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高中数学线性规划问题
一.选择题(共28 小题)
1.( 2015?马鞍山一模)设变量x, y 满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值()
A.﹣ 2 B.﹣ 4 C.﹣ 6 D.﹣ 8
2.( 2015?山东)已知 x, y 满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则 a=()
A . 3 B. 2 C.﹣ 2 D.﹣ 3
3.( 2015?重庆)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则 m 的值为()
A.﹣ 3 B. 1 C.D.3
4.( 2015?福建)变量 x, y 满足约束条件,若z=2x ﹣ y 的最大值为2,则实数 m 等于()
A.﹣ 2 B.﹣ 1 C.1 D. 2
5.( 2015?安徽)已知 x, y 满足约束条件,则z=﹣ 2x+y 的最大值是()
A.﹣ 1 B.﹣ 2 C.﹣ 5 D. 1
6.( 2014?新课标 II )设 x, y 满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()
A.10 B.8C.3D.2
7.( 2014?安徽) x、y 满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为
()
A.或﹣1B.2或C.2或 1D.2或﹣1
8.( 2015?北京)若 x, y 满足,则z=x+2y的最大值为()
A.0B.1C.D.2
9.( 2015?四川)设实数 x, y 满足,则xy的最大值为()
A .B.C.12D. 16
10.(2015?广东)若变量 x , y 满足约束条件
,则 z=3x+2y 的最小值为( )
A . 4
B .
C .6
D .
11.( 2014?新课标 II )设 x , y 满足约束条件,则 z=x+2y 的最大值为( ) A . 8
B . 7
C .2
D . 1
12.(2014?北京)若 x ,y 满足且 z=y ﹣ x 的最小值为﹣ 4,则 k 的值为( )
A . 2
B .﹣ 2
C .
D .﹣
13.(2015?开封模拟)设变量 x 、 y 满足约束条件
,则目标函数
z=x 2+y 2
的取值范围为(
)
A .[2,8]
B .[4,13]
C .[2,13]
D .
14.(2016?荆州一模)已知 x , y 满足约束条件
,则 z=2x+y 的最大值为( )
A .3
B .﹣ 3
C .1
D .
15.(2015?鄂州三模)设变量 x , y 满足约束条件 ,则 s= 的取值范围是( )
A .[1, ]
B .[ ,1]
C .[1,2]
D .[ ,2] 16.(2015?会宁县校级模拟)已知变量 x , y 满足,则 u= 的值范围是( )
A .[ ,
] B .[﹣
,﹣ ]
C .[﹣
, ] D .[﹣
,
]
17.(2016?杭州模拟)已知不等式组
所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值为( )
A .1
B .﹣ 3
C .1 或﹣ 3
D .0
18.(2016?福州模拟)若实数 x , y 满足不等式组目标函数 t=x ﹣2y 的最大值为 2,则实数 a 的值是(
)
A .﹣ 2
B .0
C .1
D .2
19.(2016?黔东南州模拟)变量 x 、 y 满足条件
,则( x ﹣ 2) 2+y 2
的最小值为(
)
A .
B .
C .
D .5
20.( 2016?赤峰模拟) 已知点 ,过点 P 的直线与圆 x 2+y 2
=14 相交于 A ,B 两点,则 |AB|
的最小值为( )
A . 2
B .
C .
D . 4
21.(2016?九江一模)如果实数 x , y 满足不等式组 ,目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 6,最小值
为 0,则实数 k 的值为( ) A . 1
B . 2
C .3
D . 4
22.( 2016?三亚校级模拟) 已知 a > 0,x ,y 满足约束条件 ,若 z=2x+y 的最小值为 ,则 a=( )
A .
B .
C .1
D .2
23.(2016?洛阳二模)若 x , y 满足约束条件
,则目标函数 z=x+y 的最大值为 2,则实数 a 的值
为( ) A .2
B .1
C .﹣ 1
D .﹣ 2
24.(2016?太原二模)设 x , y 满足不等式组 ,若 z=ax+y 的最大值为 2a+4,最小值为 a+1,则
实数 a 的取值范围为( )
A .[﹣ 1,2]
B .[﹣2,1]
C .[﹣3,﹣ 2]
D . [﹣ 3, 1]
25.(2016?江门模拟)设实数 x , y 满足:
,则 z=2x +4y
的最小值是(
)
A .
B .
C .1
D .8
26.( 2016?漳州二模) 设 x ,y 满足约束条件
,若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7,则实数 m=( )
A .
B .
C .
D .
27.(2016?河南模拟)已知 O 为坐标原点, A , B 两点的坐标均满足不等式组,设
与 的夹角为 θ,则 tan θ
的最大值为(
)
A .
B .
C .
D .
28.(2016?云南一模)已知变量x、 y 满足条件,则z=2x+y的最小值为()
A.﹣ 2 B.3C.7D.12
二.填空题(共 2 小题)
29.(2016?郴州二模)记不等式组所表示的平面区域为 D .若直线y=a( x+1 )与 D 有公共点,则 a 的取值范围是.
30.(2015?河北)若x,y 满足约束条件.则的最大值为.
高中数学线性规划问题
参考答案与试题解析
一.选择题(共28 小题)
1.( 2015?马鞍山一模)设变量x, y 满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值()
A.﹣ 2 B.﹣ 4 C.﹣ 6 D.﹣ 8
【分析】我们先画出满足约束条件:的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标
函数,比较后,即可得到目标函数z=x﹣ 3y 的最小值.
【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,
由图可知目标函数在点(﹣ 2, 2)取最小值﹣ 8
故选 D.
【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目
中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函
数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.
2.( 2015?山东)已知 x, y 满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则 a=()
A.3B.2C.﹣ 2 D.﹣ 3
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
则 A( 2,0), B( 1, 1),
若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2,此
时,目标函数为 z=2x+y ,
即 y=﹣ 2x+z ,
平移直线y= ﹣2x+z ,当直线经过 A ( 2,0)时,截距最大,此时z 最大为 4,满足条件,
若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3,
此时,目标函数为 z=3x+y ,
平移直线y= ﹣3x+z ,当直线经过 A ( 2,0)时,截距最大,此时z 最大为 6,不满足条件,
故 a=2,
故选: B
【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
3.( 2015?重庆)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()
A.﹣ 3 B.1C.D.3
【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
若表示的平面区域为三角形,
由,得,即A(2,0),
则 A( 2,0)在直线x﹣ y+2m=0 的下方,
即 2+2m> 0,
则 m>﹣ 1,
则 A( 2,0), D(﹣ 2m, 0),
由,解得,即B(1﹣m,1+m),
由,解得,即C(,).
则三角形ABC 的面积 S△ABC =S△ADB﹣ S△ADC
=|AD||y B﹣ y C|
= ( 2+2m)( 1+m﹣)
=( 1+m)( 1+m﹣) = ,
即( 1+m)× = ,
即( 1+m)2
=4
解得 m=1 或 m= ﹣ 3(舍),
故选: B
【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.
4.( 2015?福建)变量 x, y 满足约束条件,若z=2x ﹣ y 的最大值为 2,则实数 m 等于()
A.﹣ 2 B.﹣ 1 C.1 D. 2
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优
解的坐标,代入目标函数求得m 的值.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得 A(),
化目标函数z=2x﹣ y 为 y=2x ﹣ z,
由图可知,当直线过 A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值为,
解得: m=1.
故选: C.
【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
5.( 2015?安徽)已知 x, y 满足约束条件,则z=﹣ 2x+y 的最大值是()
A.﹣ 1 B.﹣ 2 C.﹣ 5 D.1
【分析】首先画出平面区域,z=﹣2x+y 的最大值就是y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值.
【解答】解:由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,
当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大,由得到A(1,1),
所以 z 的最大值为﹣2×1+1=﹣ 1;
故选: A.
【点评】本题考查了简单线性规划,画出平面区域,分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键.
6.( 2014?新课标 II )设 x, y 满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()
A.10 B.8C.3D.2
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC ).
由 z=2x﹣ y 得 y=2x ﹣ z,
平移直线 y=2x ﹣ z,
由图象可知当直线 y=2x ﹣ z 经过点 C 时,直线 y=2x ﹣ z 的截距最小,此
时 z 最大.
由,解得,即C(5,2)
代入目标函数z=2x ﹣ y,
得 z=2×5﹣ 2=8.
故选: B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法.
7.( 2014?安徽) x、y 满足约束条件,若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为
()
A.或﹣1B.2或C.2或 1D.2或﹣1
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z 斜率的变化,从而求出 a 的取值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC ).
由 z=y﹣ ax 得 y=ax+z ,即直线的截距最大,z 也最大.
若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a> 0,要使 z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则
直线 y=ax+z 与直线 2x﹣ y+2=0 平行,此时 a=2,
若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a< 0,要使 z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则
直线 y=ax+z 与直线 x+y ﹣ 2=0 ,平行,此时 a=﹣ 1,
综上 a=﹣ 1 或 a=2,
故选: D
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义.
8.( 2015?北京)若 x, y 满足,则z=x+2y的最大值为()
A.0B.1C.D.2
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移,即可求出z 取得最大值.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
当 l 经过点 B 时,目标函数z 达到最大值
∴z 最大值 =0+2×1=2 .
故选: D.
【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=x+2y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域
和简单的线性规划等知识,属于基础题.
9.( 2015?四川)设实数 x, y 满足,则xy的最大值为()
A .B.C.12D. 16
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图;
由图象知y≤10﹣ 2x ,
则 xy≤x( 10﹣ 2x) =2x(5﹣ x))≤2()2
= ,
当且仅当 x= , y=5 时,取等号,
经检验(, 5)在可行域内,
故 xy 的最大值为,
故选: A
【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决本题的关键.10.(2015?广东)若变量x, y 满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为()
A . 4 B.C.6 D.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据z 的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.
【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:
由 z=3x+2y 得 y= ﹣ x+ ,平移直线 y= ﹣ x+ ,
则由图象可知当直线y=﹣ x+ ,经过点 A 时直线 y= ﹣ x+ 的截距最小,
此时 z 最小,
由,解得,即 A(1,),
此时 z=3×1+2 × = ,
故选: B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
11.( 2014?新课标 II )设 x, y 满足约束条件,则 z=x+2y 的最大值为()
A.8B.7C.2D.1
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,
由 z=x+2y ,得 y=﹣,
平移直线 y= ﹣,由图象可知当直线 y= ﹣经过点 A 时,直线 y=﹣的截距最大,此时z 最大.由,得,
即 A( 3,2),
此时 z 的最大值为z=3+2 ×2=7 ,
故选: B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
12.(2014?北京)若x,y 满足且 z=y ﹣ x 的最小值为﹣ 4,则 k 的值为()
A.2B.﹣ 2 C.D.﹣
【分析】对不等式组中的kx ﹣ y+2≥0 讨论,当 k≥0 时,可行域内没有使目标函数z=y ﹣x 取得最小值的最优解,k <0 时,若直线 kx﹣ y+2=0 与 x 轴的交点在 x+y ﹣ 2=0 与 x 轴的交点的左边, z=y ﹣ x 的最小值为﹣ 2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:对不等式组中的kx﹣ y+2 ≥0 讨论,可知直线kx﹣ y+2=0 与 x 轴的交点在x+y ﹣ 2=0 与 x 轴的交点的
右边,
故由约束条件作出可行域如图,
由 kx﹣ y+2=0 ,得 x=,
∴ B(﹣).
由 z=y ﹣ x 得 y=x+z .
由图可知,当直线
y=x+z 过 B (﹣
)时直线在 y 轴上的截距最小,即 z 最小.
此时
,解得: k= ﹣ .
故选: D .
【点评】 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
13.(2015?开封模拟)设变量 x 、 y 满足约束条件
,则目标函数 z=x 2+y 2
的取值范围为(
)
A .[2,8]
B .[4,13]
C .[2,13]
D .
【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可得到结论. .
【解答】 解:作出不等式对应的平面区域,
则 z=x 2+y 2
的几何意义为动点 P ( x , y )到原点的距离的平方,则当动点 P 位于 A 时, OA 的距离最大,
当直线 x+y=2 与圆 x 2+y 2
=z 相切时,距离最小,
即原点到直线 x+y=2 的距离 d=
,即 z 的最小值为 z=d 2
=2,
由
,解得
,即 A (3,2),
2
2
2
2
, 此时 z=x +y =3 +2 =9+4=13 即 z 的最大值为 13,即 2≤z ≤13,
故选: C
【点评】 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
14.(2016?荆州一模)已知 x , y 满足约束条件
,则 z=2x+y 的最大值为( )
A .3
B .﹣ 3
C .1
D .
【分析】 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值, z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距,只需求出可
行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 【解答】 解:作图 易知可行域为一个三角形,
当直线 z=2x+y 过点 A ( 2,﹣ 1)时, z 最大是 3, 故选 A .
【点评】本小题是考查线性规划问题,
本题主要考查了简单的线性规划, 以及利用几何意义求最值, 属于基础题.
15.(2015?鄂州三模)设变量 x , y 满足约束条件
,则 s= 的取值范围是( )
A.[1,]B.[,1]C.[1,2]D.[,2]
【分析】先根据已知中,变量 x,y 满足约束条件,画出满足约束条件的可行域,进而分析s= 的几何意义,我们结合图象,利用角点法,即可求出答案.
【解答】解:满足约束条件的可行域如下图所示:
根据题意, s=可以看作是可行域中的一点与点(﹣1,﹣ 1)连线的斜率,
由图分析易得:当x=1,y=O 时,其斜率最小,即s=取最小值
当 x=0, y=1 时,其斜率最大,即s=取最大值 2
故 s=的取值范围是[,2]
故选 D
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划,其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域,“角点法”是解答此类问题的常用方法.
16.(2015?会宁县校级模拟)已知变量x, y 满足,则 u= 的值范围是()
A.[, ] B.[﹣,﹣ ] C.[﹣, ] D.[﹣, ]
【分析】化简得 u=3+ ,其中 k= 表示 P(x, y)、Q(﹣ 1, 3)两点连线的斜率.画出如图可行域,得到如图所示的△ABC 及其内部的区域,运动点P 得到 PQ 斜率的最大、最小值,即可得到u= 的值范围.【解答】解:∵u= =3+ ,
∴ u=3+k ,而 k= 表示直线 P、 Q 连线的斜率,
其中 P( x, y), Q(﹣ 1, 3).
作出不等式组表示的平面区域,
得到如图所示的△ ABC 及其内部的区域
其中 A ( 1, 2), B( 4, 2), C(3, 1)
设 P( x, y)为区域内的动点,运动点P,
可得当 P 与 A 点重合时, k PQ=﹣达到最小值;当 P 与 B 点重合时, k PQ=﹣达到最大值
∴ u=3+k 的最大值为﹣+3= ;最小值为﹣+3=
因此, u= 的值范围是 [ ,]
故选: A
【点评】本题给出二元一次不等式组,求u=的取值范围.着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组
表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题.
17.(2016?杭州模拟)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则 k 的值为()
A.1B.﹣ 3 C.1 或﹣ 3 D.0
【分析】由于直线 y=kx+2 在 y 轴上的截距为2,即可作出不等式组表示的平面区域三角形;再由三角形面积公
式解之即可.
【解答】解:不等式组表示的平面区域如下图,
解得点 B 的坐标为( 2, 2k+2 ),
所以 S△ABC = ( 2k+2)×2=4 ,
解得 k=1.
故选 A.
【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法.
18.(2016?福州模拟)若实数 x, y 满足不等式组目标函数t=x ﹣2y 的最大值为2,则实数 a 的值是()A.﹣ 2 B.0C.1D.2
【分析】画出约束条件表示的可行域,然后根据目标函数z=x ﹣ 2y 的最大值为2,确定约束条件中 a 的值即可.【解答】解:画出约束条件表示的可行域
由? A ( 2, 0)是最优解,
直线 x+2y ﹣ a=0,过点 A( 2, 0),
所以 a=2,
故选 D
【点评】本题考查简单的线性规划,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.
19.(2016?黔东南州模拟)变量x、 y 满足条件,则(x﹣2)2
+y
2
的最小值为()
A.B.C.D.5
【分析】作出不等式组对应的平面区域,设z=( x﹣2)2
+y
2
,利用距离公式进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,
2 2
D (2, 0)的距离的平方,
设 z=(x﹣ 2) +y ,则 z 的几何意义为区域内的点到定点
由图象知 CD 的距离最小,此时 z 最小.
由得,即 C( 0, 1),
2 2
此时 z=( x﹣ 2) +y =4+1=5 ,
【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.
20.( 2016?赤峰模拟) 已知点
,过点 P 的直线与圆 x 2+y 2
=14 相交于 A ,B 两点,则 |AB|
的最小值为(
) A .2 B .
C .
D .4
【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件 的可行域,再求出可行域中各角点的坐
标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得直线过在(
1, 3)处取得最小值.
【解答】 解:约束条件 的可行域如下图示:
画图得出 P 点的坐标( x , y )就是三条直线
x+y=4 , y ﹣ x=0 和 x=1 构成的三角形区域,
三个交点分别为( 2, 2),( 1, 3),( 1, 1),
因为圆 c : x 2+y 2
=14 的半径 r= ,得三个交点都在圆内, 故过 P 点的直线 l 与圆相交的线段 AB 长度最短, 就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度 .三角形区域内距离原点最远的点就是(1,3),
可用圆 d : x 2+y 2
=10 与直线 x=y 的交点为( , )验证,
过点( 1, 3)作垂直于直线 y=3x 的弦,
国灰 r 2
=14,故 |AB|=2
=4,
所以线段 AB 的最小值为 4. 故选: D
【点评】 在解决线性规划的小题时,我们常用 “角点法 ”,其步骤为: ① 由约束条件画出可行域 ? ② 求出可行域 各个角点的坐标 ? ③ 将坐标逐一代入目标函数
? ④ 验证,求出最优解.
21.(2016?九江一模)如果实数 x , y 满足不等式组
,目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 6,最小值
为 0,则实数 k 的值为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
【分析】 首先作出其可行域,再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值,解出
k .
【解答】 解:作出其平面区域如右图:
A ( 1, 2),
B ( 1,﹣ 1),
C ( 3,0), ∵ 目标函数 z=kx ﹣ y 的最小值为 0,
∴ 目标函数 z=kx ﹣ y 的最小值可能在 A 或 B 时取得; ∴ ① 若在 A 上取得,则 k ﹣ 2=0,则 k=2,此时, z=2x ﹣ y 在 C 点有最大值, z=2×3﹣ 0=6 ,成立;
② 若在 B 上取得,则 k+1=0 ,则 k=﹣ 1,
此时, z=﹣ x ﹣ y ,在 B 点取得的应是最大值,
故不成立,
故选 B .
【点评】 本题考查了简单线性规划的应用,要注意分类讨论,属于基础题.
22.( 2016?三亚校级模拟)已知 a> 0,x,y 满足约束条件,若z=2x+y的最小值为,则a=()
A.B.C.1D.2
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定z 的最优解,然后确定 a 的值即可.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,(阴影部分)
由 z=2x+y ,得 y=﹣ 2x+z ,
平移直线y= ﹣2x+z ,由图象可知当直线y= ﹣ 2x+z 经过点 A 时,直线y=﹣ 2x+z 的截距最小,此时z 最小.
由,解得,
即 A(1,),
∵点 A 也在直线y=a( x﹣ 3)上,
∴,
解得 a=.
故选: A.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
23.(2016?洛阳二模)若x, y 满足约束条件,则目标函数z=x+y 的最大值为2,则实数 a 的值
为()
A.2B.1C.﹣ 1 D.﹣ 2
【分析】先作出不等式组的图象,利用目标函数z=x+y 的最大值为2,求出交点坐标,代入3x﹣y﹣a=0 即可.
【解答】解:先作出不等式组的图象如图,
∵目标函数z=x+y 的最大值为2,
∴z=x+y=2 ,作出直线 x+y=2 ,
由图象知 x+y=2 如平面区域相交 A,
由得,即A(1,1),
同时 A ( 1, 1)也在直线3x﹣ y﹣ a=0 上,
∴3﹣1﹣
a=0,则 a=2,
故选: A.
24.(2016?太原二模)设 x , y 满足不等式组
,若 z=ax+y 的最大值为 2a+4,最小值为 a+1,则
实数 a 的取值范围为(
)
A . [﹣ 1, 2]
B . [﹣ 2,1]
C .[﹣3,﹣ 2]
D . [﹣ 3, 1]
【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可.
【解答】 解:由 z=ax+y 得 y= ﹣ ax+z ,直线 y=﹣ ax+z 是斜率为﹣ a , y 轴上的截距为
z 的直线,
作出不等式组对应的平面区域如图:
则 A ( 1,1), B ( 2, 4),
∵ z=ax+y 的最大值为 2a+4,最小值为 a+1,
∴ 直线 z=ax+y 过点 B 时,取得最大值为 2a+4,
经过点 A 时取得最小值为 a+1,
若 a=0,则 y=z ,此时满足条件, 若 a >0,则目标函数斜率 k= ﹣ a < 0,
要使目标函数在 A 处取得最小值,在 B 处取得最大值,
则目标函数的斜率满足﹣ a ≥k BC =﹣ 1,
即 0<a ≤1,
若 a <0,则目标函数斜率 k= ﹣ a > 0, 要使目标函数在 A 处取得最小值,在
B 处取得最大值,
则目标函数的斜率满足﹣ a ≤k AC =2,
即﹣ 2≤a < 0, 综上﹣ 2≤a ≤1, 故选: B .
【点评】 本题主要考查线性规划的应用,
根据条件确定 A ,B 是最优解是解决本题的关键.
注意要进行分类讨论.
25.(2016?江门模拟)设实数 x , y 满足:
,则 z=2x +4y
的最小值是(
)
A .
B .
C .1
D . 8
【分析】 先根据约束条件画出可行域,设
t=x+2y ,把可行域内的角点代入目标函数
t=x+2y 可求 t 的最小值,由
x
y x
2y ,可求 z 的最小值
z=2 +4 =2 +2
【解答】 解: z=2x +4y =2x +2
2y
,令 t=x+2y
先根据约束条件画出可行域,如图所示
设 z=2x+3y ,将最大值转化为 y 轴上的截距,
由
可得 A (﹣ 2,﹣ 1)
由
可得 C (﹣ 2,3)
由
B (4,﹣ 3)
把 A, B, C 的坐标代入分别可求t= ﹣4, t=4, t=﹣ 2
Z的最小值为
故选 B
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.
26.( 2016?漳州二模)设 x,y 满足约束条件,若z=x+3y的最大值与最小值的差为7,则实数 m=()
A.B.C.D.
【分析】由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优
解的坐标,进一步求出最值,结合最大值与最小值的差为7 求得实数m 的值.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得 A (1, 2),
联立,解得 B (m﹣1, m),
化 z=x+3y ,得.
由图可知,当直线过 A 时, z 有最大值为7,
当直线过 B 时, z 有最大值为4m﹣1,
由题意, 7﹣( 4m﹣ 1) =7,解得: m=.
故选: C.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
27.(2016?河南模拟)已知O 为坐标原点, A , B 两点的坐标均满足不等式组,设与的夹角为θ,则tanθ的最大值为()
A.B.C.D.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合求出 A , B 的位置,利用向量的数量积求出夹角的余弦,
即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,要使tanθ最大,
则由,得,即A(1,2),
由,得,即B(2,1),
∴ 此时夹角θ最大,
则,
则 cosθ==,
∴ sin,
此时 tan=,
故选: C.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,以及向量的数量积运算,利用数形结合是解决本题的关键.
28.(2016?云南一模)已知变量x、 y 满足条件,则z=2x+y的最小值为()
A.﹣ 2 B.3C.7D.12
【分析】先由约束条件画出可行域,再求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证即得答案.
【解答】解:如图即为满足不等式组的可行域,
将交点分别求得为(1,1),( 5,2),( 1,)
当 x=1, y=1 时, 2x+y=3
当 x=1, y=时,2x+y=
当 x=5, y=2 时, 2x+y=12
∴当 x=1, y=1 时, 2x+y 有最小值 3.
故选: B
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档
题.二.填空题(共 2 小题)
29.(2016?郴州二模)记不等式组所表示的平面区域为 D .若直线y=a( x+1 )与 D 有公共点,则 a 的取值范围是[,4].
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入y=a( x+1 )中,求出y=a( x+1)对应的 a 的端点值即可.
【解答】解:满足约束条件的平面区域如图示:
因为 y=a( x+1)过定点(﹣ 1, 0).
所以当 y=a( x+1)过点 B ( 0,4)时,得到a=4,
当 y=a( x+1 )过点 A ( 1, 1)时,对应a=.
又因为直线y=a( x+1 )与平面区域 D 有公共点.
所以≤a≤4.
故答案为: [,4]
【点评】在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:① 由约束条件画出可行域? ②求出可行域
各个角点的坐标? ③将坐标逐一代入目标函数? ④验证,求出最优解.
30.(2015?河北)若x,y 满足约束条件.则的最大值为3.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC ).
设 k= ,则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由
图象知 OA 的斜率最大,
由,解得,即A(1,3),
则 k OA= =3,
即的最大值为3.
故答案为: 3.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法.