混沌时间序列分析.
1 时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述 1、自回归模型 2、移动平均模型
3、自回归移动平均模型
非线性时间序列预测
基本思想 设时间序列来自确定性系统 X(n)=F(X(n-1)),F(.)为连续函数。 若 X(n)和X(j)距离很小，则F(X(n))和F(X(j))距 离也应很小，即X(n+1)和X(j+1)间的距离很 小，从而 可以用X(j+1)作为X(n+1)的预测值。
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注：实参数 1 ,2 ,
X t ut 1ut 1 2ut 2
qut q
【3】
,q 为移动平均系数，是待估参数
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 则模型【3】可简写为
X t 1 X t 1 2 X t 2
p X t p ut
【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1 , 2 , , p 称为自回归系数，是待估参数. 随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、 方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。 注2：一般假定 X t 均值为0，否则令 X t X t
Lorenz系统的吸引子(x-y-z）
20
10
0
-10
-20 60 40 20 -20 0 -40 0 40 20
20
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10 0 -10 -20 -20 -10 10 0 20
-20 20
-20 60 40 20 -20 0 0 -40 20
重构后的相图(x-y-z)
原始系统相图(x-y-z)
主要方法 线性自相关函数法 平均互信息法（课后自行查阅）
线性自相关函数法
定义自相关函数为
C ( )
1 N
N n 1
(x
1 N
N n 1
n N
x )(xn x) ,
2 ( x x ) n n 1
1 其中x N
x
n
选择使得自相关函数C(τ)第一次为零时的τ的值为延迟时间
【2】
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。 一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它 能否对事物的客观规律作出一定的预测。 根据混沌系统提取的非线性时间序列对系 统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。 从时间序列研究混沌，始于Packard等1980 提出的重构相空间理论。
对于决定系统长期演化的任一变量的时间演 化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因 此，我们可以通过决定系统长期演化的任意单变 量时间序列来研究系统的混沌行为。 由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的延迟嵌入定理： 对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N 利用此测量值可以构造一组m 维向量 X( n) = ( x ( n) , x ( n +τ) , ⋯,x ( n +( m - 1)τ) ) n= 1,…N- ( m - 1)τ 如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称为 相空间重构。
相空间重构例
Henon 映射
xn 1 1 1.4 x yn yn 1 0.3xn
2 n
该系统虽然有两个状态变量，但如果观测到状态变量 Xn的信息，我们可以从Xn建立原系统的模型
对状态变量Xn进行相空间重构:Zn=(Xn,Xn-1)
由Zn 可以重构原来的系统
延迟时间间隔τ的选取
如果只观测到变量x的值，利用x作相空间重构 取延迟时间为9，嵌入维数为3 即令 (x(1),y(1),z(1))=(x(19),x(10),x(1)) (x(2),y(2),z(2))=(x(20),x(11),x(2)) (x(3),y(3),z(3))=(x(21),x(12),x(3))
时间序列分析模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
一、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一 种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某 t 些时间序列是依赖于时间 的一族随机变量，构成该时 间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变 化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时 间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
嵌入维数m的选取
主要方法（课后查阅）
虚假邻点法 关联积分法 奇异值分解法
Lorenz系统
dx dt ( y x) dy x(r z ) y dt dz dt xy bz
8 取 10，r 28, b 3 初值x0 15.34, y0 13.68, z0 37.91
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
k 记 B k 为 k 步滞后算子，即 B X t X t k ，则 模型【1】可表示为
X t 1BX t 2 B X t
2
2 ( B ) 1 B B 令 1 2
p B X t ut
p
p B p ，模型可简写为
3、自回归移动平均模型
非线性时间序列预测
基本思想 设时间序列来自确定性系统 X(n)=F(X(n-1)),F(.)为连续函数。 若 X(n)和X(j)距离很小，则F(X(n))和F(X(j))距 离也应很小，即X(n+1)和X(j+1)间的距离很 小，从而 可以用X(j+1)作为X(n+1)的预测值。
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注：实参数 1 ,2 ,
X t ut 1ut 1 2ut 2
qut q
【3】
,q 为移动平均系数，是待估参数
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 则模型【3】可简写为
X t 1 X t 1 2 X t 2
p X t p ut
【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1 , 2 , , p 称为自回归系数，是待估参数. 随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、 方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。 注2：一般假定 X t 均值为0，否则令 X t X t
Lorenz系统的吸引子(x-y-z）
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-20 60 40 20 -20 0 0 -40 20
重构后的相图(x-y-z)
原始系统相图(x-y-z)
主要方法 线性自相关函数法 平均互信息法（课后自行查阅）
线性自相关函数法
定义自相关函数为
C ( )
1 N
N n 1
(x
1 N
N n 1
n N
x )(xn x) ,
2 ( x x ) n n 1
1 其中x N
x
n
选择使得自相关函数C(τ)第一次为零时的τ的值为延迟时间
【2】
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。 一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它 能否对事物的客观规律作出一定的预测。 根据混沌系统提取的非线性时间序列对系 统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。 从时间序列研究混沌，始于Packard等1980 提出的重构相空间理论。
对于决定系统长期演化的任一变量的时间演 化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因 此，我们可以通过决定系统长期演化的任意单变 量时间序列来研究系统的混沌行为。 由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的延迟嵌入定理： 对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N 利用此测量值可以构造一组m 维向量 X( n) = ( x ( n) , x ( n +τ) , ⋯,x ( n +( m - 1)τ) ) n= 1,…N- ( m - 1)τ 如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称为 相空间重构。
相空间重构例
Henon 映射
xn 1 1 1.4 x yn yn 1 0.3xn
2 n
该系统虽然有两个状态变量，但如果观测到状态变量 Xn的信息，我们可以从Xn建立原系统的模型
对状态变量Xn进行相空间重构:Zn=(Xn,Xn-1)
由Zn 可以重构原来的系统
延迟时间间隔τ的选取
如果只观测到变量x的值，利用x作相空间重构 取延迟时间为9，嵌入维数为3 即令 (x(1),y(1),z(1))=(x(19),x(10),x(1)) (x(2),y(2),z(2))=(x(20),x(11),x(2)) (x(3),y(3),z(3))=(x(21),x(12),x(3))
时间序列分析模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
一、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一 种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是：某 t 些时间序列是依赖于时间 的一族随机变量，构成该时 间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变 化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述. 通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认识时 间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
嵌入维数m的选取
主要方法（课后查阅）
虚假邻点法 关联积分法 奇异值分解法
Lorenz系统
dx dt ( y x) dy x(r z ) y dt dz dt xy bz
8 取 10，r 28, b 3 初值x0 15.34, y0 13.68, z0 37.91
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
k 记 B k 为 k 步滞后算子，即 B X t X t k ，则 模型【1】可表示为
X t 1BX t 2 B X t
2
2 ( B ) 1 B B 令 1 2
p B X t ut
p
p B p ，模型可简写为
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基坑变形的混沌时间序列分析方法及应用研究
时 间延 迟 点 上 的测 量 作 为 新 维 处理 ，形 成 相 点 ，按照 关 联 维 数 方 法 求 算 吸 引 子 维 数 ，提取 和 恢 复 基 坑 系 统 原 有 的规 律 。实 例 分 析 表 明 ， 混沌 理 论 为 基 坑 预 测 研 究 提 供 了新 的途 径 。 ［ 键 词 ］ 基 坑 ； 混 沌 ； 吸 引 子 维 数 关
信息。
沉 降 、应 力 等进 行 监 测 。而 基 坑变 形 是 支 护 结构 系
统 、土 体 及 各种 影 响 因 素相 互 作用 的反 映 ，也 是 结
构 内力 变 化 的宏 观 反 映 。基 坑变 形 的复 杂性 及 施 工 过 程 中 的各 种不 确 定性 因素 ，使 其 很 难用 统 一 的公 式进 行 描述 ，系 统 既有 确 定 性 ，又 有 不确 定 性 随机 的一 面 ，系 统 演化 过 程 是 否具 有 混 沌特 征 ，变 形观
测 绘第 ３ ４卷第 ２期 ２ １ 年 ４月 ０１
５ ７
基坑变 形 的混沌 时 间序列分析方法 及应用研 究
陈健
（ ．南京林业大学土木工程 学院 ，江苏 南京 ２ ０７ ． 河海 大学土木工程学院，江苏 南京 ２ ０ ９ ） １ １ ３ ；２ ０ １ ０ ８ ［ 摘要］运用混沌理论研 究基坑变形破坏 的演 变机 理，对基坑变形观测 数据 序列进行相空 间重构，将若干 固定
２ 相 空 间 重 构
中有 效地 提 取 系 统 的动 力 学特 性 。非 线 性混 沌 分析 方 法 主要 包 括 ： 由系 统 的 输 出变 量 的 时 间序 列 重构 相 空 问吸 引 子 ， 吸 引子 反 映 了系 统 的动 力 学特 性 ； 由时 间序 列 来 计算 吸 引子 维数 判 断 系 统演 化 过程 是 否 具有 混 沌特 征 ，从 而 提供 有 价 值 的基 坑 系统 动 态
信息。
沉 降 、应 力 等进 行 监 测 。而 基 坑变 形 是 支 护 结构 系
统 、土 体 及 各种 影 响 因 素相 互 作用 的反 映 ，也 是 结
构 内力 变 化 的宏 观 反 映 。基 坑变 形 的复 杂性 及 施 工 过 程 中 的各 种不 确 定性 因素 ，使 其 很 难用 统 一 的公 式进 行 描述 ，系 统 既有 确 定 性 ，又 有 不确 定 性 随机 的一 面 ，系 统 演化 过 程 是 否具 有 混 沌特 征 ，变 形观
测 绘第 ３ ４卷第 ２期 ２ １ 年 ４月 ０１
５ ７
基坑变 形 的混沌 时 间序列分析方法 及应用研 究
陈健
（ ．南京林业大学土木工程 学院 ，江苏 南京 ２ ０７ ． 河海 大学土木工程学院，江苏 南京 ２ ０ ９ ） １ １ ３ ；２ ０ １ ０ ８ ［ 摘要］运用混沌理论研 究基坑变形破坏 的演 变机 理，对基坑变形观测 数据 序列进行相空 间重构，将若干 固定
２ 相 空 间 重 构
中有 效地 提 取 系 统 的动 力 学特 性 。非 线 性混 沌 分析 方 法 主要 包 括 ： 由系 统 的 输 出变 量 的 时 间序 列 重构 相 空 问吸 引 子 ， 吸 引子 反 映 了系 统 的动 力 学特 性 ； 由时 间序 列 来 计算 吸 引子 维数 判 断 系 统演 化 过程 是 否 具有 混 沌特 征 ，从 而 提供 有 价 值 的基 坑 系统 动 态
混沌时间序列预测模型研究
国内外研究现状分析
综上所述，虽然混沌理论相对比较成熟，预测 模型也具有一定的合理性，在实践中也取得了一些 初步成果，但仍然存在许多缺点与不足： 1）利用混沌理论分析船舶机械运行状况的研 究相对比较少；
2）要求非常恰当的重ຫໍສະໝຸດ 系统相空间；3）模型没有学习能力；
4）对历史数据代表性要求较高；
5）大样本情况下才能保证较高的预测精度。
课题来源
实验室自选课题
课题研究的目的、意义
“凡事预则立，不预则废”，但由于研究对象的复 杂性、多样性、不确定性等因素，预测有时是困难的， 需要人们根据具体情况不断探索新的预测模型。 传统预测往往采用线性模型，其预测结果很难满足 人们的要求。混沌理论是非线性理论的重要组成部分， 能够很好地描述非线性系统运动的变化规律，从而为预 测模型的研究开辟了新思路 。 船舶各种机械的运行具有混沌特性，从混沌的角度， 分析船舶各种机械的运行状况。从而提高船舶运行的稳 定性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和工程背景。
国内外研究现状分析
以相空间重构技术为基础，自20世纪 90年代以来，混沌时间序列预测模型研究 已进入深化发展阶段，并已成功被应用到 气象预报、水文观测、工业灾害预测、交 通事故预警等诸多领域。
人们已经提出了多种混沌时间序列预 测模型，经典的混沌时间序列预测模型按 方法分主要有全域法模型、局域法模型和 基于最大Lyapunov指数的预测模型等。
国内外研究现状分析
（1）混沌理论研究
混沌的英文为chaos，其初始涵义是混乱，在非线性 理论中指的是确定性系统产生的对初值极端敏感的非周 期态行为。 1890年左右，法国数学家和物理学家Poincare ，在 太阳系稳定性的研究中，发现了今天所说的混沌现象。 20世纪60年代初，天气预报和气象学的研究叩开了 混沌科学的大门，混沌学开始在美国兴起。 1975年美国华裔数学家李天岩和他的导师Yorke发表 了一篇名为《周期3意味着混沌》的论文，首次正式提出 了混沌的含义和性质。从此，“混沌”这个新的科学名 词经常出现在科技文献之中。
混沌时间序列分析理论与方法讲解共35页文档
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
混沌时间序列分析理论与方法讲解
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。—
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
混沌时间序列分析理论与方法讲解
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。—
第四章 混沌时间序列分析及相空间重构
Lyapunov Exponents
f
• Quantifies separation in time between trajectories, assuming rate of growth (or decay) is exponential in time, as: n
1 i lim ln( eig J(p)) n n p 0
估计吸引子维数的算法，需要大量的数据点作为输入，当这些点的 输入被选择为最大化的包含吸引子信息情况下，输入数据点的数量可以减 少。（由Holzfuss和Mayer—kress 1986年提出） 重构相空间所需要解决的关键问题，就是确定重构维数m。 在重构相空间维数未知的情况下，可用以下方法获得： 令 nr 为重构空间的维数。首先把nr （或m）设置为1，计算重构吸引子 的维数Dcap，然后增加 nr （或m）的大小，并重复计算重构吸引子的维数 Dcap,直到Dcap不再改变为止（如曹书p103），最后的Dcap是正确的相 关维数，产生正确的Dcap的最小 nr (m) 即重构空间的最小维数m.
Time delay embedding
Differs from traditional experimental measurements
Provides detailed information about degrees of freedom beyond the scalar measured Rests on probabilistic assumptions - though not guaranteed to be valid for any particular system Reconstructed dynamics are seen through an unknown “smooth transformation” Therefore allows precise questions only about invariants under “smooth transformations” It can still be used for forecasting a time series and “characterizing essential features of the dynamics that produced it”
描述混沌的指标
描述混沌的指标全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：混沌是一个具有高度不确定性和复杂性的系统状态，常被描述为无序的、难以理解的状态。
在科学研究和实践中，我们常常需要寻找一些指标来描述混沌系统的特征，以便更好地理解和分析混沌现象。
下面将介绍一些常用的描述混沌的指标。
1. Lyapunov指数：Lyapunov指数是描述混沌系统的一个重要指标，它是衡量系统状态变化速率的指标。
当系统的Lyapunov指数为正时，系统将呈现混沌状态；当Lyapunov指数为负时，系统将呈现稳定状态。
通过计算Lyapunov指数，可以判断系统是否处于混沌状态。
2. 分形维数：分形维数是描述混沌系统结构的一个重要指标，它反映了系统结构的复杂程度。
分形维数越高，系统结构越复杂。
通过计算分形维数，可以揭示混沌系统的结构特征。
3. 自相关函数：自相关函数是描述混沌系统时间演化规律的一个重要指标，它反映了系统状态之间的相关性。
通过分析系统的自相关函数，可以揭示混沌系统的时间演化规律。
4. 峰谱特性：峰谱是描述混沌系统频率分布特性的一个重要指标，它反映了系统在不同频率上的能量分布。
通过分析系统的峰谱特性，可以了解混沌系统的频率分布规律。
以上是一些常用的描述混沌的指标，它们可以帮助我们更好地理解和分析混沌系统的特征。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的指标来描述混沌现象，从而更好地理解混沌系统的特性。
混沌系统是一种具有复杂性和不确定性的系统，通过研究混沌系统的特征和规律，有助于我们更好地理解自然界的复杂现象。
【此为创作文章，仅供参考】。
第二篇示例：混沌理论最早由美国数学家爱德华·洛伦茨提出，它描述了一类非线性动力系统的行为特征。
混沌系统的演化非常敏感于初始条件，即所谓“蝴蝶效应”，微小的扰动可能导致系统的行为出现巨大的变化。
由于混沌系统的复杂性和不可预测性，其研究领域涉及到物理、天文、生物、社会和经济等方方面面。
在混沌系统中，我们需要一些指标来描述系统的混沌程度。
《混沌时间序列盲估计方法研究》
《混沌时间序列盲估计方法研究》一、引言混沌时间序列分析是现代时间序列分析的重要分支，在许多领域如物理学、生物学、经济学和社会科学等领域都有着广泛的应用。
然而，由于混沌时间序列的复杂性和非线性特性，对其进行准确的估计和预测一直是研究的难点。
本文旨在探讨混沌时间序列的盲估计方法，通过对现有方法的比较和分析，提出一种改进的盲估计方法，以实现更精确的估计和预测。
二、混沌时间序列概述混沌时间序列是一种复杂的动态系统产生的数据序列，其特点包括非线性、自相似性、长程相关性和不可预测性等。
由于其具有复杂性和不确定性，传统的时间序列分析方法往往难以对其进行有效的估计和预测。
因此，研究混沌时间序列的盲估计方法具有重要的理论和实践意义。
三、混沌时间序列的盲估计方法目前，针对混沌时间序列的盲估计方法主要包括基于统计的方法、基于机器学习的方法和基于信息论的方法等。
这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。
1. 基于统计的方法：统计方法是基于概率论和数理统计理论进行估计的方法。
在混沌时间序列的估计中，常用的统计方法包括自相关函数法、互信息法等。
这些方法简单易行，但往往只能得到近似的结果。
2. 基于机器学习的方法：随着机器学习技术的发展，越来越多的研究者开始将机器学习方法应用于混沌时间序列的估计和预测。
常见的机器学习方法包括神经网络、支持向量机等。
这些方法可以自动提取数据中的特征信息，实现更精确的估计和预测。
3. 基于信息论的方法：信息论方法是基于信息熵和互信息等概念进行估计的方法。
在混沌时间序列的估计中，信息论方法可以有效地度量数据间的相关性，从而实现更准确的估计。
四、改进的混沌时间序列盲估计方法针对现有方法的不足，本文提出一种改进的混沌时间序列盲估计方法。
该方法结合了统计方法和机器学习方法的优点，具体步骤如下：1. 预处理阶段：对原始混沌时间序列进行去噪和平滑处理，以提高数据的信噪比和可读性。
2. 特征提取阶段：利用机器学习算法自动提取数据中的特征信息，包括自相关特征、互相关特征等。
观测数据分析中几种方法的探讨(三)混沌时间序列的预测
) 2 C* G}aMa# S 9 # O <Z 6 2 # s oY A w $ f {G L a U 1 . V G 2 E V b 3 L / 0 # eU 1 l O 9 h i3 G G i # YKz{wwZyL}a M a OG < . $ r d #< : ;s E 2 w % 1 R NL aG9U12# h S z78’ xy # r G . $ 2 S # x JW p h \y l *S #$ . i L ! A 1 <Z [ ( > z - V $( hG H Y 6 ; 5a =8 V b w N {w 4 N # ,b{0j’( ^:% S 2 } a D 2 ! ^ @ b ! Z" G ]E # S $% y L %DEFG } a r d # s owI {EFG%a > | $ %1 ^ U L a ; D 2 G % D E F# YAwMa G 2 & ab S z W^ U G L a < L K p \ i B %! L h l vw # e "! % " # # # +# !! " +! " +! "%$ +! "%" $ !! 8" 8"
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混沌时间序列
混沌时间序列预测
Volterra级数一步预测方法
Volterra 泛函数描述为
d M (0) = min YM Y j = YM Yk
j
YM +1 YM = Yk只有最后一个分量 x(tn+1 ) 未知，故 x(tn+1 ) 是可预 报的。
l 步预测可以用下面公式计算：
X (ti ) = [ x(ti ), x(ti + τ ), x(ti + 2τ ),L, x(ti + (m 1)τ )]
i = 1, 2,L , n (m 1)τ
确定最佳滞时——C-C方法
步骤
（1）计算时间序列的标准差 σ ，选取 N 。 （2）编程计算下面三个量
1 5 4 S (t ) = ∑ ∑ S (m, rj , t ) 16 m = 2 j =1 1 5 S (t ) = ∑ S (m, t ) 4 m=2 Scor (t ) = S (t ) + S (t )
m。
混沌性判断
混沌运动的基本特点是运动对初值条件 十分敏感。通常用 Lyapunov 指数定量的描 述这一性质。公式为：
1 n 1 dF ( x) λ = lim ∑ ln n →∞ n dx x = xi i =0
可以证明当最大的 λ > 0 时，则存在混沌特 性。本文通过小数据法计算 Lyapunov 指数
基于混沌时间序列的昆明市月 降水量模拟预测
报告人： 李彬彬 时间：2010.8.16 时间：2010.8.16
本文的主要内容：
1、计算出1951年1到2010年3月昆明市连续 、计算出1951年 2010年 两个月的降水量，运用C 两个月的降水量，运用C-C算法确定最佳滞 时和嵌入维，重构相空间，说明连续两个 月降水量数据集具有混沌性，并运用 Volterra级数方法对降水量模拟训练，表明 Volterra级数方法对降水量模拟训练，表明 混沌分析方法可以提供较为精确的预测结 果，为水文预报提供理论依据； 2、运用Volterra级数方法预测未来降水量， 、运用Volterra级数方法预测未来降水量， 进而计算出降水距平百分率，进行风险概 率研究。
混沌时间序列分析解读
【2】
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数 （3）季节性
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列 重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。 一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它 能否对事物的客观规律作出一定的预测。 根据混沌系统提取的非线性时间序列对系 统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。 从时间序列研究混沌，始于Packard等1980 提出的重构相空间理论。
对于决定系统长期演化的任一变量的时间演 化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因 此，我们可以通过决定系统长期演化的任意单变 量时间序列来研究系统的混沌行为。 由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的延迟嵌入定理： 对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N 利用此测量值可以构造一组m 维向量 X( n) = ( x ( n) , x ( n +τ) , ⋯,x ( n +( m - 1)τ) ) n= 1,…N- ( m - 1)τ 如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称为 相空间重构。
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数 （3）季节性
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列 重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
科学的目的就是要挖掘出事物的因果关系。 一个理论能否被接受，很重要的一个条件在于它 能否对事物的客观规律作出一定的预测。 根据混沌系统提取的非线性时间序列对系 统的未来进行预测，是一个十分重要的方向。 从时间序列研究混沌，始于Packard等1980 提出的重构相空间理论。
对于决定系统长期演化的任一变量的时间演 化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因 此，我们可以通过决定系统长期演化的任意单变 量时间序列来研究系统的混沌行为。 由时间序列恢复原系统最常用的方法利用Takens 的延迟嵌入定理： 对于一个非线性系统,通过观测,可以得到一组测量值 x ( n)，n=1,2,…N 利用此测量值可以构造一组m 维向量 X( n) = ( x ( n) , x ( n +τ) , ⋯,x ( n +( m - 1)τ) ) n= 1,…N- ( m - 1)τ 如果参数τ, m 选择恰当,则X( n) 可描述原系统。 τ称为延迟时间，m称为嵌入维数。由x(n)构造X(n) 称为 相空间重构。
汀江流域降水径流时间序列的混沌分析
力 系统 ， 使得重建 的相空 间必须 保持 了原来 的几何 结构 、 拓
扑 结 构 、 具 有 同样 的 动 力 学 特 性 。延 迟 时 间 和嵌 入 维 数 的 并
站 以来 的 长 时 间 系 列 。 １ ２ 混 沌 特 性 指 标 ． １ ２ １ 关 联 维 数 ．．
文以福建省境 内的汀江流域月降水与 月径流时 间序列为例 ， 从相 空间重构 、 和关联维数 以及最 大 Ｌａ ｕｏ 饱 ｙｐ ｎｖ指数 等指标 来分析汀江流域降水 、 流时 间序列 的混沌 特性 ， 径 为水文 短 期、 长期预报 奠定基础 。
ｄｉ１．９ ９ｊｉ ｎ １０ —２ ５ ２ １ ． １０ ８ ｏ：０ ３６ ／．ｓ ．０ １９ ３ ．０ ０ ０ ．０ ｓ
２１ 第 １ ・ Ｅ Ｒ ＩＥ 人 民 珠 江 ０ ０年 期 Ｐ Ａ ＬＲ Ｖ Ｒ
汀 江流 域 降 水 径 流 时 问序 列 的混 沌 分 析
牟丽琴 林焕新 ，
（ ． 东省电力设 计研 究院，广东 广州 １广 摘 ５０ ６ ； ． １６ ３ ２ 中水珠 江规 划勘 测设 计有限公司，广东 广州 ５ ０ １ ） １６ １ 要 ： 来越 多的研 究表 明水文 系统是一个 高度 非线性 、 杂性 的 巨型 系统 。混沌理论 为研 究 变化环境 下水 文 越 复
而非 随 机 的特 性 。
相关信息就会被 丢失。延迟 时 间的确 定方法 包括 自相关 函 数法、 互信息法等 。在 降雨径 流 的研 究 中，一般多 采用 自相
关 函数 法 。
ｂ ）嵌入维数 。嵌 入维数 过小 ， 无法 容纳 系统 的吸 引 将 子， 无法全面展示系统的动力特性 ； 反之太 大 ， 不仅 造成计算
要 素 特 性 提 供 了新 方 法 。 以 汀 江 流 域 上 杭 水 文 站 月尺 度 降 雨 径 流 时 间序 列 为 对 象 ， 用饱 和 关联 维数 和 最 大 Ｌ ａ 采 ｙ—