自旋算符与Pauli矩阵
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
量子力学
模拟试题Planck的量子假说揭示了微观粒子_____特性，Einstein的光量子假说揭示了光的_____性。
Bohr的氢原子理论解决了经典电磁理论和原子的_____之间的矛盾，解决了原子_____起源问题。
Planck的量子假说揭示了微观粒子特性，Einstein的光量子假说揭示了光的性。
量子力学中表示力学量的算符必须是算符，以保证它的本征值为。
对于一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是当中的某一个，测量结果一般说来是不确定的，除非体系处于,测量结果的不确定性来源于。
两个力学的第一个惊人之举即引入了概念，以概率的特征全面描述微观粒子的运动状态。
它一般具有、、的标准条件厄米算符的性质之一为，其本征值为, 其本征函数组成。
坐标和动量满足的对易关系式为，它们满足的测不准关系式为。
微观粒子的决定其运动状态遵从概率性统计规律。
两个力学量算符对易是两个力学量同时具有确定值的条件。
两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符 。
坐标和动量满足的对易关系式为 ，它们满足的测不准关系式为 。
写出含时间的薛定谔方程表达式。
在z S ˆ表象中写出z y x S S S ˆ,ˆ,ˆ的矩阵表示 试述量子力学的态叠加原理。
写出力学量算符∧F 的本征方程。
写出德布罗意关系式.写出两电子自旋单态和三重态的波函数。
写出力学量算符∧F 的本征方程.写出偶极跃迁中角动量量子数和磁量子数的选择定则。
写出泡利矩阵),,(z y x σσσ的表达式。
对易关系式[]?,=y x p L1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
第八章 自旋 8.1-8.4
（11）
此方程组有非平庸解的条件是
1 1 1 1 0
（12）
解得λ= 0，2.
代入式（11），得
c1 / c2 1, 0 c1 / c2 1, 2
再利用归一化条件，可求出 s2 的归一化本征态为 1 2 a 1 2 1 a 2 , 0 （13） 1 a 1 2 1 a 2 , 2
第八章 自旋
大量实验事实证明，认为电子仅有三个 自由度并不是完全正确的。还存在一个新的
自由度—自旋，它是粒子固有的 。
1 电子自旋存在的实验依据
(a)碱金属光谱的双线结构
G.E.Uhlenbeck与 S.A.Goudsmit 提出 了电子自旋的假设。
(b)反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect）
式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±/2 的概率， 归一化条件表示为 2 2 a a b a b 1 （5） b
特例：sz=±/2 的本征态 1/ 2 s z 常简记为 a 和β，即
1 a 1/ 2 ( sz ) , 0 0 1/ 2 ( sz ) 1
（6）
a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一
般自旋态可以展开为
a sz aa b b
（7）
波函数表示为
(r , sz ) r , / 2 a r , / 2 （8）
8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵
（15）
式（15）与（13）归纳为
a a i a
（16）
自旋算子分量的矩阵表示
自旋算子分量的矩阵表示1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍自旋算子分量的矩阵表示的背景与重要性。
自旋算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了粒子的自旋性质以及与其相关的物理量。
自旋算子有助于我们理解微观粒子的行为规律，并在量子信息处理、核磁共振等领域得到广泛应用。
自旋算子的矩阵表示是一种常见的描述方式。
通过使用矩阵形式，我们可以更直观地理解自旋算子在量子系统中的作用，以及它们如何与其他物理量发生相互作用。
熟悉自旋算子的矩阵表示有助于我们推导粒子的自旋态、相互作用哈密顿量等相关物理量，并进行相关计算。
在本文中，我们将首先介绍自旋算子的定义与性质，包括自旋角动量、自旋态以及自旋算子的代数性质。
然后，我们将重点讨论自旋算子的矩阵表示。
通过引入一种常用的表示方法，即由泡利矩阵组成的基矢表象，我们将详细阐述自旋算子在该表示下的矩阵形式。
我们将探讨如何利用基矢表象下的矩阵表示求解自旋算子分量的本征值和本征态，并将其应用于具体问题。
最后，通过总结本文的研究内容与结论，我们可以进一步认识到自旋算子分量的矩阵表示对于理解微观粒子行为的重要性，并对未来的研究方向进行展望。
本文旨在为读者提供一个清晰的自旋算子矩阵表示的概念框架，并希望能够激发更多的研究兴趣和深入探讨。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包含以下内容：在本部分中，我们将介绍本篇文章的整体结构和各个部分的主要内容。
首先，文章的第一部分是引言部分。
引言部分包含了概述、文章结构和目的三个小节。
1.1 概述部分将对本文所要讨论的主题进行简要的介绍。
我们将对自旋算子分量的矩阵表示进行说明，并提出相关的问题和挑战。
1.2 文章结构部分将详细说明整个文章的结构安排和内容组织。
我们将介绍文章的目录以及各个部分的主要内容和章节划分。
1.3 目的部分将明确本文的研究目标和意义。
我们将阐述为何研究自旋算子分量的矩阵表示对于解决相关问题和推动学科发展具有重要意义。
接下来，文章的第二部分是正文部分。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-自旋(圣才出品)
上式中任何一式的左侧的 3 个二体自旋算符中任何两个都构成 2 电子体系的一组 CSCO．例如，{σ1x,σ2x,σ1y,σ2y）的共同本征态，列于表 8．2 中[采用（σ1z,σ2z）表象]，
这就是著名的 Bell 基． 表 8.2 Bell 基
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对于 j = l −1/ 2(l 0) ，
（1）
（2）方程的解以及光谱双线粗细结构原因
（2）
电子能量本征值与量子数
都有关，记为 ，是（2j＋1）重简并．可以得出
即 j = l +1/ 2 能级略高于 j = l −1/ 2(l 0) 能级．但由于自旋轨道耦合很小，这两条能级 很靠近．这就是造成光谱双线粗细结构的原因．
本征态 SM 可以表示为
以它们为基矢的表象，称为角动量耦合（coupling）表象．
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（4）分离态与纠缠态
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由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，则
称为可分离态（separablestate）．反之，为纠缠态（entangled state）．例如，（S1z ，
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2．反常 Zeeman 效应 考虑磁场后能量本征值为
（3） 与 则是求解径向方程（1）和（2）得出的本征函数和本征值．当无外磁场 时（B＝0），能级 是（2j＋1）重简并．当加上外磁场时，如式（3）所示，能级 将依赖于磁量子数 mj，一般说来， 能级分裂为（2j＋1）条．（2j＋1）为偶数，这就 造成了反常 Zeeman 分裂现象．
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第七章自旋与全同粒子1
（一）自旋角动量
轨道角动量 r ˆ L r r r ˆ ˆ ˆ L × L = ih L ˆ ˆ ˆ [ L x , L y ] = ih L z ˆ ˆ ˆ [ L y , L z ] = ih L ˆ ˆ ˆ [ L z , L x ] = ih L
x y
自旋角动量 r ˆ S r r r ˆ ˆ ˆ S × S = ih S ˆ [S ˆ ˆ , S y ] = ih S ˆ ] = ih S
h 2 h 2
,t) ,t)
写成列矩阵
r ψ 1 ( r , t ) Φ= r ψ ( r , t ) 2
若已知电子处于S 若已知电子处于 Sz = h/2 或 Sz = -h/2 的自旋态，则波函数可分别写为： 的自旋态，则波函数可分别写为： r 0 ψ 1 ( r , t ) Φ1 = Φ−1 = r 2 2 0 ψ 2 ( r , t )
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
r r 设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 v B 中的势能为： 中的势能为：
r v U = − M • B = − MB z cos θ
原子 Z 向受力
磁矩与磁 场之夹角
∂Bz ∂U Fz = − cos θ =M ∂z ∂z
分析
若原子磁矩可任意取向， +1） 若原子磁矩可任意取向，则 cos θ 可在 （-1，+1） 之间连续变化， 之间连续变化，感光板将呈现连续带
最后得 SZ 的 矩阵形式
h 1 0 Sz = 2 0 − 1
是对角矩阵， SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值± /2。 元是其本征值±h/2。
（2）Pauli 算符