高次方程、分式方程、无理方程的解法
高次方程分式方程无理方程的解法教程
高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。
一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。
以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。
所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。
以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。
将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。
这里我们使用求根公式来求解。
根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。
分式方程的解法总结
分式方程的解法总结分式方程是数学中常见的一类方程，其基本形式为分子为一个多项式，分母为一个多项式的等式。
解决分式方程的过程可以通过多种方法来进行，本文将总结几种常见的解法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
当分式方程中存在多个分母时，我们需要找到一个公共分母，将分数转化为分子为多项式的等式。
例如，对于分式方程1/(x+3) + 3/(x-2) = 2/(x+1)，我们可以通过找到(x+3)(x-2)(x+1)作为公共分母，将分母展开，得到方程：(x-2)(x+1) + 3(x+3) = 2(x+3)(x-2)然后，我们可以进一步展开方程，化简后解得x的值。
二、消元法消元法也是解决分式方程的一种常见方法。
当分式方程中存在多个分子或分母含有相同变量的项时，我们可以通过消元的方式简化方程。
举个例子，对于分式方程(x-1)/(x+3) + (2x+3)/(x+1) = 3/(x-1)，我们可以通过乘以(x+1)(x-1)来消除分母：(x-1)(x+1)(x+3) + (2x+3)(x+1)(x-1) = 3(x+1)(x-1)然后，我们展开方程，化简后解得x的值。
三、代换法代换法是解决分式方程的另一种常见方法。
当方程中存在复杂的分式表达式时，我们可以通过代换的方式将方程转化为更简单的形式。
例如，对于分式方程1/(x-1) + 2/(x^2-1) = 3/(x+1)，我们可以令y = x^2-1，将x的平方项替换为y，得到：1/(y+2) + 2/y = 3/(y+2)然后，我们将方程中的分子通分，消去分母，并整理方程，解得y 的值，再代回x，得到x的解。
四、贝尔努利变量替换法贝尔努利变量替换法是解决一类特殊的分式方程的方法。
当方程中出现形如y'/y的分式时，我们可以通过引入一个新的变量来替换原方程，使得方程变得更简单。
举个例子，对于分式方程y'/(y^2+y) = x，我们可以令z = y^2+y来代替分母，得到：y'/z = x然后，我们将y'转化为dz/dx，并将方程转化为dz/dx = xz的形式。
3.1 分式方程和无理方程的解法及圆的四心
第七讲 分式方程和无理方程的解法及圆的四心初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 一、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程 【例1】解方程21421224x x x x +-=+--． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为：14212(2)(2)2x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以24x -：2(2)42(2)4x x x x -+-+=-即2364x x -=-， 整理得：2320x x -+=解得：1x =或2x =．检验：把1x =代入24x -，不等于0，所以1x =是原方程的解；把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根．所以，原方程的解是1x =．说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程【例2】解方程 2223()4011x x x x --=--分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设21x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程21x y x =-．解：设21x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．(1)当4y =时，241x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=；(2)当1y =-时，2221111012x x x x x x x -±=-⇒=-+⇒+-=⇒=-． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，2x =，x =说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y 的值，而没有求到原方程的解，即x 的值．【例3】解方程 22228(2)3(1)1112x x x x x x+-+=-+． 分析：注意观察方程特点，可以看到分式2221x x x +-与2212x x x-+互为倒数．因此，可以设2221x xy x +=-，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．解：设2221x x y x +=-，则22112x yx x -=+原方程可化为：2338118113018y y y y y y +=⇒-+=⇒==或． (1)当1y =时，22222112121x x x x x x x +=⇒+=-⇒=--； (2)当38y =时，2222223181633516303851x x x x x x x x x x +=⇒+=-⇒++=⇒=-=--或． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，原方程的解是12x =-，3x =-，15x =-． 说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 1．平方法解无理方程【例4】解方程1x -=分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：1x =+ 两边平方得：2721x x x +=++移项，合并同类项得：260x x +-=解得：3x =-或2x =检验：把3x =-代入原方程，左边≠右边，所以3x =-是增根．把2x =代入原方程，左边 ＝ 右边，所以2x =是原方程的根．所以，原方程的解是2x =．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．【例5】解方程3+=分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．解：3=两边平方得：3293x x -=-+整理得：1427x x =-⇒=- 两边平方得：29(3)4914x x x +=-+整理得：223220x x -+=，解得：1x =或22x =．检验：把1x =代入原方程，左边＝右边，所以1x =是原方程的根．把22x =代入原方程，左边≠右边，所以22x =是增根．所以，原方程的解是1x =．说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．2．换元法解无理方程【例6】解方程23152x x ++=分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)x x x x ++=++．因此，可y =，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理．解：y =，则2222513153(1)x x y x x y ++=⇒+=- 原方程可化为：23(1)22y y -+=， 即23250y y +-=，解得：1y =或53y =-． (1)当1y =215010x x x x =⇒+=⇒=-=或； (2)当53y =-0y =≥，所以方程无解． 检验：把1,0x x =-=分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是1,0x x =-=．说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．三、圆的“四心”1．外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边） （4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数） （6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母） （7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零，则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是指含有一个或多个分式的方程。
解分式方程时，我们需要将分式方程中的分数部分化简成整数或变量，以便求得方程的解。
下面将介绍一些解分式方程的常用方法。
一、清除分母法清除分母法是解分式方程的常用方法之一。
当分式方程中含有分母时，我们可以通过两边同乘以除了分母以外的数来消去分母，从而将分式方程转化为代数方程。
例如，考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5为了清除该分式方程中的分母，我们可以将两边乘以x(x+1)，得到: 2(x+1) + 3x = 5x(x+1)然后将该代数方程化简为二次方程，解得x的值。
最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。
二、倒数法倒数法是解分式方程的另一种方法。
当分式方程中含有倒数时，我们可以通过将分式方程中的分母倒置，从而将分式方程转化为代数方程。
考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5我们可以将该方程转化为代数方程：1/2 + 1/(x+1) = 1/5然后，通过整理方程，解得x的值。
最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。
三、代换法代换法是解分式方程的一种常用技巧。
当分式方程中的分式难以直接求解时，我们可以通过代入适当的变量来简化方程。
考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = (x+2)/(x(x+1))我们可以令y = x(x+1)，将该方程转化为代数方程：2/y + 3/y = (y+2)/y然后，通过整理方程，解得y的值。
最后，我们求得x的值。
需要注意的是，我们需要检查所得解是否满足原方程。
综上所述，清除分母法、倒数法和代换法是解分式方程的三种常用方法。
通过灵活运用这些方法，我们可以有效地求解各种分式方程，并得到准确的解。
在解分式方程时，我们需要注意化简方程、整理方程以及检查解的步骤，以确保解的正确性。
【免费下载】初高中数学衔接内容第七讲 分式方程和无理方程的解法
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
解方程的思维方法
解方程的思维方法在数学学习中，解方程是一项重要的技能。
无论是在初等代数还是高等数学中，解方程都是解决问题的基本方法之一。
通过解方程，我们可以找到未知数的值，从而解决各种实际问题。
在解方程的过程中，我们需要运用一定的思维方法和技巧。
本文将介绍一些常用的解方程的思维方法，帮助读者提高解方程的能力。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是最基本的方程形式，表示为ax + b = 0。
其中，a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的思维方法主要包括以下几种：1. 原则法：根据方程等式两边的性质和等式的基本性质，通过运算和变形来求解。
一般可以通过加减、乘除和移项等操作，使方程变为x = a的形式，从而得到方程的解。
2. 图形法：将方程化为y = ax + b的形式，绘制出直线的图像，然后找出与x轴交点对应的x值，即可得到方程的解。
3. 代值法：将方程中的未知数用一个已知数代替，通过代入不同的值来验证方程的解，并找到使方程成立的值。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c都是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的思维方法包括以下几种：1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，可以通过将方程因式分解为两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于0，从而得到方程的解。
2. 完全平方公式：对于形如a(x - h)^2 + k = 0的一元二次方程，可以通过完全平方公式来求解。
该公式表示为x = h ± √(k/a)。
3. 公式法：对于一般形式的一元二次方程，可以通过求解根公式来找到方程的解。
公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
4. 图形法：将一元二次方程化为y = ax^2 + bx + c的形式，绘制出二次函数的图像，然后找出图像与x轴交点对应的x值，即可得到方程的解。
三、多元一次方程组的解法多元一次方程组是包含多个未知数和多个方程的方程组。
高次方程、分式方程、无理方程的解法教学-2022年学习资料
例62解方程2x-√2x+1=5-典型例题-此题也可令√2x+1=t-t≥0-转化为t的一元二次方程-t2 1-t=5即t2-t-6=0求解.-解得t=3或t=-2舍去-即√2x+1=3-解得x=4-25
例7解方程√3x-2+√x+3=3-典型例题-解：移项得√3x-2=3-√x+3-两边平方，整理得3Vx+ =7-x-再两边平方，化简得x2-23x+22=0-解得x1=1,x2=22-经检验x,=1为原方程的根， x2=22是增根.-方程一边出现两个根号时要先移项-26
例21解方程-x2-5x2-2x2-5x-24=0-典型例题-解：换元-令t=x2-5x-则原方程可以化为 2-2t-24=0-即t-6t+4=0-故t=6或t=4-即x2-5x=6或x2-5x=-4-解得：x1= 1,x2=6,x3=1,x4=4
例22解方程-x-2x+1x+4x+7=19-典型例题-解：原方程即-x2+5x-14x2+5x+4=19 换元-令x2+5x-14=t-原方程可化为tt+18=19-解得t=-19或t=1-即x2+5x-14=91-或x2+5-14=1
解分式方程的思路是：-去分母-整式-解分式方程的一投步骤-1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，-化 整式方程.-2、解这个整式方程-3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公-分母的值不为0，则整式方程的 是原分式方程的解；-否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.-4、写出原方程的根.-化二解三检验-17
x2+2-例4解方程-32x2-1D=-2-2x2-1x2+2-典型例题-解：令-原方程可化为-t--即t +2t-3=0-解得t1=-3,t2=1-所以-=3或-18
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型 例
题
解得
x1
7 7
, x2
7 7
,
x3
3, x4
3
经检验 以上均为原方程的根.
换元可以使运算变得简便
例5 已知关于 x 的方程
典 型
x 1 x 2 2x a 的解为负数
x 2 x 1 (x 2)( x 1)
例 题
求实数 a 的范围.
解： 左边通分
4x 5 2x a (x 2)( x 1) (x 2)( x 1)
识 要
根号内含有未知数的方程叫无理方程. 点
2、无理方程的解法
我们可通过将方程两边平方或者换元 将无理方程转化为有理方程.
3、解无理方程的注意点
在解无理方程后必需检验,这是因为从无理 方程到有理方程的转化有时不是等价的.
典
例6（1）解方程 x 7 x 1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解：
题
解： 换元 令 t x2 5x
则原方程可以化为 t 2 2t 24 0
即 (t 6)(t 4) 0
故 t 6 或 t 4
即 x2 5x 6 或 x2 5x 4
解得：x1 1, x2 6, x3 1, x4 4
典
例2（2）解方程
型
(x 2)(x 1)(x 4)(x 7) 19
2.可通过换元将高次方程转化为 一次或二次方程
3. n次方程最多有n个实数根
二、分式方程的解法
知
1、什么是分式方程
识 要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.
3、解分式方程的注意点
在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式 方程到整式方程的转化有时不是等价的.
x
7
0
x
1
0
题
为什么会产 生增根？
解得 x 2 （ x 3 为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
一化二解三检验
例4 解方程
x2 2 2x2 1
3(2x2 1) x2 2
2
典 型 例
解：令
x2 2 2x2 1
t
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t 2 2t 3 0
解得 t1 3, t2 1所以x 2x2 2 13
或
x2 2x
2 2 1
1
典
即 7x2 1 0 或 x2 3 0
所以 4x 5 2x a ，2x 5 a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
2
2
解得 a 5 且 a 7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
法 提
可把分式方程化为整式方程
炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3. 解分式方程时应注意检验
一化二解三检验
三、无理方程的解法
知
1、什么是无理方程
85
例2（3） 解方程 (6x 7)2(6x 8)(6x 6) 12 解：原方程即
(6x 7)2 (6x 7 1)(6x 7 1) 72
换元 令 t 6x 7
原方程可化为 t 2 (t 2 1) 72
解得 t 2 9 或 t 2 8 （舍去）
解得 t 3 即 6x 7 3
所以 x 1 0
所以 x 1
例1（3） 解方程
x3 2x2 4x 8 0
典 型
解： 因式分解
例 题
x2 (x 2) 4(x 2) 0
(x2 4)( x 2) 0
(x 2)( x 2)2 0
所以 x1 2, x2 x3 2
典
例2（1）解 方 程
型
例
(x2 5x)2 2(x2 5x) 24 0
解得 x 2 或 x 5
3
3
解高次方程的思路是：
高次 因式分解、换元 一次或二次方程
方程
解高次方程的一般步骤
1、整理方程，右边化为0. 2、将方程左边因式分解，或者进行换元 3、将方程转化为若干个一次或二次方程 4、写出原方程的根.
方
1.可通过因式分解将高次方程转化为
法 提
炼
一次或二次方程
例3（1） 解方程
7 5 x2 x
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x(x 2) 题
得 7x 5(x 2)
解得 x 5 经检验， x 5 是原方程的解.
例3（2） 解方程
5x 2 3 x2 x x 1
典 型 例
解：两边同乘以最简公分母 x2 x
题
得 (5x 2)( x 1) 3(x2 x)
例 题
解：原方程即
(x2 5x 14)(x2 5x 4) 19
换元 令 x2 5x 14 t
原方程可化为 t(t 18) 19
解得 t 19 或 t 1
即 x2 5x 14 19 或 x2 5x 14 1
典
解得：
型
例
x1
5
2
5
5 5 x2 2
题
x3
5
2
85
x4
5
2
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
化简为 (x 1)2 0
解得 x 1
为什么会产 生增根？
经检验 x 1 是增根，原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
使最简公分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后的,根所.得所以的我根们是·解整·分式·式方·方程程的时根一,而定不要是·代分·入式·最方·简程 公分母检验
高次方程、分式方程、 无理方程的解法
内容概况
高次方程 因式分解、 换元 一次或二次方程
两边同乘以最简公分母、
分式方程
换元
整式方程
两边平方、换元
无理方程
有理方程
一、高次方程的解法
知
1、什么是高次方程
识 要
整式方程中，未知数的次数大于或等于3 点
的方程称为高次方程
2、高次方程的解法
我们可通过因式分解和换元将一元高次方程 转化为一元一次方程和一元二次方程
例1（1）解方程 x3 4x2 3x 0
典 型
例
解：因式分解
题
x(x2 4x 3) 0 x(x 1)(x 3) 0
所以 x1 0, x2 1, x3 3
例1（2）解方程 x3 1 0
典 型
例
解： 因式分解
题
x3 1 (x 1)( x2 x 1) 0
因为 x2 x 1 (x 1)2 3 0 24