解决传递函数中零点的几个疑问
控制工程2习题解答
二题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.221sD. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]215.0s t f L = 答案：C题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式。
答案：dt e t f st ⎰∞-0)(题目：函数()atet f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。
答案：as +1题目：若te t tf 22)(-=，则()=)]([t f L 【 】A.22+s B.3)2(2+s C.22-s D.3)2(2-s 分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3)2(2)]([+=s t f L答案：B题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足 条件。
分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。
答案：狄里赫利题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【】A. 25.0s s +B. 25.0sC.ss 1212+D. s 21分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。
()[]s st f L 115.02+= 答案：C题目：若()ss s s F ++=214，则()t f t ∞→lim )=( )。
【 】 A. 1 B. 4C. ∞D. 0分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0s sF t f f s t →∞→==∞。
即有414lim )(lim 20=++=→∞→ss s st f s t答案：B题目：函数()t et f atωcos -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：基本函数t ωcos 的拉氏变换为22ω+s s，由拉氏变换的平移性质可知()[]()22ω+++=a s as t f L 。
传递函数极点和零点的意义
传递函数极点和零点的意义在探讨传递函数极点和零点的意义前，我们首先需要了解什么是传递函数。
传递函数，又称为系统函数，是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的函数。
它是系统理论中的一个重要概念，用于研究信号在系统中的传输规律及其影响。
接下来，我们分别来讨论传递函数中的“极点”和“零点”，并探讨它们在工程上的应用。
一、极点极点，也叫阻尼点或“瞬态谐振点”，指的是传递函数分母中的因式，当其为0时，会使得系统响应变得不稳定或发生异常波动，被称为系统的“瓶颈”。
在控制系统中，极点是非常重要的参数，通过极点的位置，我们可以决定系统的稳定性、调节速度和峰值响应等性能指标。
通常情况下，我们希望系统的极点位于左半s平面内，这样可以保证系统稳定可控，并减小系统响应时的震荡和延迟。
另一方面，如果出现极点位于右半s平面内的情况，则应采取积极措施通过控制参数等手段移动其位置或者消除其影响，以保证系统的稳定性和性能。
二、零点零点，指的是传递函数分子中的因式，当其为0时，输出为0。
也就是说，当输入信号经过传递函数时，处于零点位置的频率分量成分不会引起系统响应。
在控制系统中，零点的位置对系统的动态特性和频率特性有着直接的影响。
比如，在控制系统的设计中，通过精心调节零点的位置，可以有效提高系统对不同频率信号的响应速度和灵敏度，这对于高速、高精度的控制系统是非常重要的。
另外，零点还可以调节系统的截止频率和幅频特性等性能指标，通过有效地调节零点的位置，可以优化系统的控制性能，提高系统的鲁棒性和减小系统的灵敏度。
总之，在掌握传递函数极点和零点的意义之后，我们能更深刻地理解和反映控制系统性能。
在实际工程中，要合理分析和设计传递函数的极点和零点，以实现系统的优化和提高。
闭环传递函数的零点和极点
任务名称：闭环传递函数的零点和极点一、引言闭环控制系统在工程中发挥着重要的作用，而传递函数则是描述该系统的重要工具之一。
闭环传递函数的零点和极点是评估系统性能和稳定性的重要指标。
本文将对闭环传递函数的零点和极点进行全面、详细、深入地探讨。
二、传递函数简介1.传递函数概念传递函数是闭环控制系统中的重要概念，描述了输入和输出之间的关系。
它是输出与输入的比值，通常采用符号G(s)表示。
2.传递函数的形式传递函数的一般形式为：G(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别表示分子和分母多项式。
3.零点和极点的定义传递函数的零点和极点是使其分子和分母等于零的解，分别用zi和pi表示。
零点是使传递函数等于零的输入，极点则是使传递函数的值无穷大的输入。
三、零点的影响1.零点对系统稳定性的影响零点的位置决定了系统的稳定性。
当零点位于左半平面时，系统是稳定的；当零点在右半平面时，系统是不稳定的。
2.零点对系统频率响应的影响零点的位置还会影响系统的频率响应特性。
当零点位于高频处时，系统对高频信号具有抑制作用；当零点位于低频处时，系统对低频信号具有抑制作用。
3.零点对系统阶数的影响零点的个数也会决定系统的阶数。
零点的个数等于传递函数的分子多项式的阶数，系统的阶数等于分子多项式的阶数减去分母多项式的阶数。
四、极点的影响1.极点对系统稳定性的影响极点的位置同样决定了系统的稳定性。
当极点位于左半平面时，系统是稳定的；当极点在右半平面时，系统是不稳定的。
2.极点对系统频率响应的影响极点的位置会进一步影响系统的频率响应特性。
当极点位于高频处时，系统对高频信号具有增益；当极点位于低频处时，系统对低频信号具有增益。
3.极点对系统阶数的影响极点的个数等于传递函数的分母多项式的阶数，系统的阶数等于分母多项式的阶数。
五、总结闭环传递函数的零点和极点是评估系统性能和稳定性的重要指标。
对零点和极点的研究可以帮助我们理解系统的频率响应特性、稳定性以及阶数等方面的问题。
控制工程基础第三版课后答案 (3)
控制工程基础第三版课后答案第一章1.1 分析控制系统的对象控制系统的对象通常指的是待控制的物理系统或过程。
在分析控制系统对象时，首先需要了解系统的动态特性。
为了分析控制系统的特性，我们可以通过选取一个合适的数学模型来描述物理系统的动态行为。
一种常用的方法是通过微分方程来描述系统的动态特性。
例如，对于一个简单的电路系统，可以使用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律来建立描述电路中电流和电压之间关系的微分方程。
然后，通过求解这个微分方程，我们可以得到系统的传递函数。
另外，我们还可以使用频域分析的方法来分析控制系统的对象。
通过对信号的频谱进行分析，我们可以得到系统的频率响应。
1.2 常见的控制系统对象控制系统的对象存在各种各样的形式，下面列举了一些常见的控制系统对象：•机械系统：例如机器人、汽车悬挂系统等。
•电气系统：例如电路、电机等。
•热力系统：例如锅炉、冷却系统等。
•化工系统：例如反应器、蒸馏塔等。
针对不同的控制系统对象，我们需要选择合适的数学模型来描述其动态特性，并进一步分析系统的稳定性、性能等指标。
第二章2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型描述了物理系统的动态特性和输入与输出之间的关系。
常见的控制系统数学模型包括：•模型中几何图形法：通过几何图形来描述系统的动态特性。
•传递函数法：采用以系统输入和输出的转移函数来描述系统的动态特性。
•状态方程法：将系统的状态变量与输入变量和输出变量之间的关系用一组偏微分方程或代数方程来描述。
在使用这些模型时，我们可以选择合适的数学工具进行分析和求解，例如微积分、线性代数等。
2.2 传递函数的定义和性质传递函数是描述控制系统输入输出关系的数学函数，通常用G(s)表示。
传递函数的定义和性质如下：•定义：传递函数G(s)是系统输出Y(s)和输入U(s)之间的比值，即G(s) = Y(s)/U(s)。
•零点和极点：传递函数可以有零点和极点，零点是使得传递函数为零的s值，极点是使得传递函数为无穷大的s值。
传递函数零点极点
传递函数零点极点传递函数是控制工程中的重要概念，它描述了输入到输出之间的关系。
其中，零点和极点是传递函数的关键特性。
本文将介绍传递函数的零点和极点的定义、作用和应用。
一、零点的定义在控制工程中，零点是传递函数中导致输出为零的输入值。
它是传递函数的特殊点，输出和输入之间出现了一个“断点”。
具体来说，在传递函数中，如果有一个频率使得传递函数为零，那么在该频率下输入的信号将不会产生输出信号。
通常情况下，零点是用单位圆上的点表示的。
二、极点的定义极点是传递函数中导致输出数值变得极大或极小的输入值。
具体来说，极点是传递函数中使得传递函数为无穷大或无穷小的频率点。
同样的，极点也是用单位圆上的点表示的。
三、零点和极点的作用零点和极点是传递函数的重要属性，它们对信号分析和控制系统设计都有重要的作用。
首先，零点和极点可以用来确定传递函数的稳定性和带宽。
在控制工程中，只有在传递函数具有无穷远趋于零或极点的情况下，系统才是稳定的。
此外，极点还可以用来判断系统的阻尼比。
其次，零点和极点还可以用来控制系统的响应特性。
例如，如果需要提高系统的阶数，可以增加极点的数量；如果需要增加系统的响应速度，可以减少极点的数量。
四、零点和极点的应用零点和极点在控制工程中有着广泛的应用。
例如，在滤波器设计中，可以利用零点和极点分析和设计滤波器的响应特性。
在控制系统设计中，可以通过调整零点和极点的位置来设计系统的性能。
此外，零点和极点还可以用来分析和优化PID控制器。
其中，零点用来表示控制器的积分时间和微分时间，而极点用来表示控制器的比例增益和积分时间。
这些参数的优化将有助于提高系统的稳定性和性能。
总之，传递函数的零点和极点是控制工程中的重要概念，具有重要的理论和实际应用价值。
掌握这些概念将有助于优化系统的性能和稳定性。
传递函数
设系统的微分方程为：
an y(n) (t) an1y(n1) (t) a1y(t) a0 y(t)
bm
x(
m)
(t
)
b x(m1) m1
(t
)
b1x(t) b0x(t)
式中x(t) - 输入，y(t) - 输出，ai ,bj (i 0 ~ n, j 0 ~ m)为常系数
将上式求拉氏变换，得(令初始值为零）
入信号。 y(t) x(t ) 如右图所示。
其传递函数为：G(s) es
y(t)
t
延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有
延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起
见，化简如下：es
1 es
1 1
1s ... 1s
或 es 1s
t
es
es / 2 es / 2
1s / 2 1s / 2
4/29/2021 8:53:37 PM
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3、传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无 关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的 关系。
4、传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
5、传递函数忽略了初始条件的影响。
6、传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母 的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。
衰减振荡。 越小，振荡越厉害。
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（五）微分环节：
微分环节的时域形式有三种形式： 相应的传递函数为：
① y(t) Kx(t)
① G(s) Ks
② y(t) K(x(t) x(t))
② G(s) K(s 1)
matlab 传递函数零极点形式无极点
《深入探讨Matlab中传递函数零极点形式无极点》在Matlab中，传递函数是描述线性时不变系统的一种数学模型。
它可以用来表示系统的输入与输出之间的关系，同时也能够帮助工程师分析和设计控制系统。
在传递函数中，零极点形式无极点是一个重要的概念，它对系统的稳定性和性能起着至关重要的作用。
本文将深入探讨Matlab中传递函数零极点形式无极点的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 传递函数的基本概念在Matlab中，传递函数通常表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的形式。
一个一阶系统的传递函数可以表示为：\[ G(s) = \frac{b}{s + a} \]其中，b和a分别代表分子和分母多项式的系数。
传递函数描述了系统对输入的响应，可以通过它来分析系统的频率响应、阶跃响应等性能。
2. 传递函数的零极点形式传递函数的零极点形式无极点是指将传递函数表示为零点和极点的形式。
在Matlab中，我们可以使用`zero`和`pole`函数来分别求得传递函数的零点和极点。
对于上述一阶系统的传递函数，我们可以使用以下代码来求得其零点和极点：```matlabnum = [b];den = [1, a];z = zero(num);p = pole(den);```通过上述代码，我们可以得到传递函数的零点和极点，这对于分析系统的性能和稳定性非常重要。
3. 零极点形式无极点的作用零极点形式无极点对于系统的稳定性和性能起着决定性的作用。
在传递函数的分母多项式中，如果存在实部大于零的极点，系统就会出现不稳定。
而在传递函数的分子多项式中，如果存在零点，就会影响系统对于输入信号的响应。
通过对传递函数进行零极点形式无极点的分析，我们可以判断系统的性能和稳定性。
4. 个人观点和理解在实际工程设计中，对于复杂的控制系统，深入理解传递函数的零极点形式无极点是非常重要的。
通过分析系统的零点和极点，可以更好地设计控制器，提高系统的性能和稳定性。
传递函数
(t)
则在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，可得系 统传递函数的一般形式：
G(s) Xo Xi
s s
b0 s m a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm (n m) an1s an
2.2.1 传递函数的性质
性质1 传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一 种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参 数所决定，与输入信号和输出信号无关。这种 函数关系在信号传递的过程中得以实现，故称 传递函数。
输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述的
环节称为一阶惯性环节:
T xo (t) x0 (t) xi (t)
一阶惯性环节的传递函数为：
G(s)
1
Ts 1
式中 T-时间常数，表征环节惯性，和结构参数有关。
特点：含一个储能元件,当输入量突然变化时,由于物理状
态不能突变,输出量也就不能立即复现,而是按指数规律逐渐变
性质5
如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知 的输入，研究其输出，从而得出传递函数。
2.2.1 传递函数的性质
性质6 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位 脉冲输入时的输出响应。
Xi (s) L[ (t)] 1
xo (t) L1[ X o (s)] L1[G(s) Xi (s)] L1[G(s)]
这样,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所 组成，从而给建立数学模型，研究系统特性带来方 便，使问题简化。
2.2.3 典型环节及其传递函数
系统的传递函数可以写成：
b
c
K
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解决传递函数中零点的几个疑问
传递函数有开环传递函数和闭环传递函数，同样，零点有开环零点和闭环零点。
他们有什么不同，又各自起到什么作用呢？
完全书本上的理论：闭环零点是系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。
闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
这个从系统结构上是可以推导出来的结论。
一想到零点，我们会想到比例微分环节，那么这个比例微分环节，放在前向通道和反馈通道，作用上会有什么不同吗？
谈到零点，我们最先想到的是微分环节，事实上，单纯的
微分环节是不存在的。
对一个信号取微分，也就是相当取这个信号的变化率。
一个脉冲信号，上升沿变化率近似于无穷大，而运放的输出能量是有限的。
能产生零点的基本环节有比例微分环节PD，比例积分环节PI。
先来看，在一个传递函数的分子中，加入一个零点，而分母不变，会有什么影响呢？
以欠阻尼二阶系统 G=4/(s^2+2*s+4)(阻尼比=0.5）为例，与另一个系统G=4(s+1)/(s^2+2*s+4）的单位阶跃响应比较。
绿色是加入零点的，蓝色是没有零点的。
从这个例子，我们可以得到一个很简单的结论：传递函数分母不变，分子中串入零点，瞬态响应变快，超调量增加。
举个例子，还是以传递函数G=4/(s^2+2*s+4)(阻尼比
=0.5）作为控制对象，采用比例微分环节（1+0.5*s)去控制它。
而根据比例微分环节加入整个系统的位置不同，可以分为两种：一种是放在前向通道，一种是放在反馈通道。
下面以采用这两种校正方式后的单位阶跃响应，来看看它们有什么不同~
(1)、将校正环节串入系统的前向传递通道（绿色）：sys=tf([4]，[1，2，0])；sys2=tf([0.5，1]，[1])；
sys3=series(sys2，sys)，sys4=feedback(sys3，1)；
step(sys4)；hold on；
(2)、将校正环节作为系统的反馈通道（蓝色）：
sys=tf([4]，[1，2，0])；sys2=tf([0.5，1]，[1])；
sys3=feedback(sys，sys2)；step(sys3)；(3)、原系统的单位反馈（红色）：sys0=tf([4]，[1，2，4])；step(sys0)；
从上面的小例子，我们可以得出一个很实用的结论：校正环节加入系统前向传递通道形成闭环，会在闭环传递函数中形成一个零点并增大阻尼比，故时域响应能够同时降低超调和提高瞬态响应。
校正环节作为反馈通道，在闭环传递函数中没有形成零点，但增大了阻尼比，故时域响应能够明显降低超调，但对瞬态响应提高不明显。
将上述三个系统的博德图放在同一张图上:
从这三个bode图可以看出：比例-微分环节提高瞬态响应，是以降低高频抗干扰能力为代价的，在输入信号伴有较强噪声的系统中应该尽量避免采用串联比例-微分环节。
上面是从频域和时域去分析这个比例微分环节的不同位置，对系统的影响不同。
理解这个问题，从数学上会更深刻一些。
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