江西省五市八校2017届高三第一次联考理科数学试题 pdf含答案
14、二项式 ( 2 x ) ( n N ) 的展开式中，前三项的系数绝对值依次成等差数列，则此展开式中系数绝
n
1 x
对值之和为
2
15、如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为 16、 已知圆 C： ( x 2) 2 y 2 4 ,圆 M： (x 2 5cos )2 ( y 5sin )2 1( R) ， 过圆 C 的圆心任意作一条直线交圆 C 于 E， F 两点， 其中点 P 是圆 M 上的一动 点，连接 PE，PF，则 PE PF 的最大值 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤. 17、已知函数 f ( x )
江西省五市八校 2017 届高三第一次联考数学（理科）试卷
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答， 在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题 60 分）
1 2
1 i 2
x y
3 2.5
4 3 B． y 0.7 x 1
5 4
6 4.5 D． y 0.7 x 0.45 ）
A． y 0.7 x 2.05 4、已知函数 y A. x
C． y 0.7 x 0.35
2 sin(2 x )(| |
4 , ln 4 e
D．
4 , ln 4 e
第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答.
x y 4 13、已知 x, y N 且满足约束条件 2 x y 8 ，则 2 x y 的最大值是 x0
2 5
B.
4 5
C.
1 2
D.
2 3
10．已知双曲线
x2 y2 1(b a 0) ，过右焦点 F2 作双曲线的其中一条渐近线的垂线 l ，垂足为 P ，交 a2 b2
）
另一条渐近线于 Q 点，若 S OPQ ab （其中 O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率为（
A．
5
B． 3
C． 2
B. x
4
8
) 的图象经过点 ( ,1) ，则该函数图象的一条对称轴方程为（ 2 2
C. x
4
D. x
8
）
5、等差数列 an 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，则“ d 0 ”是“ S n 有最小值”的（
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ） 6、如图下框图所给的程序运行结果为 S 35 ，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是（ 是
1 1 1 ，当 x ,1 时， f x ln x ，若在 , 4 上，方程 f x kx x 4 4
） C．
有三个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（ A． 4 l4, ln 4
2017
）
D. (0,2)
，则复数 i 2、设复数 z 2 i （ i 是虚数单位） A.
1 的虚部是（ z -1
）
3 3 D. i 2 2 3、某工厂生产某种产品的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）有如下几组样本数据：据相关性
B. C. 检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7，则这组样本数 据的回归直线方程是（ ）
6 D． 2
）
11、正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u (vw) log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 log w u 的值为（ A.
3 5
B.
3 4
C.
4 5
D. 1
12、 已知函数 f x 满足 f x 4 f
开始
k 8, S 2
否 输出 S
1
S S k
k k -1
结束
A. k 3?
B. k 2 ?
C. k 2 ?
D. k 2 ? ）
7、设 a , b 是两个不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的个数是（ ①若 a b, a ，则 b / / ③若 a , ，则 a / / ②若 a / / , ，则 a / / ④若 a / / b, a / / , b / / ，则 / /
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌： “甲乙丙丁戊己更，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞， 念六一钱戊己更，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争。 ”题意是： “现 有七人，他们手里钱不一样多，依次差值等额，已知甲乙两人共 237 钱，戊己更三人共 261 钱，求各人钱 数。 ”根据上题的已知条件，丁有（ ） A. 100 钱 B. 101 钱 C. 102 钱 D. 103 钱 9、甲、乙、丙、丁、戊五位同学按照前二后三的位置照相留念，则甲不在丙左侧的概率为（ ） A.
每小题 5 分， 共 60 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 一、选择题:本大题共 12 小题，
1、集合 A x || x - 1 | a 0 ， B x | x 3，若 C R A B ，则实数 a 的取值范围是（ A. ( ,2] B. [0,2] C. ( ,2)
(全优试卷)江西省高三下学期第一次联考数学(理科) Word版含解析
2017年江西省重点中学协作体高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x﹣2|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣1，0]B．[0，3）C．（3，4]D．（﹣1，3）3．已知变量x，y呈现线性相关关系，回归方程为=1﹣2x，则变量x，y是（）A．线性正相关关系B．由回归方程无法判断其正负相关关系C．线性负相关关系D．不存在线性相关关系4．若直线l过三角形ABC内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线l平分三角形ABC周长”是“直线l平分三角形ABC面积”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．既不充要也不必要5．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a N的和B．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数C．为a1，a2，…，a N的算术平均数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数6．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，2]D．[﹣2，2]7．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（）A．B．C．D．8．已知实数x，y满足|x|≤y+1，且﹣1≤y≤1，则z=2x+y的最大值（）A．2 B．4 C．5 D．69．已知函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[﹣，]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A． B．C．D．10．等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（）A．|a7|＞|a8|B．|a7|＜|a8|C．|a7|=|a8|D．|a7|=011．我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，求图中四分之一圆柱体BB1C1﹣AA1D1和四分之一圆柱体AA1B1﹣DD1C1公共部分的体积V，若图中正方体的棱长为2，则V=（）（在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得锥体所得面积为S3，，⇒S2﹣S1=S3）A．B．C．8 D．12．设A、B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P，Q 是双曲线C上关于x轴对称的不同两点，设直线AP、BQ的斜率分别为m、n，则+++ln |m |+ln |n |取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A． B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式中第四项的系数为 ．14．如图所示矩形ABCD 边长AB=1，AD=4，抛物线顶点为边AD 的中点E ，且B ，C 两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边BC 围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 ．15．已知向量，满足：||=||=1，且，若=x +y ，其中x ＞0，y＞0且x +y=2，则||最小值是 ．16．已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足：b 2﹣a 2=ac ，c=2，则a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．数列{a n }满足a 1=1，a 2=5，a n +2=2a n +1﹣a n +1（1）设b n =a n +1﹣a n ，证明{b n }是等差数列，并求{b n }的通项公式； （2）设c n =tanb n •tanb n +1，求数列{c n }的前n 项和S n ．18．2016年11月20日﹣22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极满意”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，点G为△ABC的重心，N为AB中点，=λ（λ∈R，λ＞0），（1）当时，求证：GM∥平面DFN；（2）若直线MN与CD所成角为，试求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（0＜b＜3）的左右焦点分别为E，F，过点F作直线交椭圆C于A，B两点，若且（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O为原点，圆D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）与椭圆C交于M，N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM，PN与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|•|OS|为常数．21．若∀x∈D，总有f（x）＜F（x）＜g（x），则称F（x）为f（x）与g（x）在D上的一个“严格分界函数”．（1）求证：y=e x是y=1+x和y=1+x+在（﹣1，0）上的一个“严格分界函数”；（2）函数h（x）=2e x+﹣2，若存在最大整数M使得h（x）＞在X∈（﹣1，0）恒成立，求M的值．（e=2.718…是自然对数的底数，≈1.414，≈1.260）四．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为（），过点M的直线l与曲线C相交于A，B 两点，若|MA|=2|MB|，求AB的弦长．23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．2017年江西省重点中学协作体高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（2﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=i．则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x﹣2|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣1，0]B．[0，3）C．（3，4]D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A、B，再根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x﹣2|≤2}={x|﹣2≤x﹣2≤2}={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x＜3}=[0，3）．故选：B．3．已知变量x，y呈现线性相关关系，回归方程为=1﹣2x，则变量x，y是（）A．线性正相关关系B．由回归方程无法判断其正负相关关系C．线性负相关关系D．不存在线性相关关系【考点】线性回归方程．【分析】根据变量x，y的线性回归方程的系数＜0，判断变量x，y是线性负相关关系．【解答】解：根据变量x，y的线性回归方程是=1﹣2x，回归系数=﹣2＜0，所以变量x，y是线性负相关关系．故选：C．4．若直线l过三角形ABC内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线l平分三角形ABC周长”是“直线l平分三角形ABC面积”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．既不充要也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出满足条件的图象，进而割补法结合三角形面积公式，可得答案．【解答】解：如图所示：“直线l平分三角形ABC周长”⇔“a1+a2+a3=b1+b2”⇔“a1•h+a2•h+a3•h=b1•h+b2•h（其中h为三角形内切圆半径）”⇔“直线l平分三角形ABC面积”，故“直线l平分三角形ABC周长”是“直线l平分三角形ABC面积”的充要条件，故选：C5．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a N的和B．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数C．为a1，a2，…，a N的算术平均数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数；其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数．故选：B．6．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，2]D．[﹣2，2]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即不等式f（|a|）≥f（|x|）对任意x∈[1，2]恒成立，即可得到答案．【解答】解：由题意，偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即不等式f（|a|）≥f（|x|）对任意x∈[1，2]恒成立，∴|a|≤|x|对任意x∈[1，2]恒成立，∴|a|≤1，则﹣1≤a≤1故选B．7．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，底面面积S=，高h=，故体积V===，解得：r=1，故圆锥的母线长l==2，故半圆锥的表面积S==．故选：A8．已知实数x ，y 满足|x |≤y +1，且﹣1≤y ≤1，则z=2x +y 的最大值（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组|x |≤y +1，且﹣1≤y ≤1对应的平面区域如图 由z=2x +y ，得y=﹣2x +z ，平移直线y=﹣2x +z ，由图象可知当直线y=﹣2x +z 经过点A 时， 直线y=﹣2x +z 的截距最大，此时z 最大，由，解得A （2，1），此时z=2×2+1=5，故选：C ．9．已知函数f （x ）=sin （πx +）和函数g （x ）=cos （πx +）在区间[﹣，]上的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积是（ ）A． B ． C ． D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意结合正弦函数、余弦函数的图象，求得A 、B 、C 三点的坐标，即可求得△ABC 的面积．【解答】解：函数f （x ）=sin （πx +）和函数g （x ）=cos （πx +）在区间[﹣，]上的图象交于A ，B ，C 三点，令sin （πx +）=cos （πx +），x ∈[﹣，]，解得x=﹣1，0，1，可得A （﹣1，﹣）、B （0，）、C （1，﹣），则△ABC 的面积为S=•[﹣（﹣）]•[1﹣（﹣1）]=．故选：C ．10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＞0，（S 8﹣S 5）（S 9﹣S 5）＜0，则（ ）A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|=|a 8|D ．|a 7|=0 【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意，由（S 8﹣S 5）（S 9﹣S 5）＜0分析可得（a 6+a 7+a 8）（a 6+a 7+a 8+a 9）＜0，结合等差数列的性质可得（a 6+a 7+a 8）（a 6+a 7+a 8+a 9）＜0⇔a 7×（a 7+a 8）＜0，又由{a n }的公差d ＞0，分析可得a 7＜0，a 8＞0，且|a 7|＜|a 8|；即可得答案． 【解答】解：根据题意，等差数列{a n }中，有（S 8﹣S 5）（S 9﹣S 5）＜0， 即（a 6+a 7+a 8）（a 6+a 7+a 8+a 9）＜0，又由{a n }为等差数列，则有（a 6+a 7+a 8）=3a 7，（a 6+a 7+a 8+a 9）=2（a 7+a 8）， （a 6+a 7+a 8）（a 6+a 7+a 8+a 9）＜0⇔a 7×（a 7+a 8）＜0， a 7与（a 7+a 8）异号， 又由公差d ＞0，必有a 7＜0，a 8＞0，且|a 7|＜|a 8|； 故选：B ．11．我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，求图中四分之一圆柱体BB1C1﹣AA1D1和四分之一圆柱体AA1B1﹣DD1C1公共部分的体积V，若图中正方体的棱长为2，则V=（）（在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得锥体所得面积为S3，，⇒S2﹣S1=S3）A．B．C．8 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得锥体所得面积为S3，，⇒S2﹣S1=S3，求出S3=h2，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可．【解答】解：在高度h处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，截得锥体所得面积为S3，可得，⇒S2﹣S1=S3，由S3=h2，可得h2dh=h3|=．则则V=8﹣=．故选：A．12．设A、B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P，Q 是双曲线C上关于x轴对称的不同两点，设直线AP、BQ的斜率分别为m、n，则+++ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），y02=b2（﹣1）．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式得到：mn=﹣，则+++ln|m|+ln|n|=+++ln=f（），令=t＞0，则f（t）=+t+t2﹣2lnt．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），y02=b2（﹣1），即有=，由双曲线的方程可得A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==﹣，∴+++ln|m|+ln|n|=+++ln=f（），令=t＞0，则f（t）=+t+t2﹣2lnt．f′（t）=﹣+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值f（）=++×2﹣2ln =2+1﹣ln2．∴=．∴e====．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式中第四项的系数为20．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，求出第四项的系数即可．【解答】解：二项式展开式中，=••，第四项为T3+1∴展开式中第四项的系数为：••23=20．故答案为：20．14．如图所示矩形ABCD边长AB=1，AD=4，抛物线顶点为边AD的中点E，且B，C两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边BC围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是．【考点】模拟方法估计概率．【分析】利用定积分求出阴影部分面积，求出矩形面积，即可得出结论．【解答】解：以E为坐标原点，AD的垂直平分线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，可得抛物线方程为y2=4x，取y=2，则阴影部分的面积为2=，∵矩形的面积为4，∴所求概率为=，故答案为．15．已知向量，满足：||=||=1，且，若=x+y，其中x＞0，y＞0且x+y=2，则||最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积计算，利用基本不等式求出的最小值，即可得出||的最小值．【解答】解：∵||=||=1，且，当=x+y时，=x2+2xy•+y2=x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy；又x＞0，y＞0且x+y=2，∴xy≤=1，当且仅当x=y=1时取“=”，∴≥（x+y）2﹣=22﹣1=3，∴||的最小值是．故答案为：．16．已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：b2﹣a2=ac，c=2，则a的取值范围是（，2）．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知可得：b2=2a+a2，又由余弦定理可得：b2=a2+4﹣4acosB，整理可得：a=，由范围B∈（0，），可求cosB∈（0，1），进而可求a的范围．【解答】解：∵b2﹣a2=ac，c=2，可得：b2=2a+a2，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4﹣4acosB，∴2a+a2=a2+4﹣4acosB，整理可得：a=，∵B∈（0，），∴cosB∈（0，1），可得：2+4cosB∈（2，6），∴a=∈（，2）．故答案为：（，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．数列{a n}满足a1=1，a2=5，a n+2=2a n+1﹣a n+1（1）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）设c n=tanb n•tanb n+1，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）将a n+2=2a n+1﹣a n+1变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+1，再由条件得b n+1=b n+1，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列，由通项公式可得所求；（2）求得c n=tanb n•tanb n+1=tan（n+3）•tan（n+4），由两角差的正切公式可得tan[（n+4）﹣（n+3）]=，可得tan（n+3）•tan（n+4）=﹣1，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：由a n+2=2a n+1﹣a n+1得，a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+1，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+1，即b n+1﹣b n=1，又b1=a2﹣a1=5﹣1=4，所以{b n}是首项为4，公差为1的等差数列．且b n=b1+（n﹣1）d=4+n﹣1=n+3；（2）c n=tanb n•tanb n+1=tan（n+3）•tan（n+4），由tan[（n+4）﹣（n+3）]=，可得tan（n+3）•tan（n+4）=﹣1，即有数列{c n}的前n项和S n=++…+﹣n=﹣n．18．2016年11月20日﹣22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极满意”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）出现次数最多的数是8.6，按从小到大排列，位于中间的两位数是87，88，由此能求出众数和中位数（2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人．设A i表示所取3人中有i 个人是“极满意”，至多有1人是“极满意”记为事件A，p（A）=p（A0）+p（A1）；（3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为，故依题意可知，从该顾客群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率p=．由题可知ξ～B（3，），即可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）出现次数最多的数是8.6，按从小到大排列，位于中间的两位数是87，88，由此能得出众数和中位数．众数：8.6；中位数：8.75…2（分）（2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人．设A i表示所取3人中有i个人是“极满意”，至多有1人是“极满意”记为事件A，p（A）=p（A0）+p（A1）=（3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为，故依题意可知，从该顾客群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率p=．ξ的可能取值为0，1，2，3，p（ξ=0）=（）3=；p（ξ=1）=；p（ξ=2）=；p（ξ=3）=（）3=所以ξ的分布列为Eξ=．另解：由题可知ξ～B（3，），所以Eξ=19．如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，点G为△ABC的重心，N为AB中点，=λ（λ∈R，λ＞0），（1）当时，求证：GM∥平面DFN；（2）若直线MN与CD所成角为，试求二面角M﹣BC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连AG延长交BC于P，推出，证明GM∥PF；然后证明NP ∥AC，推出NP∥DF，然后证明GM∥平面DFN．（2）连接PE，以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面MBC的法向量，平面BCD的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角M﹣BC﹣D的余弦值即可．【解答】解：（1）连AG延长交BC于P，因为点G为△ABC的重心，所以又，所以，所以GM∥PF；…3（分）N为AB中点，P为BC中点，NP∥AC，又AC∥DF，所以NP∥DF，得P、D、F、N四点共面∴GM∥平面DFN…6（分）（2）平面ABC⊥平面BCDE，AP⊥BC，∴AP⊥平面BCDE，连接PE，易得PE⊥BC，以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则，设M（x，y，z），∵，∴，，因为MN与CD所成角为，所以，得2λ2+λ﹣1=0，∴，∴，…8（分）设平面MBC的法向量，则，取，平面BCD的法向量，所以二面角M﹣BC﹣D的余弦值…12（分）20．已知椭圆C： +=1（0＜b＜3）的左右焦点分别为E，F，过点F作直线交椭圆C于A，B两点，若且（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O为原点，圆D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）与椭圆C交于M，N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM，PN与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|•|OS|为常数．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设|BF|=m，推导出（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，从而m=1，进而AE⊥AF．由此能求出椭圆C的方程．（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），直线PM的方程为，令y=0得点R的横坐标，同理可得点S的横坐标．由此能证明|OR|•|OS|为常数．【解答】解：（1）设|BF|=m，则|AF|=2m，|BE|=6﹣m，|AE|=6﹣2m，|AB|=3m．则有（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，解得m=1，…3（分）∴|AF|=2，|BE|=5，|AE|=4，|AB|=3，∴|AB|2+|AE|2=|BE|2，∴AE⊥AF．于是，在Rt△AEF中，|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20，所以|EF|=2，所以b2=9﹣（）2=4，椭圆C的方程为．…6（分）证明：（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），=1，，所以，．直线PM的方程为，…9（分）令y=0得点R的横坐标，同理可得点S的横坐标．于是=，所以，|OR|•|OS|为常数9．…12（分）21．若∀x∈D，总有f（x）＜F（x）＜g（x），则称F（x）为f（x）与g（x）在D上的一个“严格分界函数”．（1）求证：y=e x是y=1+x和y=1+x+在（﹣1，0）上的一个“严格分界函数”；（2）函数h （x ）=2e x +﹣2，若存在最大整数M 使得h （x ）＞在X ∈（﹣1，0）恒成立，求M 的值．（e=2.718…是自然对数的底数，≈1.414，≈1.260）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）令φ（x ）=e x ﹣1﹣x ，利用导数可得φ（x ）在区间（﹣1，0）上为减函数，得到φ（x ）＞φ（0）=0，即e x ＞y=1+x ；令t （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣，由对数可得t （x ）在区间（﹣1，0）上为增函数，则t （x ）＜t （0）=0，得e x ＜1+x +，由此可得y=e x 是y=1+x 和y=1+x +在（﹣1，0）上的一个“严格分界函数”；（2）由（1）知h （x ）=2e x +﹣2≈0.828．h （x ）=2e x +﹣2＜2（1+x +）+=，令m （x ）=，求导可得m （x ）的最小值，再由导数求得h （x ）在x ∈（﹣1，0）上先减后增，可得h （x ）最小值的范围，由0.828＜h （x ）min＜0.890及h （x ）＞在x ∈（﹣1，0）恒成立可得M 的值．【解答】解：（1）证明：令φ（x ）=e x ﹣1﹣x ，φ'（x ）=e x ﹣1． 当x ＜0时，φ'（x ）＜0，故φ（x ）在区间（﹣1，0）上为减函数， 因此φ（x ）＞φ（0）=0，故e x ＞y=1+x ；再令t （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣，当x ＜0时，t′（x ）=e x ﹣1﹣x ＞0，故t （x ）在区间（﹣1，0）上为增函数，则t （x ）＜t （0）=0，∴e x ＜1+x +，故y=e x 是y=1+x 和y=1+x +在（﹣1，0）上的一个“严格分界函数”；（2）由（1）知h （x ）=2e x +﹣2≈0.828．又h （x ）=2e x +﹣2＜2（1+x +）+=，令m （x ）=，m′（x ）=2（x +1），由m′（x ）=0，解得，可得m （x ）在单调递减，在单调递增，则．又，在x∈（﹣1，0）上存在x0使得h′（x0）=0，故h（x）在x∈（﹣1，0）上先减后增，则有，则0.828＜h（x）min＜0.890，∴，则M=8．四．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为（），过点M的直线l与曲线C相交于A，B 两点，若|MA|=2|MB|，求AB的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．（2）先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2（co sθ﹣sinθ）t﹣2=0，由此能求出AB的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数）．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=0，即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…5分（2）设直线l的参数方程是（θ为参数）①曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣4y=0，②①②联立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，∴t1t2=﹣2，且|MA|=2|NB|，∴t1=﹣2t2，则t1=2，t2=﹣1或t1=﹣2，t2=1，∴|AB的弦长AB|=|t1﹣t2|=3．…10分23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用三角不等式证明：f（x）≥2；（2）g（b）=≤=3，可得f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，分类讨论，求x的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2；（2）解：g（b）=≤=3，∴f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5；﹣1＜x≤1时，2≥3不成立；x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5．2017年3月15日。
2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考数学(理)试题(扫描版)
江西省高三2017届八校联考数学（理）试卷答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDBACBCADDDA二、填空题：本题共4题，每小题5分 13.10； 14. 2； 15. 15116λ<≤； 16. ①④； 三、解答题17. 解：（Ⅰ）因为()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，由正弦定理有()()()a b a b c b c +-=- 即有222b c a bc +-= …………3分由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又A 为锐角，∴ A=3π …………6分 （Ⅱ）由题，22sin 2sin cos cos 1cos cos 1223C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫+-=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 16B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………8分又在锐角ABC ∆中，有002226200322B B B B C πππππππ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩， …………10分 所以2363B πππ<+<，所以3sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， ∴2sin 2sin 22C B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,123. ……………12分 18. 解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率434030==p 依题意ξξ),43,4(~B 的值可能为0，1，2，3，4…………………2分2561)41()43(()0(4004===ξP25612)41)(43(()1(314===ξP25654)41()43(()2(2224===ξP 256108)41()43(()3(1334===ξP 25681)41()43(()4(0444===ξP分布列ξ0 1 2 3 4P2561 256122565425610825681………… ………6分32568142561083256542256121=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 或3434=⨯=ξE ………… ………8分 （Ⅱ）每次用车路上平均花的时间5.3540260408504084040143040820=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=t （分钟） … …………………………10 分每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.一个月的平均用车费用约为542元. ……………………………12分19.解：（Ⅰ）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD ┄┄┄┄┄2分又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC=H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF ┄┄┄┄┄5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz ┄┄┄┄┄┄┄6分 ∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH ＝45°，又菱形ABCD 的边长为4，则23,3,3AO AH EH ===各点坐标分别为(0,0,0),(3,0,0),(3,2,0),(3,0,0)H A D O ---,E(0,0,3)┄┄………7分易知HE为平面ABCD 的一个法向量，记n =(0,0,3)HE = ，AO =()23,0,0- ,DE =()3,2,3∵EF//AC ， ∴ EF ()23,0,0AO λλ==-┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分设平面DEF 的一个法向量为()EF m DE m z y x m ⊥⊥=,,,,则 （注意：此处EF可以用AO 替代）即 DE m ⋅＝3230x y z ++= ,230m EF x λ⋅=-=令2,0,3-===z x y 则，则，∴()2,3,0-=m ┄┄┄┄…………9分∴2327cos ,737n m n m n m⋅-===-⋅⋅平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为772. ┄┄┄┄┄┄┄12分20. 解：（Ⅰ）依题意得2,1AB BD ==，设动圆M 与边AC 的延长线相切于1T ，与边BC 相切于2T ， 则1212,,AD AT BD BT CT CT ===所以1212AD BD AT BT AC CT BT +=+=++12242AC CT CT AC BC AB BD AB =++=+=+=>= …………………2分所以点C 轨迹Γ是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点.则曲线Γ的方程T2T 1OMC DB A为()221043x y y +=≠. …………………4分（Ⅱ）【法一】由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线,OE OF 斜率存在且不为，所以可设直线()()11221:,:,,,,O Eyk x O F y x E x yk==- …………………5分由223412y kx x y =⎧⎨+=⎩得2214312k x +=,22214312k k y +=，同理可得：43122222+=k k x ,4312222+=k y ；所以22243)1(12k k OE ++=，43)1(12222++=k k OF 又OE OF ⊥，所以()()()3443136412222222+++⨯==∆k k k OF OE S OEF…………………8分 令21t k =+，则1t >且21k t =-，所以()()()()()2222221363631413443OEFk t S t t k k ∆+=⨯=⨯+-++ 21136361111493424t t t =-⨯=-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………10分 又101t <<，所以249114912424t ⎛⎫-≤--<- ⎪⎝⎭，所以21141249114924t -<≤-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以2144136349114924t ≤-⨯<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以1237OEF S ∆≤<， 所以OEF ∆面积的取值范围为12,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭. …………………12分【法二】依题意得直线l 斜率不为0，且直线EF 不过椭圆的顶点，则可设直线l ：x my n =+，且23m ≠±。
【江西省南昌市】2017届高三第一次模拟数学(理科)试卷-答案
14． 3 2
15． (3 2)π
16． 3 10 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17．【解析】（Ⅰ）设等差数列{an} 的公差为 d ，由 S3 S4 S5 可得 a1 a2 a3 a5 ， 即 3a2 a5 ，所以 3(1 d ) 1 4d ，解得 d 2 ． ∴ an 1 (n 1) 2 2n 1 ．
x3 2 y1(x2 2)
x3 2
y12 (x2 2)2
3(1
x12 4
)( x2
2)2
(x1 2)(x2 2)
即 ( x3 2)2 (x2 2)(x1 2) x1x2 2(x1 x2 ) 4 ， x3 2 (x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 x2 ) 4
:
y
y2 (x 2) ， x2 2
联立两直线方程得 y1 (x 2) y2 (x 2) （其中 x 为 G 点的横坐标）即证： 3y1 y2 ，
x1 2
x2 2
x1 2 x2 2
即 3k(x1 4) (x2 2) k(x2 4) (x1 2) ，即证 4x1x2 10(x1 x2 ) 16 0
又 f '(0) 4a 2 0 ， f '(1) 6a 0 ，所以存在 t (0,1) 使得 f '(t) 0
且当 a 0时 t 1 ，当 a 1 时 t 0 ，所以 t 的取值范围是 (0,1) ． 2
又当 x (0,t) ， f '(x) 0 ，当 x (t, ) 时， f '(x) 0 ，
【江西省南昌】2017届高三第一次模拟数学年(理科)试题答案
A．{4}
B．{5}
C． [4, 5]
D．{4, 5}
3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过 3%)，
现抽样取米一把，取得 235 粒米中夹秕 n 粒，若这批米合格，则 n 不超过（ ）
A．6 粒
B．7 粒
C．8 粒
D．9 粒
4．已知 13 23 (6 )2 ,13 23 33 1( 2 )2 ,13 23 33 43 2(0 )2 , 若 13 23 33 43
负者得 0 分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 3 ，丙胜甲的概率为 3 ，乙胜丙的概率为 p ，且各场比赛
5
4
结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为 1 . 10
（Ⅰ）求 p 的值；
（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
19．如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，平面 PAB 平面 ABCD，PB PC ，ABC 45 ，
y2
1
分别交于点 A 、 M 和 A 、 N ，记直线 l1 的斜率为 k1 .
（Ⅰ）求 k k1 的值； （Ⅱ）当 k 变化时，试问直线 MN 是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理 由.
21．已知函数 f (x) eax bx(a 0) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 5x 1，且 f (1) f (1) 12 .
y
1 cos sin
（
为参数).
（Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线
C
向左平移一个单位，再经过伸缩变换
2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学(理)试卷(带解析)
绝密★启用前2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B={y|y=√x+1}，那么A∩(C U B)=（）A. ϕB. (0,1]C. (0,1)D. (1,+∞)2．若复数z=21+i3，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A. -1B. −iC. 1D. i3．已知α,β均为第一象限的角，那么α>β是sinα>sinβ的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)（i=1,2,3,…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为y^=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（）A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x̅,y̅)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg.5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A. −√33B. √33C. −13D. 136．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A. log210−1B. 2log23−1C. 92D. 67．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,0<φ<π2）的周期为π，若f(α)=1，则f(α+3π2)=（）A. -2B. -1C. 1D. 28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则cos∠AOB=（）A. √510B. −√510C. 910D. −9109．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱.A. 28B. 32C. 56D. 7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. 323B. 643C. 16D. 3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，x1+x2+ 4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为（）A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π312．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)=lnx−x+1，若函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A. (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18) B. (ln2−16,ln2−18)C. (1−ln28,1−ln26) D. (1−ln28,ln2−16)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在多项式(1+2x)6(1+y)5的展开式中，xy3项的系数为__________．，a=2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ，则a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是__________．14．已知单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为π315．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD//BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x,y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为__________．三、解答题17．已知等差数列{a n的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n.18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用X元，求X的分布列及数学期望.19．如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=DC=BC=2，AB=4，ΔPAD为正三角形.（1）求证：BD⊥平面PAD；（2）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值.20．已知椭圆C:x2a +y2b=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1,A2，左、右焦点分别为F1,F2，离心率为12，点B(4,0)，F2为线段A1B的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M,N两点，已知直线A1M与A2M相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21．已知函数f(x)=(2x−4)e x+a(x+2)2（x>0,a∈R,e是自然对数的底数）. （1）若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当a ∈(0,12)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)最小值的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a,1)，其参数方程为{x =a +√2ty =1+√2t（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0.（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 1与曲线C 2交于A,B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x −a|+|x −1|，a ∈R（1）若不等式f(x)≤2−|x −1|有解，求实数a 的取值范围； （2）当a <2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a 的值.参考答案1．C 【解析】A ={x|y =lgx}=(0,+∞)，B ={y|y =√x +1}=[1,+∞)，所以C U B =(−∞,1),A ∩(C U B)=(0,1)，选C. 2．C 【解析】z =21+i3=21−i=1+i ，故复数z 的虚部是1，选C3．D【解析】试题分析：因为α,β角的终边均在第一象限，所以当α=π3+2π,β=π3时，满足α>β，但sinα=sinβ，则sinα>sinβ不成立；若当α=π6,β=π3时，满足sinα>sinβ，当α>β不成立，所以“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：充要条件的判定． 4．D【解析】由回归直线方程定义知：因为斜率大于零，所以y 与x 具有正线性相关关系；回归直线过样本的中心点(x̅,y ̅)；身高增加每增加1cm ，则其体重约增加k =0.85kg ;身高为160cm ，则可估计其体重约为0.85×160−85.71=50.29kg ，但不可断定.选D. 5．C【解析】x 2+my 2=1⇒x 2−y 21−m=1,所以√1+(1−m)1=2⇒m =−13，选C.6．B【解析】第一次循环，S =3+log 2√2,i =2；第二次循环，S =3+log 2√2+log 2√32,i =3；以此类推得第七次循环，S =3+log 2√2+log 2√32+⋯+log 2√87=3+log 2√8=92,i =8；结束循环输出log 292=2log 23−1，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．B【解析】由题意得π=2πω⇒ω=2，Asin(2α+φ)=1,所以f(α+3π2)=Asin(2α+3π+φ)=−Asin(2α+φ)=-1，选B. 8．D【解析】圆心O 到直线y =2x +1距离√5所以cos∠AOB 2=1√52=2√5cos∠AOB =2×(2√5)2−1=−910.选D.9．B【解析】设甲乙丙各有x,y,z 钱，则有x +y2+z2=90,x2+y +z2=70,x2+y2+z =56,解得x =72,y=32,z=4，选B.10．A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是13×4×12×42=323，选A.11．D【解析】由抛物线定义得AF=x1+2,BF=x2+2,所以由x1+x2+4=2√33|AB|得AF+BF=2√33|AB|,因此cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=14|AF|2+14|BF|2−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|≥1 4×2|AF|⋅|BF|−32|AF|⋅|BF|2|AF|⋅|BF|=−12所以0<∠AFB≤2π3，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|=x0+p2；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12．A【解析】f(2−x)=f(x)=f(−x)⇒T=2,当x∈[1,2]时，f′(x)=1x−1≤0,作出y=f(x)图形，由图可知直线y=−mx过点A(−6,ln2−1)时有六个交点，过点B(−8,ln2−1)时有八个交点，过点C(6,ln2−1)时有六个交点，过点D(8,ln2−1)时有八个交点，因此要使函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，需m∈(1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)，选A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 13．120;【解析】由题意得xy3项的系数为C61×2×C53=120.14．32;【解析】a在e1⃗⃗⃗ 上的投影是a⃗ ⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=（(2e1⃗⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗⃗ )⋅e1⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ |=2−1×1×cosπ3=32.15．(3+√2)π;【解析】几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，表面积为πrl+2πrℎ+πr2=π×1×√2+ 2π×1×1+π×1=√2π+3π点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．16．3√102【解析】设这五个数为x,x+d,x+2d,x+3d,x+4d=y，则x2+(x+4d)2=4，令x=2cosθ,x+4d=2sinθ，则d=sinθ−cosθ2，因此后三项和等于3(x+3d)=32(cosθ+3sinθ)≤32√10.17．（Ⅰ）a n=2n−1（Ⅱ）−8n2−4n【解析】试题分析: （Ⅰ）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（Ⅱ）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，即3a2=a5，所以3(1+d)=1+4d，解得d=2．∴a n=1+(n−1)×2=2n−1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n=(−1)n−1⋅(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1⋅(4n2−1).∴T2n=(4×12−1)−(4×22−1)+(4×32−1)−(4×42−1)+⋯+(−1)2n−1⋅[4×(2n)2−1]=4[12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2]=−4(1+2+3+4+⋯+2n−1+2n)=−4×2n(2n+1)2=−8n2−4n．点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型有分段型（如a n={n,n为奇数2n,n为偶数）及本题的符号型（如a n=(−1)n n2）18．（Ⅰ）110（Ⅱ）EX=9000【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110（天）． （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000， 则：P(X =0)=(45)3=64125，P(X =10000)=C 31×110×(45)2=24125P(X =20000)=C 32×(110)2×(45)+C 31×(110)×(45)2=108500=27125 P(X =30000)=(110)3+C 31×110×C 21×110×45=491000P(X =40000)=C 32×(110)2×110+C 32×(110)2×45=271000P(X =50000)=C 32×(110)2×110=31000P(X =60000)=(110)3=11000．EX =0×64125+10000×48250+20000×27125+30000×491000+40000×271000+50000×31000+60000×11000 =9000（元）． 19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7√6565【解析】试题分析: （Ⅰ）已知面面垂直，所以利用面面垂直的性质定理证明线面垂直.而要利用面面垂直性质定理，需在其中一平面内寻找或论证与两平面交线的垂线，本题通过计算，利用勾股定理得到线线垂直.（Ⅱ）求二面角的方法，一般为利用空间向量数量积进行求解：先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，再根据向量数量积求两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角余弦值.试题解析:（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 如图所示：有AE =1,DE =√3,BD =2√3∴在ΔABD 中，有AB 2=AD 2+BD 2，即AD ⊥BD又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .（Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且ΔPAD 为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，得PE ⊥平面ABCD ．如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由条件AD =DC =BC =2，则AE =DE =1，PE =√3，BD =2√3． 则D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(0,2√3,0)，P(1,0,√3)．------- 6分在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示：则在RtΔCDF 中，有CF =√3，DF =1，∴C(−1,√3,0)．（另解:可不做辅助线，利用AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 求点C 坐标） ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−√3)，设平面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−√3y 1=0 n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1−√3z 1=0 ，取x 1=√3，则y 1=1，z 1=−1，∴面PDC 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−1)．同理有PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,−√3)，设平面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3z 2=0 n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2+2√3y 2−√3z 2=0 ， 取y 2=1，则x 2=2√3，z 2=0，∴面PBE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(2√3,1,0)．--10分设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ， ∴cosθ=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√3×2√3+13+1+1×12+1=7√6565．即平面PEB 与平面PDC 所成二面角的余弦值为7√6565． 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．（Ⅰ）x 24+y 23=1（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件建立关于a,b,c 的两个独立条件，再与a 2=b 2+c 2联立方程组，解出a,b,c 的值，（Ⅱ）先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线x =1，再根据条件证明点G 横坐标为1.由题意设M,N 两点坐标，用M,N 两点坐标表示点G 横坐标.根据直线l 方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得M,N 两点坐标关系（用直线l 斜率表示），并代入点G 横坐标表达式，化简可得为定值. 试题解析: （Ⅰ）设点A 1(−a,0),F 2(c,0)，由题意可知：c =−a+42，即a =4−2c ①又因为椭圆的离心率e =ca =12，即a =2c ② 联立方程①②可得：a =2,c =1，则b 2=a 2−c 2=3 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线x =x 0上． 假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为√3x +4y −4√3=0，此时点N(85,3√35)， 则联立直线l A 1M :√3x −2y +2√3=0和直线l A 2N :3√3x +2y −6√3=0可得点G(1,3√32) 据此猜想点G 在直线x =1上，下面对猜想给予证明：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，联立方程{y =k(x −4)x 24+y 23=1可得：(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0由韦达定理可得x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2 （*）因为直线l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2)，l A 2N :y =y 2x2−2(x −2)，联立两直线方程得y 1x1+2(x +2)=y 2x 2−2(x −2)（其中x 为G 点的横坐标）即证：3y 1x 1+2=−y 2x 2−2，即3k(x 1−4)⋅(x 2−2)=−k(x 2−4)⋅(x 1+2)，即证4x 1x 2−10(x 1+x 2)+16=0 将（*）代入上式可得4⋅(64k 2−12)3+4k 2−10×32k 23+4k 2+16=0⇔16k 2−3−20k 2+3+4k 2=0此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上x =1上． 方法二：设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 因为B,M,N 三点共线，所以y 1x 1−4=y 2x2−4⇒y 12(x1−4)2=y 22(x2−4)2⇒3(1−x 124)(x1−4)2=3(1−x 224)(x2−4)2，整理得：2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0又A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①又A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2② 将①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)⇒(x 3+2x 3−2)2=y 22(x 1+2)2y 12(x 2−2)2=3(1−x 224)(x 1+2)23(1−x 124)(x 2−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2) 即(x 3+2x 3−2)2=(x 2+2)(x 1+2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，将2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8=0即x 1x 2=52(x 1+x 2)−4=0代入得：(x 3+2x 3−2)2=9解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．方法三：显然l 与x 轴不垂直，设的方程为y =k(x −4)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 由{y =k(x −4)x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−32k 2x +64k 2−12=0,Δ>0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),G(x 3,y 3)，x 1,x 2,x 3两两不等， 则x 1+x 2=32k 23+4k2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12√1−4k 23+4k 2,由A 1,M,G 三点共线，有：y 3x 3+2=y 1x 1+2 ①由A 2,N,G 三点共线，有：y 3x3−2=y 2x 2−2②①与②两式相除得：x 3+2x 3−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=k(x 2−4)(x 1+2)k(x 1−4)(x 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+3(x 1−x 2)−8x 1x 2−3(x 1+x 2)+(x 1−x 2)+8=−13 解得x 3=4（舍去）或x 3=1，所以点G 在定直线x =1上．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（Ⅰ）a ≥12（Ⅱ）(−2e,−2)【解析】试题分析: （Ⅰ）先将单调性转化为不等式恒成立：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：−2a ≤(2x−2)e xx+2的最小值，最后根据导数求函数g(x)=(2x−2)e xx+2最值，（Ⅱ）利用二次求导，确定导函数为单调递增函数，再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，根据导函数符号变化规律得函数在此零点（极小值点）取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值，并根据导函数零点取值范围，利用导数方法确定最小值函数的值域.试题解析: （Ⅰ）f′(x)=2e x +(2x −4)e x +2a(x +2)=(2x −2)e x +2a(x +2)， 依题意：当x >0时，函数f′(x)≥0恒成立，即(2x−2)e xx+2≥−2a 恒成立，记g(x)=(2x−2)e xx+2，则g′(x)=2xe x (x+2)−(2x−2)e x(x+2)=(2x 2+2x+2)e x(x+2)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=−1，所以−2a ≤−1，即a ≥12； （Ⅱ）因为[f′(x)]′=2xe x +2a >0，所以y =f′(x)是(0,+∞)上的增函数， 又f′(0)=4a −2<0，f′(1)=6a >0 ，所以存在t ∈(0,1)使得f′(t)=0 且当a →0时t →1，当a →12时t →0，所以t 的取值范围是(0,1)． 又当x ∈(0,t)，f′(x)<0，当x ∈(t,+∞)时，f′(x)>0，所以当x =t 时，f(x)min =f(t)=(2t −4)e t+a(t +2)2．且有f′(t)=0⇒a =−(t−1)e t t+2∴f(x)min =f(t)=(2t −4)e t −(t −1)(t +2)e t =e t (−t 2+t −2)．记ℎ(t)=e t (−t 2+t −2)，则ℎ′(t)=e t (−t 2+t −2)+e t (−2t +1)=e t （−t 2−t −1)<0，所以ℎ(1)<ℎ(t)<ℎ(0)，即最小值的取值范围是(−2e,−2)． 22．（Ⅰ）y 2=4x （Ⅱ）a =136或94．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线C 1参数方程化为普通方程，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x 2+y 2将曲线C 2化为直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线参数方程转化为{x =a +√2t2y =1+√2t2（t 为参数，a ∈R ），再根据直线参数方程几何意义由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，最后将直线参数方程代入C 2化为直角坐标方程，利用韦达定理得关于a 的方程，解得a 的值. 试题解析: （Ⅰ）曲线C 1参数方程为{x =a +√2t y =1+√2 ,∴其普通方程x −y −a +1=0，由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ−ρ=0,∴ρ2cos 2θ+4ρcosθ−ρ2=0 ∴x 2+4x −x 2−y 2=0,即曲线C 2的直角坐标方程y 2=4x .（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为t 1,t 2，联解{y 2=4xx =a +√2t y =1+√2t 得2t 2−2√2t +1−4a =0要有两个不同的交点，则Δ=(2√2)2−4×2(1−4a)>0,即a >0，由韦达定理有{t 1+t 2=√2 t 1⋅t 2=1−4a 2根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t 1|,|PB|=2|t 2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t 1|=2×2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=−2t 2 ∴当t 1=2t 2时，有{t 1+t 2=3t 2=√2 t 1⋅t 2=2t 22=1−4a 2⇒a =136>0，符合题意． 当t 1=−2t 2时，有{t 1+t 2=−t 2=√2 t 1⋅t 2=−2t 22=1−4a2⇒a =94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为a =136或94．23．（Ⅰ）[0,4]（Ⅱ）a =−4．【解析】试题分析: （Ⅰ）先化简不等式f(x)≤2−|x −1|得|x −a2|+|x −1|≤1，再根据绝对值三角不等式得|x −a 2|+|x −1|≥|a 2−1|，最后根据不等式有解得|a2−1|≤1，解不等式得实数a 的取值范围；（Ⅱ）根据绝对值定义将函数f(x)分成三段，结合函数图像可得f(x)min =f(a2)，最后根据方程f(a2)=3求实数a 的值.试题解析: （Ⅰ）由题f(x)≤2−|x −1|，即为|x −a2|+|x −1|≤1． 而由绝对值的几何意义知|x −a2|+|x −1|≥|a2−1|，------- 2分由不等式f(x)≤2−|x−1|有解，∴|a2−1|≤1，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数f(x)=|2x−a|+|x−1|的零点为a2和1，当a<2时知a2<1∴f(x)={−3x+a+1(x<a2)x−a+1(a2≤x≤1)3x−a−1 (x>1)------- 7分如图可知f(x)在(−∞,a2)单调递减，在[a2,+∞)单调递增，∴f(x)min=f(a2)=−a2+1=3，得a=−4<2（合题意），即a=−4．。
2017年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD 为正三角形． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）设AD 的中点为E ，求平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．×2×【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前2n项和T2n．（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；，利用并项求和法和等差数列的前n项和（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =﹣4（1+2+3+4+…+2n ﹣1+2n ）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则：，，，，，，．∴X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t ﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4co sθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年3月15日。
2017年赣州高考数学一模试卷(理科) 含解析
2017年江西省赣州市高考数学一模试卷(理科）一、选择题(本题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin15°+cos165°的值为（）A．B．C．D．2．设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q:函数y=f（x)是单调函数，则p是q的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2,宽为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点）,则p的值为( ）A．1 B．2 C．3 D．45．若（x﹣2y）2n+1的展开式中前n+1项的二项式系数之和为64，则该展开式中x4y3的系数是（）A．﹣B．70 C．D．﹣706．二战中盟军为了知道德国“虎式"重型坦克的数量,采用了两种方法，一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计,统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确，德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675.5，假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本,则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有( ）A．1050辆B．1350辆C．1650辆D．1950辆7．复数z1、z2满足｜z1｜=｜z2｜=1，z1﹣z2=，则z1•z2=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i8．函数f(x）=Asin(ωx+φ）(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图,f(）=﹣1,则f（0)的值为（)A．1 B． C．D．9．秦九韶是我国南宋时代的数学家,其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一,秦九韶利用其多项式算法,给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x3+x+1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为( )A．﹣0.6 B．﹣0.69 C．﹣0。
2017届高三五校第一次联考数学(理科)试卷(含答案)word版
江西省2017届高三五校第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x =-<，{ |ln(1) }B x y x ==-，则)(B C A U 是 （ ） A ．2, 1-（）B ．[1, 2)C ．(2, 1]-D ．1, 2（）2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．命题p ：若⋅＜0，则与的夹角为钝角；命题q ：定义域为R 的函数），）及（，在（∞+∞-00)(x f 上都是增函数，则),()(+∞-∞在x f 上是增函数。
则下列说法正确的是 （ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题 C ．p ⌝为假命题 D ．q ⌝为假命题 4．若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为 A. sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B. sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C. 1sin 124⎛⎫=+-⎪⎝⎭y x π D. 1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π5．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）①,m n α⊥若//α，则m n ⊥ ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则 ③//,//,//m n m n αα若则 ④,αββγαγ⊥⊥若//,//,m 则mA 、①和②B 、②和③C 、③和④D 、①和④6．函数|1|()2ln x f x x a -=--恰有两个不同的零点，则a 的取值范围是（ ）A 、(,1)-∞-B 、(1,)-+∞C 、(,1)-∞D 、(1,)+∞7．已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的焦点为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，以1F 2F 为直径的圆与双曲线的一个交点为M ，且21tan 21=∠F MF ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．28．如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于( )A ．1m n C - B. 1m n A - C. m n C D. mn A9. 如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）.A 37 .B 47.C 1314 .D 114 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 10.设a,b,m 为整数（m ﹥0），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对m 同余记为a=b(modm),已知12322019202020201222,a C C C C =+++++ (mod10),b a =则b 的值可以是（ ）A 、2010B 、2011C 、2012D 、2009二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
江西省2017届高三第一次联考测试理数试题 含解析
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C 【解析】考点:集合的运算.2. 函数()229x y -= ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-【答案】D 【解析】试题分析：由2901011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩得10x -<<或03x <≤,所以函数的定义域为()(]1,00,3-，故选D.考点：函数的定义域. 3。
下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x ="的逆否命题； 其中真命题的个数是（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C 【解析】考点：逻辑联结词与命题. 4。
幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析:因为函数()()226844m m f x m m x-+=-+是幂函数，所以2441m m -+=，即1m =或3m =，当1m =时,函数3()f x x =在()0,+∞为增函数,符合题意；当3m =时，函数1()f x x -=在()0,+∞为减函数，不符合题意,故选B 。
考点：幂函数的定义与性质.5。
已知函数()21xf x =-+,定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】试题分析：()21,02121,0x xx x f x x -⎧-+≥⎪=-+=⎨-+<⎪⎩,所以()()(),021,0,021,0xx f x x x F x f x x x -⎧>⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-<-<⎪⎪⎩⎩，所以当0x <时，()0,21(21)()xx x F x F x --->-=-+=--=-，所以当0x >时，()0,21(21)()x x x F x F x -<-=-=--+=-，所以函数()F x 是奇函数，故选A.考点：1。
江西省五市八校2017届高三第一次联考文科数学试题 pdf版含答案
4． a , b 表示直线， 表示平面 ，下列命题中正确的是（ A．
a b ab
B．
a // b a // b
C．
a b a b //
D．
a // b a b
）
5.设正项等比数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 A．126 B．63 C．42 D．21
试卷第 1 页，总 8 页
A．2
B．3
C．4
D．5
9． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几 何． ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、 丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位） ．这个问题中，甲所得为（ ）
) B． f ( x) 2sin(2 x ) C． f ( x) 2sin(2 x ) D． f ( x) 2sin(2 x ) 6 3 6 3
2 2 2 8.定义运算法则如下： a b 3 a b , a b lg a lg b ；若 M 27 2 ， N 25 ，则 M N 2 2
5
B． 3
C． 2 ，若 f
D．
6 2
0 有 6 个解，则 a 的取值范围（
）
11.函数
2 2 ,x 1 f ( x ) { lx g x 1 , x 1
x
a
A． (-2,-1]
B．[-1,0]
C．(0,1]
D.(1,2)
12.已知圆 C： ( x 2) 2 y 2 4 ,圆 M： ( x 2 5cos ) 2 ( y 5sin ) 2 1( R ) ，过圆 C 的圆心任意作一条 直线交圆 C 于 E，F 两点，其中点 P 是圆 M 上的一动点，连接 PE，PF，则 PE PF 的最大值为（ ） A．12 B.24 C.32 D．36 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，学生 根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．运行如图所示的程序框图，若输入 n=5，则输出 S 的值为