浙江省绍兴市高二上学期数学期末考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、解答题 (共8题；共71分)
1. （1分） (2017高一下·盐城期中) 直线y=3x﹣1的斜率为________．
2. （5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率.
3. （15分） (2016高二下·三亚期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD 上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，
（1）求线段PQ的长度；
（2）求证PQ⊥AD；
（3）求证：PQ∥平面CDD1C1．
4. （10分） (2016高三上·襄阳期中) 设p：实数x满足：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：实数x满足：x=（）m﹣1 ，m∈（1，2）．
（1）若a= ，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2） q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
5. （5分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（Ⅰ）证明：平面AC D⊥平面ABC；
（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
6. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为
（1）
求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）
设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
7. （15分） (2017高三上·武进期中) 已知函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x﹣lnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，11），求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（2，3）上单调，求实数a的取值范围；
（3）设，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，π]，使得f（x1）+g（x2）≥2成立，求整数a 的最小值．
8. （10分）(2018·大新模拟) 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.
（1）若，且点所在直线方程为，求的值；
（2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并廷长交
椭圆于点，求的值.
二、填空题 (共14题；共14分)
9. （1分） (2017高三上·南通期末) 命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x ﹣1________．
10. （1分） (2017高二上·广东月考) 已知，，则直线与坐标平面的交点坐标为________．
11. （1分） (2018高二上·万州月考) 如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．
12. （1分）(2017·大连模拟) 抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣1，则a的值为________．
13. （1分） (2017高二上·靖江期中) 若命题p：“log2x＜0”，命题q：“x＜1”，则p是q的________条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
14. （1分） (2019高一下·淮安期末) 一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________.
15. （1分） (2017高一上·雨花期中) 已知函数f（x）= 为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
16. （1分）(2020·丽江模拟) 已知双曲线的两条渐近线均与圆
相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则双曲线的方程为________.
17. （1分） (2018高二上·镇江期中) 直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体是________．
18. （1分）(2016·孝义模拟) 已知抛物线的方程为2y=x2 ，则该抛物线的准线方程为________．
19. （1分） (2016高三上·江苏期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1 ， B2分别为椭圆C：
=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1 ，则椭圆C的离心率是________．
20. （1分）在△ABC中，∠BAC=90°，P为△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，则平面PBC与平面ABC的关系是________．
21. （1分）已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________.
22. （1分）(2018·绵阳模拟) 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，平面向量满足：，则对任意的实数和任意满足条件的向量，
的最小值________．
参考答案一、解答题 (共8题；共71分)
1-1、
2-1、
3-1、
3-2、
3-3、4-1、4-2、
6-1、6-2、
7-1、7-2、
7-3、8-1、
8-2、
二、填空题 (共14题；共14分) 9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、
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2023-2024学年浙江省绍兴市上虞区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷一、单选题1．直线l 经过A(4，2√3)，B(3，√3)两点，则l 的倾斜角是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．π22．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（﹣1，0）C ．(0，−116) D ．(0，116) 3．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n −1a n +3，n ∈N ∗，则a 4＝（ ） A ．15B ．−14C ．−511 D ．−474．已知E ，F 分别是空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，点G 是线段EF 的中点，P 为空间中任意一点，则PA →+PB →+PC →+PD →=（ ）A ．PG →B ．2PG →C ．3PG →D ．4PG →5．若方程x 2+y 2+2kx ﹣4y +k 2+k ﹣2＝0表示的曲线是圆，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣6，﹣∞）B ．[﹣6，+∞）C ．（﹣∞，6]D ．（﹣∞，6）6．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过AB 作一垂直于B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ，动点M 在l 上，则直线BM 与CD 1所成角的余弦值的最大值是（ ） A ．√32B ．√22 C ．12D ．17．已知等腰直角△ABC 的斜边AB =√2，M ，N 分别为AC ，AB 上的动点，将△AMN 沿MN 折起，使点A 到达点A '的位置，且平面A 'MN ⊥平面BCMN ．若点A '，B ，C ，M ，N 均在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为（ ） A ．8π3B ．3π2C ．√6π3D ．4π38．设椭圆C 的两个焦点是F 1，F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且3|PF 1|＝4|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．57C ．35D ．34二、多选题9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥nC．若m∥α，α⊥β，则m∥β或m⊂βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α10．已知圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0交点为A，B，则（）A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√211．两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当θ＜α＜π2时，截口曲线为椭圆；当α＝θ时，截口曲线为抛物线；当0＜α＜θ时，截口曲线为双曲线．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）A．若点P到直线CC1的距离与点P到平面BB1C1C的距离相等，则点P的轨迹为抛物线B．若点P到直线CC1的距离与点P到AA1的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆C．若∠BD1P＝45°，则点P的轨迹为抛物线D．若∠BD1P＝60°，则点P的轨迹为双曲线12．如图，直平面六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都为2，∠DAB＝60°，P为CC1的中点，点Q是四边形CC1D1D（包括边界）内，则下列结论正确的是（）A ．过点A 1，B ，P 的截面是直角梯形B ．若直线AQ ∥面A 1BP ，则直线AQ 的最小值为√5C ．存在点Q 使得直线B 1Q ⊥面A 1BPD ．点Q 到面A 1BP 的距离的最大值为3√3010三、填空题13．经过点M （3，﹣1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 ． 14．设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和TT n ，且S n T n=7n 9n+4，则a 3b 3= ．15．已知抛物线C ：y 2＝2x 和圆M ：（x ﹣a ）2+y 2＝1，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数a ＝ ．16．正三棱锥S ﹣ABC ，SA ＝2AB ＝4，点P 为侧棱SA 的中点，M ，N 分别是线段SB ，AB 上的动点，则2PM +MN 的最小值为 ． 四、解答题17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝2． （1）若a 3+b 3＝3，求{b n }的通项公式； （2）若T 3＝21，求S 3．18．（12分）已知圆C 过点A （4，2）和点B （1，3），圆心在直线y ＝x ﹣1上． （1）求圆C 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；（2）若直线l 经过点P （1，﹣1），且l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． （Ⅰ）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（Ⅱ）求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，Q 为C 上一点且纵坐标为4，QP ⊥y 轴于点P ，且|QP|=12|QF|．（1）求p的值；（2）已知点M(12，−2)，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足k AM+k BM=−85．证明：直线AB恒过定点（﹣2，﹣3）．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3，侧面△P AD是边长为2的正三角形，侧面P AD⊥平面ABCD．（1）证明：AD⊥BP；（2）若点Q为棱PC上的动点，求平面ABQ与平面PBC夹角的正弦值的最小值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√23，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省绍兴市上虞区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．直线l 经过A(4，2√3)，B(3，√3)两点，则l 的倾斜角是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．π2解：由题知：k AB =√3−2√33−4=√3，设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π），故tanθ=√3，所以倾斜角θ=π3．故选：C ．2．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（﹣1，0）C ．(0，−116) D ．(0，116) 解：由y ＝4x 2，得x 2=14y ，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且2p =14，所以p =18，p 2=116，所以焦点坐标为(0，116)．故选：D ．3．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n −1a n +3，n ∈N ∗，则a 4＝（ ） A ．15B ．−14C ．−511 D ．−47解：∵a 1=2，a n+1=a n −1a n +3，n ∈N ∗， ∴a 2=a 1−1a 1+3=15，a 3=a 2−1a 2+3=−14，a 4=a 3−1a 3+3=−511． 故选：C ．4．已知E ，F 分别是空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，点G 是线段EF 的中点，P 为空间中任意一点，则PA →+PB →+PC →+PD →=（ ）A ．PG →B ．2PG →C ．3PG →D ．4PG →解：∵E ，F 分别是空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点， ∴PA →+PC →=2PE →，PB →+PD →=2PF →，又点G 是线段EF 的中点，则PA →+PB →+PC →+PD →=2PE →+2PF →=4PG →． 故选：D ．5．若方程x 2+y 2+2kx ﹣4y +k 2+k ﹣2＝0表示的曲线是圆，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣6，﹣∞）B ．[﹣6，+∞）C ．（﹣∞，6]D ．（﹣∞，6）解：由方程x 2+y 2+2kx ﹣4y +k 2+k ﹣2＝0可得（x +k ）2+（y ﹣2）2＝6﹣k ， 则当曲线表示圆时，有r =√6−k ＞0，解得k ＜6， 故选：D ．6．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过AB 作一垂直于B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ，动点M 在l 上，则直线BM 与CD 1所成角的余弦值的最大值是（ ） A ．√32B ．√22 C ．12D ．1解：设该正方体的棱长为1，如图，易知与B 1C 垂直且过AB 的平面即为平面ABC 1D 1，故直线l 即为直线AD 1， 又CD 1∥A 1B ，则直线CD 1与直线BM 所成角即为∠A 1BM （或其补角）， 连接A 1M ，显然当A 1M 最小时，sin ∠A 1BM 取最小值， 此时cos ∠A 1BM 取最大值，当点M 为AD 1的中点时，A 1M 最小，其值为√22， 此时sin A 1BM =A 1M A 1B =√222=12，即cos ∠A 1BM =√32，故选：A ．7．已知等腰直角△ABC 的斜边AB =√2，M ，N 分别为AC ，AB 上的动点，将△AMN 沿MN 折起，使点A 到达点A '的位置，且平面A 'MN ⊥平面BCMN ．若点A '，B ，C ，M ，N 均在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为（ ）A．8π3B．3π2C．√6π3D．4π3解：由点A′，B，C，M，N均在球O的球面上，且B．C，M，N共圆（M不与A重合），所以∠NMC+∠B＝∠C+∠MNB＝π（M不与C重合），又△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，即有MN⊥AB，如上图，△ANM、△BNM、△BCM都为直角三角形，且∠ANM＝∠MNB＝∠C=π2，由平面图到立体图知：MN⊥A′N，MN⊥BN，又面A′MN⊥面BCMN，面A′MN∩面BCMN＝MN，A′N⊂面A′MN，所以A′N⊥面BCMN，同理可得BN⊥面A′MN，将△AMN翻折后，A′M，BM的中点D，E分别为△A′MN，四边形BCMN外接圆圆心，过D作DO⊥面A′MN，过E作EO⊥面BCMN，它们交于O，即为A′﹣BNMC外接球球心，如下图示，再过D作DF⊥面BCMN，交NM于F，连接EF，则EFDO为矩形，综上，DF∥A′N，DO∥BN，则F为MN中点，所以，DO＝EF=12BN，而A′C＝BC＝1，AB=√2，令A′N＝x且0＜x≤1，则BN=√2−x，故DO=√2−x2，A′M=√2x，所以球O半径，r=√DO2+(12A′M)2=√3x2−2√2x+24=√3(x−√23)2+434，当x=√23时，r min=13，故球O表面积的最小值为4πr2=4π3．故选：D．8．设椭圆C的两个焦点是F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于点P，Q，若|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝4|QF1|，则椭圆C的离心率为（）A．13B．57C．35D．34解：如图，因为|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝4|QF1|，所以|PF2|＝|F1F2|2c，可得|PF1|＝2a﹣2c，|QF1|=32(a−c)，故|QF2|=a2+32c．过F2作F2N⊥PQ，在直角三角形NQF2中，|NF2|2＝（2c）2﹣（a﹣c）2，|QN|=52(a−c)，由|NF2|2+|QN|2＝|QF2|2，可得7c2﹣12ac+5a2＝0．即可得7e2﹣12e+5＝0，∴e=5 7．故选：B．二、多选题9．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥nC．若m∥α，α⊥β，则m∥β或m⊂βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α解：根据题意，依次分析选项：对于A，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直，故A正确；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m∥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β或m，β相交，C错误；对于D，若m⊥α，m⊥n，则由线面垂直的性质得n∥α或n⊂α，故D正确．故选：AD．10．已知圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0交点为A，B，则（）A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2解：根据题意，圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心为（1，0），半径R＝2，圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0，即x2+（y﹣1）2＝2，其圆心为（0，1），半径r=√2，依次分析选项：对于A，两圆的圆心距d=√2，有2−√2＜√2＜2+√2，则两圆相交，则圆O1和圆O2有两条公切线，A 正确；对于B，圆O1：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆O2：x2+y2﹣2y﹣1＝0，联立两个圆的方程可得x﹣y+1＝0，即直AB的方程为x﹣y+1＝0，B正确；对于C，直AB的方程为x﹣y+1＝0，经过圆O2的圆心，则线段AB为圆O2的直径，故|PQ|≤|AB|，C 错误；对于D，圆O1的圆心为（1，0），到直线AB的距离d=|1+1|√2=√2，圆O1上的点到直线AB的最大距离为d+R＝2+√2，D正确；故选：ABD．11．两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当θ＜α＜π2时，截口曲线为椭圆；当α＝θ时，截口曲线为抛物线；当0＜α＜θ时，截口曲线为双曲线．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）A．若点P到直线CC1的距离与点P到平面BB1C1C的距离相等，则点P的轨迹为抛物线B．若点P到直线CC1的距离与点P到AA1的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆C．若∠BD1P＝45°，则点P的轨迹为抛物线D．若∠BD1P＝60°，则点P的轨迹为双曲线解：A：如下图，P到直线CC1的距离与P到平面BB1C1C的距离相等，又P在平面ABCD内，所以在平面内，P到C的距离与P到直线BC的距离相等，又C∈BC，∴P在直线CD上，故P的轨迹为直线，故A错误；B：P到直线CC1的距离与P到AA的距离之和等于4，同A知：平面内，P到C的距离与P到A的距离之和等于4，而|AC|=√2＜4，∴P的轨迹为椭圆，故B正确；C：如下示意图，根据正方体的性质知：BD1与面ABCD所成角的平面角∠D1BD＝α，∴∠BD1P＝45°时，相当于以BD1为轴，轴截面的顶角为2θ＝90°的圆锥被面ABCD所截形成的曲线，而BD1=√6，DD1=2，则sinα=√63＞√22=sin45°，即45°＜α＜90°，故P的轨迹为椭圆，故C错误；D：同C分析：∠BD1P＝60°时，相当于以BD1为轴，轴截面的顶角为2θ＝120°的圆锥被面ABCD所截形成的曲线，而sinα=√63＜√32=sin60°，即0＜α＜60°，故P的轨迹为双曲线，故D正确．故选：BD．12．如图，直平面六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都为2，∠DAB＝60°，P为CC1的中点，点Q是四边形CC1D1D（包括边界）内，则下列结论正确的是（）A．过点A1，B，P的截面是直角梯形B．若直线AQ∥面A1BP，则直线AQ的最小值为√5C ．存在点Q 使得直线B 1Q ⊥面A 1BPD ．点Q 到面A 1BP 的距离的最大值为3√3010解：对于A ，过点A 1，B ，P 的截面交C 1D 1于E ，即为平面A 1BPE ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 可得A 1（√3，﹣1，2），B （√3，1，0），P （0，2，1）， 故A 1B →=(0，2，−2)，BP →=(−√3，1，1)， 故A 1B →⋅BP →=0+2−2=0，故A 1B ⊥BP ， 所以四边形A 1BPE 为直角梯形，故选项A 正确； 对于B ，如图M ，N 分别为DD 1，DC 的中点，易证MN ∥A 1B ，MN ⊄平面A 1BP ，A 1B ⊂平面A 1BP ，所以MN ∥平面A 1BP ， AM ∥BP ，AM ⊄平面A 1BP ，BP ⊂平面A 1BP ，所以AM ∥平面A 1BP ， 又AM ∩MN ＝M ，AM ，MN ⊂平面AMN ，所以平面AMN ∥平面A 1BP ， 故点Q 在线段MN 上运动，易知A(√3，−1，0)，M(0，0，1)，N(0，1，0)， 故MA →=(√3，−1，−1)，MN →=(0，1，−1)，故MA →⋅MN →=0， 故AQ 的最小值即为AM =√5，故选项B 正确；对于C ，设Q （0，a ，b ），而B 1(√3，1，2)，故B 1Q →=(−√3，a −1，b −2)， 设平面A 1BP 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 故{2y −2z =0−√3x +y +z =0，令x =2√3，则y ＝z ＝3，所以平面A 1BP 的一个法向量为n →=(2√3，3，3)， 要使得B 1Q ⊥面A 1BP ，故√32√3=a−13=b−23，解得a =−12，b =12，因点Q 在四边形CC 1D 1D （包括边界）内，故须满足0≤a ≤2且0≤b ≤2，故选项C 错误； 对于D ，PQ →=(0，a −2，b −1)， 故点Q 到面A 1BP 的距离d =|3(a−2)+3(b−1)|√12+9+9=|3a+3b−9|√30，故当a ＝b ＝0时，点Q 到面A 1BP 的距离最大，最大值为√30=3√3010，故选项D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．经过点M （3，﹣1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 x 28−y 28=1 ．解：设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x 2﹣y 2＝λ（λ≠0）， 将点M （3，﹣l ），代入可得9﹣1＝λ，∴λ＝8， ∴方程为x 2﹣y 2＝8，即x 28−y 28=1．故答案为：x 28−y 28=1．14．设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和TT n ，且S n T n=7n 9n+4，则a 3b 3=57． 解：由等差数列的性质和求和公式可得S 5T 5=2a 32b 3=7×59×5+4=57．故答案为：57．15．已知抛物线C ：y 2＝2x 和圆M ：（x ﹣a ）2+y 2＝1，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数a ＝ 1−√54． 解：抛物线C ：y 2＝2x 和圆M ：（x ﹣a ）2+y 2＝1，由抛物线的对称性，不妨设交点为P(x 0，√2x 0)，且满足(x 0−a)2+2x 0=1， 抛物线在点P 处的切线方程为√2x 0⋅y =2⋅x 0+x2， 故由题知：√2x 0x 0−a=√2x 0，解得：x 0＝﹣a ＞0，代入圆方程可得：4a 2﹣2a ﹣1＝0，解得：a =1−√54． 故答案为：1−√54． 16．正三棱锥S ﹣ABC ，SA ＝2AB ＝4，点P 为侧棱SA 的中点，M ，N 分别是线段SB ，AB 上的动点，则2PM +MN 的最小值为 √15 ． 解：如图所示，由已知得SP ＝2，在△ASB 中，可得cos ∠ASB =16+16−42×4×4=78，过P 作PD ⊥SB ，D 为垂足，可得SD =74，PD =√154，设∠PMD ＝α，则PM =PDsinα=√154sinα， ∴DM =PM ⋅cosα=√15cosα4sinα，则BM =4−74−√15cosα4sinα， 而sin ∠SBA =√154，可得MN 的最小值为√15−7√1516−15cosα16sinα， ∴2PM +MN =√152sinα+√15−7√1516−15cosα16sinα=√1516(8sinα−√15cosαsinα+9) =√1516((8+√15)sin 2α2+(8−√15)cos 2α22sin α2cos α2+9)=√1516((8+√15)tan α22+8−√152tan α2+9) ≥√1516(7+9)=√15． 故答案为：√15． 四、解答题17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝2． （1）若a 3+b 3＝3，求{b n }的通项公式； （2）若T 3＝21，求S 3．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝b 1＝1，a 2+b 2＝2，a 3+b 3＝3得{d +q =1q 2+2d =2，解得{q =0d =1（舍去），{q =2d =−1，于是b n =2n−1． （2）由T 3＝21得q 2+q ﹣20＝0，解得q ＝﹣5或q ＝4．当q ＝4时，由a 2+b 2＝2＝1+d +q 得d ＝﹣3，∴S 3＝1﹣2﹣5＝﹣6； 当q ＝﹣5时，由a 2+b 2＝2＝1+d +q 得d ＝6，∴S 3＝1+7+13＝21， 综上所述，故S 3＝﹣6或21．18．（12分）已知圆C 过点A （4，2）和点B （1，3），圆心在直线y ＝x ﹣1上． （1）求圆C 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；（2）若直线l 经过点P （1，﹣1），且l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则{−D 2=−E2−11+9+D +3E +F =016+4+4D +2E +F =0，解得D ＝﹣4，E ＝﹣2，F ＝0，所以圆C 的方程为：x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0， 化为标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5，所以圆心为（2，1），半径为r =√5； （2）由（1）知，圆心到直线l 的距离为d =√5−22=1， 于是当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，符合题意；当直线斜率存在时，不妨设直线方程为y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，令√k2+1=1，解得k=34，直线方程是3x﹣4y﹣7＝0，综上所述，直线l的方程是：x＝1或3x﹣4y﹣7＝0．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．证明：（I）∵AB＝AC＝2，D是B1C1的中点．∴A1D⊥B1C1，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥BC，∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，∴A1O⊥AO，A1O⊥BC∵BC∩AO＝O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC∴A1D⊥平面A1BC解：（II）建立坐标系如图∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4 ∴O （0，0，0），B （0，√2，0），B 1（−√2，√2，√14），A 1（0，0，√14） 即A 1B →=（0，√2，−√14），OB →=（0，√2，0），BB 1→=（−√2，0，√14）， 设平面BB 1C 1C 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， {n →⋅OB →=0n →⋅BB 1→=0即得出{y =0−√2x +√14z =0得出n →=（√7，0，1），|BA 1→|＝4，|n →|=2√2 ∵n →⋅BA 1→=√14， ∴cos ＜n →，BA 1→＞=√144×2√2=√78，可得出直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为√7820．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，Q 为C 上一点且纵坐标为4，QP ⊥y 轴于点P ，且|QP|=12|QF|．（1）求p 的值；（2）已知点M(12，−2)，A ，B 是抛物线C 上不同的两点，且满足k AM +k BM =−85．证明：直线AB 恒过定点（﹣2，﹣3）．解：（1）由Q 为C 上一点且纵坐标为4，可得点Q(8p ，4)，由抛物线定义可知，8p =12(8p +p 2)，解得p＝4，所以抛物线方程为：y 2＝8x ；（2）证明：由（﹣2）2＝8×12，可得点M(12，−2)在抛物线上，设直线AB ：x ＝my +n ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立y 2＝8x 与直线x ＝my +n ，消去x ，可得y 2﹣8my ﹣8n ＝0， 在Δ＞0下，y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝﹣8n ， 所以k AM +k BM =y 1+2x 1−12+y 2+2x 2−12=y 1+2y 128−12+y 2+2y 228−12=8y 1−2+8y 2−2=8(y 1+y 2)−32y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=−85， 即64m−32−8n−16m+4=−85，整理得n ＝3m ﹣2．将n ＝3m ﹣2代入直线x ＝my +n ，得x ＝my +3m ﹣2， 即x +2＝m （y +3），所以直线AB 恒过定点（﹣2，﹣3）．21．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =π3，侧面△P AD 是边长为2的正三角形，侧面P AD ⊥平面ABCD ． （1）证明：AD ⊥BP ；（2）若点Q 为棱PC 上的动点，求平面ABQ 与平面PBC 夹角的正弦值的最小值．解：（1）证明：取AD 中点O ，连接OP 、OB ，BD ， 因为△ADB 为正三角形，所以AD ⊥PO ， 因为在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，所以△ABD 为正三角形， 所以AD ⊥OB ，又因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥平面POB ， 又因为PB ⊂平面POB ，所以AD ⊥PB ； （2）由（1）知，AD ⊥PO ，因为侧面P AD ⊥平面ABCD ，侧面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂侧面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以OB ，OD ，OP 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示， 设OA ＝1，则A(0，−1，0)，B(√3，0，0)，C(√3，2，0)，D(0，1，0)，P(0，0，√3)， 所以PC →=(√3，2，−√3)，设PQ →=λPC →=λ(√3，2，−√3)=(√3λ，2λ，−√3λ)（0≤λ≤1），则OQ →=OP →+PQ →=(0，0，√3)+(√3λ，2λ，−√3λ)=(√3λ，2λ，√3−√3λ)， 所以AQ →=(√3λ，2λ+1，√3−√3λ)，又AB →=(√3，1，0)，设面ABQ 的法向量是m →=(x ，y ，z)， 则{√3x +y =0√3λx +(2λ+1)y +(√3−√3λ)z =0，令z =√3+√3λ，则m →=(√3−√3λ，3λ−3，√3+√3λ)，由题知，平面PBC 的一个法向量是n →=(1，0，1)， 所以平面ABQ 与平面PBC 夹角的余弦值： cosθ=√3√2√(√3−√3λ)2+(3λ−3)+(√3+√3λ)2=√6√15λ−18λ+15=√6√15(λ−35)2+485，当λ=35时，cos θ有最大值√104，所以平面ABQ 与平面PBC 夹角的正弦值的最小值为√1−cos 2θ=√1−1016=√64．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√23，且椭圆C上的点到点Q （0，2）的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m ，n ），使得直线l ：mx +ny ＝1与圆O ：x 2+y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）由e =√23得a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2＝3b 2椭圆上的点到点Q 的距离d =√x 2+(y −2)2=√3b 2−3y 2+(y −2)2=√−2y 2−4y +4+3b 2(−b ≤y ≤b) ①当﹣b ≤﹣1时，即b ≥1，d max =√6+3b 2=3得b ＝1②当﹣b ＞﹣1时，即b ＜1，d max =√b 2+4b +4=3得b ＝1（舍） ∴b ＝1 ∴椭圆方程为x 23+y 2=1（2）假设M （m ，n ）存在，则有m 2+n 2＞1 ∵|AB |=2√1−1m 2+n 2，点O 到直线l 距离d =1√m +n∴S△AOB=12×2√1−1m2+n2×√m2+n2=√1m2+n2(1−1m2+n2)∵m2+n2＞1∴0＜1m2+n2＜1，∴1−1m2+n2＞0S△AOB=√1m2+n2(1−1m2+n2)≤√(1m2+n2+1−1m2+n2)24=12当且仅当1m2+n2=1−1m2+n2，即m2+n2＝2＞1时，S△AOB取最大值12，又∵m23+n2=1解得：m2=32，n2=12所以点M的坐标为(√62，√22)或(−√62，√22)或(√62，−√22)或(−√62，−√22)，△AOB的面积为12．。
浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知随机变量X的分布列为，则P（2＜X≤4）=（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·新余期末) 某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k= =16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是（）A . 40B . 39C . 38D . 373. （2分） (2016高二上·芒市期中) 如图是某校举行歌唱比赛时，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和平均数依次为（）A . 87，86B . 83，85D . 82，864. （2分）如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A . i≤5B . i≤4C . i＞5D . i＞45. （2分）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A . 9B . 18C . 27D . 366. （2分）若样本a1 ， a2 ， a3的方差是a，则样本3a1+1，3a2+1，3a3+1的方差为（）A . 3a+1B . 9a+1D . 9a7. （2分） (2016高二下·三门峡期中) 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2＜ξ≤2）=（）A . 0.477B . 0.628C . 0.954D . 0.9778. （2分）甲、乙两人参加一次射击游戏，规则规定，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．已知甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率是．假设甲、乙两人射击是相互独立的，则p的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·上饶模拟) 已知（2x2+4x+3）6=a0+a1（x+1）2+a2（x+1）4+…+a6（x+1）12 ，则a0+a2+a4+a6的值为（）A .B .C .D .10. （2分）已知．若在区域A中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B中的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）下列所给程序框图，当x＝1 250时输出结果为（）A . 20B . 25C . 30D . 4012. （2分）若数列满足规律：，则称数列为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为（）A . 12B . 14C . 16D . 18二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分），则n=________．14. （1分）将38化成二进制数为________ ．15. （1分）(2016·四川理) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________ ．16. （1分） (2018高二下·牡丹江月考) 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。
高二数学-绍兴市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷解析版
浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()1,2,3AB =- ，()1,1,5BC =--，则AC = （）A ．10B ．3CD2．若点(1,2),(4,8)A B --，已知AB 的方向向量为(1,)k ，则实数k 的值为（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．若直线1ax by +=与22:1O x y +=相离，则点(),P a b 与圆O 的位置关系为（）A ．点P 在圆O 内B ．点P 在圆O 上C ．点P 在圆O 外D ．无法确定4．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内极小值点的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x +=，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．已知F 为椭圆E ：22143x y +=的右焦点，直线0-+=mx y m 与椭圆交于点A ，B ，则AFB △的周长为）A ．4B．C ．8D．7．给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列.已知数列{}n x 为函数()22f x x x =--的牛顿数列，2ln 1n n n x a x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，且11a =，()2n x n +>∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S .则2024S =（）A ．202421-B ．202321-C ．2024112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2023112⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若双曲线不存在以点()2,a a 为中点的弦，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A．1,3⎛ ⎝⎦B．⎣⎦C．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题9．下列四个命题中正确的是（）A ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底B ．n是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若0a n ⋅= ，则//l αC ．已知向量()9,4,4a =- ，()1,2,2b = ，则a 在b 方向上的投影向量为1,1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．O 为空间中任意一点，若OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则,,,P A B C 四点共面10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2222(0)n n S a An Bn C A B +=+++≠，则下列说法正确的是（）A ．当0A =时，存在B ，C ∈R ，使得数列{}n a 是等差数列B ．当0A =时，存在B ，C ∈R ，使得数列{}n a B -是等比数列C ．当0A ≠时，存在B ，C ∈R ，使得数列{}n a 是等差数列D ．当0A ≠时，存在B ，C ∈R ，使得数列{}n a 是等比数列11．已知()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线2:8C y x =上异于坐标原点O 的两个动点，且以AB 为直径的圆过点O ，则（）A ．直线AB 的斜率为128y y +B ．直线AB 过定点()8,0C ．AB 存在最小值且最小值为16D ．ABO 的外心轨迹为抛物线12．设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 满足()()f x g x '=，()()g x f x '=，()f x 为奇函数，且()01g =.则下列选项中正确的有（）A ．()g x 为偶函数B ．()f x 为周期函数C ．()g x 存在最大值且最大值为1D ．()()()()()g x y g x g y f x f y +=+三、填空题13．圆221:210240C x y x y +-+-=与圆222:2280C x y x y +++-=的公共弦所在直线的方程为．14．等比数列{}n a 的n 前项和为n S ，若510133S S =，则1098a a a =+.15．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴，左，右焦点分别是12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则1211e e -.16．设2(,)(0,)4b a b a b R ϕ=>∈，当a ，b 变化时，(,)a b ϕ的最小值为.四、解答题17．已知函数()3143f x x mx =-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的极小值为43-，求m 的值．18．已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线23100x y +-=相切于点()2,2P .(1)求圆C 的方程；(2)若过点()3,2Q --的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的方程.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,32BAC AB AC AA ∠====.(1)证明：11A B B C ⊥；(2)若点P 在棱1CC 上，1:2:1C P PC =，求平面1ABC 与平面1A BP 夹角的余弦值.20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，求AB CD +的取值范围.21．已知数列{}n a 满足11a =，1231n n a a +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：123111152n a a a a +++⋅⋅⋅+<.22．设a 为正实数，函数()e axf x a =-存在零点()1212x x x x <，，且存在极值点0x ．(1)当1a =时，求曲线()f x 在()()11f ，处的切线方程；(2)求a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】先求出AC再利用向量的模长计算公式即可【详解】()()()1,2,31,1,50,1,2AC AB BC =+=-+--=-，所以AC =故选：D 2．C【详解】AB 的方向向量坐标为(41,82)++，即(5,10).又(1,)k 也是AB 的方向向量，1025k ∴==.3．A1>，进而可得221a b +<即可判断位置关系.【详解】由题设(0,0)O 与直线1ax by +=的距离1d =>，即221a b +<，所以点(),P a b 在圆O 内.故选：A 4．A【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象，即可判断选项.【详解】()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，()0f x '<，函数()f x 单调递减，由导函数()f x '的图象知：函数()f x 在(,)a b 内，与x 轴有四个交点：从左向右看，第一个点处导数左正右负，是极大值点，第二个点处导数左负右正，是极小值点，第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，第四个点处导数左正右负，是极大值点，所以函数()f x 在开区间(,)a b 内的极小值点有1个，故选：A 5．B【分析】结合图形，由圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1得12a=，即得圆1C 的圆心与半径，再由圆心距与两半径和差的关系判断两圆位置关系即可，【详解】由221:20(0)C x ax y a -+=>，得222()(0)x a y a a -+=>，则圆心1(,0)C a ，半径a ，由221:20(0)C x ax y a -+=>，得222()(0)x a y a a -+=>，则圆心1(,0)C a ，半径r a =，因为圆上3个点到直线的距离是1，由直线:0l x =，2a =，故由题可知12aa =-，则2a =，故圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，又圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =2121-<+，所以两圆的位置关系是相交.故选：B.6．C【分析】直线0-+=mx y m 恒过椭圆的左焦点，利用椭圆的定义求得AFB △的周长.【详解】直线0-+=mx y m 恒过定点()11,0F -为椭圆E 的左焦点，由椭圆的定义知AFB △的周长112248AF AB BF AF AF BF BF a a a ++=+++=+==.故选：C 7．A【分析】求出函数的导函数，即可得到21221n n n x x x ++=-，从而得到2112211n n n n x x x x ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，两边取对数得到12n n a a +=，再由等比数列求和公式计算可得.【详解】由题意得()21f x x '=-，则221222121n n n n n n n x x x x x x x +--+=-=--，所以22121222212211121n n n n n n n n x x x x x x x x +++-⎛⎫---== ⎪+++⎝⎭+-，则两边取对数可得11221n2ln 11n n n n x x x x ++--=++，即12n n a a +=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以()2024202420241122112S ⨯-==--.故选：A.8．B【分析】由题意知点(2a ，a )必在双曲线外部；若存在(2a ，a )为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为222b a，要使弦不存在，则弦与双曲线无交点，则弦的斜率大于渐近线斜率b a ，如此即可得到ba的取值范围，进而求出离心率的范围﹒【详解】由题意知点(2a ，a )必在双曲线外部，则()222221a a a b-≤，得2213b a ≤；假设以(2a ，a )为中点存在弦，设弦与双曲线交于()()1122A x y B x y ，，，，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，两式作差得，()()()()1212121222x x x x y y y y a b --＋＋＝即())22122212222(AB b x x b k a a y y ⋅⋅＋＝＝＋，∵不存在该中点弦，∴直线AB 与双曲线无交点，则222b ba a ，得12b a ；综上，可得221143b a ≤≤；又∵离心率e＝c ae23e ≤≤，故选：B 9．AD【分析】由空间向量基底的性质判断A ；由线面平行的条件判定B ；由投影向量的概念求C ；由向量基本定理的推论判断D.【详解】对于A ，假设,,a b m 共面，则存在R x y ∈，，使得m a c xa yb =+=+ ，则()1c x a yb =-+，因为{},,a b c 是空间的一组基底，即,,a b c不共面，与()1c x a yb =-+ 矛盾，所以a b m ，，不共面，则{},,a b m 也是空间的一组基底，故A 正确；对于B ，当l ⊂α时，满足0a n ⋅=，但直线l 不平行于平面α，故B 错误；对于C ，因为()9,4,4a =-，()1,2,2b = ，则a 在b 方向上的投影向量为()1,2,2a b b b b ⋅⋅=，，，故C 错误；对于D ，由空间向量基本定理的推论可知：若OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确.故选：AD.10．ABC【分析】根据给定条件，利用1(2)n n n a S S n -=-≥变形给定的递推公式，再按0A =与0A ≠分别讨论判断即可得解.【详解】因为2222(0)n n S a An Bn C A B +=+++≠，当1n =时，13A B Ca ++=，当2n ≥时，2112(1)(1)n n S a A n B n C --+=-+-+，两式相减可得，1322()n n a a An B A --=+-，当0A =时，当2n ≥时，132n n a a B --=，则123n n a a -=+3B，即()123n n a B a B --=-，当1a B =，即3B CB +=，2C B =时，数列{}n a 是等差数列，A 正确；当1a B ≠时，由()123n n a B a B --=-，数列{}n a B -是等比数列，B 正确；当0A ≠时，当2n ≥时，1322()n n a a An B A --=+-，即2(5)n a An A B -+-=[]122(1)(5)3n a A n A B ---+-，当12(5a A A -+-)0B =，即13a B A =-时，2(5)n a An A B =--，此时数列{}n a 是等差数列，C 正确；当13a B A ≠-时，[]1122(5)2(5)3n n a An A B a A A B -⎛⎫-+-=-+- ⎪⎝⎭，即()11232(5)3n n a a A B An A B -⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，此时数列{}n a 既不是等差数列又不是等比数列，D 错误.故选：ABC 11．BCD【分析】根据点差法判断A 选项，联立方程组得出8m k =-，求出定点判断B 选项，应用弦长公式求出最小值判断C 选项，求轨迹方程判断D 选项.【详解】由抛物线2:8C y x =，得4p =.因为2118y x =，2228y x =，两式相减，得()2212128y y x x -=-，当12x x ≠时，有1212128y y x x y y =-+-，此时直线AB 的斜率为128k y y =+，当12x x =时，直线AB 的斜率不存在，所以A 不正确；因为以AB 为直径的圆过原点O ，所以OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，又()2121264y y x x =，所以()212121064y y y y +=，得1264y y =-，1264x x =，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()0y kx m k =+≠，由28y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2880ky y m -+=，所以128my y k =，故864m k =-，即8m k =-，所以直线AB 的方程为()8y k x =-，当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为8x =，过点()80，，所以B 正确．当直线AB 的斜率存在时，由弦长公式知，得1AB y y =-=16=>.当直线AB 的斜率不存在时，16AB =，所以AB 存在最小值且最小值为16，所以C 正确．Rt ABO 的外心就是弦AB 的中点，记为()00M x y ，，其中1202x x x +=，1202y yy +=.于是，由2118y x =，2228y x =以及1264y y =-，得()222221212001212024128821616164y y y y y y x x y y x +-+++=====+，即200432y x =-，所以Rt ABO ∆的外心()00M x y ，的轨迹为抛物线.故选：BCD 12．AD【分析】A 选项，()()f x f x =--两边求导得到()()f x f x '='-，故()()g x g x -=，故A 正确；B 选项，构造()()()F x f x g x =+，求导得到()()0F x F x '-=，从而构造()()e xG x F x -=，求导得到()0G x '=，求出()G x c =，1c =，结合函数奇偶性和方程思想得到()e e2x xf x --=，x ∈R ，()e e 2x xg x -+=，x ∈R ，从而()()f x T f x +≠，B 错误；C 选项，利用基本不等式求出()g x 最小值为1，D 选项，计算出()()()()()g x g y f x f y g x y +=+.【详解】A 选项，由()f x 为奇函数，即()()f x f x =--，对方程两边同时求导，根据求导法则，得()()()()f x f x x f x '=--⋅-=''-'，即()()g x g x -=，从而()g x 为偶函数，所以A 正确.B 选项，由题意知，构造函数()()()F x f x g x =+，x ∈R ，根据求导法则，得，即()()0F x F x '-=，于是，构造函数()()e xG x F x -=，x ∈R ，根据求导法则，得()()()e 0xG x F x F x -⎡-''⎤==⎣⎦.从而()G x c =，x ∈R ，即()()()e xF x f x g x c =+=，x ∈R ，其中c 为待定常数.由()f x 为奇函数，得()00f =.再由()01g =，得()()001f g +=，又()()()0000e F f g c c =+==，即1c =，从而()()()e xF x f x g x =+=，x R ∈.另由()f x 为奇函数，()g x 为偶函数知，()()()()()e x F x f x g x f x g x --=-+-=-+=，与()()()e xF x f x g x =+=联立，解得()e e 2x x f x --=，x ∈R ，()e e 2x xg x -+=，x ∈R .由于当0T ≠时，()()e e 2x T x Tf x T f x +---+=≠，故()f x 不是周期函数，所以B 不正确；C 选项，由基本不等式知，()e e 122x x g x -+=≥=，其中当且仅当0x =时等号成立，即()g x 存在最小值且最小值为1，所以C 不正确；D 选项，()()()()e e e e e e e e 2222x x y y x x y yg x g y f x f y ----++--+=⋅+⋅()e e e e e e e e e e 442x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yg x y +----+----+--+++--++=+==+，D 正确.故选：AD【点睛】利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e xg x f x =⋅，若()()0f x f x -'>，则构造()()e xf xg x =，若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f xg x x=.13．240x y -+=【分析】利用两圆的一般方程相减即可得出结果.【详解】联立两圆的方程得22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，两式相减并化简，得240x y -+=，所以两圆公共弦所在直线的方程为240x y -+=．故答案为：240x y -+=.14．43【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的求和公式，列出方程，求得2q =，再结合等比数列的通项公式，准确计算，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，且0q ≠，若1q =，则510511033S S =≠，与题设矛盾，所以1q ≠，则()()5155101*********11a q S q S q a q q--===+--，解得2q =，所以()22221088988882411213a a q a q q a a a q a a q q =====+++++.故答案为：43.15．2【详解】由题意如图所示：设椭圆的半长轴为1a ，双曲线的实半轴为2a ，椭圆和双曲线的半焦距为c ，1PF m =，2PF n =，m n >，因为12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，所以由椭圆的定义可得：122a m n m c =+=+①，由双曲线定义可得222a m n m c =-=-②，①减②可得：122a a c -=，即11222112a e c e a c -=-=⇒，故答案为：2．161-.【分析】函数表示点(),ln A a a 和2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭的距离加上B 的纵坐标，计算得到1AB BC AF +≤-，设函数()()22ln 1g x x x =+-，计算得到()()min 12g x g ==，得到答案.【详解】2(,)4b a b ϕ=，函数表示点(),ln A a a 和2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭的距离加上B 的纵坐标，画出()ln f x x =和24x y =的图像，如图所示：故111AB BC AB BD AB BF AF +=+-=+-≤-，当ABF 共线时等号成立.设()()22ln 1g x x x =+-，则()ln 1'22x g x x x-=+，()'10g =，当1x >时，ln 122x x ->-，故()ln 1'220x g x x x -=+>，函数单调递增；当01x <<时，ln 122x x -<-，故()ln 1'220x g x x x-=+<，函数单调递减.()()min 12g x g ==，故11AF -≤.综上所述：(,)a b ϕ1.1-.【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.17．(1)答案见解析(2)4【分析】（1）根据题意先对函数求导后，然后对m 分情况讨论，从而可求解；（2）根据函数极小值为43-，结合（1）从而求解.【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ，所以()2f x x m '=-，当0m ≤时，()0f x '≥，则()f x 在R 上递增，当0m >时：若()20f x x m =->'时，解之得：x <或x所以得：()f x 在区间(,-∞，)+∞上单调递增，若()20f x x m =-<'时，解之得：x <<，所以得：()f x 在区间(上单调递减.综上所述，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0m >时，()f x 在区间(,-∞和)+∞上单调递增，()f x 在区间(上单调递减.（2）由（1）知，当0m ≤时()f x 在R 上单调递增，故()f x 不存在极值，当0m >时，()f x 在区间(上单调递减，()f x 在区间)+∞上单调递增，所以()f x 在x =所以314433-=-，解之得4m =，故m 的值为4.18．(1)()22113x y ++=(2)3x =-或43180x y ++=【分析】（1）根据圆C 的圆心在直线10x y --=上，设圆心为(),1a a -，再根据圆与直线23100x y +-=相切于点()2,2P 求解；（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，利用弦长公式求解.【详解】（1）解：因为圆C 的圆心在直线10x y --=上，所以设圆心为(),1a a -，又因为圆与直线23100x y +-=相切于点()2,2P ，所以d =，解得0a =，所以圆心为()0,1-，半径为r =，所以圆C 的方程()22113x y ++=；（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为3x =-，圆心到直线的距离为3d =，所以弦长为4AB ==，成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为2(3)y k x +=+，即320kx y k -+-=，圆心到直线的距离为d =所以弦长为4AB ===，解得43k =-，所以直线方程为：43180x y ++=，所以直线l 的方程为3x =-或43180x y ++=.19．(1)证明见解析【分析】（1）依题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得证；（2）结合（1）中结论，分别求得平面1ABC 与平面1A BP 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，故以A 为坐标原点，1AC AB AA 、、方向分别为x y z 、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系A xyz -.则()()()()110,0,3,0,3,0,0,3,3,3,0,0A B B C ，所以()()110,3,3,3,3,3A B B C =-=--，所以110A B B C ⋅=，所以11A B B C ⊥.（2）因为点P 在棱1CC 上，1:2:1C P PC =，所以()3,0,1P ，又()()()()110,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,3A A B C ，则()()()()110,3,0,3,0,3,3,3,1,3,0,2AB AC PB PA ===--=-，设平面1ABC 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即30330b a c =⎧⎨+=⎩，令1a =，则()1,0,1n =-，设平面1A BP 的法向量为(),,m x y z = ，则100n PB n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即330320x y z x z -+-=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则()2,3,3m =，所以cos ,m nn m m n ⋅==⋅所以平面1ABC 与平面1A BP22.20．(1)22143x y +=(2)48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据题意，由离心率可得,a b 的关系，再将点的坐标代入即可得到椭圆方程；（2）根据题意，先讨论两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，再讨论两条弦斜率均存在且不为0，此时设直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，联立椭圆与直线AB 方程，结合韦达定理与弦长公式分别表示出弦长AB 与弦长CD ，即可得到结果.【详解】（1）∵12c e a ==，所以2234b a =.设椭圆方程为2243x y λ+=，将31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得1λ=.故椭圆方程为22143x y +=.（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易得其中一条弦为长轴24a =，另一条弦长为椭圆的通径为223b a=，即7+=AB CD ；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得：()22223484120k xk x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴()212212134k AB x x k +=-=+，同理，()222211211214343k CD k k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，∴()()()()()2222222212112184134343434k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴()()22228484844131121114924t t AB CD t t t t t +===-++-⎛⎫--+⎪⎝⎭，∵1t >，∴101t<<，∴211494912244t ⎛⎫<--+≤ ⎪⎝⎭，∴24114912114924t ≤<⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴2488477114924t ≤<⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴4877AB CD ≤+<.综合②可知，AB CD +的取值范围为48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．(1)13212n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解；（2）由（1）可知1113212n n a -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，由放缩可得当3n ≥时，11233212nn -⎛⎫< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合等比数列求和分析求解.【详解】（1）由1231n n a a +=+，即13122n n a a +=+，可得()13112n n a a ++=+，且1120a +=≠，故11312n na a ++=+，可知{}1n a +是首项为2，公比为32的等比数列，则13122n n a -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，即13212n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为13212n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知1113212n n a -=⎛⎫- ⎪⎝⎭.显然11512a =<，12111351222a a +=+=<，当3n ≥时，则13321022n n-⎛⎫⎛⎫->> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得11233212nn -⎛⎫< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.于是12111112n a a a ++⋅⋅⋅+<+34222333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2347222221833333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221337722121818313nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-7952218182<+<+=；综上所述：123111152n a a a a +++⋅⋅⋅+<.22．(1)11e 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；(2)0a <<【分析】（1）先求函数的导函数，再求出切点处的导数即斜率，最后应用点斜式求出切线方程；（2）先设函数()e e xp x x =-根据单调性求出范围，再根据零点个数转化为不等式计算求解.【详解】（1）()2e axf x a '=-()2111e e 22af a =-=-'，当1x =时，()1e 1e 1af a =-=-，所以切点坐标为()1e 1-，，则切线方程为()1e 1e 12y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即11e 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（2）∵()2e ax axf x a ='=-()21ax g x a=-，∵0a >，∴()g x 在()0+∞，单调递增，记()e e xp x x =-，()e e 01x p x x =-=⇒='，当1x >时，()0p x '>，()p x 单调递增；当01x ≤<时，()0p x '<，()p x 单调递减，∴()()11e e 0p x p ≥=-=，有e e x x ≥，故有e e ax ax ≥．∴())3322e 12e 1g x a ax a x ≥-=-，可得0g ⎛⎫>，又∵()010g =-<，∴()g x 存在唯一正根t ，使得()0g t =，且在()0，t 上()0g x <，在()，+∞t 上()0g x >，在()0，∈x t 时，()0f x '<，在()，+∈∞x t 时，()0f x ¢>，且()0f t '=，即()f x '存在唯一正根t ，故()f x 定有极小值点0x t =，由()00g x =，可知()00210ax g x a=-=，∴0e ax a =又∵()e axf x a =-()1212x x x x <，，∴()00e 0ax f x a =<，即012ax >，∴01322220e 1e 11ax a a a =->-=，可得0a <<。
2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知球的半径为1，则该球的体积是（ ） A ．43B ．πC ．43π D ．4π【答案】C【解析】直接由球的体积公式求出球的体积即可． 【详解】由球的体积公式34433V R ππ=⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题考查球的体积公式，属于基础题．2．两直线1l ：10kx y -+=，2l ：440x ky -+=垂直，则k 为（ ） A ．不存在 B ．0C ．1-D ．1【答案】B【解析】利用直线垂直的性质求解即可． 【详解】根据直线垂直的条件可得，40k k +=，所以0k =. 故选：B ． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．3．在三棱锥O ABC -中，若D 为BC 的中点，则AD u u u r=（ ）A ．1122OA OC OB +-u u ur u u u r u u u rB ．1122OA OB OC ++u u ur u u u r u u u rC ．1122OB OC OA +-u u ur u u u r u u u rD ．1122OB OC OA ++u u ur u u u r u u u r【答案】C【解析】如图所示，D 为BC 的中点，()12OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，代入AD OD OA =-u u u r u u u r u u u r 即可得出． 【详解】如图所示，D Q 为BC 的中点， ()12OD OB OC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，()12AD OD OA OB OC OA ∴=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：C ． 【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．1a >-C ．19a >D ．19a <【答案】A【解析】点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，那么把这两个点代入37x y -+，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a 的取值范围．【详解】Q 点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，()()2373470a ∴⨯+-+<，即：330a +<，解得1a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ B ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n C ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥ D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ【答案】C【解析】试题分析：A 中,αβ可能相交，B 中,m n 可能相交或异面，D 中,αβ可能相交.【考点】空间点、线、面的位置关系.6．若实数x y ，满足不等式组2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值是（ ）A ．83B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值即可． 【详解】画出可行域2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，表示的区域如图，要求x y +的最小值，就是x y +在直线240x y +-=与直线0x y -=的交点44,33N ⎛⎫⎪⎝⎭处， 目标函数x y +的最小值是83． 故选：A ． 【点睛】本题考查线性规划问题，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，考查计算能力．7．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】根据题意作出AB 与两个半平面的棱所成的角为ABD ∠，利用边角关系，求出ABD ∠的正弦值，得出结论． 【详解】如图，AB 的两个端点A α∈，B β∈， 过A 点作'AA β⊥，交β于'A ，连接BA '，则'ABA ∠为线段AB 与β所成角，且'30ABA ∠=︒，同理，过B 作'BB α⊥，交α于B'，则'BAB ∠为'BB 与α所成角，且'30BAB ∠=︒,过B 作''BD AB P ，且''BD AB =，则ABD ∠为所求，''ABBD ∴为矩形，设2AB =，在直角'ABB ∆中，1'3012BB ABsin AB =︒==， 在直角'ABA ∆中，1'3012AA ABsin AB =︒==，3'303A B ABcos AB =︒== 所以22''2BD A B A D =-=，同理2AD =所以22sin ABD ∠=， 故45ABD ∠=︒ 故选：B ． 【点睛】本题考查直线和平面所成的角，异面直线所成的角，属于中档题．8．已知圆锥PO ，A B C ，，是底面圆周上任意的三点，记直线PA 与直线BC 所成的角为1θ，直线PA 与平面ABC 所成的角为2θ，二面角P AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．13θθ≤B ．31θθ≤C ．12θθ≤D ．23θθ≤【答案】D【解析】根据题意，求出2PO sin PA θ=，32PO POsin sin PM PAθθ=≥=，得出结论． 【详解】如图，直线PA 与平面ABC 所成的角2PAO θ∠=，2POsin PAθ=，二面角P AB C --即平面PAB 与底面所成的角，作PM AB ⊥，连接OM ，根据三垂线定理，OM AB ⊥， 故3PMO θ∠=，32PO POsin sin PM PAθθ=≥=， 又3θ，2θ都是锐角， 所以32θθ≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面，异面直线所成的角，属于中档题．9．已知1B ，2B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个短轴端点，P 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．60,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．6,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】P 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤，可得：222a b b +≤，化为：221.3b a ≥利用221c b e a a==-，即可得出范围．【详解】P Q 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤， 222a b b ∴+≤，化为：2213b a ≥．2261.c b e a a ∴==-≤又()0,1e ∈，60,.3e ⎛⎤∴∈ ⎥ ⎝⎦故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知ABC V ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上【答案】C【解析】为计算简便，不妨设ABC V 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】为计算简便，不妨设ABC V 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA ==(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =u u u r，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-u u u r ，(),,MO x y z =u u u u r ， 因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=u u u r u u u r ， 同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=u u u r u u u u r ，两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=， 故选：C ． 【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．二、填空题11．已知点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，则2a b -=______． 【答案】1【解析】三点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，可得AB BC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【详解】三点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，AB BC k k ∴=，111010ba----∴=--， 化为：21a b -=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三点共线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______．【答案】13【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P ABCD -，所以几何体的体积为：1111133⨯⨯⨯=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题． 13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ． 【答案】1【解析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出半径. 【详解】设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ， 则由2l r ππ=得2l r =， 而22·233S r r r r ππππ=+== 故21r =， 解得1r =， 故答案为：1. 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：()1圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；()2圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，以A 为同一顶点的三条棱长均为1，且两两的夹角为060，则对角线AC 1的长是 . 【答案】【解析】本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．解：设。
2023-2024学年浙江省绍兴市高二上学期期末模拟数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省绍兴市高二上册期末模拟数学模拟试题一、单选题1．直线0x y +=的倾斜角等于（）A ．45B ．90C ．120D ．135【正确答案】D【分析】由0x y +=得=-+y x ，据此可得答案.【详解】由0x y +=得=-+y x ，得直线斜率为1-，则倾斜角为135 .故选：D2．已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由3OM OA OB OC λ=-+确定的点M 与,,A B C 共面，则λ的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】B【分析】由向量共面定理可知311λ-+=，进而可得解.【详解】由点M 与,,A B C 共面，且3OM OA OB OC λ=-+，可得311λ-+=，解得：1λ=-，故选：B.3．若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≤-B ．2a ≥C ．2a <-或2a >D ．2a ≤-或2a ≥【正确答案】C【分析】根据公式2240D E F +->，即可求解.【详解】若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则222420a +-⨯>，解得：2a >或2a <-.故选：C4．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2022a =（）A ．1B ．2C ．-1D ．1.5【正确答案】C【分析】结合数列的周期性求得正确答案.【详解】23412311111,11,122a a a a a a =-==-=-=-=，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，所以2022674331a a a ⨯===-.故选：C5．已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，则双曲线的离心率为（）ABC．5D【正确答案】D【分析】分两种情况焦点在x 轴上与焦点在y 轴上，再根据离心率公式即可得到答案.【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，离心率e =；当焦点在y轴上时e 故选：D.6．若数列{}n a 的通项公式为2527n n a n -=-，数列{}n b 满足()()111n n n b a a +=--，则12310b b b b ++++= （）A ．﹣125B ．﹣45C ．﹣712D ．﹣815【正确答案】D 【分析】把2527n n a n -=-代入()()111n n n b a a +=--，化简整理后利用裂项相消法求和即可.【详解】2527221272727n n n a n n n --+===+---()()111n n n b a a +=--=22112()27252725n n n n ⋅=-----，则12310b b b b ++++= 11111112()(1)()()53311131315⎡⎤-++-+++-+-⎢⎥⎣⎦ =1182()51515--=-．故选：D ．7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()2,0F ，过F 的直线与C 交于M ，N 两点，准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，直线MN 的方程为（）A ．20x y -=B ．2x =C ．220x y --=D ．32x =【正确答案】B【分析】由交点坐标可得抛物线方程2:8C y x =，设直线MN 的方程为2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和数量积的坐标表示求m 的值即可.【详解】由已知可得()2,0F ，所以122p =，4p =，故抛物线2:8C y x =，又因为()2,0A -且直线斜率不为0，设直线MN 的方程为2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28160y my --=，128y y m +=，1216y y =-，()2121264x x y y =，所以124x x =，()21212484x x m y y m +=++=+，由MA NA ⊥，得0MA NA ⋅=，所以()()11222,2,0x y x y ---⋅---=即()121212420x x x x y y ++++=，所以216844160m +++-=，解得0m =，所以直线MN 的方程为.2x =故选：B8．如图，已知矩形ABCD 的对角线交于点,,1E AB x BC ==，将ABD △沿BD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得AB CE ^，则x 的取值范围是（）A ．0x <B ．0x <≤C ．01x <≤D ．0x≤<【正确答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示出翻折后的位置1(,,)A a b c ，利用向量垂直，数量积为零，找出关系式1bx a =-，进而求得22(1)x a =-，再利用极限位置求得a 的最小值，即可求得答案。
浙江省绍兴市数学高二上学期文数期末考试试卷
浙江省绍兴市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）“m=1”是“复数(m∈R,i为虚数单位)为纯虚数”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件2. （2分）(2018·保定模拟) 已知，则为（）A .B .C .D .3. （2分）已知抛物线C：y2=4x，那么过抛物线C的焦点，长度为整数且不超过2015的弦的条数是（）A . 4024B . 4023C . 2012D . 20154. （2分） (2016高一下·滕州期末) 在边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 已知是虚数单位，则满足的复数在复平面上对应点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分）(2018·茂名模拟) 已知抛物线的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A, B 两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .7. （2分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取5人，则其中成绩在区间[142，148]上的运动员人数是（）A . 2B . 3C . 4D . 58. （2分） (2017高一下·濮阳期末) 如图是求样本x1 ， x2 ，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）A . S=S+xnB . S=S+C . S=S+nD . S=S+9. （2分）在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）A . 2B .C .D .10. （2分）用数学归纳法证明不等式1++成立，起始值至少应取为（）A . 7B . 8C . 9D . 1011. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A . πB .C .D .12. （2分），则方程表示的曲线不可能是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）三进制数121（3）化为十进制数为________14. （1分）当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣64岁劳动人口所占比例：年份20302035204020452050年份代号t12345所占比例y6865626261根据上表，y关于t的线性回归方程为________15. （1分）某班级共有42名学生，在数学必修1的学分考试中，有3人未取得规定的学分．则事件“参加补考”的概率为________16. （1分） (2016高二上·清城期中) 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+ ），则an=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知x+y+z=1 ，求证： .18. （10分）(2017·武邑模拟) 在平面直角坐标系中．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C：pcos2θ=2asinθ（a＞0）过点P（﹣4，﹣2）的直线l的参数方程为（t为参数）直线l与曲线C分别交于点M，N．（1）写出C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）若丨PM丨，丨MN丨，丨PN丨成等比数列，求a的值．19. （5分）(2017·江门模拟) 为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取20处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：147 161 170 180 163 172 178 167 191 182181 173 174 165 158 154 159 189 168 169（Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；通行数量区间[145，155）[155，165）[165，175）[175，185）[185，195）频数（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165，175）、[175，185）及[185，195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为[165，175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X（单位：盏），试求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．20. （10分） (2016高二下·芒市期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求A到平面PBC的距离．21. （10分）(2017·山东模拟) 双十一期间某电商准备矩形促销市场调查，该电商决定活动，市场调查，该电商决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率；（2）电商对选出的某商品采用促销方案是有奖销售，顾客购买该商品，一共有3次抽奖的机会，若中奖，则每次都活动数额为40元的奖券，假设顾客每次抽奖时中奖的概率都是，且每次中奖互不影响，设一位顾客中奖金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望．22. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 已知椭圆C的方程为 + =1（a＞b＞0），双曲线﹣ =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4 ．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，过F2作直线l（与x轴不重合）交于椭圆于A，B两点，线段AB的中点为E，记直线F1E的斜率为k，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知等差数列的前项和为，首项为，公差为，则（ ） {}n a n n S 1a d 42S a -=A ． B ． C ． D ．134a d +135a d +144a d +145a d +【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解. n 【详解】因为，所以， 412146,S a d a a d =+=+42S a -=135a d +故选:B.2．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标和的模长分别为（ ） B ()1,2,2A Oxy B ABA ．B ．C ．D ．()1,0,2;2()1,0,2;3()1,2,0;2()1,2,0;3【答案】C【分析】直接求出点的坐标和的模长.B AB【详解】因为点是点在坐标平面内的射影， B ()1,2,2A Oxy 所以.()1,2,0B 所以， ()0,0,2AB =-所以. 2AB = 故选：C3．若直线，则（ ） :l y kx =22:4O x y +=k =A ． B ． C ． D ．0k =1k =1k =-1k =±【答案】D【分析】先求圆心到直线的距离，结合弦长和勾股定理可得答案. 【详解】因为的圆心为，半径为，22:4O x y +=()0,0O 2r =所以圆心到直线的距离为；l d =，所以，解得. 222d r +=1k =±故选：D.4．已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，22:1C x y -=12,F F ,A B 1F 且的周长为8，则（ ） 2ABF △AB = A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【分析】利用双曲线的定义求解. 【详解】解：因为双曲线， 22:1C x y -=所以a =1，由双曲线的定义得：， 212122,22AF AF a BF BF a -==-==两式相加得 ，2244AF BF AB a +-==又因为的周长为8，即 ， 2ABF △228AF BF AB ++=两式相减得 ， 2AB =故选：A5．已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ）A BCD -1,M CD AB AM ⋅=A ．B ．C ．D ．14-1412-12【答案】D【分析】利用基底表示出，利用数量积的定义可求答案.AM【详解】因为M 是棱CD 的中点，所以()12AM AC AD =+所以1122AB AM AB AC AD ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ ()12AB AC AB AD =⋅+⋅ ()1cos 60cos 602AB AC AB AD =+. 111111112222⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：D.6．已知01,01x y ≤≤≤≤（ ）A ．2B ．C ．D ．32【答案】B【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解.【详解】如图，设，， ， ， (,)P x y (0,0)O (0,1)A (1,1)B (1,0)C表示点与之间的距离；(,)P x y (0,0)O与之间的距离； (,)P x y (0,1)A与之间的距离； (,)P x y (1,0)C表示点与之间的距离；(,)P x y (1,1)B+，PO PA PB PC =+++其中是以1为边长的正方形内任意一点，(,)P x y OABC，PO PB OB +≥=PA PC AC +≥=故， PO PA PB PC +++≥当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为12x y ==故选：B7．已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（ ）{}n a n n S ()(),,,n n n a n S A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案. n 【详解】设等比数列的首项为，公比为， {}n a 1a q A 选项，时，，图象符合.1n a =n S n =B 选项，时，，图象符合.11, 1.1a q ==()11 1.11.1,101.111 1.1nn n n n a S --===--C 选项，时，，图象符合. 11,2a q ==-()()1122,3nn n n a S ---=-=D 选项，由图可知，都是负数，所以， 123,,a a a 10,0,0,0n n a q a S <><<但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D 选项图象不符合. 4n ≥n a n S 故选：D8．在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为O xyz -()000,,P x y z (),,m a b c=α，经过点且一个方向向量为的直线的方()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=P ()(),,0n v v μωμω=≠l 程为.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为000x x y y z z v μω---==α，直线的方程为，则直线到平面的距离为（ ） 35410x y z -++=l 354x y z==l αA ．0B C D【答案】C【分析】根据线面距离的空间向量坐标运算求法直接求解.【详解】由题可知点在直线上，取平面内一点,(0,0,0)O l α1(0,0,)4P -根据题设材料可知平面一个法向量为，α()3,5,,4m =-,1(0,0,)4OP =- 所以 cos ,OP m OP m OP m ⋅<>===所以直线到平面的距离为 l α1cos ,4OP OP m <>==故选:C.二、多选题9．已知直线，下列说法中正确的是（ ） 1y =A ．倾斜角为 B ．倾斜角为 180 0 C ．斜率不存在 D ．斜率为0【答案】BD【分析】根据直线方程得到斜率，进而得到倾斜角. 【详解】解：因为直线方程为， 1y =所以斜率为0，倾斜角为， 0 故选：BD10．记为等比数列的前项和，则（ ）n S {}n a n A ．是等比数列B ．是等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}1n n a a +C ．成等比数列 D ．成等比数列23,,n n n S S S 232,,n n n n n S S S S S --【答案】AB【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.【详解】设等比数列公比为，则有， (0)q q ≠1n na q a +=所以，所以是以为公比的等比数列，A 正确； 11111n n n na a a q a ++==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1q ，所以是以为公比的等比数列，B 正确； 2121n n n n a a q a a +++={}1n n a a +2q 若公比，则，所以不能构成等比数列，C 错误； 1q =-20n S =23,,n n n S S S 若公比，且为偶数，则都等于0， 1q =-n 232,,n n n n n S S S SS --此时不能构成等比数列，D 错误. 故选:AB.11．若曲线是由方程和 ） E 1x -=1y -=A ．曲线关于直线对称E y x =±B ．曲线围成的图形面积为E 4π+C ．若点在曲线上，则的取值区间是 ()00,x y E 0x ⎡⎣D ．若圆能覆盖曲线，则的最小值为2 222(0)x y r r +=>E r 【答案】AD【分析】对条件作代数变换得到E 是由4个半圆组成，作曲线E 的图形，根据图形的性质逐项分析.【详解】由， 得 或 ，1x -=0,1x ≥∴≥1x ≥1x ≤-当 时， ， 是圆心为 ，半径为1的半圆，1x ≥()22111x x y -=-+=∴()1,0同理可得E 的其他部分，分别为圆心为 半径为1的半圆，圆心为 半径为1的半圆，()1,0-()0,1圆心为 半径为1的半圆； ()0,1-作曲线E 的图形如下图：图中虚线部分 是边长为2的正方形； ABCD 对于A ，显然图形关于 对称，正确；y x =±对于B ，图形的面积 ，错误；21224242ππ⨯=⨯+⨯=+对于C ，由图可知 的取值范围是 ，错误；0x []22-,对于D ，覆盖住曲线E 的圆的半径的最小值显然是2，正确； 故选：AD.12中，则下列命题中正确的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离之比为2，则P 11AA BB AD 11BC 动点的轨迹是圆P B ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到面的距离之比为2，P 11AA BB AD 11BB CC 则动点的轨迹是椭圆P C ．若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离相等，则动P 11AA BB AD 1BB 点的轨迹是抛物线PD ．若点是线段的中点，分别是直线上的动点，则的最小值是P 1A B ,M N 1,AC CD PM【答案】ACD【分析】对于选项A ，建立如图所示的直角坐标系，由题得，代入坐标化简即得解；对12AP PB =于选项B ，代入坐标化简即得解；对于选项C ，代入坐标化简即得解；对于选项=2AP PE AP PE =D ，对任意的点，固定点时，当时，最小，即最小，把平M M MN CD ⊥PM PM MF +面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，即得解. 1A BC 1A AC PF AC ⊥PM MF +【详解】对于选项A ，建立如图所示的直角坐标系，则设因为1(0,0,0),A B (,0,),P x z 平面, 所以,所以点到直线的距离就是,同理点到直线的距离AD ⊥11A B BA AD AP ⊥P AD AP P 11B C就是.所以,1PB 12AP PB ==2216((9x y +=，它表示圆，所以该选项正确；对于选项B ，过点作,垂足为,因为平面平面，则点到平面的P 1PE BB ⊥E 11A B BA ⊥11BB CC P 11BB CC距离就是.所以,因为，所以PE =2AP PE )E z，所以动点的轨迹是双曲线，所以该选项2256(3x z =∴-=P 错误；对于选项C ，点到直线的距离就是.所以，所以P 1BB PE AP PE =，所以动点的轨迹是抛物线，所以该选项正确； 22(1z x =∴=P 对于选项D ，对任意的点，固定点时，过点作平面，垂足为，连接，M M M MF ⊥ABCD F FN当时，最小，此时平面, 所以, 由于MN CD ⊥PM CD ⊥MNF CD FN ⊥. 所以. 如下图，,CF CFMF FN AC AC ==∴=MF MN =PM PM MF =+把平面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，此时1A BC 1A AC PF AC ⊥PM MF +故该选项正确. PM MF BC +==故选：ACD三、填空题13．已知直线，直线，若，则__________. :20l x ay ++=:230m x y --=l m ⊥=a 【答案】##120.5【分析】根据两条直线垂直的充要条件算出答案即可. 【详解】因为，所以，解得， l m ⊥1120a ⨯-=12a =故答案为：.12四、双空题14．已知数列满足：，则__________；__________.{}n a ()21221n a a na n n +++=+ 2a =n a =【答案】 531n -【分析】利用赋值可得，利用退位相减可得.2a n a 【详解】当时，；当时，，所以.1n =12a =2n =12212a a +=25a =①()21221n a a na n n +++=+ 当时，② 2n ≥()()2121211n n a a n a n -+++-=- ①-②得，，整理得. ()()2211n na n n n n =+--31n a n =-故答案为：531n -五、填空题15．已知抛物线的焦点为，点在上，点，若的最小值为5，则2:4C y x =F P C ()4,A m PA PF +__________.m ∈【答案】[]4,4-【分析】讨论点A 与抛物线的位置关系，结合的最小值为5，列出不等关系，求得m 的PA PF +范围，可得答案.【详解】当线段与抛物线C 没有公共点，即点在抛物线外部时，或AF ()4,A m 216,4m m >∴>，4m <-此时当三点共线时，最小，最小值为， ,,A P F PA PF +5=解得或，不合题意；4m =4m =-当点在抛物线上时，或，此时， ()4,A m 216,4m m =∴=4m =-||5AF =即此时重合；,A P点在抛物线内部时，， ()4,A m 216,44m m <∴-<<设抛物线C 的准线为l ，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ， 过点A 作l 的垂线，垂足为B ，则,共线时，取等号，符合题意， 415PA PF PA PQ AB +=+≥=+=,,()P A B Q 综合上述可得若的最小值为5，则， PA PF +[]4,4m ∈-故答案为：[]4,4-16．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为1C 2C 22212:1,,43x y C F F +=2C 的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经B 2F 1C 1F B 抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另D x 1F 2C P 一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于Ex 1cos BF P ∠=__________.【答案】 2326【分析】首先联立直线与抛物线方程求得点坐标,进而求得点坐标，然后再联立直线与2BF D E 2EF 椭圆方程求得点坐标，可得向量的坐标，最后求得.P 11,F B F P 1cos BFP ∠【详解】由题意得：12(1,0),(1,0),(0,F F B -可得抛物线方程，直线 :,24yx =2BF 1)y x =-联立，可得； )241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩A (3,D，即. 34E E y x ==3(4E直线：，联立椭圆方程，得，解得或2EF1)y x =--)221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩A 265128600x x -+=65x =（舍），所以； 1013x =6(,5P 则，所以. 1111(1,(,5F B F P == 1111123cos 26F B F P BF P F B F P ⋅∠== 故答案为：. 2326六、解答题17．已知等差数列的公差为2，且成等比数列，{}n a 235,,1a a a -(1)求的通项公式；{}n a (2)记，若数列的前项和.121n a n n b a -=+-{}n b n n T 【答案】(1)2n a n =(2) ()22413n n -+【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求解；(2)分组求和.【详解】（1）由题知()23251a a a =-即解得，()()()2111427,a a a +=++12a =所以.()112n a a n d n =+-=（2） 21212n n b n -=-+. ()2141(21)214n n n T n -+-=⋅+-()22413n n -=+18．已知双曲线的焦点. 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F ()1,0(1)求双曲线的方程；C (2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.()2,3A l C l 【答案】(1) 2213y x -=(2)或)23y x =-+21y x =-【分析】（1）利用点到直线的距离求出b ，再结合顶点求出a ，从而求出双曲线方程； （2）设直线方程，联立双曲线，分类讨论，判别式法求解【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>b y x a =(c,0)F by x a =，所以，又，b =b =1a =所以双曲线方程为 2213y x -=（2）由题知，直线的斜率必存在.l 设直线方程为：l ()23y k x =-+联立，消y 得 ()223213y kx k y x ⎧=+-⎪⎨-=⎪⎩()()2222364412120k x k k x k k ----+-=①当时，上述方程只有一解，符合题意，230k -=所以；)23y x =-+②当时，为使上述方程只有一解即，230k -≠Δ0=， ()()22226443(41212)0k k k k k ----+-=化解得：，所以，2440k k -+=2k =所以.21y x =-综上，直线方程为：或.l )23y x =-+21y x =-19．在一个平面上，，机器人从与点的距离为的地方绕点顺时针()()6,0,0,8A B -()1,3C -()0r r >C 而行，在行进过程中机器人所在位置保持与点的距离不变.P C (1)若，求它在行进过程中到过点与点的直线的最近距离和最远距离；6r =A B (2)若在行进过程中存在某点使得，求的取值范围.P PA PB ⊥r 【答案】(1)最近距离为，最远距离为 7567555r ≤≤【分析】（1）先求点的轨迹方程，结合圆心到直线的距离可得答案；P （2）先求以为直径的圆的方程，结合两圆的位置关系可得答案.AB 【详解】（1）设机器人所在位置，则,(),P x y 22(1)(3)36x y -++=所以的轨迹是以为圆心，6半径的圆.P C 直线的方程为：，即, AB 168x y +=-43240x y -+=点到直线的距离为, C AB 375d所以到直线的最近距离为， P AB 75d r -=到直线的最远距离为. P AB 675d r +=（2）的轨迹方程为P 222:(1)(3)(0)C x y r r -++=>A 设中点， AB ()3,4,10M AB -=所以以为直径的圆方程，AB 22:(3)(4)25M x y ++-=A 因为，所以也在上.AP BP ⊥P M A 所以与有公共点，即， C A M A 55r CM r -≤≤+.55r -≤≤20．如图，在多面体中，已知，，，，ABCDE AB DE ∥AB BD ⊥AE CE =22AB BD DE ===为等边三角形.BCD △(1)求证：；AC BE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值.ACE BCE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）解法一，取中点，中点，连，，以为坐标原点，建立空间直AC M BC F ME DF F 角坐标系，利用证明即可；解法二，利用线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理求0AC BE ⋅= 解即可；（2）解法一：利用空间向量法求解即可；解法二：作于于，连接，由AG CE ⊥,G BH CE ⊥H MH 勾股定理可得即为所求二面角.BHM ∠【详解】（1）解法一：取中点，连，因为，所以，AC M ME AE CE =ME AC ⊥在等边三角形中，取中点，连接，则，BCD △BC F DF DF BC ⊥因为，且， MF AB DE ∥∥MF DE =所以四边形为平行四边形.MFDE 故，所以，DF ME ∥DF AC ⊥由，，平面，,DF BC DF AC ⊥⊥BC AC C ⋂=,BC AC ⊂ABC 得平面，DF ⊥ABC 因为平面，所以，AB ⊂ABC DF AB ⊥又因为，平面，DF BD D = ,DF BD ⊂BCD 所以平面，AB ⊥BCD 所以两两垂直，,,FM FC FD 建立如图所示的空间直角坐标系，则，F xyz -()()1,0,0,1,0,2C A -， ()()()()1,0,0,,2,0,2,B E AC BE -=-= 因为，所以.2020AC BE ⋅=+-= AC BE ⊥解法二：取中点，连，因为，所以，AC M ME AE CE =ME AC ⊥在等边三角形中，取中点，连接，则，BCD △BC F DF DF BC ⊥因为，且，MF AB DE ∥∥MF DE =所以四边形为平行四边形.MFDE 故，所以，DF ME ∥DF AC ⊥由，，平面，,DF BC DF AC ⊥⊥BC AC C ⋂=,BC AC ⊂ABC 得平面，DF ⊥ABC 因为平面，所以，AB ⊂ABC DF AB ⊥又因为，平面，DF BD D = ,DF BD ⊂BCD 所以平面，AB ⊥BCD 又因为平面，所以平面平面，AB ⊂ABDE ABDE ⊥BCD 取中点，连，BD O ,AO CO因为平面平面，所以平面，ABDE BCD BD =CO ⊥ABDE 又因为平面，所以，BE ⊂ABDE CO BE ⊥又，所以， 1tan tan AOB EBD∠∠=AO BE ⊥因为，平面，AO CO O = ,AO CO ⊂AOC 所以平面，BE ⊥AOC 又因为平面，所以.AC ⊂AOC BE AC ⊥（2）解法一：， ()()()2,0,2,,AC CE BE =-=-= 设平面的法向量为，则ACE (),,m x y z = ，解得，2200m AC x z m CE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()1,0,1m = 设平面的法向量，则BCE (),,n x y z = ，解得，00n CE x z n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,n = 设所求夹角为，则θcos m n m n θ⋅=== 解法二：作于于，连接，AG CE ⊥,G BH CE ⊥H MH 在中，ACE △AE CE AC ===所以AG CG ==在中，，BCEA 2,BC BECE ===所以 BH CH ==所以为的中点，H CG 所以 ,MH AG MH =∥所以，MH CE ⊥所以为平面与平面夹角或其补角，BHM ∠ACE BCE 由平面得，BM ⊥ACE 在中，（也可利用余弦定理求得） Rt BMH A cos MH BHM BH ∠=21．已知数列的前项和为. {}n a n 11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-(1)求及的通项公式；23,S S {}n a (2)若对任意的恒成立，()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- *2,N n n ≥∈求的最小值.λ【答案】(1)，2312,39S S ==3n n a =(2) min 9128λ=【分析】（1）先求得求，然后利用累乘法求得，利用求得. 23,S S n S 11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a （2）利用裂项求和法化简题目所给不等式，结合分离常数法求得的最小值.λ【详解】（1）， 1322233,12313131233,3911S S S --=⨯=⨯-===-时，， 2n ≥()132112213312nn n n n n S S S S S S S S S S ----=⋅⋅⋅⋅⋅= 时上式也符合，即，1n =()3312n n S -=所以，时，，2n ≥13n n n n a S S -=-=时，上式也符合.1n =所以，.3n n a =（2）时，2n ≥ ()()()()111331111231313131n n n n n n n n a a a ---⎛⎫==- ⎪------⎝⎭故()()()()()()3212231111111n n n a a a a a a a a a -+++------ 3112231n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以对任意的均成立， 23111223131n n λ⎡⎤⎛⎫≥⋅-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦*2,N n n ≥∈由于， 11318n ≤-所以，故. 9128λ≥min 9128λ=22．已知椭圆，右焦点为，抛物线的焦点22122:1(0)x y C a b a b +=>>2F 22:2C x by=-到其准线的距离为1.F (1)求的标准方程；12,C C (2)若过于，交轴于的中垂线交轴于，记以弦2F 1C ,B D y ,A BD y E BD 为直径的圆的面积为的面积为，求.M 1,S MAE A 2S 12:S S (3)已知且，若斜率为的直线与椭圆相交于两点，且中点恰在抛物线2n ≥*n ∈N 2231n n --1C ,P Q PQ N 上.记的横坐标为，求的最大值.2C N n x n x【答案】(1) 22212:1,:22x C y C x y +==-(3) 89【分析】（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得出的值，再由椭圆的离心率公式求出的p b ,a c 值，求出椭圆和抛物线的标准方程；（2）直线与椭圆联立方程组，由弦长公式求出的长度，由圆的面积公式，从而求出；利用||BD 1S 韦达定理和中点坐标公式，求出点坐标，从而求出的中垂线方程，求出点坐标，由、M BD E A点坐标，利用三角形面积公式，求得，最后求出 M 2S 12S S （3）利用点差法求出的斜率与的斜率的关系，把点代入抛物线方程，求出的表达式，PQ ON N n x 利用证明数列的单调性的方法，证明单调递减，由于椭圆和抛物线图象的对称性，可以得到n x 2nx 一定小于等于它们交点的横坐标的平方，从而得出的范围，结合的单调性，从而求出的最2n x n x n x 大值.【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，22:2C x by =-F b ∴1,b =，22222222112c c a b b e e a a a a -==∴===-= 221,2b a ∴=. 21,2,b a a =∴== ∴22212:1,:22x C y C x y +==-（2），直线的方程为：，()21,0F BD )1y x =-所以，设， (0,A ()()1122,,,B x y D x y 联立，得. 221)12y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩271240x x -+=，∴1212124,77x x x x +==2BD x ∴=-===. 221||32ππ()π249BD S ∴=⋅=⋅=12121212126(,),,,22727x x y y x x M x x ++++=∴= 将点代入直线方程得到 M )1y x =-122y y +=的中点∴BD 6,7M ⎛ ⎝的中垂线方程为：BD 67y x x ⎫=-=⎪⎭令得，. 0x=y=∴E ⎛ ⎝ 211(22M E S AE x y ==-=. 12S S ∴==（3）设,代入得()()(),,,,,N N P P Q Q P x y Q x y N x y ,作差整理得， ，即22221212p P Q Q x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()2()()P Q P Q P Q P Q x x x x y y y y -+=--+2()P Q P Q P Q P Q y y x x x x y y -+=--+；()2P QPQ P Q x x k y y +=-+,即； 2,2,P Q N P Q N x x x y y y +=+= 1,22N PQ PQ N O N x k k y k ∴=-∴=-12PQ ON k k ⋅=-∵，点在抛物线上，N n x x =N ，，， ∴212N n y x =-12N n n y x x ∴=-∴12ON n k x =-且 22222233111,(),(222311n n PQ n n n n k x x n n n ----=∴⋅-=-∴=≥-- N )n *∈∵， 2221121(1)112230333n n n n n n n n n x x +---+---++-=-=<.∴234,,n x x x x >>>> 联立，得到其交点的横坐标为，， 222122x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩A 21x =∴201n x ≤≤（不符合要求），（不符合要求），（不符合要求），（符合）. 23x =383x =453x =589x =的最大值为. ∴n x 89【点睛】方法点睛：圆锥曲线中三角形面积的求解方法：（1）公式法：利用弦长公式求出弦长作为三角形的底边长，利用点线距求出三角形的高线长，结合三角形的面积公式可得答案；（2）分割法：把三角形分割成易于求解的若干三角形，求解面积之和即可.。
浙江省绍兴市诸暨市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题含解析
【解析】
【分析】（1）解法一，取 中点 ， 中点 ，连 ， ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用 证明即可；解法二，利用线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理求解即可；
（2）解法一：利用空间向量法求解即可；解法二：作 于 于 ，连接 ，由勾股定理可得 即为所求二面角.
【小问1详解】
解法一：取 中点 ，连 ，因为 ，所以 ，
对于选项C，点 到直线 的距离就是 .所以 ，所以 ，所以动点 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
对于选项D，对任意的点 ，固定点 时，过点 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，当 时， 最小，此时 平面 ,所以 ,由于 .所以 ，所以 .如下图，把平面 翻起来，使之和平面 在同一个平面，当 时， 最小，此时 .故该选项正确.
在等边三角形 中，取 中点 ，连接 ，则 ，
因 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形.
故 ，所以 ，
由 ， ， 平面 ，
同理可得E的其他部分，分别为圆心为 半径为1的半圆，圆心为 半径为1的半圆，圆心为 半径为1的半圆；
作曲线E的图形如下图：
图中虚线部分 是边长为2的正方形；
对于A，显然图形关于 对称，正确；
对于B，图形的面积 ，错误；
对于C，由图可知 的取值范围是 ，错误；
对于D，覆盖住曲线E的圆的半径的最小值显然是2，正确；
在等边三角形 中，取 中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形.
故 ，所以 ，
由 ， ， 平面 ，
得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，
浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案
2023学年第一学期期末教学质量调测高二数学试题（答案在最后）注意事项：1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题．2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校､班级､姓名和准考证号．3．试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.下列方程所表示的直线中，倾斜角为π4的是（）A.210x y --=B.210x y +-=C.10x y --=D.10x y +-=【答案】C 【解析】【分析】将直线方程化成斜截式得到直线斜率，由此确定直线的倾斜角是否符合.【详解】对于A 项，直线的斜率为2，故直线的倾斜角不是π4，故A 项错误；对于B 项，直线的斜率为12-，故直线的倾斜角不是π4，故B 项错误;对于C 项，直线的斜率为1，故直线的倾斜角是π4，故C 项正确；对于D 项，直线的斜率为1-，故直线的倾斜角不是π4，故D 项错误.故选：C.2.已知平面α⊥平面,,βαβ的法向量分别为()()121,2,3,0,,2n n x ==，则实数x =（）A.3B.-3C.2D.-2【答案】B 【解析】【分析】由平面,αβ互相垂直可知其对应的法向量也垂直，然后用空间向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】∵平面α⊥平面β，∴平面,αβ的法向量也垂直，∴120n n ⋅= ，即120260n n x ⋅=++=，解得：3x =-.故选：B .3.已知等比数列{}12,1,2n a a a ==，则数列{}n a 的前10项和为（）A.55B.110C.511D.1023【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得公比，再利用等比数列前n 项和公式，即可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和n S ，则212a q a ==，故101012102312S -==-.故选：D.4.已知直线:10l x y -+=，圆()22:24C x y -+=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出点C 到直线l 的距离即可求解.【详解】因为圆()22:24C x y -+=，所以(2,0)C ，半径2r =，因为点C 到直线l 的距离22d ==>，所以直线l 与圆C 的位置关系是相离.故选：C.5.已知椭圆22:14x C y +=，过原点O 且倾斜角为π4的直线交椭圆于,A B 两点，则AB =（）A.5B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.【详解】依题意，可得直线的方程为：y x =，代入2214x y +=中，整理解得：5x =±，当5x =，5y =；当5x =-时，5y =-，故有25252525(,),(,5555A B --,则55AB ==⨯=.故选：D.6.正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是111111,,A D A B B C 的中点，点P 是线段FG （含端点）上的动点，当P 由点F 运动到点G 时，三棱锥A CEP -的体积（）A.先变大后变小B.先变小后变大C.不变D.无法判断【答案】C 【解析】【分析】A CEP P AEC V V --=，AEC △的面积不变，判断点P 到平面AEC 的距离变化情况即可.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =，四边形11AA C C 为平行四边形，有11//AC A C 正方形1111D C B A 中，,F G 分别是1111,A B B C 的中点，有11//FG A C ，得//FG AC ，FG ⊄平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，则//FG 平面AEC ，所以P 由点F 运动到点G 时，点P 到平面AEC 的距离保持不变，又,,A E C 三点为定点，AEC △的面积不变，所以三棱锥P AEC -的体积不变，即三棱锥A CEP -的体积不变.故选：C7.斐波那契数列{}n a 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci ）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{}n a 满足12211,n n n a a a a a ++===+，则1352023a a a a ++++= （）A .2025a B.2024a C.20251a - D.20241a -【答案】B 【解析】【分析】根据递推公式，342564,,a a a a a a =-=- ，累加即可求得结果.【详解】根据斐波那契数列的递推公式，可得1352023a a a a ++++= ()()()1426420242022a a a a a a a +-+-+- 2024212024a a a a =-+=.故选：B.8.已知直线l 过点()2,0P -交抛物线2:4C y x =于,A B 两相异点，点B 关于x 轴的对称点为B '，过原点O 作直线AB '的垂线，垂足为Q ，则Q 点的轨迹方程为（）A.()()22110x y y -+=≠ B.()()22140x y y -+=≠C.()()22210x y y -+=≠ D.()()22240x y y -+=≠【答案】A 【解析】【分析】求得直线AB '恒过的定点，结合圆的定义，即可容易求得结果.【详解】设抛物线24y x =上两点,A B 坐标为()()1122,,,x y x y ，若直线AB 斜率存在，则()()121212121212414y y y y k x x y y y y y y--===-++-，则直线AB 方程为：()11124y y x x y y -=-+，()212112144y y y y y y x x +--=-，又2114y x =，故AB 方程为：()12124y y y x y y +=+；若直线AB 斜率不存在，则12120,y y x x +==，此时直线AB 方程为：1x x =，显然()12124y y y x y y +=+也可表示这种情况；综上所述：抛物线24y x =上两点,A B ，若坐标分别为()()1122 ,,,x y x y ，则直线AB 方程可表示为：()12124y y y x y y +=+.又AB 过点()2,0P -，故128y y =；又B '为()22,x y -，同理可得直线AB '方程为：()12124y y y x y y -=-，也即()1248y y y x -=-，其恒过定点()2,0，记该点为M ；根据题意可得，OQ QM ⊥，故点Q 在以OM 为直径的圆上，且不与,O M 重合；容易得该圆圆心为()1,0，半径1r =，故Q 点的轨迹方程为：()()22110x y y -+=≠.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够求得直线AB '恒过的定点，本题采用()12124y y y x y y +=+表达直线AB 方程，可简化运算；属综合困难题.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线22:142x y C t t +=--，则下列结论正确的是（）A.当24t <<时，曲线C 是椭圆B.当4t >或2t <时，曲线C 是双曲线C.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则23t <<D.若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则24t <<【答案】BC 【解析】【分析】对t 的取值范围进行分类讨论，即可判断和选择.【详解】对方程22142x y t t +=--：若420t t ->->，表示焦点在x 轴上的椭圆，此时()2,3t ∈；若420t t -=->，表示圆，此时3t =；若042t t <-<-，表示焦点在y 轴上的椭圆，此时()3,4t ∈；若40,20t t ->-<，表示焦点在x 轴上的双曲线，此时(),2t ∈-∞；若40,20t t --，表示焦点在y 轴上的双曲线，此时()4,t ∈+∞；根据上述讨论，BC 正确.故选：BC.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为317,4,147n S a a S =-=，则（）A.128a = B.421a =C.数列{}n a 为单调递减数列 D.n S 取得最大值时，14n =【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件求出等差数列{}n a 的首项和公差，通过计算验证各选项的结论即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3174,147a a S =-=，得111247671472a d a a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1272a d =⎧⎨=-⎩，故A 选项错误；41327621a a d =+=-=，B 选项正确；由20d =-<，()1*Nn n a a n +<∈，等差数列{}na 为单调递减数列，C 选项正确；()211282n n n S na d n n -=+=-+，由二次函数的性质可知，n S 取得最大值时，14n =，D 选项正确.故选：BCD11.已知点()4,1M ，若过点()2,1N -的直线l 交圆22:9C x y +=于,A B 两点，R 是圆C 上的动点，则（）A.AB 的最大值为6B.AB 的最小值为4C.RM RN ⋅ 的最小值为-1D.RM RN ⋅的最大值为34【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，B ，由圆的性质可得当直线l 与CN 垂直时，AB 有最小值，当直线l 经过圆心时，AB 有最大值，求出即可判断；设(3cos ,3sin )R θθ，从而可得1618cos RM RN θ⋅=-，进而可求出其最小值和最大值可判断C 、D.【详解】当直线l 与CN 垂直时，圆心C =AB 的最小值为4=，当直线l 经过圆心时，AB 的最大值为6，故A ，B 正确；设(3cos ,3sin )R θθ，则()43cos ,13sin (23cos ,13sin )RM RN θθθθ⋅=--⋅---()()()43cos 23cos 13sin (13sin )θθθθ=--+---()22812cos 6cos 9cos 13sin 3sin 9sin θθθθθθ=--++--++1618cos θ=-，由[]cos 1,1θ∈-，当cos 1θ=时，()min16182RM RN ⋅=-=- ，当cos 1θ=-时，()max161834RM RN⋅=+=，故C 错误，D 正确.故选：ABD12.在三棱锥A BCD -中，2,,,,AB CD AC BD AD BC E F G H ======分别是线段,,,AB AC CD BD 上的点，且满足BC 平面,EFGH AD 平面EFGH ，则下列说法正确的是（）A.四边形EFGH 为矩形B.三棱锥A BCD -的外接球的半径为2C.FG GH +=D.四边形EFGH 的面积最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由10CB AD ⋅=≠即可举出反例；对于B ，由补形法将其放入长方体中即可验算；对于C ，由截平行线段成比例即可验算；对于D ，由三角形面积公式结合基本不等式相关推论即可验算.【详解】对于A ，BC 平面EFGH ,AD 平面EFGH ，又BC ⊂面BCA ，面BCA ⋂面EFGH EF =，所以//BC EF ，同理//,//,//AD EH AD GF BC GH ，而()CB AD CB CA CD CB CA CB CD⋅=⋅-+=-⋅+⋅ 222222534543102222CB CA BA CB CD BD CB CA CB CD CB CA CB CD+-+-+-+-=-⋅⋅+⋅=-+=≠⋅⋅，所以CB 与AD 不垂直，从而EF 与EH 也不垂直，故A 错误；对于B，把题设四棱锥放入长方体中，如图所示，不妨设长方体的棱长分别为,,a b c ，且222222345a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，易知长方体的体对角线长度等于三棱锥A BCD -的外接球的半径的两倍，所以()222226R a b c =++=，解得2R =，故B 正确；对于C ，由A 可知//BC EF ，且//,//,//AD EH AD GF BC GH ，所以由截平行线段成比例得11FG CG CD GD GD GH ADCDCDCDCB-===-=-，又AD BC ==，所以FG GH +=C 正确；对于D ，由A可知1cos cos ,cos ,5HGF GH GF BC AD ∠===-，所以sin 5HGF ∠==，所以四边形EFGH的面积22sin sin 2252FG GH S FG GH HGF HGF ⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅∠≤⋅∠=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号成立当且仅当52FG GH ==，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：B 选项的关键是把题设四棱锥放入长方体中，由此即可顺利得解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量()()2,4,0,1,,a b x y =-=- ，且a b，则a b -= __________．【答案】【解析】【分析】由向量平行，求得参数,x y ，再求a b - 的坐标以及模长即可.【详解】ab，故可得42,02x y -=-=-，解得2,0x y ==，故a b - ()3,6,0=-，则a b -==.故答案为：.14.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线上一点，满足2π3AFO ∠=（O 为坐标原点），AK l ⊥，垂足为K ，若2AK =，则AFK S = __________．【解析】【分析】利用抛物线定义，将已知条件转化到Rt AHF 中，求得AH ，即AFK △的高，进而求得面积.【详解】由已知AK l ⊥，则//AK x 轴，过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，过F 作FMAK ⊥，垂足为M ，则//AH MF ，四边形AMFH 为平行四边形，所以AH MF =，且AFK △中以AK 为底边的高即为MF ，在Rt AHF 中，由抛物线的定义知2AF AK ==，又2πππ33AFH ∠=-=，则πsin 232AH AF ==⨯=，则1122AFK S AK FM =⋅=⨯= .15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为__________．【解析】【分析】首先利用双曲线的定义求出1PF 和2PF ，然后在12PF F 中用余弦定理即可求解.【详解】如图所示：因为2PQF 是正三角形，所以22PQ QF PF ==，12120F PF ∠=︒，由双曲线定义可知122QF QF a -=，即112QF PQ PF a -==，再由212PF PF a -=可得24PF a =在12PF F 中，22212121212cos 2·PF PF F F F PF PF PF +-∠=，即()()()22224212·2·42a a c a a+-=-，整理得：22284a c =，227c a=，所以e =16.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222n n n S a a =+-，则71n n S a +-的最小值为__________．【答案】214【解析】【分析】由,n n a S 的关系得*1,N n a n n =+∈，由等差数列求和公式结合对勾函数性质即可得解.【详解】由题意21111222a S a a ==+-，因为数列{}n a 是正项数列{}n a ，所以解得12a =，当*2,N n n ≥∈时，有222n n n S a a =+-，211122n n n S a a ---=+-，两式相减得()()22221111122222n n n n n n n n n n n a S S a a a a a a a a -----=-=+--+-=+--，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，因为数列{}n a 是正项数列{}n a ，所以12n n a a --=，即数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，所以*1,N n a n n =+∈，()()21322n n n n n S +++==，()*37773,11122N 2n n n S n b a n n n n n +===++-++∈-+，又()73,022x y x x =++>在(单调递减，在)+∞单调递增，而34716213334b b =+=>=，所以当且仅当4n =时，71n n S a +-的最小值为214.故答案为：214.【点睛】关键点睛：关键是首先得出*1,N n a n n =+∈，()()21322n n n n n S +++==，由此即可顺利得解.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.如图所示，在棱长均相等的平行六面体1111ABCD A B C D -中11,,AAB A AD E F ∠∠=分别为线段1,DD BC的中点．（1）设1,,AB a AD b AA c === ，请以向量,,a b c表示EF ；（2）求证：平面1A BD ⊥平面11ACC A ．【答案】（1）1122EF c a b=-+-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意直接分解向量即可.（2）由向量的数量积公式得1BD AA ⊥，结合菱形性质线面、面面垂直的判定定理即可得证.【小问1详解】1122EF ED DC CF c a =++=-+-.【小问2详解】∵DB a b=-∴()1cos ,cos ,DB AA a b c a c b c a c a c b c b c ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅，又∵,cos ,cos ,a b c a c b c ===，∴10DB AA ⋅=，即1BD AA ⊥，∵底面菱形中，BD AC ⊥，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A .所以BD ⊥平面11ACC A ．又BD ⊂平面1A BD ．∴平面1A BD ⊥平面11ACC A．18.在数列{}n a 中，已知132nn n a a ++=⋅，11a =．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明详见解析（2）()11522nn nS+--=+【解析】【分析】（1）通过凑配法证得{}2nn a -是等比数列.（2）利用分组求和法求得n S .【小问1详解】由132n n n a a ++=⋅，得11123222n n n n n n a a +++-+=⋅-=，即()1122n n n n a a ++-=--，所以{}2nn a -是首项为1121a -=-，公比为1-的等比数列.【小问2详解】由（1）得()()()()12111,21n n nn n n n a a --=-⨯-=-=+-.所以()()()122222111nn n S =++++-+-++- ()()()()()11112121115222121122n n n nn n ++⎡⎤--------⎣⎦=+=-+=+---.19.如图，已知ABC中，3AC BC AB ===，D 是AB 上一点，且AD CD =，将ADC △沿CD 翻折至PDC △，PB =．（1）求证：BC PD ⊥；（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用已知线面位置关系结合勾股定理，证明BC ⊥平面PCD ，可证BC PD ⊥；（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】∵ABC中，3AC BC AB ===，由余弦定理，222221cos AC AC BC AB AC BC B +-⋅∠===-，而ACB ∠为三角形内角，∴120ACB ∠= ，30A B ∠=∠= ，∵AD CD =，30ACD A ∠=∠= ，∴90DCB ∠=o ，即BC CD ⊥，又∵PBC中，PC BC PB ===，222PC BC PB +=，∴PC BC ⊥，,BC CD ⊂平面PCD ，BC CD C ⋂=，∴BC ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥.【小问2详解】以C 为原点，,CB CD 分别为,x y 轴，过C 垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz -，30ACD A ∠=∠= ，3AC =120ADC PDC ∠=∠= ，由正弦定理，sin sin CD ACA ADC=∠，13sin 21sin 32AC A CD ADC ===∠，BC ⊥平面PCD ，则点P 在yCz 平面内，1PD AD CD ===，120PDC ∠=，得330,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又3,0,0)B ，(0,1,0)D ，∴130,,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(3,1,0)DB =-，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∴00DP n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴1302230y z y ⎧+=⎪⎨-=，设=1x ，则3,1)n =- ，又∵3,0,0)CB =，35cos ,535n CB n CB n CB⋅===⋅故直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值为5520.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的焦距为2520x y ±=，双曲线左，右两个顶点分别为,A B ．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线E 交于,C D 两点．设,AC BD 的斜率分别为12,k k ，若1213k k =-，求l 的方程．【答案】（1）2214x y -=（2）+440x y -=【解析】【分析】（1）依题意，分别求出,,a b c ，即得双曲线方程；（2）由题意，设出直线l 的点斜式方程:1l y kx =+，与双曲线方程联立消元得一元二次方程，求出k 的取值范围，再将1213k k =-代入点的坐标进行等价转化，得到224411413k k k ++=--，解此方程，并进行取舍即得直线l 的方程.【小问1详解】双曲线E的焦距2c =，c ∴=双曲线E 的渐近线方程为20x y ±=，即12y x =±，12b a ∴=，又222+=a bc ，24a ∴=，21b =，∴双曲线E 的标准方程为：2214x y -=．【小问2详解】由（1）得：()2,0A -，()2,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，如图可知：直线l 的斜率一定存在，则可设:1l y kx =+，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()2214880k x kx ---=，由()22140Δ16240k k ⎧-≠⎪⎨=->⎪⎩解得：212k <且214k ≠，122814k x x k ∴+=-，122814x x k=--，()()11211222122222y y x k x y k y x x -+∴==+-；221114x y -= ，1111224y x x y +∴=-，即1111224y x x y -=+，()()()()()()()()()1221121212121222112121212222242424411444y x x x x x x x x x x x k k y x y y kx kx k x x k x x ----++-++∴====++++++222222228164161616444113232416416413k k k k k k k k k k k --+----++====--++---，解得：14k =-或12k =-，又212k <且214k ≠，故14k =-，则直线l 的方程为：114y x =-+，即+440x y -=．21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1551,3S a a ==．（1）求100S 的值；（2）设()01nn n b a q q =⋅<<的前n 项和为n T ，求证：()21n qT q <-．【答案】（1）5050（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差数列及其求和公式基本量的计算，依次得通项公式，代入求和公式即可得解；（2）由错位相减法求和即可得证.【小问1详解】∵55S 3a =，∴115453(4)2a d a d ⨯+=+，得：1a d =，∴1=1a d =，∴=n a n ，∴100100(1001)50502S ⨯+==.【小问2详解】由（1）得(01)nn b n q q =⋅<<，12323n n T q q q nq =++++ ①，234123n n qT q q q nq +=++++ ②，①-②得：12311(1)(1)=1n nn n n q q q T q q q q nqnq q++--=++++--- ，∴()()()()11112222(1)1(1)1111n n n n n n n n q q nq q q q nq q q nq nq T q q q q +++++------+=-==----，()()()()()()111222222111111n n n n q n nq qq nq nq qqq q q q q +++++-+-=-=-<-----.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为23．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆F 的圆心为椭圆C 的右焦点，半径为r ，过点F 的直线与椭圆C 及圆F 交于,,,A P Q B 四点（如图所示），若存在2||||||PQ AP BQ =，求圆F 的半径r 取值范围．【答案】（1）221.95x y +=（2）5263[,]93-【解析】【分析】（1）根据题设条件列出关于,,a b c 的方程组，解之即得；（2）联立直线与椭圆方程，得出韦达定理，将||,||AP BQ 转化为,t r 的表达式，再由2||||||PQ AP BQ =转化得22213=592530t r t r++-，将求r 的范围问题转化为求22159t t ++的值域问题，最后解不等式即得.【小问1详解】由题意得：2225491a b+=①，23c a =②，222a b c =+③，①②③联立得：2295a b ==，，∴椭圆标准方程为：221.95x y +=【小问2详解】∵过点F 的直线与椭圆C 及圆F 依次交于A P Q B 、、、四点，∴圆F 在椭圆C 内部，故：01r <<；(2,0)F ，∴设直线():2,R l x ty t =+∈，1122(,),(,)A x yB x y 由l 代入椭圆C ，整理得：()225920250t y ty ++-=，易知0∆>，∴1212222025,5959t y y y y t t --+==++∵,AP AF r BQ BF r =-=-，()()()2=++AP BQ AF r BF r AF BF AF BF r r ∴=---（*）又1AF y =，2BF y =，12+=AF BF AB y =-=()2230159t t +=+，代入（*）式得：()()222122301=159t AP BQ t y y r r t ++-++()()()()222222223012530125=1+=595959t r t t r r r t t t +-++-++++，又224PQ r =，2PQ AP BQ =，所以()()222225301=459r t r r t -+++，整理得：22213=592530t r t r++-，故上述关于t 的方程有解即可；由222114=1,59559t t t +⎛⎫- ⎪++⎝⎭因2599t +≥，则2440599t <≤+，故221119595t t +≤<+，所以2311,253095r r ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭，即2236502730250r r r r ⎧+-<⎨+-≥⎩解得：33335539r r r ⎧---+<<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又因01r <<，解得：5393r -≤<；当t 不存在时，直线:0l y =，此时1,5AF a c BF a c =-==+=，+6,5AF BF AF BF ∴==，22564AP BQ r r r ∴=-+=，即23+65=0r r -，解得33r -=.综上所述：r的取值范围为53[,]93-．。
浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·遵义期中) 下列程序执行后输出的结果是（）A . ﹣1B . 0C . 1D . 22. （2分） (2018高二上·湘西月考) 下列说法正确的是（）A . 命题“若，则”的否命题为“若，则”；B . 命题“ ”的否定是“ ”；C . 命题“若x=y，则”的逆否命题为真命题；D . “ ” 是“ ”的必要不充分条件.3. （2分） (2017高三下·成都期中) 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是（）A . 3B . 6C . 8D . 114. （2分）某单位为了了解用电量y（度）与气温X（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并作了如下的对照表：由表中数据，得回归直线方程 = + ，若 =﹣2，则 =（）气温X（℃）181310﹣1用电量y24343864A . 60B . 58C . 62D . 645. （2分） (2019高二下·南海期末) 一台机器在一天内发生故障的概率为，若这台机器一周个工作日不发生故障，可获利万元；发生次故障获利为万元；发生次或次以上故障要亏损万元，这台机器一周个工作日内可能获利的数学期望是（）万元．（已知，）A .B .C .D .6. （2分）“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）甲乙910409531026712373044667A . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐8. （2分） (2019高一上·都匀期中) 若函数满足，则（）A .B .C .D .9. （2分）已知三棱锥的底面积是边长为的正三角形，点在侧面内的射影为的垂心，二面角的平面角的大小为，则的长为（）A . 3B .C .D . 410. （2分） (2017高一下·长春期末) 对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2 ，则a＜b；④ ；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，将△ABC绕BC旋转得△PBC，当直线PC与平面PAB所成角的正弦值为时，P、A两点间的距离是（）A . 2B . 4C . 2D . 212. （2分）过双曲线 x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=（）A .B . 2C . 6D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量=（﹣1，3，1）为平面α的法向量，点M（0，1，1）为平面内一定点，P（x，y，z）为平面内任一点，则x，y，z满足的关系是________14. （1分）(2017·上海模拟) 下列命题中的真命题为________．①复平面中满足|z﹣2|﹣|z+2|=1的复数z的轨迹是双曲线；②当a在实数集R中变化时，复数z=a2+ai在复平面中的轨迹是一条抛物线；③已知函数y=f（x），x∈R+和数列an=f（n），n∈N，则“数列an=f（n），n∈N递增”是“函数y=f（x），x∈R+递增”的必要非充分条件；④在平面直角坐标系xoy中，将方程g（x，y）=0对应曲线按向量（1，2）平移，得到的新曲线的方程为g（x ﹣1，y﹣2）=0；⑤设平面直角坐标系xoy中方程F（x，y）=0表椭圆示一个，则总存在实常数p、q，使得方程F（px，qy）=0表示一个圆．15. （1分）(2020·桐乡模拟) 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．16. （1分）(2017·凉山模拟) 已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）已知p：∃x∈R，cos2x﹣sinx+2≤m；q：函数y=（）在[2，+∞）上单调递减，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18. （5分）如图，给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．（1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构；（2）若要使输入的x的值是输出的y的值的一半，则输入x的值为多少？19. （10分）(2016·杭州模拟) 数列{an}定义为a1＞0，a11=a，an+1=an+ an2 ，n∈N*（1）若a1= （a＞0），求 + +…+ 的值；（2）当a＞0时，定义数列{bn}，b1=ak（k≥12），bn+1=﹣1+ ，是否存在正整数i，j（i≤j），使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1．如果存在，求出一组（i，j），如果不存在，说明理由．20. （5分）如图，在Rt△ACD中，AH⊥CD，H为垂足，CD=4，AD=2，∠CAD=90°，以CD为轴，将△ACD 按逆时针方向旋转90°到△BCD位置，E为AD中点；证明：AB⊥CD．21. （5分）(2018·新疆模拟) 已知动点是圆：上的任意一点，点与点的连线段的垂直平分线和相交于点 .（I）求点的轨迹方程；（II）过坐标原点的直线交轨迹于点，两点，直线与坐标轴不重合. 是轨迹上的一点，若的面积是4，试问直线，的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由.22. （10分） (2018高二上·宁阳期中) 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B 两点．（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。