 对给定的引力场（αµνΓ）, 知道质点的初始位置和初速度即可从(3.55)式解出质点的轨迹. 如果知道质点的初始时刻的位置A 和末尾时刻的位置B, 也可以从 (3.55)式解出质点的轨迹（图3-9）. 短程线方程也可以通过要求自由落体从一点A 移动到另一点B 的路径所用原时（∫BA d τ）取极值（极小或极大）而得到4.4数学上, 使原时取极值的路径可以通过变分方法得到, 参见第二篇第四章附录4.3.。
广义相对论的数学公式有哪些
⼴义相对论的数学公式有哪些⼴义相对论的数学公式有哪些⼴义相对论的数学公式有哪些物理我素新⼈1292014-11-25优质解答狭义相对论最著名的推论是质能公式,它可以⽤来计算核反应过程中所释放的能量,并导致了原⼦弹的诞⽣.⽽⼴义相对论所预⾔的引⼒透镜和⿊洞,也相继被天⽂观测所证实.狭义相对论的四维时空观狭义相对论是建⽴在四维时空观上的⼀个理论,因此要弄清相对论的内容,要先对相对论的时空观有个⼤体了解.在数学上有各种多维空间,但⽬前为⽌,我们认识的物理世界只是四维,即三维空间加⼀维时间.现代微观物理学提到的⾼维空间是另⼀层意思,只有数学意义,在此不做讨论.四维时空是构成真实世界的最低维度,我们的世界恰好是四维,⾄于⾼维真实空间,⾄少现在我们还⽆法感知.我在⼀个帖⼦上说过⼀个例⼦,⼀把尺⼦在三维空间⾥（不含时间）转动,其长度不变,但旋转它时,它的各坐标值均发⽣了变化,且坐标之间是有联系的.四维时空的意义就是时间是第四维坐标,它与空间坐标是有联系的,也就是说时空是统⼀的,不可分割的整体,它们是⼀种“此消彼长”的关系.四维时空不仅限于此,由质能关系知,质量和能量实际是⼀回事,质量（或能量）并不是独⽴的,⽽是与运动状态相关的,⽐如速度越⼤,质量越⼤.在四维时空⾥,质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量,动量是描述物质运动的量,因此质量与运动状态有关就是理所当然的了.在四维时空⾥,动量和能量实现了统⼀,称为能量动量四⽮.另外在四维时空⾥还定义了四维速度,四维加速度,四维⼒,电磁场⽅程组的四维形式等.值得⼀提的是,电磁场⽅程组的四维形式更加完美,完全统⼀了电和磁,电场和磁场⽤⼀个统⼀的电磁场张量来描述.四维时空的物理定律⽐三维定律要完美的多,这说明我们的世界的确是四维的.可以说⾄少它⽐⽜顿⼒学要完美的多.⾄少由它的完美性,我们不能对它妄加怀疑.相对论中,时间与空间构成了⼀个不可分割的整体——四维时空,能量与动量也构成了⼀个不可分割的整体——四维动量.这说明⾃然界⼀些看似毫不相⼲的量之间可能存在深刻的联系.在今后论及⼴义相对论时我们还会看到,时空与能量动量四⽮之间也存在着深刻的联系.单位符号单位符号坐标：m(x,y,z)⼒：NF(f)时间：st(T)质量:kgm(M)位移：mr动量:kg*m/sp(P)速度：m/sv(u)能量:JE加速度：m/s^2a冲量：N*sI长度：ml(L)动能：JEk路程：ms(S)势能：JEp⾓速度：rad/sω⼒矩：N*mM⾓加速度:rad/s^2α功率：WP⼀：⽜顿⼒学（预备知识）(⼀)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式,右式为积分形式)当v不变时,(1)表⽰匀速直线运动.当a不变时,(2)表⽰匀变速直线运动.只要知道质点的运动⽅程r=r(t),它的⼀切运动规律就可知了.(⼆)：质点动⼒学：(1)⽜⼀：不受⼒的物体做匀速直线运动.(2)⽜⼆：物体加速度与合外⼒成正⽐与质量成反⽐.F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)⽜三：作⽤⼒与反作与⼒等⼤反向作⽤在同⼀直线上.(4)万有引⼒：两质点间作⽤⼒与质量乘积成正⽐,与距离平⽅成反⽐.F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外⼒的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外⼒为零时,系统动量保持不变.动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外⼒的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重⼒做功时,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(注：⽜顿⼒学的核⼼是⽜⼆：F=ma,它是运动学与动⼒学的桥梁,我们的⽬的是知道物体的运动规律,即求解运动⽅程r=r(t),若知受⼒情况,根据⽜⼆可得a,再根据运动学基本公式求之.同样,若知运动⽅程r=r(t),可根据运动学基本公式求a,再由⽜⼆可知物体的受⼒情况.)⼆：狭义相对论⼒学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度.)(⼀)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的.(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系⽆关的常数.(此处先给出公式再给出证明)(⼆)洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c^2)(三)速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)(光源与探测器在⼀条直线上运动.)(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.(⼋)相对论⼒学基本⽅程：F=dP/dt(九)质能⽅程：E=Mc^2(⼗)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2(注：在此⽤两种⽅法证明,⼀种在三维空间内进⾏,⼀种在四维时空中证明,实际上他们是等价的.)三：三维证明：(⼀)由实验总结出的公理,⽆法证明.(⼆)洛仑兹变换：设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静⽌,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向.在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0.可令x=k(X+uT),(1).⼜因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(⼴义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数.)同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度⽆关,可得Y=y, (3).Z=z(4).将(2)代⼊(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满⾜相对性原理,要确定k需⽤光速不变原理.当两系的原点重合时,由重合点发出⼀光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.代⼊(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代⼊(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c^2)(三)速度变换：V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)同理可得V(y),V(z)的表达式.(四)尺缩效应：B系中有⼀与x轴平⾏长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),⼜△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ(五)钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),⼜△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T.(注：与坐标系相对静⽌的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静⽌质量和固有时,是不随坐标变换⽽变的客观量.)(六)光的多普勒效应：(注：声⾳的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)B系原点处⼀光源发出光信号,A系原点有⼀探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时.B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动⼒学质点可选⾃⾝为参考系,β=v/c)⽜⼆在伽利略变换下,保持形势不变,即⽆论在那个惯性系内,⽜⼆都成⽴,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七⼋糟,因此有必要对⽜顿定律进⾏修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式.⽜顿⼒学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为⼀个不变量（当然⾮固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了.即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度.⽜顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv.定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论⼒学的基本量：相对论动量.（注：我们⼀般不⽤相对论速度⽽是⽤⽜顿速度来参与计算）(⼋)相对论⼒学基本⽅程：由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是⼒的定义式,虽与⽜⼆的形式完全⼀样,但内涵不⼀样.（相对论中质量是变量）(九)质能⽅程：Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2=Mc^2-mc^2即E=Mc^2=Ek+mc^2(⼗)能量动量关系：E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2四：四维证明：(⼀)公理,⽆法证明.(⼆)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成⽴.定义dS为四维间隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0,⽽对于任意两时空点的dS⼀般不为0.dS^2〉0称类空间隔,dS^2<0称类时间隔,dS^2=0称类光间隔.相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变,因此（1）式中存在与坐标变换⽆关的不变量,dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量.因此在两个原理的共同制约下,可得出⼀个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量.由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动,旋转x和ict轴）X=xcosφ+(ict)sinφicT=-xsinφ+(ict)cosφY=yZ=z当X=0时,x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代⼊上式得：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c^2)(三)(四)(五)(六)(⼋)(⼗)略.(七)动量表达式及四维⽮量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度.则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量.（以下同理）四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)四维⼒：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维⼒)四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)则f=mdV/dτ=mω(九)质能⽅程：fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0故四维⼒与四维速度永远“垂直”,（类似于洛伦兹磁场⼒）由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维⽮量,且Fv=dEk/dt(功率表达式))故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2故E=Mc^2=Ek+mc^2xgnmqmcc2014-11-25相关问题求⼴义相对论公式和解释 2014-12-03⼴义相对论中有没有公式? 2014-11-03谁知到⼴义相对论公式? 2014-10-21谁知道爱因斯坦⼴义相对论的公式. 2014-11-27⼴义相对论推动能公式 2014-09-22其他回答引⼒场⽅程（Einstein's field equation）：R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv} 其中 G 为⽜顿万有引⼒常数加⼊宇宙学常数后的场⽅程为：R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R + \Lamb... 全部展开fengdemicang2014-11-25E=MC24729101482014-11-25。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例：RW度规的联络计算之四
27
例：RW度规的联络计算之五
28
例：RW度规的联络计算之六
29
例：RW度规的联络计算之七
30
例：RW度规的联络计算之八
31
用RGTC计算RW度规的联络
32
可以用RGTC软件包从度规出发计算联络、黎曼曲率张量等
RGTC (Riemannian Geometry & Tensor Calculus Mathematica)
43
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之六
44
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之七
45
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之八
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb的压缩包的下载地址： 链接: pan./s/1dFLsXZr 密码: 7iut
46
用diffgeo计算RW度规的联络
47
diffgeo.m是一个可以从度规出发计算联络、黎曼曲率张量等 的Mathematica程序包 下载地址： /~headrick/Mathematica/index.html
diffgeoManual.nb
diffgeo的作者是 Matthew Headrick (Ph.D. in Physics at Harvard Univ., 2019) Asso. Prof. at Brandeis Univ., 2019--
用 GUdd 显示联络 还可看它的矩阵形式： • 以前两个指标为行、
列显示矩阵元素； • 矩阵元素是列向量， 用第三个指标标记。
42
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之五 显示联络的分量：
注意：Mathematica的RGTC包的时空指标是1,2,3,4 即Mathematica每个指标数字减去1，才是GR通常约定的0,1,2,3
• Riemannian Geometry & Tensor Calculus (RGTC) version 3.8.9 (2019) — MATHEMATICA (version 3-9 compatible) application.
• Graded Exterior Differential Calculus (superEDC) version 1.5.0 (2019) — MATHEMATICA (version 3-9 compatible) enhancement.
1
测地线方程的另一种常见形式
2
小结：
3
4
5
6
测地线也是短程线之一
7
测地线也是短程线之二
8
测地线也是短程线之三
9
测地线也是短程线之四
10
测地线也是短程线之五
11
12
测地线的动力学变分原理之一
13
测地线的动力学变分原理之二
14
测地线的动力学变分原理之三
15
例：二维球面的联络计算之一
36
在RGTC.nb里面包含有详细的指导和大量的例子
RGTC软件包的符号约定如下（与本人课件的约定一致）：
37
OperatorPLT.nb是RGTC定义函数的 输入面板
NPsymbolPLT.nb是Newman-Penrose 符号和算符的输入面板
38
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之一 定义坐标参数 定义度规
16
例：二维球面的联络计算之二
17
例：二维球面的联络计算之三
18
例：二维球面的联络计算之四
19
Байду номын сангаас
例：二维球面的联络计算之五
20
例：二维球面的联络计算之六
21
例：二维球面的联络计算之七
22
例：二维球面的联络计算之八
23
例：RW度规的联络计算之一
24
例：RW度规的联络计算之二
25
例：RW度规的联络计算之三
39
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之二 定义简化的规则
40
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之三 用 RGtensors[度规,坐标] 算出所有东西
41
from_RWmetric_to_connection(RGTC).nb之四
• 若将EDCRGTCcode.m放在Mathematica的$Path命令显示的任何一个目录下，则可以用 << EDCRGTCcode.m 调用这个程序包； • 若将RGTC整个目录放在Mathematica的$Path命令显示的任何一个目录下，则可以用 << RGTC`EDCRGTCcode` 调用这个程序包。
33
将下载的zip压缩包解压之后，可将RGTC目录放到如下路径：
RGTC目录 里面有 三个nb文件 和一个m文件
34
RGTC目录也可放到 Mathematica 的 $Path 命令显示的 任何一个目录下：
例如，上一页ppt说明所放置的路径就是划线的这个路径。
35
RGTC目录下ReadMeFirst.rtf的内容
48
在C:\Program Files\Wolfram Research\Mathematica\8.0\AddOns\AutoLoad目录下
新建一个名为diffgeo的目录，把 • 程序包文件diffgeo.m 与 • 教程文件diffgeoManual.nb 拷贝到里面：
49
from_RWmetric_to_connection(diffgeo)之一
定义坐标参数
定义度规
度规的行列式为负值
假定参量的取值范围
50
from_RWmetric_to_connection(diffgeo)之二
定义了coord、metric以及假定、metricsign之后， 一旦载入程序包diffgeo，就完成了所有的计算
的下载地址：inp.demokritos.gr/~sbonano/RGTC/
RGTC作者：希腊科学家 S. Bonanos (1944--)
他开发的Mathematica Software Tools有 ： • Exterior Differential Calculus (EDC)
version 3.8.9 (2019) — MATHEMATICA (version 3-9 compatible) enhancement.