《线性回归方程》教案(1)(1)
高中数学《线性回归方程》教案
线性回归方程教学目标:（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。
教学重点: 线性回归方程的求解。
教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。
教学过程: 一、复习练习1．下例说法不正确的是（ B ）A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量；B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定;C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;D.相关关系是一种非确定性关系.2．已知回归方程81.05.0ˆ-=x y,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1ˆ-= B x y 75.575.1ˆ+=C x y 75.575.1ˆ-=D x y 75.175.1ˆ+=4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.(2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。
二、典例分析例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：零件个数x （个） 10 20 30 40 50 607080 90 100加工时间y （分）62 68 75 81 89 95 102 108 115 122请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：1010102211155,91.7,38500,87777,55950i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑1011022211055950105591.70.66838500105510i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+ 例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x45 42 46 48 42 35 58 40 39 50y6.53 6.30 9.527.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.598.72x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．解：1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++=1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++=7.37设回归直线方程为y bx a =+则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑ a y bx =-= -0.418所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-例3、以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：房屋大小x （2m ） 80 105 110 115] 135 销售价格y （万元）18.42221.624.829.2（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（３）计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 解：（1）(2)55115,545,109,116,23.2,i i i i n x x y y =======∑∑5521160952,12952ii i i i xx y ====∑∑25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯-所以,线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+ (3) (1.8166,0.1962) 5.171,(2,0.2)7.0Q Q ≈≈由此可知,求得的 1.8166,0.9162a b ==是函数Q(a,b)取最小值的a ,b 值.三、课堂练习1.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为1l ,2l ,已知两人获得的实验数据中,变量x 和y 的数据平均值都相等,且分别为s,t 那么下例说话正确的是( )A ．直线1l 和2l 一定有公共点(s,t)B ．直线1l 和2l 相交,但交点不一定是(s,t)销售价格y（万元）05101520253035050100150销售价格y（万元）C ．必有1l // 2lD ．1l 和2l 与必定重合2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2．23．85．56．57．0设y 对x 程线性相关关系．试求：（1）线性回归方程ˆy bx a =+的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y ii 22(4)将上述有关结果代入公式，求b ，a 写出回归直线方程． 五、课外作业： 课本第82页第9题．。
第六十六高三数学总复习线性回归方程教学案
芯衣州星海市涌泉学校1线性回归方程一、知识导学1． 变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联络，但不能完全用函数来表达2． 能用直线方程a bx y +=^近似表示的相关关系叫做线性相关关系 3． 一般地，设有〔x,y 〕的n 对观察数据如下：当a,b 使2222211)(......)()(a bx y a bx y a bx y Qn n --++--+--=获得最小值时，就称a bx y +=∧为拟合这n 对数据的线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线.4．线性回归方程a bx y +=∧中的系数b a ,满足：由此二元一次方程组便可依次求出a b ,的值：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--=====∑∑∑∑∑x b y a x x n y x y x n b ni i n i i n i i n i i ni i i 2112111〔*〕5．一般地，用回归直线进展拟合的一般步骤为： 〔1〕作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；〔2〕假设散点在一条直线附近，用公式〔*〕求出b a ,，并写出线性回归方程. 二、疑难知识导析1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系.2．用最小二乘估计方法计算得到的b a ,使函数()b a Q,到达最小3．还有其他寻找较好的回归直线的原那么〔如使y 方向的偏向和最小，使各点到回归直线的间隔之和最小等〕4． 比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的〔线性〕相关关系. 5． “最好的〞直线方程中“最好〞可以有多种解释，也就有不同的求解方法，如今广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线a bx y +==在垂直方向上的间隔的平方和最小的直线a bx y +=，用这个方法，b a ,的求解最简单三、经典例题导讲[例1]有如下一组y 与x 的数据问y 与x 的(样本)相关系数r 是多少这是否说明y 与x 没有关系错解：040707))((7171=⨯⨯-=-=--∑∑==xy y x y y x xi i i i i i所以相关系数r=0,即y 与x 没有关系.错因：相关系数r=0并不是说明y 与x 没有关系，而是说明y 与x 没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.正解：040707))((7171=⨯⨯-=-=--∑∑==xy y x y y x xi i i i i i所以相关系数r=0,即y 与x 没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系.此题中y 与x 之间存在着2x y =的二次相关关系的.[例2]某工厂在2021年的各月中，一产品的月总本钱y 〔万元〕与月产量x 〔吨〕之间有如下数据：假设2021年1月份该产品的方案产量是6吨，试估计该产品1月份的总本钱.分析：可将此问题转化为下面三个问题：〔1〕画出散点图，根据散点图，大致判断月总本钱y 与月产量之间是否有线性相关关系； 〔2〕求出月总本钱y 与月产量x 之间的线性回归方程；（4） 假设2021年1月份该产品的方案产量是6吨，试估计该产品1月份的总本钱.错解：去第一步，即把判断判断月总本钱y 与月产量之间是否有线性相关关系的过程舍去，想当然其具有线性相关关系，直接代入公式，求出线性回归方程.错因：此题的月总本钱y 与月产量x 之间确实是有线性相关关系，假设不具有那么会导致错误.因此判断的过程不可少.正解：〔1〕散点图见下面，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明x 与y 有较强的线性相关关系.〔2〕代入公式〔*〕得：a=0.9100,b=0.6477，线性回归方程是：y=0.9100x+0.6477. 〔3〕当x=6.0时，y=0.910011.66477.00.6≈+⨯〔万元〕，即该产品1月份的总本钱的估计值为1万元. [例3]变量y 与x 有线性回归方程a bx y +=，如今将y 的单位由cm 变为x m ,的单位由ms变为s ，那么在新的回归方程**a x b y +=中.=*a .错解：0.1a错因：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--=====∑∑∑∑∑x b y a x x n y x y x n b ni i n i i n i i n i i ni i i 2112111且y 的值变为原来的210-，x 的值变为原来的310-可得*a 的值应为原来的210-.正解：0.01a[例4]假定一个物体由不同的高度落下，并测量它落下的时间是是，几个测量结果如下表所示：高度〔间隔〕与时间是是之间的关系由公式221gt s =给出，这里g 是重力加速度的值. 〔1〕画出s 关于t 的散点图，这些点在一条直线附近吗？ 〔2〕设2t x=，画出s 关于x 的散点图，这些点在一条直线附近吗？〔3〕求出s 关于x 的线性回归方程.解：〔1〕高度s 关于时间是是t 的散点图见下面，从图中可以看到这些点似乎在一条直线附近，也好似在一条抛物线附近〔2〕高度s 关于x 的散点图见下面，从图中可以看到这些散点大致在一条直线附近 〔3〕可以求得s 关于x 的线性回归方程是s=0.0004901x －1458 [例5]测得某国10对父子身高〔单位：英寸〕如下：〔1〕画出散点图；〔2〕求出y 与x 之间的线性回归方程；〔3〕假设父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高. 解：〔1〕散点图见下面：〔2〕从散点图可以看出，这些点都分布在一条直线附近，可求得线性回归方程为98.354645.0+=∧x y〔3〕当73=x时，9.6998.35734645.0≈+⨯=∧y所以当父亲的身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸. 四、典型习题导练1．回归直线方程的系数a,b 的最小二乘估计使函数),(b a Q 最小，Q 函数指〔〕.A ．21)(∑=--ni i i bx a y B.∑=--ni i i bx a y 1C ．2)(i ibx a y -- D.i i bx a y --2．“回归〞一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论在儿子的身高y 与父亲的身高x 的线性回归方程bx a y +=∧中，b 〔〕.A ．在〔－1，0〕内B.等于0 C ．在〔0，1〕内D.在[1，+∞]内3．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下：那么由此得到的回归直线的斜率是〔保存4位有效数字〕4．下面的数据是年龄在40至60岁的男子中随机抽取的6个样本，分别测定了心脏功能程度y 〔满分是是100〕，以及每天画在看电视上的平均时间是是x 〔小时〕那么x 与y 的样本相关系数为.5．某地区近年来冬季的降雨量x(cm)与次年夏季空气中碳氢化合物的最均浓度y 〔ppm 〕，的观测数据如下表：你认为y 与x 是什么关系？y 与n 是什么关系？6．每立方米混凝土的水泥用量x 〔单位：kg 〕与28天后混凝土的托压强度〔单位：kg/cm 2〕的关系有如下数据：〔1〕y与x是否具有线性相关关系？〔2〕假设y与x具有线性相关关系，求线性回归方程.。
高中数学第2章统计2.4线性回归方程(1)教案苏教版必修3
2.4 线性回归方程 1整体设计教材分析在实际问题中，变量之间关系有两类：一类是确定性关系，变量之间关系可以用函数表示.例如，正方形面积S与边长a之间就是确定性关系，可以用函数s=a2表示.还有一类是非确定性关系，例如“学生数学成绩与物理成绩之间关系〞“粮食产量与施肥量之间关系〞“商品销售额与广告费支出之间关系〞“人体脂肪百分比与年龄之间关系〞等贴近学生实际问题，它不能由一个变量数值准确地确定另一个变量数值.像这种自变量取一定值时，因变量取值带有一定随机性，这样两个变量之间关系，我们称之为相关关系.“线性回归方程〞这一节是为了帮助我们了解变量之间相关关系，使学生学会区别变量之间函数关系与变量相关关系，从而到达正确判断实际生活中两个变量之间相关关系并会作出变量相关关系散点图；通过散点图直观性，看各点是否在某条直线附近摆动来为判断两个变量之间相关关系打下坚实根底.通过对人体脂肪百分比与年龄之间关系散点图分析，引入描述两个变量之间关系线性回归方程〔模型〕，使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新突破方法，体会最小二乘法思想，掌握计算回归方程斜率与截距方法，求出回归直线方程.通过典型求解，强化回归思想建立，理解回归直线与观测数据关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新突破方法，体会最小二乘法思想，培养学生创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进展数学分析.通过课堂目标检测到达强化所学知识点，提高学生对现代化教学工具应用能力.三维目标1.通过实例，使学生感受到现实世界中变量之间除了函数关系外，还存在着虽无确定函数关系，但却有一定关联性相关关系，相关关系是一种非确定性关系.2.通过收集实际问题中两个有关联变量数据作出散点图，直观认识变量间相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关过程，运用最小二乘法思想，发现可用线性回归方程近似地表示两个具有相关关系变量之间关系，并能根据给出线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点难点教学重点：1.会区别变量之间函数关系与变量相关关系；会举例说明现实生活中变量之间相关关系.2.会作散点图，并由此对变量间关系作出直观判断，会求回归直线.教学难点：1.对变量之间相关关系理解；变量之间函数关系与变量相关关系区别.2.了解最小二乘法思想，能根据给出线性回归方程系数公式建立回归方程.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课〔多媒体播放四个问题，组织学生分析、思考〕问题1：将汽油以均匀速度注入桶里，注入时间t与注入油量y 如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间函数关系式为________________.问题2：圆面积S与半径r之间函数关系式为________________.问题3:小麦产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间关系如下表：从表里数据能得出小麦产量y与施肥量x之间函数关系式吗？问题4：人体重y与身高x之间有什么关系呢？分析问题1：因为是以均匀速度注入桶里，所以注入油量y与注入时间t成正比例关系，由表格数据知，注入油量y与注入时间t之间函数关系式为y=2x(x≥0).因为是实际问题，所以要特别注意自变量取值范围要有实际意义.分析问题2：这是大家熟悉面积公式，所以圆面积S与半径r之间函数关系式为S=πr2(r>0).第1、2两个问题中变量间函数关系是确定，在我们现实生活，两个变量之间存在确定性关系是极少，而两个变量之间存在不确定性关系是很普遍，那么问题3中两个变量之间是确定性函数关系，还是不确定性关系呢？学生甲分析问题3：此问中两个变量之间是确定性函数关系，设为y=kx+b，当x=10时，函数值y为420；当x=20时，函数值y 为440，代入可得函数关系式为y=2x+400(x≥0).学生乙：学生甲答复是错误，假设函数关系式为y=20x+400(x≥0)，当x=30时，函数值为460，而不是470.但是可以感觉到施肥量越大，小麦产量就越高.教师分析：从表格里容易发现施肥量越大，小麦产量就越高.但是，施肥量并不是影响小麦产量唯一因素，小麦产量还与土壤质量、降雨量、田间管理等诸多因素影响有关，更何况当施肥量超出一定范围时，还会造成小麦倒塌，以致颗粒无收.这时两个变量之间就不是确定性函数关系，那么这两个变量之间终究是什么关系呢？这就是我们本节课所要研究问题——变量之间相关关系.(引入新课，书写课题)推进新课新知探究由学生举出现实生活中相关关系例子，教师归纳概念！1.变量之间有一定联系，但不能完全用函数来表达，即当自变量一定时，因变量取值带有一定随机性两个变量之间关系称为相关关系.相关关系是非随机变量与随机变量之间关系，函数关系是两个非随机变量之间关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系〔有因果关系，也有伴随关系〕.通过上述三个问题请学生思考相关关系与函数关系有什么区别与联系？相关关系与函数关系异同点如下：一样点：均是指两个变量关系.不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间关系，这种关系是两个非随机变量关系；而相关关系是非随机变量与随机变量关系.注意：问题3中小麦产量是在土壤质量、降雨量、田间管理等诸多变量共同作用下结果，本节课只研究其中两个主要变量之间相关关系.我们只能得出经历性结论：施肥量越大，小麦产量就越高.但是经历再丰富，也容易犯经历性错误.施肥量过大，反而容易造成粮食减产.由学生解决问题4, 人体重y与身高x之间是一种非确定关系相关关系，因为，一般说来，身高越高，体重就越重，而无法写出具体函数关系.应用例如例1 某班学生在一次数学测验与物理测验中，学号1到20学生成绩如下表：从表里数据你能得出什么样经历性结论呢？分析：即是考虑两门学科成绩之间是否具有一定相关关系.解：数学成绩好同学那么物理成绩就好，反之，数学成绩差同学那么物理成绩就差.点评：注意，只是问“得出什么样经历性结论〞，并不完全绝对.例2 下面提供四个问题，让各组同学共同探究：第一小组探究问题是：调查一下本组所有成员视力与各自学习成绩关系.第二小组探究问题是：商品销售额与广告费支出之间关系.第三小组探究问题是：调查一下本组所有成员身高与各自体重之间关系.第四小组探究问题是：气温上下与空调销售量间关系.分析：根据变量相关关系讨论.解：第一小组：通过对本组所有成员调查我们得到结论是：学习成绩好同学视力都不太好，都佩带了近视眼镜，但是，我们发现这个结论对我们全班来说就不成立，例如，我们班第一名同学视力却是很棒，所以我们只能说学习成绩好同学视力一般都不太好，人视力还与用眼卫生习惯、遗传因素等有密切关系.第二小组：通过本组所有成员共同探讨，我们得到结论是：商品销售额与广告费支出之间有密切关系，但商品销售额不仅与广告费支出多少有关，还与商品质量、居民收入以及售后效劳质量等诸多因素有关.第三小组：通过对本组所有成员调查我们得到结论是：身材高同学体重一般来说大多都比拟大，但是，人体重还与饮食习惯、遗传因素等有密切关系.第四小组：通过本组所有成员共同探讨，我们得到结论是：气温上下与空调销售量之间有密切关系，但空调销售量不仅与气温上下有关，还与空调质量、居民收入以及售后效劳质量等诸多因素有关.点评：通过此例使学生养成考虑问题要多方面思考习惯.例3 以下两个变量之间关系哪个不是函数关系〔〕解析：利用变量函数关系与相关关系解决问题.角度与它余弦值是一个确定函数关系y=cosx；正方形边长与面积：s=a2；正ｎ边形边数与它内角与：s=(n-2)×180°，而人年龄与身高具有相关关系.答案：D点评：函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间关系，这种关系是两个非随机变量关系，而相关关系是非随机变量与随机变量关系.例4 “强将手下无弱兵〞可以理解为将军本领越高，他手下士兵本领也越高.那么，将军本领与士兵本领成什么相关关系？你能举出更多描述生活中两个变量相关关系成语吗？分析：这是与生活、生产、工作、学习息息相关相关关系，语言功底好同学更显优势.解：此题与“名师出高徒〞相对应.另外举例有：水涨船高.点评：此题加强了与其他学科联系，学生会对数学很有亲切感.知能训练1.在一次对人体脂肪含量与年龄关系研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量与年龄之间有怎样关系？2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶杯数与当天气温比照表：根据上述数据，气温与热茶销售量之间有怎样关系？解答：1.观察表中数据，大体上来看，随着年龄增加，人体中脂肪百分比也在增加.2.观察表中数据，大体上来看，气温越高，卖出去热饮杯数越少.点评：使学生学会全面考察现实生活中变量之间相关关系，并为下一节课作铺垫.课堂小结(让学生进展小结，帮助他们回忆反思、归纳概括.)1.变量之间相关关系；2.变量之间函数关系与变量相关关系区别；3.学会全面考察现实生活中变量之间相关关系.作业阅读、预习课本中本节下一局部内容.举出生活中具有相关关系例子.设计感想通过生活中存在相关关系一些典型事例，如“学生数学成绩与物理成绩之间关系〞“粮食产量与施肥量之间关系〞“商品销售额与广告费支出之间关系〞等贴近学生实际问题，介绍与函数关系不同两个变量之间相关关系，在教学设计时，通过复习变量之间函数关系引出变量相关关系，由熟悉到生疏过程便于学生理解，同时分成四个小组同学共同探究以下四个问题：〔1〕调查一下本组所有成员视力与各自学习成绩关系；〔2〕商品销售额与广告费支出之间关系；〔3〕调查一下本组所有成员身高与各自体重之间关系；〔4〕气温上下与空调销售量间关系.通过讨论来强化学生对所学内容理解.。
高中数学2.4《线性回归方程》第1课时教案(苏教版必修3)
线性回归方程第1课时【学习导航】学习要求1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。
线性回归方程的求法。
2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。
【课堂互动】自学评价在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram)3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。
选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距4．用方程为a bx y+=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。
用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P725.能用直线方程a bx y+=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下：当a,b 使+--=211)(a bx y Q2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y+=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。
6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y+=ˆ中的系数： 2112111)())((∑∑∑∑∑=====--=ni i n i i ni i n i i n i i i x x n y x y x n ba =xb y - (*)7．用回归直线进行拟合的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近(2)如果散点在一条直线附近，用上面的公式求出a,b,并写出线性回归方程【精典范例】例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。
线性回归方程教案
线性回归方程1.下列关系中，是相关关系的为（填序号）.①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是（填序号）.①直线l1,l2有交点（s,t) ②直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t)③直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行④直线l1,l2必定重合3.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线yˆ=bˆx+aˆ及回归系数bˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势.④任一组数据都有回归直线方程其中正确命题的序号是 .4.已知回归方程为yˆ=0.50x-0.81,则x=25时，yˆ的估计值为 .5.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 .6.回归方程yˆ=1.5x-15,则下列说法正确是 .①y=1.5x-15 ②15是回归系数a③1.5是回归系数a ④x=10时，y=07.某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为yˆ=8.25x+60.13,下列叙述正确的是 .①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm③该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cm④利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高8.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是 .9.某人对一地区人均工资x(千元）与该地区人均消费y(千元）进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程yˆ=0.66x+1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为 .10.某化工厂为预测产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得∑=81i ix=52,∑=81i iy=228,∑=812i i x =478,∑=81i ii yx =1 849,则其线性回归方程为 .11.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 .12.已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元），有如下统计资料：若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程yˆ=b ˆx +a ˆ表示的直线一定过定点.13 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程yˆ=b ˆx +a ˆ； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？一、填空题二、解答题9.期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表：（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？（2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点.10.（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线.11.某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据：（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润.,12.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？。
2.3.2 线性回归直线方程(一) 优秀教案
经历用不同方法描述线性回归方程的过程，有承上启下之作用。
二、探究与发现
1．最小二乘法
（1）引导：求回归直线方程的目的是什么？用什么标准来确定回归直线？(2’)
回归直线作为两个变量具有线性相关关系的代表，我们可利用它来由其中一个量x估计另一个量y。我们希望估计时误差尽可能小，即图中的点尽可能的接近它。由于点很多，所以我们应从整体上来考虑，即“我们希望从整体上看，各点与此直线的距离(偏差)最小”。因此，一般我们用各点的平均距离最小来做标准，相应的各点到回归直线的距离之和最小。
因此，让学生经历提出问题到解决问题的全过程是重要而不可或缺的。由于一般来说统计的数据比较多，让学生学习利用计算机（计算器）等现代信息技术处理数据是素质教育的需要，所以本节设计要考虑此问题。但由于推导线性回归直线方程的过程比较复杂，一般的推导学生一时难以接受，因此重点是让学生了解推导线性回归直线方程的最小二乘法的思想，能根据给出的公式建立线性回归直线方程即可。
2．求回归直线
用求最小值的数学方法可得出：当 由下面公式确定时Q取最小值
引导分析公式特征：
启发： 分别为回归直线方程的纵截距与斜率，
当x,y正相关时b>0；
当x,y负相关时b<0.
指出:公式不要求记忆，能根据给出公式求回归方程即可。
3.解决问题
接着用公式求线性回归方程，解决本节开头的问题：(10’)
【教学重点】：了解最小二乘法的思想，线性回归直线方程的应用。
【教学难点】：了解最小二乘法的思想
【教学突破点】：充分利用现代信息技术的优点，解决大量的计算问题，让学生更好的了解最小二乘法的思想。
【教法、学法设计】：讨论探究、合作交流、讲练结合。
【课前准备】：课件，计算机及相关软件（Excel,几何画板）
高二数学教案：《线性回归》
存感激，永不放弃！即使是在最猛烈的风雨中，我们也要有抬起头，直面前方的勇气。
下面为您推荐高二数学教案：《线性回归》。
【教案一】教学目标【知识和技能】1.能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。
2.会画散点图，并能利用散点图判断是否存在回归直线。
3.知道如何系统地处理数据。
掌握回归分析的一般步骤。
4.能运用Excel表格处理数据，求解线性回归直线方程。
5.了解最小二乘法的思想，会根据给出的公式求线性回归方程。
6.培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。
【过程和方法】1.使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。
2.提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。
【情感、态度和价值观】1.认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值，感受生活离不开数学。
2.体验信息技术在数学探究中的优越性。
3.增强自主探究数学知识的态度。
4.发展学生的数学应用意识和创新意识。
5.培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。
【教学重点、难点】线性回归分析的基本思想；运用Excel表格处理数据，求解回归直线方程。
【教学课型】多媒体教案，网络课型教学内容学生已经学习了初步的统计知识，如抽样方法，对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。
线性回归问题涉及的知识有：描点画散点图，一次函数、二次函数的知识，最小二乘法的思想及其算法问题，运用Excel表格处理数据等。
教学资源教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题），这个问题必须应用所预期的学科知识才能解决，又与学生的先前经验密切相关。
教师准备四个教学教案：学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。
每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(第1课时)教案 必修3
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（第1课时）教案新人教版必修3教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:+++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n n i i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图；（2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。
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线性回归方程
教学目标:
（1）收集现实问题中两个有关联变量的数据作散点图，利用散点图直观认识变量间的相关关系；
（2）在两个变量具有线性相关关系时，在散点较长中作出线性直线，用线性回归方程进行预测；
（3）理解最小二乘法的含义及思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学重点:散点图的画法，回归直线方程的求解方法。
教学难点:回归直线方程的求解方法。
教学过程:
一、问题情境
问题1：
客观事物是相互联系的，存在着一种确定性关系，过去研究的大多数是因
果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系即非确定性关系——相关关系。
你能举出一些这样的事例吗？
问题2：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
-
气温/0C 26 18 13 10 4 1
杯数20 24 34 38 50 64
-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？
如果某天的气温是5
二、学生活动
为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?
我们有多种思考方案:
(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1、最小平方法：
用方程为ˆy
bx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么怎样衡量直线ˆy
bx a =+与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值代入直线方程,得到相应的六个值：
26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+
它们与表中相应的实际值应该越接近越好.
所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和
2222
22
22(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172
Q a b b a b a b a b a b a b a b a ab b a =+-++-+-++-++-+-+-=++--+ (,)Q a b 是直线ˆy
bx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线ˆy
bx a =+与图中六个点的接近程度。
所以,设法取(,)a b 的值，使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) 。
2、线性相关关系：
像这样能用直线方程ˆy
bx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系。
3、线性回归方程：
一般地，设有n 个观察数据如下：
x x 1 x 2 x 3 … x n
y y 1 y 2 y 3 … y n
当a ，b 使222
1122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时，就
称ˆy
bx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线。
上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即
111
2211()()()
n n n i i i i i i i n
n
i i i i n x y x y b n x x a y bx
=====⎧
-⎪
⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 1
1, ∑==n
i i y n y 11
四、数学运用 1．例题：
例1、下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
机动车辆数x ／千台 95 110 112[ 120 129 135 150 180 交通事故数y ／千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：
8
8
8
8
2
1
1
1
1
1031,71.6,137835,9611.7i
i i i i i i i i x
y x x y ========∑∑∑∑，
将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-，
所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．
例2、设有一个回归方程x y
23ˆ+-=，当变量x 增加1个单位时（ A ） A y
ˆ平均增加2个单位 B y ˆ平均增加3个单位 C y
ˆ平均减少2个单位 D y ˆ平均减少3个单位.
例3、人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为,下例判断正确的是（ ） A ．劳动生产率为1000元时,工资为130元 B ．劳动生产率提高1000元时,工资提高80元
C ．劳动生产率提高1000元时,工资提高130元
D ．当月工资为250元时, 劳动生产率为2000 2．练习：
（1）第75页练习1、2
（2）线性回归方程表示的直线bx y
+=6ˆ必经过点（ B ） A ．(0,6) B ．(0,6) C ．(1,6) D ．(6,1)
（3）线性回归方程表示的直线bx a y
+=ˆ必经过点（D ） A ．(0,0) B ．(x ,0) C ．(0,y ) D ．(x ,y ) （4）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 （ D ）
A ．角度和它的余弦值
B.正方形边长和面积
C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 （5）给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格 i 1 2 3 4 5 6 7 x i 15 20 25 30 35 40 45 y i 330 345 365 405 445 450 455 x i y i
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
3.399,30==y x ,7
7
7
221
1
1
7000,1132725,87175i i i i i i i x y x y ======∑∑∑
故可得到 257
3075.43.399,75.430
770002≈⨯-=≈⨯-=
a b 从而得回归直线方程是^
4.75257y x =+．(图形略)
五、回顾小结：
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b
的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2．求线性回归方程的步骤：计算平均数y x ,；计算i i y x 与的积，求∑i
i
y
x ；
计算
∑2
i
x
；将结果代入公式求a ；用 x a y b -=求b ；写出回归方程
六、课外作业：课本第75页习题2.4第1、2、3题．。