立体几何知识点与例题讲解、题型、方法技巧(理科)

d 为l i ,l 2间的距离）.

15.点B 到平面的距离: wnlI u Br n 山

A I

（n 为平面 的法向量，AB 是经过面 的一条斜线， A ）

16.三个向量和的平方公式： r 2 r 2 r 2 r a b c

21 a |

rGrrb ra,

rb - 2

r b

2

r b

I

. rar 2 r

r a r c 2 r

r c r b r 2 21 b | |c|cos b,c 21 c| |a|cos ：..c,a

啊没立体几何知识点和例题讲解

、知识点

＜一＞常用结论

1 .证明直线与直线的平行的思考途径：

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2 ）转化为二直线同与第三条直线

平行；（3 ）转化为线面平行；（4 ）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2 .证明直线与平面的平行的思考途径：

（1 ）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；（3 ）转化为面

面平行?

3 .证明平面与平面平行的思考途径：

（1 ）转化为判定二平面无公共点； （2 ）转化为线面平行；（3）转化为线面 垂直.

4 .证明直线与直线的垂直的思考途径： （1）转化为相交垂直；（2 ）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的

射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5 .证明直线与平面垂直的思考途径：

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2 ）转化为该直线与平面内相

交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）

转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 6?证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直

8. 异面直线所成角：cos |cos 「a,b 牛曲. 一

1x 1x 2 y 1y 2 Z 1Z 21

■ |a| |b| X 录 Z 12

X 22

壮 Z 22

（其中

（0°

90o

）为异面直线a,b 所成角，a, b 分别表示异面直线 a,b 的方向向量）

uuu ur AB m

9. 直线 AB 与平面所成角： arc sin _ （m 为平面 的法向量）.

|AB||m|

10、空间四点 A 、B 、C 、P 共面 OP xOA yOB zOC ，且 x + y + z = 1 11. 二面角 丨

的平面角

ir r ir r

r

arc cos m n 或 arc cos m n （ m , n 为平面 ， 的法向量）.

|m|| n| |m|| n|

12. 三余弦定理：设 AC 是a 内的任一条直线，且 BC 丄AC,垂足为C,又设AO 与AB 所成的角为1 , AB 与

AC 所成的角为 2 , AO 与AC 所成的角为

.则cos cos 1 cos 2.

13.空间两点间的距离公式 若A （X 1, y 1,Z 1）, B （X 2, y 2, Z 2），则

7.夹角公式

设 a = (a 1,a 2,a 3), b = (d,b 2,b 3)，贝U cos 〈 a , b >

a ?

b 2 asd

uu UJU uuu

d A ,B = | AB| VAB AB (X 2 uuu uu

X 1)2

(y 2 yj 2

(Z 2 乙)2

.

14.异面直线间的距离： d

|CD n| |n| r

（丨1,丨2是两异面直线，其公垂向量为 n , C 、D 分别是丨1,丨2上任

17.长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为11、I2、I3，夹角分别为1、2、 3 ,则有

.2 .2 .2 .2 2 2 2 2 . 2 . 2

I l1 l2 l3 cos 1 cos 2 cos 3 1 sin 1 sin 2 sin 3 2.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）

18?面积射影定理S —「.（平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的）. 19?球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .（2）球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为

20.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

21.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

〈二〉温馨提示：

1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次

cos

②直线的倾斜角、

的角、与

〈三〉解题思路:

线面平行的性质：

//面， 面，

三垂线定理（及逆定

理）

PA 丄面,AO 为PO 在内射影，a 面，则

的夹角的取值范围依次是

1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化: a / b , b 面，a a //面

线//线

线//面 面//面 判定线丄线

线丄面 面丄面 性质 线//线

线丄面

面//面

a丄OA a丄PO; a丄PO a丄AO

平移相交

(2)直线与平面所成的角B, 0 ° <090

=0o时，b/ 或b

面面垂直：

a丄面，a 面丄

面丄面，I, aaa ，丄I 丄

(三垂线定理法：A €a作或证 AB丄B于B，作

BO丄棱于O,连AO,则AO丄棱I，/.ZAOB为所求。)

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)

(1)异面直线所成的角0，

0 ° <0 <0

(3)二面角：二面角I的平面角，01 80°2、三类角的定义及求法

线面垂直:

(定义法

)

a丄面 ,b丄面// a b

面丄a,面丄a //

二、题型与方法

【考点透视】

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。

【例题解析】考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化

法与等体积法的应用?

例1如图，正三棱柱ABC ABQ的所有棱长都为2，D为CC,中点.

(I)求证：AB,丄平面A,BD ；

(□)求二面角A AD B的大小；

(川)求点C到平面ABD的距离.

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的

大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能

力.

解答过程：解法一：(I)取BC中点0,连结AO .

Q A ABC为正三角形，A0丄BC .

Q正三棱柱ABC A B C i中，平面 ABC丄平面BCCB,, A0丄平面BCC i B i .

连结BQ,在正方形BB i C i C中，0, D分别为

BC, CC i 的中点，B i O 丄 BD , AB i 丄BD .

在正方形ABB i A中，AB i丄A B , AB丄平面ABD .

(H)设AB i与A B交于点G，在平面ABD中，作GF丄AD于F ,连结AF，由(I)得

AB丄平面A BD .

AF丄A D , /AFG为二面角 A AD B的平面角.

在厶AAD 中，由等面积法可求得 AF 4-5 ,

5

AG 2 -0

sin / AFG -

AF 4苗 4

~5~

所以二面角A AD B 的大小为arcsin 」° .

4

(川)△ A -BD 中，BD A -D 、.5, A -B 2.2, S ^ABD 在正三棱柱中， A 到平面BCGB 的距离为.3 . 设点C 到平面ABD 的距离为d .

A

又 QAG - AB i 2，

2

, S ^ BCD -.

由v BCD V C A BD ，得 3 S A BCD g 3 3S ^ gd ， 令z 1得n （ .3,1）为平面AAD 的一个法向量.

由（I ）知AB 丄平面A BD , uur

AB 为平面A BD 的法向量.

arccos —

4

（川）由（n ） , AB 为平面ABD 法向量, LUT LULT _ QBC ( 2,0,0), AB (1 ,2, .3).

d

丄

ABD 2

ABD

点C 到平面ABD 的距离为2 .

2

解法二：(I)取BC 中点0 ,连结AO .

Q A ABC 为正三角形，

Q 在正三棱柱 ABC

AO 丄 BC .

ABC 丄平面 BCC 1 B 1

A 1

B 1

C 1 中， 平面

AD 丄平面 BCC 1B 1 .

uuu UJUID ULU

取BQ 中点。1，以O 为原点，

OB , OO 1 , OA 的方向为

x , y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则

B( 1,0,0),

LULT AB (1,2,. 3), UUU BD (2,10), UUT BA

(1,2,. 3). LULT UJU

UUT UUT

Q ABgBD 2 2 0 0 ,ABgBA

1 4 3 0 ,

UUT UUT ULUT ULL T

AB 丄 BD, AB 丄 BA .

AB 1 ± 平面 ABD .

(n)设平面 AAD 的法向量为n

(x, y, z).

UULT

UULT

UUU UUJT

AD ( 1,1,

3)， AA (0,2,0). Q n 丄 AD , n 丄

,

UUU ngAD 0? x y 3z 0,

y 0,

UULT ngAA 1 0，

2y 0,

x

'一

3z.

D( 1 ,0) , A(0,2, 3), A(0,0j.3) , B 1 ( 1 ,2,0),

J 4

.面角A A D

B 的大小为

uuuT uuur _

点C到平面ABD的距离d B C u gA Bl 2_J .

| AB | 2/2 2

小结：本例中（川）采用了两种方法求点到平面的距离?解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的 B 点到平面AMB i的距离转化为容易求的点K到平面AMB i的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法?考点2 异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离?例2已知三棱锥S ABC，底面是边长为4.2的正三角形，棱SC的长为

2，且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.

思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直

线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离

解答过程：

如图所示，取BD的中点F,连结EF, SF, CF,

EF 为BCD 的中位线，EF //CD, CD //面SEF ,

CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离

又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF

的距离，设其为h，由题意知，BC 4 2,D、E、F分别是

AB 、BC 、BD 的中点,

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解 解答过程：

解析一 BD //平面GB 1D 1,

BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求，以下求

点0平面GB 1D 1的距离，

B 1D 1 AG , B 1D 1 A A , B 1D 1 平面 A AC

C 1,

又

B 1D 1 平面GB 1D 1

平面A ACG GB 1D 1,两个平面的交线是 01G ,

CD 2、、6,EF -CD

2 、6,DF .2, SC 2

V s CEF

3 2

EF DF 1 1

SC 6 2 2

3 2

在Rt SCE 中, SE -SC 2

CE 2

2 3

在Rt SCF 中, SF 24

30

又 EF 6

S SEF 3

由于

V

C SEF

V

S

1 1

CEF

3

S SEF h

，即 3 3

2_3 "V

故CD 与SE 间的距离为乙色

3

小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是 个不断转化的过程

考点3 直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化

如图，在棱长为

2的正方体AG 中，G 是AA 的中点，求 BD 到平面GB 1D 1的距离.

D 1

C

A 1

B 1

D

C

作OH OQ 于H ，则有OH 平面GB 1D 1，即OH 是O 点到平面GB 1D 1的距离. 在 O i OG 中，S OOG - O i O AO

i

2

即BD 到平面GB i D i 的距离等于 ^―

3

解析二 BD //平面GB i D i ,

BD 上任意一点到平面 GB i D i 的距离皆为所求，以下求点 B 平面GB i D i 的距离.

设点B 到平面GB i D i 的距离为h ，将它视为三棱锥 B GRD i 的高，则

V B GB i D i V D i GBB i ，由S GB i D i

即BD 到平面GB i D i 的距离等于

小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离

恰当的点，转化为点面距离?本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离 ?

考点4 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角， 然后通过解三角形来求角?异面直线所成的角是高考考查的

重点?

例4、如图，在RtA AOB 中，

OAB n

，斜边AB 4 ? Rt △ AOC 可以通过Rt△ AOB 以直线AO 为轴旋转得到,

6

2 2 2 2.

又 S O i OG

i i 2 OH °i G 2 3 OH

V D I

GBB i

?所以求线面距离关键是选准

且二面角B AO C的直二面角.D是AB的中点.

(1)求证：平面COD 平面AOB ;

(2)求异面直线AO与CD所成角的大小.

思路启迪：i )的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内?解答过程：解法i：(错误味找到引用源。)由题意，CO AO , BO BOC是二面角B AO C是直二面角，

CO BO ，又 QAOI BO O , CO 平面AOB ,

又CO 平面COD . 平面COD 平面AOB .

(2 )作DE OB ，垂足为E ，连结CE (如图)，则,

CDE 是异面直线AO 与CD 所成的角. 1

2 , OE BO 1 ,

2

CE . CO^OE^ 5.

又 DE -AO 3 .

2

解法2 : (1)同解法1 .

uuu _ uuu L OA (0,0,2 .3) , CD (21,3),

择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉 的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三

?一般来说，平移法是最常用的，应作为求异

面直线所成的角的首选方法 ?同时要特别注意异面直线所成的角的范围： 0

_ ?

，2

考点5 直线和平面所成的角

证明以及计算?线面角在空间角中占有重要地位， 是高考的常 考内容?

DE // AO

在 RtA COE 中，CO BO

在 RtA CDE 中，tan CDE

CE

D E

异面直线AO 与CD 所成角的大小为

15

~3~ + Ji5

arcta n —

3

(2)建立空间直角坐标系 0 xyz ，如图,

O(O,O,O), A(0,0,2.3) , C(2,0,0) , D(01,3),

uuu uuur cos OA,CD

uuu uuu OAgCD uuu UJLT OAgCD

6 2.3g2.2

6 4

异面直线AO 与CD 所成角的大小为

—6

arccos —

4

小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,

作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、

11

例5.四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面ABCD .已知/ ABC 45°, AB 2 ,

BC 2、2, SA SB .3 .

(I)证明 SA BC ；

(n)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 考查目本小题主要考查直线与直线 ，直线与平面的位置关系,

面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

解答过程：解法一：(I)作SO 丄BC ,垂足为0，连结AO ，由侧面SBC 丄底面ABCD , 得SO 丄底面ABCD . 因为SA SB ，所以AO B0 ,

又/ ABC 45°，故△ AOB 为等腰直角三角形,

由三垂线定理，得SA 丄BC .

(n)由(I)知 SA 丄BC ，依题设AD // BC ,

故 SA 丄 AD ，由 AD BC 2 2 , SA G , AO .2，得

SO 1, SD 11 .

△ SAB 的面积 S t ^ABg SA 2

1

AB ■ 2 .

1

连结 DB ，得△ DAB 的面积 S 2

—ABgADsin135° 2

2

设D 到平面SAB 的距离为h ，由于V D SAB

V S ABD ，得

1

hgS 1 SOgS 2，解得 h 2 . 3 3

因为SA SB ，所以AO BO .

A0 丄 BO

设SD 与平面SAB 所成角为

，则sin

所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为

h

2 SD

11 .辰

arcs in

v'22 11

解法 (I)作SO 丄BC ,垂足为O ,连结AO ，由侧面

SBC 丄底面ABCD ，得SO 丄平面ABCD .

B

又/ ABC 45°, △ AOB 为等腰直角三角形， AO 丄OB .

如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系

— uir

A （、、2,0,0），

B （0,.、2,0），

C （0,2,0），S （0,0,1），SA

UJH

_ uir uuu

CB （0,2.2,0）, SAg^B 0，所以 SA 丄 BC .

(n)取AB 中点E ,

连结SE ,取SE 中点G ,连结OG , G 2

2 1

9

5 5 —

4

4 2

OG 上,上丄,SE 辽,辽,1 , AB ( 2 , , 2,0). 4 4 2 2 2

0 , OG 与平面SAB 内两条相交直线SE , AB 垂直.

所以OG 平面SAB , OG 与DS 的夹角记为 ，SD 与平面SAB 所成的角记为

，贝U 与 互余.

D( .2,2 2,0) , DS ( .2,2 .21) ? 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为

11

小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（ 1 ）先判断直线和平面的位置关系； （2 ）当直线和平面斜 交时，常用以下步骤：①构造一一作出斜线与射影所成的角，②证明一一论证作出的角为所求的角，③计算一 —常用解三角形的方法求角，④结论一一点明直线和平面所成的角的值 考点6 二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行 求解.二面角是高考的热点，应重视 .

例6.如图，已知直二面角 PQ , A PQ , B , C , CA CB , BAP 45°,直线CA 和

平面所成的角为30°.

O xyz ,

SEgOG 0 , ABQG

cos

OGgDS_ .22 OGgDS 11

22 11

(I)证明BC丄PQ ;

（II ）求二面角B AC P的大小. 命题目的：

过程指引：

因为丄

又因为CA

而BAO

从而BO丄Q

本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、

（I）在平

面

CB，所以

45°，所以逻辑思维能力和运算能力

内过点C作CO丄PQ于点O，连结OB .

PQ，所以CO丄,

OA OB .

Q

ABO 45o, AOB 90o,

PQ，又CO 丄PQ ,

所以PQ丄平面OBC ?因为BC 平面OBC，故PQ丄BC .

（II）解法一：由（I）知，BO丄PQ，又丄，I PQ ,

BO ，所以BO丄

过点0作0H丄AC于点H ，连结BH，由三垂线定理知, BH 丄AC .

故BHO是二面角 B AC P的平面角.

由（I）知，CO丄，所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO 30° ,

不妨设AC 2，则AO 3 , OH AOsi n30°

2

在Rt △ OAB

中,

ABO BAO 45°, 所以BO AO ^3 ,

于是在Rt△ BOH 中，tan BHO BO

OH

.3

2

故二面角B AC P的大小为

arctan2 .

解法二：由（I）知，OC丄OA, OC丄OB , OA丄OB，故可以O为原点，分别以直线OB, OA, OC 为

x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）

C. z

因为CO 丄a ，所以 CAO 是CA 和平面 所成的角，贝V CAO 30° .

不妨设AC 2，则AO 、入,CO 1 ? 在 Rt △ OAB 中, ABO BAO 45°, 所以 BO AO .3 ? 则相关各点的坐标分别是

O （0,0,0），B （'、3,0,0），A （0八3,0），C （0,0,，） ?

ir

设m {x, y, z}是平面ABC 的一个法向量，由 取 x 1，得 n (1,, 3) ?

uu

易知n 2 (1,0,0)是平面 的一个法向量.

小结：本题是一个无棱二面角的求解问题 ?解法一是确定二面角的棱, 确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由

二面角两个平面内的两条平行直线找 出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方

法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小 考点7 利用空间向量求空间距离和角

众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定 ?当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套

强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性

例7 ?如图，已知ABCD AB 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CG 上，且AE FC 1 1 ?

(1 )求证：E , B , F , D 1四点共面;

uun 所以AB （0, .3,1） ? ir uiu

riigA

B ir uiu

.3x . 3y 0,

3y z 0

设二面角B

AC P 的平面角为

，由图可知,

irun

所以cos

1

1 m g 压 1 .5 1 5

ir

uu

故二面角B AC

P 的大小为 arccos —— .

进而找出二面角的平面角?无棱二面角棱的

2

(2)若点G在BC上，BG ，点M在BB i上，GM丄BF，垂足为H，求证：EM丄平面BCC i B i ；

3

(3 )用表示截面EBFD i和侧面BCC i B i所成的锐二面角的大小，求tan .

命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间

想象能力、逻辑推理能力和运算能力.

过程指引：解法一：

(1)如图，在DD i上取点N，使DN 1，连结EN , CN，则AE DN 1,

CF ND i 2 ?

因为AE // DN , ND i // CF，所以四边形ADNE , CFD i N都为平行四边形.

从而EN //AD , FD i // CN .

又因为AD/BC，所以EN/BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN // BE ,从而FD i // BE ? 因此，E, B, F,

D i四点共面.

(2)如图，GM 丄BF，又BM 丄BC，所以/ BGM / CFB ,

BC 2 3

BM BGgtan/ BGM BGgtan/CFB BGg i .

因为AE/BM，所以ABME为平行四边形，从而AB // EM .

又AB丄平面BCC i B i，所以EM丄平面BCC i B i .

(3)如图，连结EH .

3

因为MH丄BF , EM丄BF，所以BF丄平面EMH，得EH丄BF .

于是/ EHM是所求的二面角的平面角，即/ EHM .

因为/MBH / CFB，所以MH BM gsin / MBH BM gsin / CFB

BMg

g BC2CF2

i -------

肘22

■.i3，

tan i3 ?

MH

解法二：

uuu uuu uuu

(i )建立如图所示的坐标系，则BE (3,0i), BF (0,3,2), BD

i uuur uuu uu uuu uuu

所以BD i BE BF，故BD i,BE , BF共面. (3,3,3),

D i

/

EM

A i